GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh CÁC BÀI TOÁN VỀ GTLN – GTNN Bài 63: Biết hàm số y f x liên tục R có M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 4x đoạn 0; 2 Hàm số y f có tổng giá trị lớn nhỏ x 1 A M m B 2M m C M 2m D M 2m Giải: Đặt g x 4x 4 x x 0; g x , Ta có: , g x x 0; 2 2 x2 x Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: g x Do đó: hàm số y f x liên tục có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn 0;2 hàm số y f g x liên tục đoạn 0;2 có M m GTLN, GTNN hàm số 4x Vậy tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y f M m Chọn A x 1 Nhận xét: - Khi gặp toán GTLN – GTNN hàm hợp, ta nên đổi biến để lời giải toán đơn giản - Khi đặt t u x , ta nhớ tìm miền giá trị biến t theo điều kiện biến x cách khảo sát hàm số u x sử dụng phương đánh giá sử dụng điều kiện có nghiệm… Bài 66: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m GTLN – GTNN hàm số g x f sin x cos x Tổng M m A B C D Giải: Ta có: sin x cos x sin 2 x, x Vì sin 2 x 1, x 1 sin 2 x 1, x 2 sin x cos x M max g x f 1 M m Dựa vào đồ thị suy m g x f 1 GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh Bài 71: Cho hàm số f x liên tục đoạn 3;5 có đồ thị hình vẽ bên Giá trị nhỏ hàm số y f 3cos x 4sin x A B C D 2 g ải Đặt t 3cos x 4sin x Ta có: 3cos x 4sin x 32 42 3cos x 4sin x 2 3cos x 4sin x t 2;3 Khi hàm số y f 3cos x 4sin x trở thành y f t với t 2;3 Do đó, giá trị nhỏ hàm số y f 3cos x 4sin x giá trị nhỏ hàm số y f t đoạn 2;3 Dựa vào đồ thị hàm số f x ta có: f 3cos x 4sin x f t f 2 2; 3 R SỰ TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ Bài 77: Cho hàm số y f x liên tục 1;3 có bảng biến thiên hình bên Hỏi phương trình f x 1 nghiệm 2; 4 ? 5 x x 12 1 có B D A C Giải: Đặt t x t 1; 3 x t Mỗi giá trị t cho ta giá trị x 5 5 f t g t 2 x x 12 t 4t 5 Xét g t với t 1; 3 Dễ dàng tìm BBT g t sau: t 4t f x 1 2 phương trình hồnh độ giao điểm f t g t Ta có hình minh họa cho đồ thị f t g t hệ trụ Oty hình bên Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị có điểm chung nên phương trình (2) có nghiệm phân biệt Vậy (1) có nghiệm phân biệt Chọn C GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh Bài 85: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f x x f m có nghiệm thuộc 1;1 ? A C B D L i giải Chọn D Xét 1;1 , f hàm số y f x nghịch biến nên phương trình 4x 4x2 1 f m 4x 4x2 m m 1 2 8 x x m 1 Để yêu cầu tốn thỏa, ta tìm giá trị thực m 1 cho đồ thị hàm số y x x cắt đường thẳng y m 1 điểm có hồnh độ 1 x Lập bảng biến thiên hàm số y x x 1;1 x 1 y' + y 4x 4x2 - m 1 1 m , m Như ta phải có 0 m 1 Bài 87: Cho hàm số f x liên tục suy m1;0;1;2 có bảng biến thiên hình vẽ 1 Tập hợp giá trị dương tham số m để phương trình f f x f m có nghiệm 2 A 0;1 1 B ;0 1 C 0; 2 D 0;1 Giải: GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh 1 2t Theo BBT ta có: - Đặt t f x , suy f x 2 t 2t 0 2t 15 + Nếu có nghiệm x t t phương trình f x t 2 4 2t 0 2t 15 + Nếu có hai nghiệm x t t phương trình f x t 2 4 + Nếu 4 2t 15 2t 0 t phương trình f x có ba nghiệm x 2 - Phương trình viết lại: f t f m 1 Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường đồ thị hàm số f t đường thẳng y f m Từ bảng biến thiên hàm số f x ta suy phương trình f t f m có nhiều ba nghiệm t 1 Suy phương trình f f x f m có nghiệm 2 f t f m có ba nghiệm thỏa Do m nên m 15 25 t 4 f m 2 Chọn C Bài 89: Cho hàm số y f x liên tục 1;3 có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên m để phương trình f x 1 A 10 B C m có nghiệm khoảng 1; x 4x D Giải: - Vì x x x x nên f x 1 m x x f x 1 m x 4x - Đặt h x x x f x 1 , với x 1; Ta có h x x x f x 1 x f x 1 GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x ta có: x 1; x 1 2; 3 f x 1 x x 1; , f x 1 0, x 1 2; 3 Do đó: h x x 1; Bảng biến thiên hàm số y h x khoảng 1; Khi phương trình h x m có nghiệm x 1; h m h 1 f 3 m f m Do có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Bài 90: Cho f x hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình Tập nghiệm phương trình f x f x f x có số phần tử A B C D Giải: - Xét phương trình f x f x f x 1 - Do f x có ba nghiệm x1 , x2 , x2 x1 x2 x3 f x a x x1 x x2 x x3 , a x3 nghiệm kép nên ta có f x a x x2 x x3 a x x1 x x3 2a x x1 x x2 x x3 2 a x x3 x x2 x x3 x x3 x x1 x x1 x x2 - Ta thấy x x3 nghiệm f x nên suy x3 nghiệm (1) x1 , x2 không nghiệm (1) f x 1 1 Với x x3 1 0 0 2 x x1 x x2 x x3 x x1 x x2 x x3 f x vơ nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x x3 Bài 95: Cho hàm số f x ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun m khoảng 2020; 2020 để bất phương trình f x 2 x x m có nghiệm A 2020 B 2019 C 2022 D 2018 Giải: - Đặt g x f x 2 x x có tập xác định D 2; 0 GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh Từ đồ thị ta thấy khoảng 2; hàm số y f x đồng biến f 2 f f x x 2; 0 g x x 2; 0 Suy ra: g x 2; 0 f 2 f g 2 g Vậy bất phương trình f x 2 x x m có nghiệm m g x m 2; 0 Kết hợp m 2020; 2020 suy có 2019 số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Đáp án B Bài 96: Cho hàm số y f x liên tục 1;3 có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f x x x m có nghiệm thuộc 1;3 A m B m C m 2 D m 2 Giải: x 1 x - Ta có: 1 12 x x Dấu “=” xảy x x x Ta có: max f x f 3 Suy ra: g x f x x x có dấu “=” x 1;3 - Do bất phương trình f x x x m có nghiệm thuộc 1; 3 m max f x x x 1; 3 Vậy m Chọn A Bài 101: Cho hàm số y f x có đồ thị hình bên Có số ngun m để bất phương trình mx m x 2m f x nghiệm với x 2; 2 ? A C B D Giải: - Đặt g x mx m x 2m h x mx m2 x 2m f x - Bất phương trình mx m2 x 2m f x nghiệm với x 2; 2 có nghĩa h x không đổi dấu 2; 2 - Từ đồ thị y f x ta thấy f x đổi dấu ua x Mà h x không đổi dấu nên suy g x c ng phải đổi dấu ua x ặt khác g x liên tục nên g x phải có nghiệm x m m 2m m 1 m 1 Mà m nguyên nên ta chọn m 1 1 x 1 f x Thử lại: ới m 1 a có: g x f x x x f x 1 x 2 5 x GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP Nhận xét: 1 x x2 1 x x2 x2 GV Trương Tấn Quỳnh 0, x 2; 2 Khi uan sát đồ thị f x , ta thấy: 1: với x 1; 2 f x nên 1 x f x 2: với x 2; 1 f x nên 1 x f x Do hai trường hợp ta ln có g x f x , x 2; 2 Vậy nhận m 1 Chọn A MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH BIỂU THỨC HÀM f ĐỂ XÁC ĐỊNH HÀM g Bài 113: Cho hàm số f x x5 bx cx3 dx ex b, c, d , e Hàm số nhỏ hàm số f x đoạn 1; 3 Tính M + m 250 196 C 38 272 D A y f x y y f x có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn giá trị B 2 1 x O Giải: Do f x có nghiệm phân biệt 2; 1;1; nên Ta có : f x x 4bx3 3cx 2dx e x x 1 x 1 x x 5x Suy : f x x 25 x 20 x Xét hàm số f x x Vậy M 78, m 25 38 38 16 x 20 x 1; 3 Ta có : f 1 ; f 1 ; f 2 ; f 3 78 3 3 38 196 M m Chọn C 3 Bài 124: Cho f x hàm số đa thức bậc 5, có f 1 đồ thị hàm số y f x đối xứng ua đường thẳng x hình Biết phương trình f x 1 m có nghiệm x 1; 1 m a; b Khi đó: a b A C B D Giải: GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh - Đồ thị hàm số bậc bốn y f x đối xứng qua trục x nên có dạng: f x a x 1 b x 1 c qua 1; 1 , 3; 3 , 0; 3 nên lập hệ giải ta y x x 1 x 1 f x 1 x 3x Từ đó: f x 1 x5 x x d Lại có f 1 nên d x5 Vậy f x 1 x x x5 x x nghịch biến đoạn 1; 1 Do phương trình f x 1 m có nghiệm x 1; 1 m g 1 ; g 1 hay - Ta thấy f x 1 x 3x 1 x 1; 1 nên hàm số f x 1 g ( x) m ; 9 9 suy a ; b a b 5 5 Bài 126: Cho hàm số y f x ax bx3 cx dx e với a, b, c, d , e R Biết hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m 5; 5 để phương trình f x x m e có bốn nghiệm phân biệt A B C D Giải: - Từ đồ thị f x hàm bậc ba hình vẽ, dễ dàng suy ra: f x x x 4 Suy ra: f x 1 1 x x e x3 x 1 e 16 4 4 x2 2x m x2 x m 1 1 - Ta có f x x m e x x m x x m 2 2 Phương trình f x x m e có nghiệm phân biệt phương trình (1) (2) có 1 m nghiệm phân biệt m m m Mà m 4; 5 m 5; Vậy có giá trị nguyên m thoả mãn toán Chọn B Bài 128: Cho đa thức f x hệ số thực thỏa điều kiện f x f 1 x x , x R Hàm số g x 3x f x x x đồng biến A R \ 1 B 0; C R D ; Giải: GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh - Từ giả thiết, thay x x ta f 1 x f x x 1 f x f 1 x x f x x x Khi đó, ta có: f 1 x f x x x - Suy ra: g x x3 3x 3x g x 3x x 0, x R Nên hàm số đồng biến R Bài 129: Cho hàm số y f x liên tục thỏa mãn f 1 f x x f x x 3x x , x Hàm số g x f x x đồng biến khoảng A 1; 1 B 0; 3 1 C ; 1 3 D 1; Giải: - Ta có f x x f x x 3x x f x x f x x 3x x Đặt t f x ta phương trình t x.t x6 3x x Ta có x x x x x 12 x x x x x x3 3x x3 x t Vậy Suy x x3 3x x x t 2 f x x3 x f x x x Do f 1 nên f x x3 x - Ta có g x x x x g x 3x x x Chọn C Bài 133: Cho hàm số y f x ax bx c có đồ thị hình vẽ thỏa mãn đẳng thức sau: f x 1 f x x x 1 x 1 Cho hàm số g x mx nx p f x g x 1 Tìm nghiệm phương trình g x A B 2 C D 4 Giải: - Với x f 1 f GT I – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP GV Trương Tấn Quỳnh Vì f 1 f đồ thị hàm số y f x ax bx c ua 0; 1 , 2;11 nên ta có hệ phương f 1 f a b c c a b 1 trình: f 1 c 1 16a 4b c 11 c 1 f 11 Vậy f x x x - Ta có: f x g x 1 x x m x 1 n x 1 p x x mx 2m n x m n p m m 2 m n n m n p 1 p Do g x x x g x x x Chọn A Bài 134: Cho hố số y f x có đồ thị hình vẽ Số nghiệm nguyên bất phương trình x x x f x f x f x 3 A B C D Giải: - Dễ dàng xác định f x x 2x2 - Ta có f x f x f x f x 3 f x f x a x x 0, 2 2 (với a 0, a R ) - Do bất phương trình cho x x x x 2 x 2 2 0 x 00 x2 x2 Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nên có x 0;1 10 ... nguyên m khoảng ? ?20 20; 20 20 để bất phương trình f x ? ?2 x x m có nghiệm A 20 20 B 20 19 C 20 22 D 20 18 Giải: - Đặt g x f x ? ?2 x x có tập xác định D ? ?2; 0 GT I – CÁC... m x 2m f x nghiệm với x ? ?2; 2? ?? ? A C B D Giải: - Đặt g x mx m x 2m h x mx m2 x 2m f x - Bất phương trình mx m2 x 2m f x... xét: 1 x x2 1 x x2 x2 GV Trương Tấn Quỳnh 0, x ? ?2; 2? ?? Khi uan sát đồ thị f x , ta thấy: 1: với x 1; 2? ?? f x nên 1 x f x 2: với x ? ?2; 1 f x