Thông tin tài liệu
GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Tài liệu ôn thi giải tích CHƯƠNG I: CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ 1.1) Chứng minh chuỗi số hội tụ phân kỳ *) Chuỗi số dương 1.1.1) Tiêu chuẩn dalambert Cho chuỗi số dương U n 1 n U n 1 D n U n lim Xét +) Nếu D > chuỗi số phân kỳ +)Nếu D < chuỗi số hội tụ 1.1.2) Tiêu chuẩn cô-si Cho chuỗi số dương U n 1 Xét n c +)Nếu C > chuỗi số phân kỳ +)Nếu C < chuỗi số hội tụ 1.1.3) Tiêu chuẩn so sánh *)Tiêu chuẩn so sánh số Cho dãy số dương U n 1 n V n 1 n , Nếu U n Vn , N No Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG +)Nếu U n 1 n +) Nếu V n 1 V phân kỳ n n 1 phân kỳ n hội tụ U n 1 n hội tụ **) Tiêu chuẩn so sánh số Cho dãy số dương U n n 1 V n , n 1 Với < K < + chuỗi số U n 1 Đặt Un K n V n lim n V n 1 n hội tụ phân kỳ +) Chú ý số điều đáng nhớ sau +) Nếu x Tan(x) Sin(x) x , Ln(1+x) x , e x 1 x2 x , 1- cos(x) +) Nếu x Sin(x) x , Ln(x) x với 0, +) Điều kiện cần để chuỗi hội tụ e x1 x lim U n n Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG *) Chuỗi đan dấu (1) Khi xét hội tụ chuỗi đan dấu (1) n 1 n 1 n 1 U n ta dùng tiêu chuẩn lepnit, chuỗi U n hội tụ U n dãy đơn điệu giảm lim U n n n 1 Ví dụ: Kiểm tra hội tụ phân kỳ chuỗi số sau (1) n 1 n n n2 Lời giải n n Ta thấy dãy đơn điệu giảm, mà lim n n 1 n suy chuỗi (1) n 1 n suy theo tiêu chuẩn lepnit n n hội tụ *) Bài Tập Bài 1: Kiểm tra hội tụ phân kỳ chuỗi số sau ( n !) a) n 1 n ! c) n 1 n 1 (2 n 1)2 3n.n ! e) n n 1 n n 1 b) n 1 n n2 3n n d) n 1 4n n 5n 2n 5n f) (*) ngắt bỏ vcl trc n 1 n ! ln(n) Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG ( 1) n g) n n 1 n 1 h) (1) (e 1 ) (*) ý ghạn đặc biệt n n 1 n 2.1) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa 2.1.1) Tìm miền hội tụ +)Bước +) Gỉa sử = lim n U n 1 ( Un Un = lim n ) bán kính hội tụ chuỗi tính sau 1 , 00 Suy hàm số đạt cực tiểu A (-7,5) f ct =27 Vậy ………… II)Cực trị có điều kiện (99% khơng thi cuối kì ) Gỉa sử F(x,y) với điều kiện G(x,y) =a +)B1 Xét phương trình larange Q(x,y, ) = F(x,y) + ( G(x,y) –a ) Q / (x) / +)B2 Xét hpt Q (y) suy nghiệm hpt xong làm tương tự cực trị Q / ( ) không điều kiện bước sau Ví dụ f ( x, y) x y với điều kiện x2 y Lời giải Xét pt larange g( x, y) x y .( x2 +y2 -5) g / ( x) / g (y) Xét hpt g / ( ) 2 x 2 y x2 y f // x Xét với , ta có A(-1,-2) xét ma trận / / f yx x y f / / xy = f // y Có Det = >0 f//x =1>0 suy A(-1,-2) tồn cực tiểu Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Làm tương tự với trường hợp kết luận Bài tập Tìm cực trị hàm số sau a) f ( x, y) x y xy x y 2 e) f ( x, y) x xy y y b) f ( x, y) x y xy x y 2 f) f ( x, y) 12 x y với x (y 1) c) f ( x, y) x 3x x y y y y2 g) f ( x, y) x y z với x z 2 2 2 d) f ( x, y) 3 y x y x 2x y 2x 2 ************************ Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Lời giải Ta vẽ hình hệ trục tọa độ Gọi C đường cong gồm nửa đường tròn đường thẳng AO J I (x arctan x y )dx ( x xy y 2e y )dy AO x0 suy dx=0 0 y Ta có pt đường thẳng AO 1 y3 1 (x arctan x y ) dx (x xy y e ) dy y e dy e d ( y ) ( 1) Suy 2 2 3 e AO y3 2 y3 2 y Lại có I (x arctan x y )dx (x xy y e )dy áp dụng định lý green ta có L I (x arctan x y )dx (x xy y 2e y )dy dxdy L Vậy J D 1 ( 1) e +)Hệ Nếu du( x, y) Pdx Qdy miền D Pdx Qdy u ( B) u(A) AB +)Hệ Nếu Pdx+Qdy vi phân tồn phần hàm u(x,y) Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG x y x0 y0 u ( x, y ) P( x, y0 )dx Q(x, y )dy C với Q ' x P ' y hệ áp dụng tính tích phân khơng phụ thuộc đường cho cung tạo với đoạn thẳng đường cong kín Q ' x P ' y Bài tập ôn chương 4I x2 a) x ds C cung parabol y , x C b) yds C x y từ (0,0) đến (1,1) C c) (2 x y )ds với C nửa đường tròn x y C d) (y x )ds với C nửa đường tròn x2 y 2x, x C e) ydx với C cung parabol x y3 y từ A(-2,1) đến B(2,1) C f) ydx x dy với C cung parabol y x2 từ A(1,1) đến B(0,0) C g) ( x y )dx 2dy với C biên tam giác tạo từ điểm (0,0) , (1,1) (0,2) C f) ( x y )2 dx ( x y )2 dy C nửa đường tròn x2 y 2x chiều kim C đồng hồ h) C xdx ydy x2 y từ A(1,0) đến B(6,8) II) Tích phân mặt 1) Tích phân mặt loại Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG z z ( x, y ) Cách tính I f ( x, y, z )ds với với Dxy hình chiếu S lên mặt phẳng s ( x, y ) Dxy 0xy ds ( z x ) ( z y ) dxdy ' ' I f ( x, y, z )ds f ( x, y, z ( x, y) ( z ' x ) ( z ' y ) s Dxy Ví dụ I ( x y z )ds S hình nón z x y nằm mặt phẳng s z=0 z=3 Lời giải ' z x x y (D xy ) (S ) : ta có 2 z' z x y y x x2 y y suy ds ( z ' x )2 ( z ' y )2 2dxdy x2 y I ( x y z )ds 2 ( x y )dxdy tọa độ cực tính kết s Dxy Ví dụ I (6 x y 3z)ds S phần mặt phẳng s Lời giải x y z 1, x 0, y 0, z (D xy ) (S ) : z x y Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Với Dxy phần tô màu đỏ với làm tương tự ví dụ Áp dụng ví dụ1 Tính I ds với S mặt z x y nằm mặt z=0 z=1 s 2) Tích phân mặt loại Định nghĩa tính chất +) P( x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định mặt định hướng S +) Gỉa sử F (x, y, z) suy n (F' x , F' y , F' z ) +) Vectơ pháp tuyến đơn vị n (cos , cos , cos ) ( P cos Q cos R cos )ds gọi tích phân mặt loại mặt định hướng S , S ký hiệu ( Pdydz Qdxdz Rdxdy) S +) Nếu đổi hướng vecto pháp tuyến tích phân đổi dấu +) Dấu vecto pháp tuyến đơn vị phụ thuộc đề *)Cách tính Ví dụ I (2 x y)dydz (2 y z )dxdz (2 z x)dxdy tróng x+y+z=3 nằm hình trụ S x y x phía theo trục 0x 2 Lời giải (S ) : F ( x, y, z) x y z suy VTPT n (1,1,1) suy VTPT đơn vị n o ( 1 , , ) phía trục 0z suy cos 3 I ((2 x y ) S 1 1 1 (2 y z ) (2 z x) )ds = áp dụng tích phân mặt loại để tính 3 *) Cách tính Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Ta tính trực tiếp I ( Pdydz Qdxdz Rdxdy ) I1 I2 I3 S z z ( x, y ) Tính I R( x, y, z ) dxdy Biểu diễn suy I R( x, y, z ) dxdy S D ( x, y ) Dxy xy Lấy dấu (+) VTPT hợp với 0z góc nhọn (-) hợp với 0z góc tù Ví dụ I z ( x y )dxdy với S nửa mặt cầu z x y hướng S S phía ngồi mặt cầu 2 z 1 x y Lời giải ( S ) : 2 ( Dxy ) x y Vì n hợp với chiều dương 0z góc tù nên I z ( x y )dxdy x y ( x y )dxdy áp dụng tọa độ cực để tính S Dxy 2.1) Cơng thức (O-G) ( Đưa tích phân mặt loại tích phân bội chương để tính) +)Định lý Cho E miền kín bị chặn R3 có biến mặt kín trơn mảng hướng ngồi S hàm P( x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục đạo hàm riêng cấp E ta có I ( Pdydz Qdxdz Rdxdy ) ( Px ' Qy ' Rz ' )dxdydz S E 3 Ví dụ I x dydz y dxdz z dxdy với S mặt cầu x2 y z hướng S Lời giải : Áp dụng cơng thức (O-G) ta có 2 0 I x dydz y dxdz z dxdy 3 ( x y z )dxdydz d d r dr 3 S Ví dụ tự giải E z dydz xdzdx zdxdy 2 với S biên vật thể giới hạn x=0,x=1,z=0 S z=4-y2 Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG 2.2) Định lý stokes Định lý Cho1 mặt S mặt định hướng trơn mảnh , biên n đường cong kín L trơn khúc , hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) R (x,y,z) liên tục đạo hàm riêng cấp S ta có Pdx Qdy Rdz ( R C ' y Q ' z )dydz ( P ' z R ' x )dzdx (Q ' x Py ' )dxdy S Định lý stokes áp dụng đưa tích phân đường loại tích phân mặt loại Chiều C tuân theo quy tắc vặn nút chai x2 y z a2 ngược chiều z Ví dụ Tính I ( y x)dx (2 z y )dy (3x z )dz với C C kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục 0z Lời giải +)C1 đưa pt tham số ( áp dụng ct tích phân đường loại ) x2 y a2 x a cos t nên z=0 suy dz=0 y a sin t z0 Ta viết lại C sau ( t 2 ) thay vào I ta tính tích phân x2 y a2 +)C2 Gọi S hình trịn S có biên (C) z0 P yx Đặt Q z y áp dụng định lý stokes ta có R 3x z I ( y x)dx (2 z y)dy (3x z )dz dxdy 2dydz 3dxdz I C I I3 S Mà z=0 suy dz=0 nên I2 = I3 =0, I1 dxdy a Dxy ************************ Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I) Phương trình vi phân cấp 1) Dạng biến phân ly Phương trình có dạng f ( x)dx g ( y)dy Phương pháp giải: Lấy tích phân vế ta f ( x) dx g ( y)dy F ( x) G ( y ) C với F(x) G(y) nguyên hàm f(x) g(y) Ví dụ Giải pt vi phân sau (1+x)dy=(1-x)dx Lời giải Với x=-1 y=1 no pt Xét x 1, y Ta có (1 x)dy (1 y)dx dx dy dx dy ln x ln y C (1 x) (1 y) (1 x) (1 y) 2) Phương trình đẳng cấp ( pt bình đẳng với số mũ ) Phương trình có dạng dy y y f ( ) y ' f ( ) dx x x Phương pháp giải +)Đặt y u( x) u(x) hàm số x Ta có y ' xu ' u f (u ) x du dx du f (u ) u dx x f (u ) u Làm dạng tích phân vế ta nghiệm pt Ví dụ (x-y)ydx=x2dy Ta có dy ( x y ) y y y dx x2 x x Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH Đặt VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG y du dx du u y u.x y ' u ' x u u u u ' x u x u x dx x u Tích phân vế suy nghiệm pt 3) Phương trình tuyến tính 3.1) Phương trình tuyến tính p ( x ) dx ' Phương trình có dạng y p ( x ) y ta có cơng thức nghiệm y Ce 3.2) Phương trình tuyến tính khơng Phương trình có dạng y p( x) y q( x) ta có cơng thức nghiệm ' p ( x ) dx p ( x ) dx ye q( x)dx.e dx C Ví dụ y ' xy x Lời giải Ta có y' xy x áp dụng cơng thức nghiệm ta có xdx xdx y e ( xe dx C ) Ce x Vậy nghiệm pt ………… 4) Phương trình vi phân tồn phần Phương trình có dạng P(x, y) dx Q(x, y) dy Py ' Q ' x ta có x y x0 y0 u ( x, y ) P( x, y0 )dx Q( x, y )dy K K số M(x0,y0) Ví dụ giải pt vi phân sau (x+y+1)dx+(x-y2+3)dy=0 Lời giải x y x0 y0 Vì Py ' Q ' x nên ta có u ( x, y) P( x, y0 )dx Q( x, y)dy K chọn điểm M(0,0) Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH x y x0 y0 VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG u ( x, y ) ( x 1)dx ( x y 3)dy K x2 y3 x xy y C II) Phương trình vi phân cấp hệ số '' ' Phương trình có dạng y py qy f ( x) Phương pháp giải +)B1 xét phương trình đặc trưng k pk q (*) kx k x -)TH1 Nếu (*) có nghiệm phân biệt k1,k2 suy yo C1e C2e với C1,C2 thuộc R kx kx -)TH2 Nếu (*) có nghiệm kép yo C1e x.C2e x +)B2 Tìm y r , xét f ( x) Pn ( x)e ta có yr x s e x Qn ( x ) -)TH1 s không nghiệm pt (*) -)TH2 s nghiệm đơn pt (*) -)TH3 s nghiệm kép pt (*) Qn ( x) dạng tổng quát Pn ( x) ví dụ Pn ( x) đa thức bậc suy Qn ( x) =A Pn ( x) đa thức bậc suy Qn ( x ) =Ax+B …… s x +)B3 từ yr x e Qn ( x ) ta lấy đạo hàm y r theo x cấp 1, cấp thay y '' y '' r ' y yr ' để tìm Q ( x) tương ứng n yy r +B4) Nghiệm pt vi phân y= yo yr Ví dụ; giải pt vi phân sau y'' y' y e x (1) Lời giải Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Xét pt đặc trưng k 5k (*) k1 k2 Nghiệm tổng quát pt yo C1e2 x C2e3 x x 1 x Xét f ( x) Pn ( x)e 1.e ta thấy =-1 nghiệm pt (*) suy s=0 Mặt khác Pn ( x) đa thức bậc suy Qn ( x ) =A suy yr x e x A Ae x ta y '' y ''r Ae x ' y yr ' Ae x thay vào pt (1) ta có có y y Ae x r x x Ae 5( Ae ) Ae x e x A 12 yr x e 12 Nghiệm tq pt (1) ytq yo yr Bài tập giải pt vi phân sau a (1 y)dx xydy e) y'' y' y (2x 1)ex b) (x y)dx xdy f) y'' y' y (4 x 4)e x c) (x y2 )dx xydy g) y ' x(9 y ) d) y' x(4 y ) h) y ' y x i) y'' y' y 6x 12109 k) (2 x 3y)dx 3xdy x **************************** MỘT SỐ ĐỀ GIẢI TÍCH CUỐI KÌ K62 VÀ K63 Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y) 8x3 6xy 30x 12 y 2019 Câu Tính tích phân ( x y)dxdy D x, y x y 1, x 0, y D Câu Cho L cung đường tròn x2 y định hướng ngược chiều kim đồng hồ Tính tích phân L ydx xdy x2 y Câu Tính tích phân mặt loại x dydz ydzdx zdxdy mặt (S) có biểu diễn tham S số g (u, v) (u, v,1 u v), (u,v) D= (u, v) u 1, v Câu Giai pt vi phân sau a) (2x y)dx 3xdy b) y'' y' y ex Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y) x y xy x y Câu Tính tích phân (6 x y)dxdy D 0(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) tọa độ đỉnh D tam giác Câu Tính (6 x y) dx (2 x y) dy với C đoạn thẳng nối A(2,-1) đến B(1,-3) C Câu Tính x3dydz y 3dzdx z 3dxdy với S mặt cầu x y z 81 hướng S Câu Giải pt vi phân sau a) ( y x4 )dx xdy b) y'' y' y e3x Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y) x 3x2 2x2 y y 2 y Câu Tính tích phân x y dxdy D ( x, y R ) x y D Câu Tính (x e y )dx ( L x2 y )dy với L đường gấp khúc 0AB0 nối điểm 0(0,0), A(1,0),B(0,1) Câu Tính zdydz 3xdzdx 20 ydxdy với (S) phần mặt phẳng 4x y z nằm S mặt trụ x2 y phía theo hướng trục 0z Câu Giải pt vi phân sau a) y ' 4y x5 x b) y'' y' y 10ex Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y) y3 xy x x t2 Câu Tính tích phân ( x y)dx (2 x y)dy với L có biểu diễn tham số yt L với t 1 Câu Giai pt vi phân sau b) y'' y' y 25e3x a) e2 x dx cos ydy Câu Tính tích phân x ( y 2) (x 1) dxdy D (x,y) R với D x ( y 1) Câu Tính tích phân e sinydydz zxdzdx (2 z xy)dxdy z (S) mặt cong kín tạo S z x y mặt z định hướng Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ ... Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG CHƯƠNG II : Tích. .. Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Lời giải Ta... Lời giải Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP
Ngày đăng: 30/11/2020, 06:11
Xem thêm: giải tích 2 tài liệu học tập có hướng dẫn giải
