giải tích 2 tài liệu học tập có hướng dẫn giải

GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Tài liệu ôn thi giải tích CHƯƠNG I: CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ 1.1) Chứng minh chuỗi số hội tụ phân kỳ *) Chuỗi số dương 1.1.1) Tiêu chuẩn dalambert  Cho chuỗi số dương U n 1 n U n 1 D n  U n lim Xét +) Nếu D > chuỗi số phân kỳ +)Nếu D < chuỗi số hội tụ 1.1.2) Tiêu chuẩn cô-si  Cho chuỗi số dương U n 1 Xét n c +)Nếu C > chuỗi số phân kỳ +)Nếu C < chuỗi số hội tụ 1.1.3) Tiêu chuẩn so sánh *)Tiêu chuẩn so sánh số   Cho dãy số dương U n 1 n V n 1 n , Nếu U n  Vn ,  N  No Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG  +)Nếu U n 1  n  +) Nếu V n 1 V phân kỳ n n 1 phân kỳ  n hội tụ U n 1 n hội tụ **) Tiêu chuẩn so sánh số  Cho dãy số dương U n n 1  V n , n 1  Với < K < +  chuỗi số U n 1 Đặt Un K n  V n lim  n V n 1 n hội tụ phân kỳ +) Chú ý số điều đáng nhớ sau  +) Nếu x  Tan(x)  Sin(x)  x , Ln(1+x)  x , e x 1 x2  x , 1- cos(x)  +) Nếu x   Sin(x)  x , Ln(x)  x với   0, +) Điều kiện cần để chuỗi hội tụ e x1  x lim U n  n  Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG *) Chuỗi đan dấu   (1) Khi xét hội tụ chuỗi đan dấu   (1) n 1 n 1 n 1 U n ta dùng tiêu chuẩn lepnit, chuỗi U n hội tụ U n dãy đơn điệu giảm lim U n  n  n 1  Ví dụ: Kiểm tra hội tụ phân kỳ chuỗi số sau  (1) n 1 n n  n2 Lời giải n n Ta thấy dãy đơn điệu giảm, mà lim n   n 1 n  suy chuỗi  (1) n 1 n  suy theo tiêu chuẩn lepnit n  n hội tụ *) Bài Tập Bài 1: Kiểm tra hội tụ phân kỳ chuỗi số sau  ( n !) a)  n 1  n  !  c)  n 1 n 1 (2 n  1)2  3n.n ! e)  n n 1 n  n 1  b)    n 1  n    n2  3n  n   d)    n 1  4n  n    5n 2n  5n f)  (*) ngắt bỏ vcl trc n 1 n ! ln(n)  Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG ( 1) n g)  n n 1  n  1  h)  (1) (e  1   ) (*) ý ghạn đặc biệt n  n 1 n 2.1) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa 2.1.1) Tìm miền hội tụ +)Bước +) Gỉa sử  = lim n  U n 1 ( Un Un  = lim n  ) bán kính hội tụ chuỗi tính sau 1   , 00 Suy hàm số đạt cực tiểu A (-7,5) f ct =27 Vậy ………… II)Cực trị có điều kiện (99% khơng thi cuối kì ) Gỉa sử F(x,y) với điều kiện G(x,y) =a +)B1 Xét phương trình larange Q(x,y,  ) = F(x,y) +  ( G(x,y) –a )  Q / (x)   / +)B2 Xét hpt  Q (y)  suy nghiệm hpt xong làm tương tự cực trị Q / ( )   không điều kiện bước sau Ví dụ f ( x, y)  x  y  với điều kiện x2  y  Lời giải Xét pt larange g( x, y)  x  y   .( x2 +y2 -5)  g / ( x)   /  g (y)  Xét hpt  g / ( )      2 x     2 y   x2  y     f // x Xét với   , ta có A(-1,-2) xét ma trận  / /  f yx   x  y      f / / xy     =  f // y    Có Det = >0 f//x =1>0 suy A(-1,-2) tồn cực tiểu Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Làm tương tự với trường hợp    kết luận Bài tập Tìm cực trị hàm số sau a) f ( x, y)  x  y  xy  x  y 2 e) f ( x, y)  x  xy  y  y b) f ( x, y)   x  y  xy  x  y 2 f) f ( x, y)   12 x  y với x  (y  1)  c) f ( x, y)  x  3x  x y  y  y y2 g) f ( x, y)  x  y  z với x   z  2 2 2 d) f ( x, y)  3 y  x y  x  2x y  2x 2 ************************ Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Lời giải Ta vẽ hình hệ trục tọa độ Gọi C đường cong gồm nửa đường tròn đường thẳng AO J  I   (x arctan x  y )dx  ( x  xy  y 2e  y )dy AO  x0 suy dx=0 0  y  Ta có pt đường thẳng AO  1  y3 1 (x arctan x  y ) dx  (x  xy  y e ) dy  y e dy  e d (  y )  (  1) Suy  2 2 3 e AO  y3 2  y3 2 y Lại có I   (x arctan x  y )dx  (x  xy y e )dy áp dụng định lý green ta có L I   (x arctan x  y )dx  (x  xy y 2e  y )dy   dxdy  L Vậy J  D   1  (  1) e +)Hệ Nếu du( x, y)  Pdx  Qdy miền D  Pdx  Qdy  u ( B)  u(A) AB +)Hệ Nếu Pdx+Qdy vi phân tồn phần hàm u(x,y) Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG x y x0 y0 u ( x, y )   P( x, y0 )dx   Q(x, y )dy  C với Q ' x  P ' y hệ áp dụng tính tích phân khơng phụ thuộc đường cho cung tạo với đoạn thẳng đường cong kín Q ' x  P ' y Bài tập ôn chương 4I x2 a)  x ds C cung parabol y  ,  x  C b)  yds C x  y từ (0,0) đến (1,1) C c)  (2  x y )ds với C nửa đường tròn x  y  C d)  (y  x )ds với C nửa đường tròn x2  y  2x, x  C e)  ydx với C cung parabol x  y3  y từ A(-2,1) đến B(2,1) C f)  ydx  x dy với C cung parabol y  x2 từ A(1,1) đến B(0,0) C g)  ( x  y )dx  2dy với C biên tam giác tạo từ điểm (0,0) , (1,1) (0,2) C f)  ( x  y )2 dx  ( x  y )2 dy C nửa đường tròn x2  y  2x chiều kim C đồng hồ h)  C xdx  ydy x2  y từ A(1,0) đến B(6,8) II) Tích phân mặt 1) Tích phân mặt loại Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG  z  z ( x, y ) Cách tính I   f ( x, y, z )ds với  với Dxy hình chiếu S lên mặt phẳng s ( x, y )  Dxy 0xy  ds   ( z x )  ( z y ) dxdy ' ' I   f ( x, y, z )ds   f ( x, y, z ( x, y)  ( z ' x )  ( z ' y ) s Dxy Ví dụ I   ( x  y  z )ds S hình nón z  x  y nằm mặt phẳng s z=0 z=3 Lời giải  ' z x   x  y  (D xy )  (S ) :   ta có 2 z'   z  x  y  y  x x2  y y suy ds   ( z ' x )2  ( z ' y )2  2dxdy x2  y I   ( x  y  z )ds  2  ( x  y )dxdy tọa độ cực tính kết s Dxy Ví dụ I   (6 x  y 3z)ds S phần mặt phẳng s Lời giải x y z    1, x  0, y  0, z  (D xy )   (S ) :   z  x  y  Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Với Dxy phần tô màu đỏ với làm tương tự ví dụ Áp dụng ví dụ1 Tính I   ds với S mặt z   x  y nằm mặt z=0 z=1 s 2) Tích phân mặt loại Định nghĩa tính chất +) P( x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định mặt định hướng S +) Gỉa sử F (x, y, z) suy n  (F' x , F' y , F' z ) +) Vectơ pháp tuyến đơn vị n  (cos  , cos  , cos  )   ( P cos   Q cos   R cos  )ds gọi tích phân mặt loại mặt định hướng S , S ký hiệu  ( Pdydz  Qdxdz  Rdxdy) S +) Nếu đổi hướng vecto pháp tuyến tích phân đổi dấu +) Dấu vecto pháp tuyến đơn vị phụ thuộc đề *)Cách tính Ví dụ I   (2 x  y)dydz  (2 y  z )dxdz  (2 z  x)dxdy tróng x+y+z=3 nằm hình trụ S x  y  x phía theo trục 0x 2 Lời giải (S ) : F ( x, y, z)  x  y z suy VTPT n  (1,1,1) suy VTPT đơn vị n o  ( 1 , , ) phía trục 0z suy cos   3 I   ((2 x  y ) S 1 1 1  (2 y  z )  (2 z  x) )ds = áp dụng tích phân mặt loại để tính 3 *) Cách tính Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Ta tính trực tiếp I   ( Pdydz  Qdxdz  Rdxdy )  I1  I2  I3 S  z  z ( x, y ) Tính I   R( x, y, z ) dxdy Biểu diễn  suy I    R( x, y, z ) dxdy S D ( x, y )  Dxy xy Lấy dấu (+) VTPT hợp với 0z góc nhọn (-) hợp với 0z góc tù Ví dụ I   z ( x  y )dxdy với S nửa mặt cầu z    x  y hướng S S phía ngồi mặt cầu 2  z   1 x  y Lời giải ( S ) :  2   ( Dxy ) x  y  Vì n hợp với chiều dương 0z góc tù nên I   z ( x  y )dxdy      x  y ( x  y )dxdy áp dụng tọa độ cực để tính S Dxy 2.1) Cơng thức (O-G) ( Đưa tích phân mặt loại tích phân bội chương để tính) +)Định lý Cho E miền kín bị chặn R3 có biến mặt kín trơn mảng hướng ngồi S hàm P( x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục đạo hàm riêng cấp E ta có I   ( Pdydz  Qdxdz  Rdxdy )   ( Px '  Qy '  Rz ' )dxdydz S E 3 Ví dụ I   x dydz  y dxdz  z dxdy với S mặt cầu x2  y  z  hướng S Lời giải : Áp dụng cơng thức (O-G) ta có 2  0 I   x dydz  y dxdz  z dxdy  3 ( x  y  z )dxdydz   d  d  r dr 3 S Ví dụ tự giải E  z dydz  xdzdx  zdxdy 2 với S biên vật thể giới hạn x=0,x=1,z=0 S z=4-y2 Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG 2.2) Định lý stokes Định lý Cho1 mặt S mặt định hướng trơn mảnh , biên n đường cong kín L trơn khúc , hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) R (x,y,z) liên tục đạo hàm riêng cấp S ta có  Pdx  Qdy  Rdz   ( R C ' y  Q ' z )dydz  ( P ' z  R ' x )dzdx  (Q ' x  Py ' )dxdy S Định lý stokes áp dụng đưa tích phân đường loại tích phân mặt loại Chiều C tuân theo quy tắc vặn nút chai  x2  y  z  a2 ngược chiều z   Ví dụ Tính I   ( y  x)dx  (2 z  y )dy  (3x  z )dz với C  C kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục 0z Lời giải +)C1 đưa pt tham số ( áp dụng ct tích phân đường loại )  x2  y  a2  x  a cos t nên  z=0 suy dz=0  y  a sin t  z0 Ta viết lại C sau  (  t  2 ) thay vào I ta tính tích phân  x2  y  a2 +)C2 Gọi S hình trịn  S có biên (C)  z0  P yx  Đặt Q  z  y áp dụng định lý stokes ta có  R  3x  z  I  ( y  x)dx  (2 z  y)dy  (3x  z )dz   dxdy  2dydz  3dxdz  I C  I  I3 S Mà z=0 suy dz=0 nên I2 = I3 =0, I1    dxdy   a Dxy ************************ Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I) Phương trình vi phân cấp 1) Dạng biến phân ly Phương trình có dạng f ( x)dx  g ( y)dy Phương pháp giải: Lấy tích phân vế ta  f ( x) dx   g ( y)dy  F ( x)  G ( y )  C với F(x) G(y) nguyên hàm f(x) g(y) Ví dụ Giải pt vi phân sau (1+x)dy=(1-x)dx Lời giải Với x=-1 y=1 no pt Xét x  1, y  Ta có (1  x)dy  (1  y)dx  dx dy dx dy     ln x   ln  y  C (1  x) (1  y) (1  x) (1  y) 2) Phương trình đẳng cấp ( pt bình đẳng với số mũ ) Phương trình có dạng dy y y  f ( ) y '  f ( ) dx x x Phương pháp giải +)Đặt y  u( x) u(x) hàm số x Ta có y '  xu '  u  f (u )  x du dx du  f (u )  u   dx x f (u )  u Làm dạng tích phân vế ta nghiệm pt Ví dụ (x-y)ydx=x2dy Ta có dy ( x  y ) y y y    dx x2 x x Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH Đặt VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG y du dx du  u  y  u.x  y '  u ' x  u  u  u  u ' x  u  x  u      x dx x u Tích phân vế suy nghiệm pt 3) Phương trình tuyến tính 3.1) Phương trình tuyến tính  p ( x ) dx ' Phương trình có dạng y  p ( x ) y  ta có cơng thức nghiệm y  Ce  3.2) Phương trình tuyến tính khơng Phương trình có dạng y  p( x) y  q( x) ta có cơng thức nghiệm '  p ( x ) dx   p ( x ) dx ye    q( x)dx.e  dx  C    Ví dụ y '  xy  x Lời giải Ta có y'  xy  x áp dụng cơng thức nghiệm ta có  xdx xdx y  e  (  xe  dx  C )  Ce  x  Vậy nghiệm pt ………… 4) Phương trình vi phân tồn phần Phương trình có dạng P(x, y) dx Q(x, y) dy  Py '  Q ' x ta có x y x0 y0 u ( x, y )   P( x, y0 )dx   Q( x, y )dy  K K số M(x0,y0) Ví dụ giải pt vi phân sau (x+y+1)dx+(x-y2+3)dy=0 Lời giải x y x0 y0 Vì Py '  Q ' x  nên ta có u ( x, y)   P( x, y0 )dx   Q( x, y)dy  K chọn điểm M(0,0) Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH x y x0 y0 VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG u ( x, y )   ( x  1)dx   ( x  y  3)dy  K  x2 y3  x  xy   y  C II) Phương trình vi phân cấp hệ số '' ' Phương trình có dạng y  py  qy  f ( x) Phương pháp giải +)B1 xét phương trình đặc trưng k  pk  q  (*) kx k x -)TH1 Nếu (*) có nghiệm phân biệt k1,k2 suy yo  C1e  C2e với C1,C2 thuộc R kx kx -)TH2 Nếu (*) có nghiệm kép  yo  C1e  x.C2e x +)B2 Tìm y r , xét f ( x)  Pn ( x)e ta có yr  x s e x Qn ( x ) -)TH1 s   không nghiệm pt (*) -)TH2 s   nghiệm đơn pt (*) -)TH3 s   nghiệm kép pt (*) Qn ( x) dạng tổng quát Pn ( x) ví dụ Pn ( x) đa thức bậc suy Qn ( x) =A Pn ( x) đa thức bậc suy Qn ( x ) =Ax+B …… s x +)B3 từ yr  x e Qn ( x ) ta lấy đạo hàm y r theo x cấp 1, cấp thay  y ''  y '' r  ' y  yr ' để tìm Q ( x) tương ứng  n  yy r  +B4) Nghiệm pt vi phân y= yo  yr Ví dụ; giải pt vi phân sau y''  y'  y  e x (1) Lời giải Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Xét pt đặc trưng k  5k   (*)  k1   k2  Nghiệm tổng quát pt yo  C1e2 x  C2e3 x x 1 x Xét f ( x)  Pn ( x)e  1.e ta thấy  =-1 nghiệm pt (*) suy s=0 Mặt khác Pn ( x) đa thức bậc suy Qn ( x ) =A suy yr  x e  x A  Ae  x ta  y ''  y ''r  Ae x  ' y  yr '   Ae  x thay vào pt (1) ta có có   y  y  Ae  x r  x x Ae  5( Ae )  Ae x e x  A 12 yr  x e 12 Nghiệm tq pt (1) ytq  yo  yr Bài tập giải pt vi phân sau a (1  y)dx  xydy  e) y''  y'  y  (2x  1)ex b) (x  y)dx  xdy  f) y''  y'  y  (4 x  4)e x c) (x  y2 )dx  xydy  g) y '  x(9  y ) d) y'  x(4  y ) h) y '  y  x i) y''  y'  y  6x 12109 k) (2 x 3y)dx  3xdy  x **************************** MỘT SỐ ĐỀ GIẢI TÍCH CUỐI KÌ K62 VÀ K63 Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y)  8x3  6xy  30x 12 y  2019 Câu Tính tích phân  ( x  y)dxdy D   x, y  x  y  1, x  0, y   D Câu Cho L cung đường tròn x2  y  định hướng ngược chiều kim đồng hồ Tính tích phân  L  ydx  xdy x2  y Câu Tính tích phân mặt loại  x dydz  ydzdx  zdxdy mặt (S) có biểu diễn tham S số g (u, v)  (u, v,1  u  v), (u,v)  D= (u, v)  u  1,  v   Câu Giai pt vi phân sau a) (2x  y)dx  3xdy  b) y''  y'  y  ex Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y)  x  y  xy  x  y Câu Tính tích phân  (6 x  y)dxdy D  0(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)  tọa độ đỉnh D tam giác Câu Tính  (6 x  y) dx  (2 x  y) dy với C đoạn thẳng nối A(2,-1) đến B(1,-3) C Câu Tính  x3dydz  y 3dzdx  z 3dxdy với S mặt cầu x  y  z  81 hướng S Câu Giải pt vi phân sau a) ( y  x4 )dx  xdy  b) y''  y'  y  e3x Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y)  x  3x2  2x2 y  y 2 y Câu Tính tích phân   x  y dxdy D  ( x, y  R ) x  y   D Câu Tính  (x  e y )dx  ( L x2  y )dy với L đường gấp khúc 0AB0 nối điểm 0(0,0), A(1,0),B(0,1) Câu Tính   zdydz  3xdzdx  20 ydxdy với (S) phần mặt phẳng 4x  y  z  nằm S mặt trụ x2  y  phía theo hướng trục 0z Câu Giải pt vi phân sau a) y '  4y  x5 x b) y''  y'  y  10ex Đề Câu Tìm cực trị hàm số f ( x, y)  y3  xy  x x  t2 Câu Tính tích phân  ( x  y)dx  (2 x  y)dy với L có biểu diễn tham số   yt L với  t 1 Câu Giai pt vi phân sau b) y''  y'  y  25e3x a) e2 x dx  cos ydy  Câu Tính tích phân  x  ( y  2)  (x  1) dxdy D  (x,y)  R với  D  x  ( y  1)  Câu Tính tích phân  e sinydydz  zxdzdx  (2 z  xy)dxdy z (S) mặt cong kín tạo S z  x  y mặt z  định hướng Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ ... Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG CHƯƠNG II : Tích. .. Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Lời giải Ta... Lời giải Hãy tham gia group: Hỗ Trợ Học Tập Đại Học Xây Dựng để giải đáp thắc mắc môn học, đồ án link group: https://www.facebook.com/groups/NUCELEARN/ GIẢI TÍCH VŨ TIẾN ANH – HỖ TRỢ HỌC TẬP