Chuyên đề góc

Chun đề góc Gv : Dư Quốc Đạt GĨC 1) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b'   a, b    a ', b ' Chú ý: 00   a, b   900 a M I Lưu ý : Từ điểm I ta vẽ IM // a IN // b ta tính góc MIN N I M * Nếu < góc MIN  90o góc (a, b) = góc MIN * Nếu góc MIN  90o góc (a, b) = 180o – góc MIN N b Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD Cho AB = 2a, CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Giải : Gọi I trung điểm AC A IM / /AB Ta có :   góc (AB, CD) = góc (IM, IN) IN / /CD N I Xét tam giác MIN : cosI  IM  IN  MN a  2a  5a   2IM.IN 2a 2 Do góc MIN  135   AB, CD   45 o D B M o C Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm BB1 , B1C1 Tính góc hai đường thẳng A1B MN Giải : * Ta có : BC1 // MN nên góc (A1B, MN) = góc (A1B, BC1) * Các mặt bên ABB1A1, BCC1B1 hình vng cạnh a A1 suy A1B  C1B  a B1 N C1 * Xét tam giác A1BC1 : cos B  A1B2  C1B2  A1C12 2a  2a  a   2A1B.C1B 4a Do góc B  41, 41   A1B, MN   41, 41 o M A C o B 2) Góc đường thẳng với mặt phẳng:  Nếu d  (P)  d, (P)  = 900  Nếu d  (P)  d, (P)  =  d,d ' với d hình chiếu d (P) Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt  Nếu d / / góc d (P) góc  (P)  Nếu (P) // (Q) góc d (P) góc d (Q) Chú ý: 00   d, (P)   900 2a) Tính góc cách dựng góc Giả sử ta cần tính góc đường thẳng d mp(P) ta thực sau : * Tìm M  d   P  * Lấy điểm A  d A d A  M M Tìm điểm B hình chiếu A lên (P) B (P) * Khi góc d mp(P) góc AMB Ví dụ : Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc AB mp(BCD) Giải : * Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD A Vì ABCD tứ diện nên AO   BCD  Suy góc AB mp(BCD) góc ABO * Vì tam giác ABC nên O trọng tâm Gọi M trung điểm CD BO  * Xét tam giác ABO : cos B  B D 2a a BM   3 O M C BO   B  54, 74o AB Vậy góc AB mp(BCD)  54, 74o Ví dụ : Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 Gọi M trung điểm A1B1 Tính góc CM mp(CDD1C1) Giải : Gọi N trung điểm C1D1 MN // A1D1 Mà A1D1   CDD1C1  nên MN   CDD1C1  Do góc CM mp(CDD1C1) góc MCN CN  a  A1 D1 M N B1 C1 a a  A MN   C  41,81o * Xét tam giác CMN : tan C  CN B D C Vậy góc CM mp(CDD1C1)  41,81 o Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD Tính tang góc đường thẳng BM mặt phẳng  ABCD  Giải : * Gọi O tâm hình vng ABCD Vì SABCD hình chóp nên SO   ABCD  SO  a  2a a  * Trong (SBD), gọi M trung điểm SD Từ M vẽ đường thẳng song song SO, cắt BD M’ Khi đó, M’ hình chiếu M lên (ABCD) Suy ra:  BM ,  ABCD    MBM  3a a , BM'  BD  MM '  SO  4 * tan  BM ,  ABCD    MM   BM  Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng đáy AD, BC với AB  a , AD  2BC  2a , SA   ABCD  , SA  a Tính sin  SD,  SAC   Giải : * Ta có tam giác ACD cạnh 2a * Vì  SAC    ACBD  nên từ D ta vẽ DI vng góc AC I, ta : DI   SAC    SD,  SAC    DSI * Ta tính : SD  a 7, DI  a sin  SD,  SAC    DI 21  SA 2b) Tính góc dựa vào khoảng cách : Giả sử ta cần tính góc đường thẳng d mặt phẳng   * Gọi N  d    , M  d , M’là hình chiếu M lên mặt phẳng   * Vì MM’ = d  M,     nên ta có: sin  d ,     d  M ,    MN d M N M’ Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, AC  a 3, AA  2a Gọi M trung điểm AA’ Tính cos  CM ,  BCC B   Giải : * Ta có sin  CM ,  BCC B    d  M ,  BCC B   CM CM  a  3a  2a * Ta tính d  M ,  BCC B   Vì AM / /  BCC B   d  M ,  BCC B    d  A,  BCC B   Vẽ AH  BC ,  ABC    BCC B   AH   BCC B   d  A,  BCC B    AH Xét tam giác ABC : 1 1 a       AH  2 AH AB AC a 3a 3a Vậy sin  CM ,  BCC B    AH 13  cos  CM ,  BCC B     CM 4 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , ABCD hình chữ nhật SA  AB  a , AD  a Tính sin  SB,  SCD   Giải : Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Ta có sin  SB,  SCD    d  B,  SCD   SB SB  3a  3a  a * Ta d  B,  SCD   Vì AB // (SCD) nên d  B,  SCD    d  A, SCD   Vẽ AH  SD H, ta chứng minh AH  SCD   d  A,  SCD    AH  * Vậy sin  SB,  SCD    a AH  SB 2 Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông A Gọi M, N trung điểm BB’ BC Biết AB  BB  a 3, BC  2a Tính cos  MN ,  ABC    Giải : * Vì MN // B’C nên  MN ,  ABC      BC ,  ABC    * Gọi BC   C AB   I sin  BC ,  ABC     * Ta có CI  d  C ,  C AB   CI a BC  2 * Xét hình chóp C’.CAB, vẽ CH  AC H, ta chứng minh : CH   C AB  Do d  C ,  C AB    CH 1 1 a       CH  2 CH CA CC  a 3a 3a a 21 * Vậy sin  BC ,  ABC      suy cos  MN ,  ABC     7 a Ví dụ 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  4, AD  8, AA  Gọi O, M tâm hình chữ nhật ABCD BCC’B’ Gọi N trung điểm AO Tính tang góc MN mặt phẳng (CDD’C’) Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Giải : * Gọi E, F, F’, E’ trung điểm BC, AD, A’D’, B’C’ Khi (EFF’E’) // (CDD’C’) Suy  MN ,  CDDC      MN ,  EFF E    * Xét hình chóp A.FEE’F’ có đường cao AF  , đáy hình chữ nhật có FE  4, FF   * Vẽ NN’// AF NN’  (EFF’E’) nên góc cần tìm NMN  * Ta tính : tan NMN   NN  2   MN  3 3) Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nhận xét: Góc mặt phẳng có số đo từ 00 đến 900 Góc 00 mặt phẳng song song trùng Định lí: Biết mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d; mặt phẳng (R)  d (R) cắt (P), (Q) theo giao tuyến a, b Khi đó, góc (P) (Q) góc a b (Q) (R) b (P) a d Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Phần : Tính góc hai mặt phẳng cách dựng góc Để xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d ta thực sau :   A   P   Tìm đoạn AB có tính chất : B   Q  AB  d  B (Q) Vẽ AH  d H (P) Khi AB  d nên d   ABH   d  BH  A d H Vậy góc (P) (Q) góc AHB Ví dụ 11 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA   ABC  AB  SA  a, AC  a Tính góc  SBC   ABC  S   SBC   Giải : * Xét đoạn SA có :  A   ABC  SA  BC  * Vẽ AH  BC SA  BC  BC  SH    ABC  ,  SBC    SHA * Xét ABC vuông A có: 1 a    AH  2 AH AB AC Xét SAH vng A có: tan SHA  SA a    AHS  600 Vậy AH a 3   ABC  ,  SBC    60 Ví dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA  SB  SC  SD  2a AB  a, AD  a Tính tang góc  SBC   ABCD  Giải : * Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Vì SA = SB = SC = SD nên SO   ABCD  Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Vẽ OH  BC BC  SO  BC  SH Suy ra:   SBC  ,  ABCD    SHO * Ta có AC  2a, SO  a Trong SHO : tan SHO  SO a  2 a OH Ví dụ 13 : Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông A B, SA  AD  6, AB  4, BC  hai mặt phẳng  SAB  ,  SAC  vuông góc mặt đáy Tính sin góc  SCD   ABCD  Giải : * Hai mặt phẳng  SAB  ,  SAC  vng góc mặt đáy nên SA   ABCD  * Vẽ AH  CD H, CD  SA  CD  SH Suy :   SCD  ,  ABCD    SHA * Ta tính cạnh mặt đáy hình vẽ * Trong ACD , ta có: AH CD  CI AD  AH  * Trong SAH : SH  SA2  AH  24 41 SA 41  , sin SHA  SH 41 Ví dụ 14 : Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc mặt đáy Tính cotang góc  SAC   ABC  Giải : Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Ta có  SAB    ABC   SI   ABC  với I trung điểm cạnh AB tam giác SAB cạnh a Suy ra: SI  a * Trong ABC đều, vẽ IH  AC AC  SI  AC  SH Suy * Ta có : IH    SAC  ,  ABC    SHI IH 1 a  cot SHI   BM  SI 2 Ví dụ 15 : Cho lăng trụ ABC ABC , cạnh bên a , đáy ABC tam giác vuông A , AB  2a , AC  2a , hình chiếu A mp  ABC  trung điểm BC Tính góc  ACC A   ABC  Giải : * Với giả thiết tốn, ta xét hình chóp A’.ABC có chân đường cao hình chóp trung điểm O BC Trong hình chóp này, góc cần tính góc  AAC  (ABC) * Vẽ OH  AC AC  A’O  AC  A’H Suy ra: * Ta có: OH // AB OH    ABC  ,  AAC    AHO 1 AB AB  AC  a  a ; AO  BC  2 * Trong AAO vng O có: AO  AA2  AO  a * Trong AOH vng O có: tan AHO  AO     ABC  ,  ACC A    AHO  600 OH Ví dụ 16 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B BA  BB  a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc (ABC) (AB’I) Giải : Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Trong (BCC’B’), gọi J  BI  BC Suy C trung điểm BJ BJ  2a Khi đó,   BAI  ,  ABC      BAJ  ,  ABC   có giao tuyến mặt AJ * Xét hình chóp B’.ABJ có chân đường cao B * Vẽ BH  AJ H AJ  BB’  AJ  B’H Suy : Ta có :   BAJ  ,  ABC    BHB 1 2a 5    BH  tan BHB  2 BH BA BJ Vậy cos   BAI  ,  ABC    Ví dụ 17 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính tang góc (ABB’A’) (AB’C) Giải : * Vì hình lập phương nên BC   ABBA  Từ đây, ta xét hình chóp C.BAA’B’ có chân đường cao B, đáy hình vng ABB’A’ cạnh a hình vẽ * Trong hình chóp này, góc cần tính góc hai mặt phẳng (CAB’) mặt đáy (ABB’A’) * Gọi O tâm hình vng ABB’A’ 10 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Ta có : AB’  BO, AB’  CO  AB’  CO Suy : * Vậy tan   CAB  ,  ABBA    tan COB    CAB ,  ABBA   COB CB  BO Ví dụ 18 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA   ABC  AB  2a , AC  a 3, SA  a Tính tang góc  SBC   SAC  Giải : * Ta xem hình chóp đỉnh B đáy mp(SAC) Vì BA  AC, BA  SA  BA  SAC  (BA đường cao hình chóp) * Vẽ AH  SC H SC  AB  SC  BH Suy : * Ta có : tan BHA    ASC  ,  BSC    BHA AB 4  Vậy tan   SAC  ,  SBC    AH 3 Ví dụ 19 : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB  BC  SA  a Tính góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  Giải : 11 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Xem hình chóp đỉnh B đáy mp(SAC) * Vì  ABC    SAC  ,  ABC    SAC   AC nên (ABC), từ B vẽ đường thẳng vng góc với giao tuyến AC I Khi đó, ta có BI   SAC  I trung điểm AC (tam giác ABC cân B).* Vẽ IH  SC H SC  BI  SC  BH Suy :   ASC  ,  BSC    BHI * Gọi AM đường cao tam giác vng SAC.Tính : AM  a a a BI * IH  AH  Do : tan BHI    Vậy  SAC  ,  SBC   600 IH a 6 Ví dụ 20 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, AB  a 2, AA  a 10 , điểm A’ cách điểm A, B, C D Tính tang góc hai mặt phẳng  ACC A   MBC  với M trung điểm DD’ Giải : * Mp(MBC) cắt AA’ N với MN // BC Xét hình chóp đỉnh B, đáy mp (ACC’A’) * Vì  ABCD    ACC A  ,  ABCD    ACC A   AC nên vẽ BO  AC O Khi đó, ta có BO   SAC  với O tâm hình vng ABCD * Trong hình chóp B.ACC’A’ có chân đường cao O, góc (ACC’A’) (MBC) góc mặt phẳng đáy (ACC’A’) mặt phẳng (BNC) chứa đỉnh B * Vẽ OH  CN H CN  BO  CN  BH Suy :   BNC  ,  ACC A   BHO * Ta tính được: AC  2a, OA  OB  OC  a, AO  AA2  AO2  3a 12 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Gọi G  CN  AO Suy G trọng tâm tam giác A’AC Do đó, OG  OA  a * Trong tam giác OCG vuông O có: Vậy tan   SAC  ,  SBC    tan BHO  1 a    OH  2 OH OC OG BO  OH Phần : Dựng mặt phẳng trung gian song song với mặt phẳng cần tính góc Ta có tính chất : Nếu (P) // (Q) góc (P) với (R) góc (Q) với (R) Ví dụ 21 : Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB  AA  a Gọi M, N trung điểm cạnh AC, BC Tính sin   AMN  ,  ABC    Giải : * Ta có (ABC) // (A’B’C’) nên   AMN  ,  ABC     AMN  ,  ABC   * Xét hình chóp A’.ABC có chân đường cao A Ta có : AM  MN AA’  MN nên MN  MA’ Suy   AMN  ,  ABC    AMA * tan AMA   sin AMA  Ví dụ 22 : Cho lăng trụ ABC ABC , cạnh bên a , đáy ABC tam giác vuông A , AB  2a , AC  2a , hình chiếu A mp  ABC  trung điểm BC Tính tang góc  BCC B   ABC  Giải : 13 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Ta có (ABC) // (A’B’C’) nên   BCCB ,  ABC      BCCB ,  ABC  * Với giả thiết toán, ta xét hình chóp O’.A’B’C’ có chân đường cao điểm A’ Trong hình chóp này, góc cần tính góc (OB’C’) (A’B’C’) * Vẽ A’H  B’C’ H B’C’  A’O nên B’C’  OH Suy ra: * Ta có: AO    ABC  ,  OBC    AHO 1 BC  AB  AC  a ; 2 1 1 2a      AH  2 AH AB AC  4a 8a * Trong AOH : tan AHO  AO  AA2  AO  a AO a 3    tan   ABC  ,  BCC B    AH 2a 4 Ví dụ 23 : Cho lăng trụ ABCD ABCD có đáy ABCD hình thoi, góc A  1200 , hình chiếu A  ABCD  tâm hình thoi ABCD Tính tang góc  CDDC    ABCD  , biết AA  AB Giải : * Ta có (CDD’C’) // (ABB’A’) nên   CDDC ,  ABCD     ABBA ,  ABCD   * Xét hình chóp A’.ABCD có đỉnh A’, chân đường cao O đáy hình thoi ABCD * Vẽ OH  AB H AB  A’O nên AB  A’H Suy :   ABBA ,  ABCD      AAB  ,  ABCD    AHO * Ta xem AB   AA  3 15 , OH  , AO  AA2  AO  Ta tính : AO  , CM  2 AO   tan   CDDC ,  ABCD    * Vậy : tan AHO  OH 14 Chun đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ 24 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  Giải : * Gọi P, Q trung điểm cạnh SA, SB Khi đó, (MNPQ) // (ABCD) Suy ra,   GMN  ,  ABCD     GMN  ,  MNPQ   * Gọi H, I trung điểm AB, PQ Vì SH   ABCD  nên GI   MNPQ  * Xét hình chóp G.MNPQ có chân đường cao I, đáy MNPQ hình vng cạnh * Vẽ IH  MN H MN  GI  MN  GH Suy : a   GMN  ,  MNPQ    GHI a GI 39   cos GHI  * Ta có : GI  SH   tan GHI  12 IH 13 * Vậy cos   GMN  ,  ABCD    39 13 Ví dụ 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD vuông A B, AD  2a, AB  BC  a , SA  a SA  (ABCD) Tính góc tan   SAB  ,  SCD   Giải : 15 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Gọi M, N trung điểm AD, SA Ta có (BMN) // (SCD) Suy  SAB  ,  SCD      NAB  ,  BMN   * Xét hình chóp M.ABN có đường cao MA  a * Vẽ AH  BN H BN  MA  BN  MH Suy : * tan MHA    BMN  ,  ABN    MHA MA  Vậy tan   SAB  ,  SCD    AH Phần : Tính góc hai mặt phẳng định nghĩa Trong phần ta cần tìm hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Ví dụ 26 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA  2a, AB  a SA  (ABCD) Tính góc  SBC  ,  SCD   Giải : * Vẽ AH  SB H (1) BC  BA  BC   SAB   BC  AH Ta có :  BC  SA S (2) K Từ (1) (2) ta : AH   SBC  H * Vẽ AK  SD K A Tương tự ta có AK  SCD  Do : góc *  SBC  , SCD   = góc  AH, AK  B D C 4a 4a 1 2a SH.SB  SA  SH       AH  2 2 AH a 4a 4a a 5 Tính tương tự ta : AK  2a 4a , SK  5 16 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt * Xét tam giác SBD : cosS  SB2  SD  BD 5a  5a  2a   2SB.SD 10a Xét tam giác SHK : HK  SH  SK  2SH.SK.cosS  16a 16a 16a 32    a 5 5 25 4a 4a 32   a AH  AK  HK 25  * Xét tam giác AHK : cos A   4a 2AH.AK 5  A  780 28 Vậy : góc 2  SBC  , SCD    78 28' o Ví dụ 27 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD vuông A B, AD  2a, AB  BC  a , SA  a SA  (ABCD) Tính góc Giải : * Vẽ AK  SB K (1) BC  BA  BC   SAB   BC  AK Ta có :  BC  SA S (2) Từ (1) (2) ta : AK   SBC  * Vẽ AH  SC H H K (3) DC  CA  DC   SAC   DC  AH (4) Ta có :  DC  SA B Từ (3) (4) ta : AH  SCD  Do : góc *  SBC  ,  SCD    A D C  SBC  , SCD   = góc  AH, AK  a2 a 1 a SH.SC  SA  SH       AH  2 2 AH a 2a 2a a Tính tương tự ta : AK  * Xét tam giác SBC : cosS  a a , SK  2 SB a   SC a 3 Xét tam giác SHK : HK  SH  SK  2SH.SK.cosS  3a 2a a a a2    3 6a 2a a   AH  AK  HK   A  30o * Xét tam giác AHK : cos A   2AH.AK a a 2 2 Vậy góc  SBC  , SCD    30 o 2 17 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Phần : Áp dụng công thức chiếu Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q) Gọi  =  (P), (Q)  Khi đó: S'  Scos  (P) (H) (H’) (Q) Ví dụ 28 : Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tam giác ABC cân AB = AC = a, A = 120o Cạnh bên AA1 = a Gọi I trung điểm CC1 Tính cosin góc tạo (ABC) (AB1I) Giải : Ta có tam giác AB1I có hình chiếu lên mp(ABC) tam giác ABC * SABC  a2 AB.AC.sin A  * AB1  a , AI  a  B1 a2 a a a 13  , B1I  3a   4 C1 A1 I ( Vì B1C1  BC  AB  AC  2AB.AC cos A  a ) 2  AB1  AI  IB1 a 2   13 p   SAB1I  p  p  AB1  p  AI  p  IB1   C B A 10 * Gọi  góc hai mặt phẳng, cos   SABC 30  SAB1I 10 Ví dụ 29 : Cho hình chóp SABCD có ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB  2a , SA  a , SA   ABCD  Tính cosin góc (SAD) (SBC) Giải : * Trong hình thang ABCD có : AD  DC  CB  a , BD  DA, AC  CB BD  DA  BD   SAD  * Ta có :  BD  SA  18 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Vẽ CH // BD  H  AD  CH   SAD  Tam giác SBC chiếu lên mp(SAD) tam giác SDH S BC  AC *   BC  SC , BC  SA SC  SA  AC2  3a  3a  a a2  SSBC  SC.CB  2 * AD cắt BC I C trung điểm IB A nên H trung điểm DI  B D  1 a a SSDH  SA.DH  a    2 2 * Gọi  góc hai mặt phẳng cos   C H I SSDH  SSBC 19 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Bài tập Bài : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi E, F trung điểm BC AD, biết EF  a Tính góc hai đường thẳng AB CD Bài : Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 Tính góc A1C1 D1C ĐS : 60o ĐS : 60o Bài : Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  AB  AC  1, BC  Tính góc AB SC ĐS : 60o Bài : Cho tứ diện ABCD có M trung điểm CD Tính cos  AM, BC  ĐS : Bài : Cho tứ diện SABC Gọi M, N trung điểm SA, BC Tính góc MN SB ĐS : 45o Bài : Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 Gọi M, N, E trung điểm AB, BC, C1D1 Tính góc MN AE ĐS : 45o Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  a ,SA   ABCD  Gọi M trung điểm SB Tính góc AM BD ĐS : 60o Bài : Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc với SA  SB  SC Gọi M trung điểm BC Tính góc SM AB ĐS : 60o Bài : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang vuông A D, AD  DC  a, AB  2a , SA  2a , SA   ABCD  Tính cos  SD, BC  42 14 ĐS : Bài 10 : Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC tam giác cạnh a, AA1  a Tính góc AB1 BC1 ĐS : 60o Bài 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H cạnh AB; Góc SC mặt phẳng đáy 600 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC 35 ĐS : Bài 12 : Cho hình vng ABCD cạnh 4a Lấy H, K AB, AD cho BH  3HA , AK  3KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) H lấy S cho góc SBH = 30 Gọi E giao điểm CH BK Tính cosin góc SE BC ĐS : 18 39 Bài 13 : Cho hình chóp tứ giác SABCD, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Tính góc MN BD ĐS : 90o 20 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Bài 14 : Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông đáy AD, BC với AD  2BC  AB  2a , SA   ABCD  , SA  a Tính sin  SD,  SAC   ĐS : 14 Bài 15 : Hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , ABCD hình chữ nhật SA  AB  a 3, AD  a Tính sin  SB,  SCD   ĐS : Bài 16 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông A; A’ cách A, B, C Biết AA  a 2, AB  a, AC  a Tính sin  AB,  BCC B   ĐS : 42 14 Bài 17 : Hình chóp SABC có tam giác ABC vng B, AB  2a, A  60o , SA  a , SA   ABC  Tính góc SB mp(SAC) ĐS : 45o Bài 18 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a,  SAB    ABCD  H trung điểm AB, SH  HC, SA  AB Gọi  góc SC mp (ABCD) Tính tan  ĐS : Bài 19 : Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SA  2a Tính góc SC mp(ABCD) ĐS : 60o Bài 20 : Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác cạnh a cạnh bên AA1  a Tính sin góc tạo AC1 mp(BCC1B1) ĐS : Bài 21 : Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC tam giác vuông B, AB  a, BC1  a Tính góc tạo BC1 mp(ACC1A1) ĐS : 30o Bài 22 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600 Tính cosin góc MN mp(SBD) ĐS : Bài 23 : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA  a , SA   ABCD  Gọi H, K hình chiếu A lên SB, SD Tính tan  SD,  AHK   ĐS : Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB  2a, CAB  300 Tính cosin góc hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ĐS : 7 21 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Bài 25 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, có SA   ABC  ,SA  tam giác SBC cân S Gọi  góc (SBC) (ABC) Tính tan  ĐS : 3a , Bài 26 : Hình chóp S.ABC có ABC tam giác vuông A, SA   ABC  AB  SA  a, AC  a Tính tang góc  SBC   SAC  ĐS : Bài 27 : Hình chóp S.ABC có ABC tam giác vuông A, SA   ABC  AB  SA  a, AC  Tính góc  SBC   ABC  a ĐS : 60o Bài 28 : Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB  BC  SA  a Tính  SAC   SBC  ĐS : 60o Bài 29 : Hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), SA = AB = a, AC = 2a, ASC  ABC  900 Tính cosin góc (SAB), (SBC) 105 35 ĐS : Bài 30 : Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính góc (BA’C) (DA’C) ĐS : 60o Bài 31 : Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có AB  a, BC  a 2, AA1  a Tính tan   ACD1  ,  ABCD   ĐS : Bài 32 : Lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB  AA  a Tính tang góc   ABC ,  BCC ' B  2 ĐS : Bài 33 : Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác cân với AB  AC  a, ABC  1200 , cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) ĐS : 30 10 Bài 34 : Lăng trụ ABCD ABCD có AB  a , cạnh bên a Tính cotang góc   ACB ,  ACCA  ĐS : Bài 35 : Lăng trụ ABC ABC , cạnh bên a , đáy ABC tam giác vuông A , AB  2a , AC  2a , hình chiếu A mp  ABC  trung điểm BC Tính góc  ACC A  ABC  ĐS : 60o 22 Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt Bài 36 : Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = a, góc BAC  1200 BB  a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc (ABC) (AB’I) ĐS : 30 10 Bài 37 : Lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB  AA  a Gọi M, N trung điểm cạnh AC, BC Tính sin   AMN  ,  ABC    ĐS : Bài 38 : Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, góc A  60o , SA  SB  SD  a Tính ĐS : tang góc (SBD) (ABCD) 5 Bài 39 : Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD vuông A B, AD  2a, AB  BC  a , SA  a SA  (ABCD) Tính góc  SBC  ,  SCD   ĐS : 30o Bài 40 : Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD vng A B, AD  2a, AB  BC  a , SA  a SA  (ABCD) Tính góc tan   SAB  ,  SCD   ĐS : Bài 41 : Lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình thang vng A, B , AB  a , AD  2BC  2a, , góc BD’ (ABB’A’) 450 Tính góc  AC D  mặt đáy ĐS : 30o Bài 42 : Hình chóp SABC có SA   ABC  , SA = 2BC, tam giác ABC có góc A  120o Gọi M, N hình chiếu A lên SB, SC Tính góc (ABC) (AMN) ĐS : 30o Bài 43 : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA  a , SA   ABCD  Gọi M, N trung điểm SB, SD Tính sin   AMN  ,  SBD   ĐS : 2 Bài 44 : Cho hình lập phương ABCD ABCD có tâm O Gọi I tâm hình vng ABCD M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho OM  ĐS : MI Tính sin   MAB  ,  MC D   13 65 Bài 45 : Lăng trụ tam giác ABC ABC có AB  AA  Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , AC BC Tính cosin góc tạo  ABC    MNP  ĐS : 13 65 _ 23 .. .Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc Đạt  Nếu d / / góc d (P) góc  (P)  Nếu (P) // (Q) góc d (P) góc d (Q) Chú ý: 00   d, (P)   900 2a) Tính góc cách dựng góc Giả sử ta cần tính góc đường... MN   CDD1C1  Do góc CM mp(CDD1C1) góc MCN CN  a  A1 D1 M N B1 C1 a a  A MN   C  41,81o * Xét tam giác CMN : tan C  CN B D C Vậy góc CM mp(CDD1C1)  41,81 o Chuyên đề góc Gv : Dư Quốc... (EFF’E’) nên góc cần tìm NMN  * Ta tính : tan NMN   NN  2   MN  3 3) Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nhận xét: Góc mặt phẳng