CHUYÊN ĐỀ: LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP THUẬT TOÁN potx

NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA Với bất kì một tập hữu hạn các kí hiệu, chúng ta có thể biểu diễn * là tập hợp tất cả các xâu hữu hạn các kí hiệu lấy từ tập ...  Một lược đồ mã hoá e c

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP

THUẬT TOÁN

LÝ THUYẾT NP - ĐẦY ĐỦ (THE THEORY OF NP - COMPLETENESS)

Giáo viên : Thầy Vũ Đình Hoà

Trang 2

NỘI DUNG

1 Bài toán quyết định

2 Ngôn ngữ và lược đồ mã hóa

3 Máy Turing tất định và lớp P

4 Tính toán không tất định và lớp NP

5 Mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP

6 Phép dẫn thời gian đa thức và lớp NPC

7 Thuyết Cook

Trang 3

1 BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH

 Bài toán quyết định (Decision Problem - DP) là bài toán

chỉ có câu trả lời là có hoặc không (hay còn gọi là trả lời nhị phân)

 Mỗi thể hiện của bài toán nghĩa là mỗi trường hợp cá biệt

của bài toán có một trả lời

 Một bài toán quyết định ∏ đơn giản bao gồm một tập

hợp D∏ các thể hiện và tập con Y∏  D∏ là các thể hiện đúng

Trang 4

 Một bài toán quyết định phát biểu dưới dạng:

 Instance: …

 Ví dụ 1: bài toán sự đẳng cấu của đồ thị con

 Instance: Cho 2 đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2)

 Question: đồ thị G1 có chứa một đồ thị con G1’ mà G1’

đẳng cấu với đồ thị G2 hay không?

Trang 5

 Giải thích về đồ thị đẳng cấu:

G1’ đẳng cấu với G2 nếu như có |V1’| = |V2|, |E1’| = |E2| và

ở đó tồn tại một song ánh f : V2  V1’ sao cho {u,v} 

E2 khi và chỉ khi {f(u), f(v)}  E1’)

Trang 6

 Ví dụ 2: Traveling Salesman

 Instance: Tập hữu hạn các thành phố: C = {c1, c2,…cm},

khoảng cách giữa hai thành phố ci, cj là d(ci, cj)  Z + , một số B  Z +

 Question: tồn tại hay không một đường đi nào qua tất cả

các thành phố trong C mà có tổng độ dài không lớn hơn B? (Tồn tại một sắp thứ tự sao cho )

) ( )

2 ( )

1 ( ,C , ,C m

C  

B C

C d C

C d

()

),

(( 1

Trang 7

 Một bài toán quyết định có thể được chuyển hoá từ một

bài toán tối ưu

 Ví dụ: Bài toán tối ưu là “tìm một đường đi có độ dài nhỏ

nhất trong số tất cả các đường đi nối 2 đỉnh đồ thị” ↔

BTQĐ : thêm vào một tham số B và hỏi xem có đường đi nào có độ dài L mà L ≤ B hay không?

 Với điều kiện là hàm chi phí phải tương đối dễ đánh giá,

bài toán quyết định có thể không khó khăn hơn bài toán tối

Trang 8

 Nếu tìm thấy một đường đi có độ dài nhỏ nhất cho bài

toán TS theo thời gian đa thức, cũng có thể giải quyết bài toán quyết định được kết hợp theo thời gian đa thức

 Lý thuyết NP đầy đủ giới hạn là chỉ chú ý tới các bài toán

quyết định nhưng cũng có thể mở rộng sự liên quan của thuyết NP đầy đủ tới các bài toán tối ưu

 Nguyên nhân của sự giới hạn này là các DPs có một bản

sao rất tự nhiên và nó được gọi là ngôn ngữ

Trang 9

2 NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HÓA

 Với bất kì một tập hữu hạn các kí hiệu, chúng ta có

thể biểu diễn * là tập hợp tất cả các xâu hữu hạn các kí hiệu lấy từ tập 

 Nếu L là một tập con của *, chúng ta nói rằng L là

một ngôn ngôn ngữ trên tập các chữ cái của 

Trang 10

 Ví dụ:

Nếu  = {0, 1}, khi đó I* = {ε, 0, 1, 01, 10, 11, 000, 001,… }Khi đó {01,001,111,1101010} là một ngôn ngữ trên tập {0,1}

 Sự tương ứng giữa bài toán quyết định và ngôn ngữ được dẫn

đến bởi các lược đồ mã hoá

 Một lược đồ mã hoá e cho bài toán ∏ cung cấp một cách thức

miêu tả mỗi sự kiện của ∏ bằng một xâu thích hợp các ký hiệu trên tập chữ cái cố định ∑

Trang 11

 Bài toán ∏ và lược đồ mã hoá e cho ∏ chia ∑* thành 3 lớp:

1 Những xâu không mã hoá các biểu hiện của ∏

2 Những xâu mã hoá các biểu hiện của ∏ mà trên đó câu trả lời là No

3 Những xâu mã hoá các biểu hiện của ∏ mà trên đó câu trả lời là Yes

Ngôn ngữ: L[∏, e] = {x  * với  được sử dụng bởi e, và x

mã hóa một thể hiện I  Y bằng e}

Trang 12

 Một lược đồ mã hoá hợp lý phải đảm bảo 2 tính năng là :

“tính ngắn gọn” và có “khả năng giải mã”

 “Tính ngắn gọn” là các trường hợp của bài toán nên

được mô tả với sự khúc chiết một cách tự nhiên

 “Khả năng giải mã” là đưa ra bất kì một thành phần cụ

thể nào của một trường hợp chung, thì lược đồ có khả năng chỉ rõ một thuật toán có thời gian đa thức

Trang 13

 Định nghĩa một lược đồ mã hoá chuẩn:

Lược đồ mã hoá chuẩn sẽ ánh xạ các thể hiện sang các

xâu có cấu trúc trên tâp chữ cái ψ = {0, 1, -, [,], (, ), …}

 Định nghĩa xâu cấu trúc một cách đệ quy như sau:

Trang 14

 Biểu diễn nhị phân của một số nguyên k (gồm các chữ

số 0 và 1), (đằng trước là dấu - nếu k là số âm) là một xâu có cấu trúc biểu diễn số nguyên k.

 Nếu x là một xâu có cấu trúc biểu diễn số nguyên k, khi

đó [x] là một xâu có cấu trúc có thể được sử dụng như một “tên” (name)

 Nếu x1, x2, , xm là các xâu có cấu trúc biểu diễn các đối

tượng X1,X2, …, Xm, khi đó (x1, …, xm) là một xâu có

Trang 15

 Các biểu diễn cho 4 kiểu đối tượng như sau:

 Một tập các đối tượng được biểu diễn bởi thứ tự các phần

tử của nó như một chuỗi <X1, …, Xm> và xem như là xâu

có cấu trúc tương ứng với chuỗi đó

 Một đồ thị với tập đỉnh là V và tập cạnh là E được biểu

diễn bởi một xâu có cấu trúc (x, y), ở đó x là một xâu có cấu trúc biểu diễn tập V và y là xâu có cấu trúc biểu diễn tập E (các phần tử của E …)

Trang 16

 Một hàm hữu hạn f : {U1, U2,…, Um} → W được biểu

diễn bởi một xâu có cấu trúc {(x1, y1), …, (xm, ym)} ở đó

xi là xâu có cấu trúc biểu diễn Ui và yi là xâu có cấu trúc biểu diễn f(Ui)  W, 1 ≤ i ≤ m

 Một số hữu tỉ q được biểu diễn bởi một xâu có cấu trúc

(x, y) ở đó x là xâu có cấu trúc biểu diễn một số nguyên

a, y là xâu biểu diễn một số nguyên b và ở đó a / b = q,

và ước chung lớn nhất của a và b là 1

Trang 17

3.1 Miêu tả máy Turing tất định (DTM)

Trang 18

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

Bộ điều khiển trạng thái hữu hạn

Đầu đọc ghi Băng vô hạn

3 MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P

3.1 Miêu tả máy Turing tất định

Trang 19

 Một chương trình cho một DTM gồm các thông tin:

 Một tập hợp T những kí hiệu, bao gồm một tập con   T

Trang 20

 Hàm chuyển trạng thái:  cho phép với mỗi trạng thái của

máy và một kí kiệu đọc được từ ô trống đối diện, ta xác định được:

 Trạng thái tiếp theo

 Kí hiệu sẽ được viết lên băng đè lên kí hiệu vừa đọc

 Hướng dịch chuyển của đầu đọc

Trang 21

 Quá trình thực hiện của DTM

1 Xâu x được đặt lên băng, mỗi kí tự được đặt vào mỗi ô

Tất cả các ô còn lại đều chứa kí tự trắng Chương trình bắt đầu với trạng thái ban đầu là q0, với đầu đọc ở ô chứa kí tự đầu tiên của xâu

2 Các bước tính toán: …

Trang 22

2 Các bước tính toán: …

- Đọc kí tự đối diện với đầu đọc

- Thay kí hiệu đó bằng kí hiệu tính từ hàm 

- Dời đầu đọc theo hướng của hàm dịch chuyển

- Đổi trạng thái hiện tại thành trạng thái của hàm dịch chuyển

Trang 23

Xâu x được thừa nhận khi quá trình thực hiện đạt đến trạng thái thừa nhận

Trang 25

 Hàm trạng thái cho trong bảng:

Trang 26

Quá trình thực hiện:

Trang 27

 Cho M là một máy Turing tất định không có quá trình vô

hạn Hàm phức tạp theo thời gian của M là hàm được định nghĩa như sau:

 TM : Z+ → Z+

 TM (n) = max {m: có một x  *, với |x| = n, quá trình

thực hiện của M trên đầu vào x chiếm thời gian là m}

4 LỚP P

Trang 28

 Một máy Turing M được gọi là đa thức nếu như tồn tại

một đa thức P cho tất cả n  Z+ TM(n) ≤ p(n)

giải được bởi máy Turing tất định trong thời gian đa thức

 Một hàm tính với thời gian đa thức, nếu có một máy

Turring đa thức tính nó

4 LỚP P

Trang 29

2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP

 Máy Turing không tất định:

Trang 30

 Hoạt động tương tự như máy Turing tất định:

 Giả sử máy làm việc với một Input x0* được đặt vào

các ô từ 1 đến x của băng.

 Giai đoạn phỏng đoán được thực hiện trên phần băng

bên trái của dữ liệu vào (các ô được đánh số -1,-2, ) trước khi quá trình tính toán bắt đầu, được thực hiện bởi cơ chế phỏng đoán và đầu phỏng đoán chỉ viết lên các ô đánh –1, -2 mỗi ô một kí hiệu nào đó thuộc * cho đến khi dừng lại ta có một từ u0* trên phía trái của phần băng chứa Input (gọi là từ được dự đoán) và giai đoạn phỏng đoán hoàn thành

Trang 31

+Yếu tố không tất định là ở chỗ trong giai đoạn phỏng đoán việc viết kí tự nào vào các ô –1,-2,-3 không xác định tức là có thể viết theo nhiều khả năng khác nhau

+Có thể hình dung nếu coi mỗi quá trình tính toán có môt input x trên máy Turing tất định M chỉ là một “đường tính toán” (a computation path) thì mỗi quá trình tính toán với mỗi input x trên NDTM là một “cây tính toán” (a computation tree) với nhiều đường tính toán được xử

Trang 32

2.3.Máy Turing không tất định & Lớp NP

Trang 33

 Ngôn ngữ đoán nhận bởi NDTM:

 Mỗi từ x được chấp nhận bởi máy Turing bất định M nếu

xuất phát với input x, máy Turing bất định M chuyển đến trạng thái qY

 Kí hiệu là LM = {w0* M chấp nhận w} gọi là ngôn

ngữ đoán nhận được bởi máy NDTM

Trang 34

 Thời gian tính toán của NDTM: Được tính là thời gian tối

thiểu của mọi quá trình tính toán chấp nhận x, nghĩa là tM(x)= min{t có quá trình tính toán chấp nhận Input x dừng lại sau t bước}

 Độ phức tạp thời gian (thời gian tính) của máy NDTM, kí hiệu

là TM(n) cũng chỉ xét trên các từ x LM được định nghĩa như sau:

 TM(n)= max{t x LM và x=n, tM(x)= t}

Trang 35

Định nghĩa lớp NP (thông qua máy Turing không tất định):

+ NP là lớp các bài toán được đoán nhận bởi một máy Turing

không tất định.trong thời gian đa thức

+ Một ngôn ngữ L là đoán nhận được bởi máy Turing không tất

định và đa thức P(n) sao cho:

 L= LM và TM(n) ≤ P(n) với mọi n≥ 0

 Một bài toán gọi là NP nếu ngôn ngữ tương ứng của nó thuộc

lớp NP

Trang 36

2.4 Quan hệ giữa lớp P và NP

 + P  NP hiển nhiên vì mỗi máy Turing tất định đều là

máy Turing bất định không bao giờ chọn lựa bước chọn lưu chuyển

Trang 37

tồn tại đa thức p(n) sao cho II đoán nhận được với máy Turing tất định có độ phức tạp là O(2p(n))

 Giả sử A là thuật toán thời gian không tất định cho II, q(n) là

đa thức biểu diễn độ phức tạp A trên NTM Với mỗi Input có

độ dài n tồn tại xâu có độ dài lớn nhất là q(n) thuộc ngôn ngữ tương ứng của bài toán II để quá trình đoán nhận cho câu trả

Trang 38

 Như vậy số dự đoán tối đa sẽ là Kq(n) với K = || Do độ

dài của xâu dự đoán không quá q(n) nên quá trình kiểm tra mỗi dự đoán có độ phức tạp cũng là q(n) Kq(n) Như vậy độ phức tạp của quá trình kiểm tra trên một DTM cho bài toán II là sẽ là O(2p(n))

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	323 KB