Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp: Chương 3 - PGS. TSKH Vũ Đình Hòa

Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp - Chương 3: Chứng minh các kết quả của bài toán NP - Đầy đủ cung cấp cho người đọc các kiến thức: Các khái niệm, các bài toán NP - Complete. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương 3: Chứng minh kết toán NP_đầy đủ Giảng viên : PSG.TSKH.Vũ Đình Hịa Chương 3: Chứng minh kết toán NP_đầy đủ I Các khái niệm 1.1 Lớp toán P (polynomial time) 1.2 Lớp toán NP(Nondeterministic polynomial time) 1.3 Quan hệ lớp P lớp NP II Các toán NP_Complete 2.1 Phép dẫn với thời gian đa thức 2.2 Bài toán NP_Complete (NPC) 2.3 Một số toán NPC I Các khái niệm 1.1 Lớp toán P (polynomial time) Lớp P lớp toán định giải thời gian đa thức máy Turing tất định, hay lớp tốn dễ (có lời giải chấp nhận được) 1.2 Lớp toán NP Là lớp bt định giải thời gian đa thức máy Turing không tất định 1.3 Quan hệ lớp P lớp NP  Ta thấy cách trực quan PNP Nhưng chưa biết P=NP hay không, hầu hết nhà nghiên cứu tin P≠NP tồn của lớp bt NPC  Dù chưa biết chắn liệu P≠NP song việc toán NPC chứng tỏ thật bt khơng thể giải phương diện tính tốn với thuật tốn xác, tốt hết lời giải theo thuật toán gần  Việc xem xét quan hệ P NP dẫn đến đến nghiên cứu lớp NPC II Các toán NP_Comlete (NPC) Phép dẫn với thời gian đa thức Cho hai toán 1 2 1   Y   N 1   Y   N 2 2.1 Phép dẫn với thời gian đa thức Phép dẫn thời gian đa thức f biến đổi kiện 1 thành kiện 2 thỏa mãn : f thực thời gian đa thức f ( Y )   Y f ( N1 )   N Ký hiệu: 1  2 Ví dụ phép dẫn thời gian đa thức Ví dụ : 1 tốn Chu trình Hamilton Instance: Đồ thị G vơ hướng Question: tồn hay khơng chu trình Hamilton G? The theory of NP-Completeness Ví dụ phép dẫn thời gian đa thức Ví dụ: 2 tốn TST Instance: n, thành phố: C = {c1, c2,…cm}, khoảng cách ci, cj d(ci, cj)  Z+, B  Z+ Question: Tồn hay C (1) , C ( 2) , , C ( m) thỏa : m 1  d (C i 1 (i ) , C (i 1) ))  d (C ( m ) , C (1) )  B ? The theory of NP-Completeness 1(Hamiltonian)2(TSP) với B = n 3- 2.2 Bài tốn NP_Comlete (NPC)  Định Nghĩa: Chúng ta nói L toán thuộc NPC khẳng định sau 1) L  NP 2)  L’ NP, có phép dẫn với thời gian đa thức từ L’ L 2.3 Bài toán NPC * Bài toán SAT  Bài toán SAT phát biểu dạng bt định: Instance: Cho trước n biến logic {x1, x2, …… ,xn} tập hợp C tuyển tục biến (biến phủ định biến) Question: Tồn hay không phép gán giá trị cho biến cho cC có giá trị đúng? Ví dụ C1 = {x1 v x2,, x1 v x2 v ¬x4, x5} C2 = {¬ x1, ¬ x2, x1 v x2v ¬ x4, x4}  Định lý: Bài tốn SAT NPC 3.1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ: NP_Comlete (NPC) * Đ/L1: Ta có 1  2 - Nếu 1NPC, 2NP 2NPC - Nếu 2P 1P 3.2 Bài tốn NP_Comlete (NPC) * Đ/L2: - Nếu có toán NPC giải thời gian đa thức máy TRTĐ P=NP - Nếu bt tốn NP khơng giải thời gian đa thức máy TRTĐ tất tốn NPC không giải thời gian đa thức máy TRTĐ 3.2 Một số toán NPC  Chứng minh toán  NPC: thực bước sau: 1) Chứng minh bt  NP 2) Lựa chọn bt ’ NPC 3) Xây dựng hàm biến đổi f từ ’ sang  4) Chứng minh f biến đổi đa thức 3.3 Một số toán NPC Sơ đồ chứng minh số toán NPC 3.3 Một số toán NPC * Bài toán 3SAT  Bài toán 3SAT phát biểu dạng bt định sau: Instance: Cho trước n biến logic {x1, x2, …… ,xn} tập hợp C tuyển gồm tục biến, Ví dụ: C = {x1 v x2v x3 , x1 v x2 v ¬x4} Question: Tồn hay không phép gán giá trị cho biến cho cC đúng?  Định lý: Bài toán 3SAT NPC 3.3 Một số toán NPC  Bài toán VC (Vertex Cover) Instance: Cho đồ thị G=(V,E) số nguyên dương k≤|V| Question: Tồn hay khơng tập phủ đỉnh có kích cỡ ≤ k? 3.3 Một số tốn NPC  Bài toán Clique Instance: Cho đồ thị G=(V,E) số nguyên dương k≤|V| Question: Tồn hay không G đồ thị đầy đủ với k đỉnh? 3.3 Một số toán NPC  Bài toán 3DM (3-dimensional Matching) Instance: |W|=|X|=|Y|=q, Question: Tồn M tập q phần tử W×X×Y cho khơng có phần tử M có tọa độ chung? 3.3 Một số toán NPC  Bài toán Phân hoạch (Partition) Instance: A = {a1 , a2, … , an } Question: Tồn hay không phân hoạch A = A A cho a  a i A1 A2 i ? 3.4 Bài toán NPH (NP-hard) Định Nghĩa: L toán thuộc NPH nếu L’  NP có phép dẫn với thời gian đa thức từ L’ L  ... x4, x4}  Định lý: Bài toán SAT NPC 3. 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ: NP_Comlete (NPC) * Đ/L1: Ta có 1  2 - Nếu 1NPC, 2NP 2NPC - Nếu 2P 1P 3. 2 Bài tốn NP_Comlete (NPC) * Đ/L2: - Nếu có toán NPC... bt ’ NPC 3) Xây dựng hàm biến đổi f từ ’ sang  4) Chứng minh f biến đổi đa thức 3. 3 Một số toán NPC Sơ đồ chứng minh số toán NPC 3. 3 Một số toán NPC * Bài toán 3SAT  Bài toán 3SAT phát biểu... cỡ ≤ k? 3. 3 Một số toán NPC  Bài toán Clique Instance: Cho đồ thị G=(V,E) số nguyên dương k≤|V| Question: Tồn hay không G đồ thị đầy đủ với k đỉnh? 3. 3 Một số tốn NPC  Bài toán 3DM ( 3- dimensional