Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp: Lý thuyết NP - Đầy đủ - PGS. TSKH Vũ Đình Hòa (tt)

Bài giảng Lý thuyết độ phức tạp: Lý thuyết NP - Đầy đủ trình bày các nội dung: Bài toán quyết định, ngôn ngữ và lược đồ mã hóa, máy Turing tất định và lớp P, tính toán không tất định và lớp NP, mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP LÝ THUYẾT NP - ĐẦY ĐỦ (THE THEORY OF NP - COMPLETENESS) Giáo viên : PGS TSKH Vũ Đình Hồ The theory of NP-Completeness NỘI DUNG Bài tốn định Ngơn ngữ lược đồ mã hóa Máy Turing tất định lớp P Tính tốn khơng tất định lớp NP Mối quan hệ lớp P lớp NP Phép dẫn thời gian đa thức lớp NPC Thuyết Cook The theory of NP-Completeness BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH  Bài tốn định (Decision Problem - DP) tốn có câu trả lời có khơng (hay cịn gọi trả lời nhị phân)  Mỗi thể toán nghĩa trường hợp cá biệt tốn có trả lời  Một tốn định ∏ đơn giản bao gồm tập hợp D∏ thể tập Y∏  D∏ thể The theory of NP-Completeness BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH  Một tốn định phát biểu dạng:  Instance: …  Question:…  Ví dụ 1: tốn đẳng cấu đồ thị  Instance: Cho đồ thị G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2)  Question: đồ thị G1 có chứa đồ thị G1’ mà G1’ đẳng cấu với đồ thị G2 hay không? The theory of NP-Completeness BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH  Giải thích đồ thị đẳng cấu: G1’ đẳng cấu với G2 có |V1’| = |V2|, |E1’| = |E2| tồn song ánh f : V2  V1’ cho {u,v}  E2 {f(u), f(v)}  E1’) The theory of NP-Completeness BÀI TỐN QUYẾT ĐỊNH  Ví dụ 2: Traveling Salesman  Instance: Tập hữu hạn thành phố: C = {c1, c2,…cm}, khoảng cách hai thành phố ci, cj d(ci, cj)  Z+, số B  Z+  Question: tồn hay không đường qua tất thành phố C mà có tổng độ dài khơng lớn B? (Tồn thứCtự  (1) , C ( ) , , C ( m ) cho m 1 ( d (C (i ) , C (i 1) ))  d (C ( m ) , C (1) )  B i 1 ) The theory of NP-Completeness BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH  Một tốn định chuyển hố từ tốn tối ưu  Ví dụ: Bài tốn tối ưu “tìm đường có độ dài nhỏ số tất đường nối đỉnh đồ thị” ↔ BTQĐ : thêm vào tham số B hỏi xem có đường có độ dài L mà L ≤ B hay không?  Với điều kiện hàm chi phí phải tương đối dễ đánh giá, tốn định khơng khó khăn tốn tối ưu tương ứng The theory of NP-Completeness BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH  Nếu tìm thấy đường có độ dài nhỏ cho toán TST theo thời gian đa thức, giải tốn định kết hợp theo thời gian đa thức  Lý thuyết NP đầy đủ giới hạn ý tới tốn định mở rộng liên quan thuyết NP đầy đủ tới toán tối ưu  Nguyên nhân giới hạn DPs có tự nhiên gọi ngơn ngữ The theory of NP-Completeness NGÔN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA  Định nghĩa ngơn ngữ:  Với tập hữu hạn kí hiệu, biểu diễn * tập hợp tất xâu hữu hạn kí hiệu lấy từ tập   Nếu L tập *, nói L ngơn ngữ tập chữ  The theory of NP-Completeness NGƠN NGỮ VÀ LƯỢC ĐỒ MÃ HĨA  Ví dụ: Nếu  = {0, 1}, I* = {ε, 0, 1, 01, 10, 11, 000, 001,… } Khi {01,001,111,1101010} ngơn ngữ tập {0,1}  Sự tương ứng toán định ngôn ngữ dẫn đến lược đồ mã hoá  Một lược đồ mã hoá e cho toán ∏ cung cấp cách thức miêu tả kiện ∏ xâu thích hợp ký hiệu tập chữ cố định ∑ The theory of NP-Completeness 10 MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P Bài tập  Xây dựng máy Turing tất định xóa từ  Xây dựng máy Turing tất định xóa từ quay vị trí xuất đầu The theory of NP-Completeness 27 LỚP P  Cho M máy Turing tất định q trình vơ hạn Hàm phức tạp theo thời gian M hàm định nghĩa sau:  TM : Z+ → Z+  TM (n) = max {m: có x  *, với |x| = n, trình thực M đầu vào x chiếm thời gian m} The theory of NP-Completeness 28 LỚP P  Thời gian tính máy Turing M gọi đa thức tồn đa thức P cho tất n  Z+ TM(n) ≤ p(n)  Định nghĩa: Lớp P lớp toán định giải máy Turing tất định thời gian đa thức  Một hàm tính với thời gian đa thức, có máy Turring tính thời gian đa thức The theory of NP-Completeness 29 LỚP P  Ví dụ: Instance: n nguyên dương, Question: n chia hết cho 2?  Ví dụ: Instance: n nguyên dương, Question: n số nguyên tố? The theory of NP-Completeness 30 LỚP P  Ví dụ: Instance: n nguyên dương a1 < a2 < …, < an, k, Question: Tồn i cho = k?  Ví dụ: Instance: , Question: ? The theory of NP-Completeness 31 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Máy Turing không tất định: 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Hoạt động tương tự máy Turing tất định:  Giả sử máy làm việc với Input x0* đặt vào ô từ đến x băng  Giai đoạn đoán thực phần băng bên trái liệu vào (các ô đánh số 1,-2, ) trước q trình tính tốn bắt đầu, thực chế đoán đầu đoán viết lên đánh –1, -2 kí hiệu thuộc * dừng lại ta có từ u0* phía trái phần băng chứa Input (gọi từ dự đoán) giai đoạn đốn hồn thành 2.3.Máy Turing khơng tất định& Lớp NP +Yếu tố không tất định chỗ giai đoạn đốn việc viết kí tự vào ô –1,-2,-3 không xác định tức viết theo nhiều khả khác +Có thể hình dung coi q trình tính tốn có mơt input x máy Turing tất định M “đường tính tốn” (a computation path) q trình tính tốn với input x NDTM “cây tính tốn” (a computation tree) với nhiều đường 2.3.Máy Turing không tất định & Lớp NP  DTM NDTM q0 qY/qN qN Sự khác biệt qY 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Ngôn ngữ đoán nhận NDTM:  Mỗi từ x chấp nhận máy Turing bất định M xuất phát với input x, máy Turing bất định M chuyển đến trạng thái qY  Kí hiệu LM = {w0* M chấp nhận w} gọi ngơn ngữ đốn nhận máy NDTM 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP  Thời gian tính tốn NDTM: Được tính thời gian tối thiểu q trình tính tốn chấp nhận x, nghĩa tM(x)= min{t có q trình tính tốn chấp nhận Input x dừng lại sau t bước}  Độ phức tạp thời gian (thời gian tính) máy NDTM, kí hiệu TM(n) xét từ x LM định nghĩa sau:  TM(n)= max{t x LM x=n, tM(x)= t} 2.3.Máy Turing không tất định& Lớp NP Định nghĩa lớp NP (thông qua máy Turing không tất định): + NP lớp toán đoán nhận máy Turing không tất định.trong thời gian đa thức + Một ngơn ngữ L đốn nhận máy Turing không tất định đa thức P(n) cho:  L= LM TM(n) ≤ P(n) với n≥  Một toán gọi NP ngơn ngữ tương ứng thuộc lớp NP 2.4 Quan hệ lớp P NP  + P  NP hiển nhiên máy Turing tất định máy Turing không tất định không chọn lựa bước chọn lưu chuyển 2.4 Quan hệ lớp P NP  Định lý (Gap-Borodin,1972): Đối với toán II  NP tồn đa thức p(n) cho II đoán nhận với máy Turing tất định có độ phức tạp O(2p(n)) 2.4 Ví dụ NP  Bài tốn HC  Bài toán TSP  ) ... theory of NP- Completeness BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH  Nếu tìm thấy đường có độ dài nhỏ cho toán TST theo thời gian đa thức, giải tốn định kết hợp theo thời gian đa thức  Lý thuyết NP đầy đủ giới hạn... là:… -3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3… The theory of NP- Completeness 17 MÁY TURING TẤT ĐỊNH VÀ LỚP P 3.1 Miêu tả máy Turing tất định Bộ điều khiển trạng thái hữu hạn Đầu đọc ghi Băng vô hạn -3 -2 -1 The... DUNG Bài tốn định Ngơn ngữ lược đồ mã hóa Máy Turing tất định lớp P Tính tốn khơng tất định lớp NP Mối quan hệ lớp P lớp NP Phép dẫn thời gian đa thức lớp NPC Thuyết Cook The theory of NP- Completeness