(SKKN mới NHẤT) phương pháp chứng minh và sáng tạo bất đẳng bằng sử dụng các tính chất đại số và hình học của tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29  Người thực : Lê Nguyễn Minh Trung Vũ Thị Hương ĐỀ TÀI: Phương pháp chứng minh sáng tạo bất đẳng sử dụng tính chất đại số hình học tích phân Giáo viên hướng dẫn : Dương Thanh Vỹ Quy Nhơn, tháng 10 năm 2009 LỜI NÓI ĐẦU TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bất đẳng thức nội dung quan trọng chương trình tốn phổ thơng, vừa đối tượng để nghiên cứu mà vừa công cụ đắc lực, với ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất dạng toán quen thuộc, để tìm lời giải khơng phải việc dễ dàng Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức phong phú, đa dạng nhiều tài liệu đề cập đến Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức sáng tạo bất đẳng thức việc sử dụng tính chất đại số hình học tích phân Trên tinh thần tiểu luận gồm phần: mục lục, mở đầu, vấn đề, phụ lục, kết luận tài liệu tham khảo       Vấn đề 1: Bất đẳng thức hàm số giới nội lồi Vấn đề 2: Bất đẳng thức hàm số liên tục Vấn đề 3: Bất đẳng thức hàm số liên tục đơn điệu Vấn đề 4: Bất đẳng thức hàm số khả vi Vấn đề 5: Bất đẳng thức hàm số khả tích Vấn đề 6: Sử dụng cơng thức tính độ dài cung phẳng để chứng minh bất đẳng thức  Vấn đề 7: Sử dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng để chứng minh bất đẳng thức Nội dung vấn đề đầu đề cập đến việc sử dụng tính chất đại số đơn giản tích phân để chứng minh số toán liên quan, sở đưa ví dụ áp dụng để sáng tạo bất đẳng thức, vấn đề lại đề cập đến việc thông qua ước lượng trực quan từ hình học để chứng minh bất đẳng thức kèm theo ví dụ minh hoạ cụ thể Để hồn thành tiểu luận này, chúng tơi cố gắng tập trung nghiên cứu, xong nhiều hạn chế thời gian lực nên tiểu luận chắn nhiều vấn đề chưa đề cập đến có đề cập chưa sâu vào khai thác ý tưởng vấn đề Vì tiểu luận khó tránh khỏi thiếu xót định Chúng mong bảo quý thầy cô bạn đọc tiểu luận Quy Nhơn, ngày 11 tháng 11 năm 2009 Vấn đề Bất Đẳng Thức Của Hàm Số Giới Nội Và Lồi TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài toán Giả sử [a,b] hàm f(x) giới nội lồi Chứng minh Chứng minh Vì f(x) lồi [a,b] nên với x1,x2  [a,b] ta có bất đẳng thức so sánh f(1x1 + 2x2)  1f(x1) + 2f(x2) 1  , 2  , 1 + 2 = (theo định nghĩa) Vì hàm lồi đoạn nên liên tục Như vậy, f(x) khả tích [a,b] Sử dụng tính chất lồi f(x) ta có Tích phân theo trịg khoảng [0,b-a] ta nhận (1) tích phân đầu ta thay a + = t , cịn tích phân thứ hai thay b- Chia [a,b] thành n phần = z lập tổng tích phân với Do f(x) lồi , ta có Bởi (2) Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (2) nhận Kết hợp (1) (2) ta có (do f(x) khả tích ) ta Ví dụ 1.1 Cho < a < b, p > Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = f(x) = x [a,b], với a > 0, p > p TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ta có Vậy hàm số y = f(x) bị chặn lồi [a,b] Khi Ví dụ 1.2 Với < a < b Chứng minh Lời giải Xét y = - xlnx (0,+) Ta có Khi  Ví dụ 1.3 < a < b < Chứng minh Lời giải Xét f(x) = [a,b] với < a < b < Ta có f’(x) = , < ,  x  [a,b] f(x) bị chặn lồi [a,b] Khi TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ví dụ 1.4 Với < a < b Chứng minh Lời giải Xét Ta có y = f(x) la hàm bị chặn lồi [a,b] Khi Ví dụ 1.5 Với Chứng minh Lời giải Xét f(t) = sin2t [x,y]  [0, ] Ta có  Khi TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ví dụ 1.6 Với < a < b Chứng minh Lời giải Xét Ta có [a,b] với a > Hàm số y = f(x) bị chặn lồi [a,b] Khi  Nhận xét: Để thuận tiện cho việc đề tập dạng đưa số hàm lồi phần phụ lục Vấn đề 2: Bất Đẳng Thức Của Hàm Số Liên Tục Bài toán 2.1 Chứng minh f(x) g(x) hàm liên tục, xác định [a,b] ta có ( Bất đẳng thức Cauchy_Bunhiacopxki) Chứng minh  t  R, ta có Vế phải tam thức bậc hai không âm  t TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Hệ Với f : [a,b] → (0,+) liên tục , ta có Hệ Giả sử f(x) hàm liên tục a  x  b Chứng minh Dấu “=” xảy f(x) = const Ví dụ 2.1 Chứng minh: với  x > 0, ta có Lời giải Ta có (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có Theo (1) ta có (2) Hiển nhiên ta có , nên ta suy (3) Từ (2) (3) ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 2.2 Với Chứng minh Lời giải Xét f(x) = , g(x) = x [a,b] với Dễ thấy f,g liên tục [a,b] Áp dụng đẳng thức ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ví dụ 2.3 Với < a < b Chứng minh Lời giải Xét f(x) = ex, g(x) = [a,b] với a > Khi Ví dụ 2.4 Với Chứng minh Lời giải Ta có  Ví dụ 2.5 Với 0< a < b Chứng minh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Lời giải Xét liên tục [a,b] với a > Khi Vấn đề 3: Bất Đẳng Thức Của Hàm Số Liên Tục Và Đơn Điệu Bài toán 3.1 Cho f, g : [a,b] → R liên tục a) Nếu f, g hàm tăng Chứng minh b) Nếu f,là hàm tăng ,g hàm giảm Chứng minh ( Bất đẳng thức Trêbưsep) Chứng minh a) Với  x  [a,b] Theo định lý giá trị trung bình hàm số liên tục  xo  [a,b] cho Hơn hàm f, g đồng biến [a,b] Suy TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com a) Giả thiết suy f, (-g) hàm tăng nên theo câu a) Chú ý Nếu f, g hàm giảm bất đẳng thức câu a) Tức f, g đơn điệu chiều bất đẳng thức câu a) Nếu f hàm giảm, g hàm tăng bất đẳng thức câu b) Tức f, g đơn điệu ngược chiều bất đẳng thức câu b) Bài tốn 3.2 (Định lý giá trị trung bình) Nếu f khả tích [a,b] tồn Bài toán 3.3 Nếu f(t) liên tục nghịch biến [0,a] Đẳng thức xảy x = a x = Chứng minh Nếu x = x = a đẳng thức xảy Nếu < x < a,vì f(t) nghịch biến [0,a] nên t, < x  t  a ta có f(t)  f(x) Suy Do Mặt khác < t  x f(t)  f(x) nên Suy TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Lời giải Xét hàm số hai điểm A(a,2a ), B Ta có AB nên độ dài cung Vậy Đẳng thức xảy a = b Ví dụ 6.1.4 Chứng minh với ta có Lời giải Xét hàm y = ln(sinx) ta có y’ = cotx nên độ dài cung AB Vậy Đẳng thức xảy a = b Ví dụ 6.1.5 Chứng minh với  a  b ta có Lời giải Xét hàm số Ta có hai điểm y’ = x nên độ dài cung cần tìm TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b Bài toán 6.2 Cho cung AB đồ thị hàm liên tục y = f(x) [a,b] Trên cung AB lấy n điểm Gọi l,d độ dài cung AB độ dài đường gấp khúc ta có l  d Đẳng thức xảy y= f(x) = ax + b ; với a,b  R y An-1 A2 B A1 A a O b x Ví dụ 6.2.1 Cho  a  b  c  d  2 Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = f(x) = sinx [0,2] điểm Từ l  d ta có Mà Suy Đẳng thức khơng xảy Ví dụ 6.2.2 Cho Chứng minh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Lời giải Xét hàm số y = f(x) điểm , với Từ l  d ta Đẳng thức khơng xảy Bài tốn 6.3 Cho hai hàm y = f(x), y = g(x) liên tục [a,b] thỏa f(a) = g(a) , f(b) = g(b) gọi độ dài cung phẳng đồ thị hàm f, g [a,b] Nếu đồ thị f(x), g(x) lồi f(x)  g(x) Nếu đồ thị f(x), g(x) lõm f(x)  g(x) y y lf B B A O lg A a b x O a b x Ví dụ 6.3.1 Chứng minh  a < TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Lời giải Xét hàm số y = f(x) = ax -a y = g(x) = x2 với  a < 1.Ta có f(x)  g(x) đồ thị lõm [0,1] nên  đpcm Ví dụ 6.3.2 Chứng minh  a < Lời giải Xét hàm số y = f(x) = 2x + (1-2a)x y = g(x) = x2 + (1-a)x, với a > Ta có f(x)  g(x) đồ thị lõm [0,a] nên  đpcm Vấn đề Sử Dụng Cơng Thức Tính Diên Tích Hình Phẳng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài tốn Cho f(x) liên tục ,khơng âm diện tích giới hạn x = a, x = b, y = 0, y = f(x) [a,b] Bài tốn 7.1 Cho y = f(x) liên tục khơng âm [a,b].Gọi S diện tích giới hạn x = a, x = b, y = 0, y = f(x) ,S ht diện tích hình thang có cạnh đáy f(a), f(b) chiều cao b-a Khi ta có y = f(x) có đồ thị lồi S  Sht đẳng thức xảy a = b y = f(x) có đồ thị lõm S  Sht đẳng thức xảy a = b y y B B A O A a b x O a x b Ví dụ 7.1.1 Cho  a  b  Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = sinx ,lồi Từ S  Sht suy đpcm Ví dụ 7.1.2 Cho  a  b Chứng minh Xét hàm số y = Lời giải lõm [a,b] , x  TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Từ bất đẳng thức S  Sht suy đpcm Dấu “=” xảy a = b Ví dụ 7.1.3 Cho  a  b Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = lnx lồi [a,b] , x > Từ S  Sht suy đpcm Dấu “=” xảy a = b Bài toán 7.2 Cho y = f(x) liên tục không âm [a,b] Chia [a,b] thành n phần điểm chia Gọi S diện tích hình thang cong giới hạn x = a, x = b, y = 0, y = f(x) Gọi S1 tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh cạnh Gọi S2 tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh cạnh Gọi S3 tổng diện tích hình thang co chiều cao ,hai cạnh đáy f(xo) f(x1), f(x1) f(x2),… , f(xn-1) f(xn) y O xo=a x1 xi-1 xi xn-1 b=xn x Khi ta có 1) Nếu f đồng biến Dấu “=” xảy y = f(x) = x +  ,với ,   R 2) Nếu f nghịch biến TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Dấu “=” xảy y = f(x) = x +  ,với ,   R 3) Nếu đồ thị y = f(x) lồi S3 < S 4) Nếu đồ thị y = f(x) lõm S < S3 Ví dụ 7.2.1 Chứng minh với  n  R, ta ln có Xét hàm y = Lời giải [a,b] tăng , đồ thị lồi ,ta có  đpcm Ví dụ 7.2.2 Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = lnx [1,n+1] tăng, đồ thị lồi ta có Gọi điểm trục ox có hồnh độ 1,2,3,.,n điểm có tọa độ (2,ln2);(3,ln3);….;(n,lnn) điểm trục ox có hồnh độ Khi S4 tổng (n-1) diện tích hình thang có đường trung bình AiMi (i = 2,3,…) có đáy đoạn chắn tiếp tuyến với đồ thị y = lnx Mi với đường song song với trục tung xuất phát từ điểm hai cạnh bên nằm ox tiếp tuyến với đồ thị Mi cộng thêm hình thang nhỏ có đường trung bình TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ta có  Ví dụ 7.2.3 Chứng minh ,với n  R, n > ,ta có Lời giải Xét hàm số giảm lõm [1, n + 1] nên  ta có Ví dụ 7.2.4 Cho n  R, n > Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = cosx nghịch biến ,lồi [0,1] nên ta có = TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài tốn 7.3 Cho y = f(x) liên tục khơng âm [a,b] Gọi S diện tích giới hạn x = a , x = b, y = 0, y =f(x) với phép phân hoạch [a,b] điểm chia Gọi S1 tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh x i+1 - xi , f(xi) Gọi S2 tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh xi+1 - xi , f(xi+1) Gọi S3 tổng diện tích n hình thang có chiều cao x i+1 - xi, hai đáy f(xi), f(xi+1) y f(x) O xo=a x1 xi-1 xi xn-1 b=xn x Khi ta có 1) Nếu f đồng biến Dấu “=” xảy y = f(x) = x +  ,với ,   R 2) Nếu f nghịch biến Dấu “=” xảy y = f(x) = x +  ,với ,   R 3) Nếu đồ thị y = f(x) lồi S3 < S 4) Nếu đồ thị y = f(x) lõm S < S3 Ví dụ 7.3.1 Cho ≤ x ≤ y ≤ Chứng minh Lời giải t Xét hàm số f(t) = e tăng, lõm [0,1] Khi đó: S1 < S < S3 với TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  đpcm Ví dụ 7.3.2 Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện minh Chứng Xét hàm số f(t) = Lời giải nghịch biến ,lồi [0,1] nên , , Suy đpcm Bài toán 7.4 Cho y = f(x) liên tục, không âm tăng [0,c] với c > Khi  a  [0,c],  b  [f(0),f(c)] ta có Dấu “=” xảy f(a) = b y y b b S2 S2 f() S1 O  S1 f() O a  a x x Chứng minh Gọi S1 diện tích giới hạn x = ,x = a, y = 0, y = f(x) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Gọi S2 diện tích giới hạn , y = b, x = , Gọi S diện tích hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = a, y = 0, y = b S = ab Gọi S’’ diện tích hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = , y = 0, y = S’ = Trong hai trường hợp b < f(a), b > f(a), ta có Đặc biệt  = = Đẳng thức xảy f(a) = b Hệ Cho y = f(x) liên tục, không âm tăng [0,c] với c > Khi  a  [0,c],  b  [f(0),f(c)] ta có Dấu “=” xảy f(a) = b Ví dụ 7.4.1 Cho a  0, b  1, ab = Chứng minh Lời giải liên tục ,không âm, tăng Xét hàm số y = f(x) = hàm ngược , f(0) = Ta có Ví dụ 7.4.2 Cho p > 1, q > thoả Chứng minh Lời giải Xét hàm số y = xp-1, x > Vì yq = xq-1 Ta có nên x = yq-1 Do ta có hàm ngược Dấu “=” xảy b = f(a) = ap-1 Nhận xét  Bài toán vấn đề trường hợp riêng toán 7.1  Cho hàm số y = f(x) > 0, với x [a,b] Với phép phân hoạch [a,b] điểm chia , ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com (*) Dấu “=” xảy a =b a0 = a an+1 = b f(x) = const  Phương pháp để dạng toán  Xác định hàm số y = f(x) > với x [a,b]  Chọn phép phân hoạch biểu diễn bất đẳng thức qua dựa vào (*) để kết luận bất đẳng thức toán max, ta cần lưu ý khả dấu “=” xảy  Ta mở rộng lên cho tích phân lớp sau Cho f(x,y) > khả tích D Cho phép phân hoạch D thành miền nhỏ có diện tích Gọi Khi ta có:  Qua ứng dụng hình học tích phân ta có chung phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Cho y = f(x) liên tục không âm [a,b] gọi A(a,f(a)), B(b,f(b)) Chia [a,b] thành n phần điểm chia : Trên cung AB lấy điểm có hồnh độ a) Dựa vào độ dài cung AB độ dài đường gấp khúc ta tạo số bất đẳng thức b) Dựa vào diện tích hình thang cong giới hạn x = a, x = b, y = f(x), y = diện tích hình thang nhỏ ( hay diện tích hình chữ nhật nhỏ) ta tạo số bất đẳng thức TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com PHỤ LỤC Giới thiệu số hàm lồi hàm lõm 1) Một số hàm lồi 2) Một số hàm lõm TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com KẾT LUẬN Tiểu luận tập trung nghiên cứu số vấn đề sau Đã cụ thể hố tính chất đại số lý thuyết tích phân xác định tốn ví dụ cụ thể Tiểu luận đưa bảng số hàm lồi,hàm lõm phần phụ lục để phục vụ cho việc sáng tạo bất đẳng thức Sử dụng tính chất hình học tích phân để chứng minh bất đẳng thức Đây vấn đề không cịn tài liệu tốn THPT viết vấn đề Trình bày hệ thống ví dụ áp dụng bao gồm 50 bài, 28 tham khảo tài liệu, lại 22 sáng tác dựa kết từ tốn Trong q trình thực đề tài chúng tơi cịn thấy số vấn đề chưa đề cập có chưa sâu nghiên cứu như: dấu hiệu để nhận biết yếu tố đại số hình học tích phân toán bất đẳng thức cụ thể, việc mở rộng tính chất đại số tích phân xác định cho tích phân lớp, lớp,…;mở rộng tính chất hình học tích phân từ khơng gian chiều lên chiều, sử dụng tích phân để chứng minh bất đẳng thức chứa số tổ hợp, nghiên cứu việc dùng tích phân để chứng minh bất TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com đẳng thức bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Cosi,…Vì thời gian không cho phép nên chưa thể thực hiên điều mong muốn chắn thời gian đến chúng tơi tập trung tìm hiểu để tâm nhiều vấn đề đặt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quý Dy ( chủ biên ), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoả; Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, NXBGD [2] Võ Giang Giai, Chuyên đề bất đẳng thức, NXBĐHQG Hà Nội [3] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 toán bất đẳng thức , giá trị lớn _ giá trị nhỏ nhất, NXBTPHCM [4] Nguyễn Văn Mậu ( chủ biên ), Bất đẳng thức số vấn đề liên quan, NXB ĐHKHTN Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXBGD [6] Hội tốn học VN, Tạp chí tốn học tuổi trẻ [7] Lê Hồng Đức (2009), Phương pháp giải tốn tích phân, NXBĐHSP [8] Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải toán chuyên đề tích phân, NXBĐHQG Hà Nội [9] Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi quốc gia mơn tốn, NXBĐHQG Hà Nội [10] http://anhngq.wordpress.com/bao-cao-khoa-h%e1%bb%8dc/ http://www.dayhocintel.net/diendan/showthread.php?p=49662 http://www.khkt.net/chu-de/13251/mot-so-lop-tich-phan-dac-biet/ TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... tích phân giải dễ dàng dùng phương pháp khác gặp nhiều khó khăn Để thấy hiệu việc dùng tích phân để chứng minh bất đẳng thức, ví dụ sau sử dụng ứng dụng tích phân để tạo bất đẳng thức có sử dụng. .. lớp,…;mở rộng tính chất hình học tích phân từ khơng gian chiều lên chiều, sử dụng tích phân để chứng minh bất đẳng thức chứa số tổ hợp, nghiên cứu việc dùng tích phân để chứng minh bất TIEU LUAN... việc sử dụng tính chất đại số đơn giản tích phân để chứng minh số tốn liên quan, sở đưa ví dụ áp dụng để sáng tạo bất đẳng thức, vấn đề lại đề cập đến việc thông qua ước lượng trực quan từ hình học