(SKKN mới NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" A ĐẶT VẤN ĐỀ Thông thường đứng trước tốn giải hệ phương trình học sinh nghĩ đến dạng học : phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ để giải Nhưng thực tế qua đề thi đại học đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm vừa qua học sinh toàn gặp hệ phương trình phức tạp mà để giải cần phải có kỹ đặt biệt Một kỹ sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình Với mong muốn học sinh làm tốt câu kỳ thi tuyển sinh đại học, mạnh dạn đưa sáng kinh nghiệm "Rèn luyện kỹ giải hệ phương trình phương pháp hàm số" Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần I: Các kiến thức cần trang bị Phần II: Kỹ phân tích tìm hàm đặc trưng tự giải vấn đề Do khả hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN tơi có phần chưa hồn chỉnh Rất mong đóng góp q báu q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn! Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1/ Một học sinh học hệ phương trình tốt kiến thức liên quan đến biến đổi đa thức không tốt 2/ Một học sinh khơng thể giải hệ phương trình lạ không trang bị kỹ nhận dạng biến đổi đặc biết dạng II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1/ Thực trạng chung : Hầu hết học sinh có cảm giác "sợ ngại" học hệ phương trình dạng khơng mẫu mực, phần ứng dụng đạo hàm đưa vào sau em tiếp cận hệ phương trình cách q lâu 2/ Thực trạng giáo viên: Do phần kiến thức khó, thời lượng dành cho hệ phương trình chương trình q ít, số giáo viên không mặn mà dạy phần kiến thức 3/ Thực trạng học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt gặp phần kiến thức ln có cảm giác “sợ” Vì hầu hết em học chưa tốt phần kiến thức III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Trang bị lại cho học sinh số kiến thức : Tính chất 1: Nếu hàm số biến) tập liên tục ln đồng biến (hoặc ln nghịch số nghiệm phương trình đổi) khơng nhiều y thuộc Tính chất 2: Nếu hàm số hàm số ( số không với x, đồng biến (hoặc nghịch biến) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục tập số nghiệm phương trình Tính chất 3: Cho hàm số có khơng nhiều liên tục nghiệm thuộc Nếu phương trình phương trình có nhiều n nghiệm thuộc khoảng Chú ý : Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : y thuộc ta khảo sát hàm số đặc trưng : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy với x, tập Nếu Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" hàm số đơn điệu Trong phương pháp khó phải xác định tập giá trị x y, tập giá trị chúng khác em không dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : hợp hay , trường hợp Khi ta xét trường Kỹ giải hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số : Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm:     Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng Nhận xét tập giá trị x (y + 1) ? Hàm số có đơn điệu tập xét không ? Hướng dẫn giải: Xét hàm số R Ta có Suy hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta được: Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Từ phương trình (2) suy điều kiện có nghiệm hệ phương trình : Xét hàm số : tập Suy hàm số nghịch biến khoảng Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Phương trình (1) tương đương với : (2), ta : vào phương trình Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình điều quan trọng hàm số xét tập Ví dụ : Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng  Nhận xét tập giá trị (x - 1)  Hàm số có đơn điệu tập xét không ?  Hướng dẫn giải: ? Điều kiện : Ta có : Xét hàm số tập f(t) hàm số đồng biến khoảng Khi : với phương trình (2), ta : kết hợp Thế (1') vào (2'), ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Vậy hệ có nghiệm : Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Xét hàm số : tập Hàm số f(t) đồng biến khoảng Khi : trình (2), ta : vào phương Khi (thỏa mãn điều kiện) Khi (thỏa mãn điều kiện) Khi Khi (thỏa mãn điều kiện) (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm hệ phương trình : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Ví dụ : Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm:     Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng Nhận xét tập giá trị (x + 1) (y - 1) ? Hàm số có đơn điệu tập xét không ? Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số Hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta : (Do Xét hàm số Hàm số g(x) đồng biến - Khi -Khi không nghiệm (3) : (thỏa mãn điều kiện (*)) : (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm:     Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng Nhận xét tập giá trị x (-y) ? Hàm số có đơn điệu tập xét không ? Hướng dẫn giải: Xét hàm số : R Suy hàm số đồng biến R Ta có : phương trình (2), ta : Khi Khi vào , ta có : , ta có : Vậy nghiệm hệ phương trình : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Hệ phương trình cho tương đương với : (A 2012) Từ phương trình (2) suy : Xét hàm số : đoạn Hàm số f(t) nghịch biến Khi : trình (2), ta : vào phương - Với , ta có : - Với , ta có : Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Phương trình (1) hệ có yếu tố ta đáng lưu tâm phần đẳng thức Ví dụ 8: Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm: Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số"  Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng  Nhận xét tập giá trị y ?  Hàm số có đơn điệu tập xét không ?  Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số : (1) Suy : Hàm số f(t) đồng biến D + Trên vào phương trình cịn lại hệ ta : (thỏa mãn) + Trên vào phương trình cịn lại hệ ta : (thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Có nhiều tốn cho ta thấy hàm số cần xét có cần có số bước biến đổi có ta cần Ví dụ 9: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số khoảng Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Hàm số f(t) đồng biến Khi : trình (2), ta : vào phương Vì với nên -Khi (thỏa mãn điều kiện (*)) -Khi (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng  Nhận xét tập giá trị  Hàm số có đơn điệu tập xét không ?  Hướng dẫn giải: ? Điều kiện : Ta có : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Xét hàm số Hàm số f(t) đồng biến Khi : vào phương trình (2), ta : Suy : (thỏa mãn điều kiện) Suy : (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 11: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Đặt phương trình (1) có dạng Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Xét hàm số hàm số nghịch biến R Phương trình (3) có dạng Khi phương trình (2) có dạng Xét hàm số khoảng f(t) hàm số đồng biến khoảng Phương trình có dạng Suy : Hệ phương trình có cặp nghiệm (x;y) là: Ví dụ 12: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta thấy Khi , ta có : nghiệm hệ phương trình cho (*) Xét hàm số : Do : Hàm số f(t) đồng biến vào phương trình cịn lại hệ ta có : Đặt ta có : Phương trình trở thành : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Với Với , ta có : , ta có : (loại) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 13: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số Hàm số f(t) đồng biến Khi : vào phương trình (2), ta : Với (thỏa mãn điều kiện) Giải (3): Xét hàm số Hàm số g(y) đồng biến Lại có : (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 14: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Điều kiện : Xét hàm số tập Hàm số f(t) đồng biến Khi : vào phương trình (2), ta : (Điều kiện : (vì Với Với với ) thuộc TXĐ) (thỏa mãn hệ phương trình) (thỏa mãn hệ phương trình) Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta : Xét hàm số R Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta : Xét hàm số R , Hàm số g(x) đồng biến R Khi : Vậy hệ phương trình có nghiệm : Ví dụ 16 : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Với Ta có : : Từ phương trình (2), ta Xét hàm số Xét hàm số Ta có (loại) R Suy hàm số f(t) đồng biến R Khi : vào phương trình (2), ta : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm : Ví dụ 17: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện: PT(1) Xét hàm số: với Xét hàm số: với Hàm số g(u) đồng biến Suy ra: Mà Hàm số f(t) đồng biến vào phương trình (2), ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Thử lại ta thấy nghiệm phương trình Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: Ví dụ 18: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : Đặt , phương trình (1) trở thành: Ta có hàm số nghịch biến hàm số đồng biến mà t = thỏa mãn (3), nên t = nghiệm phương trình (3) Ta có Xét hàm số: với Ta có: BBT: t f’(t) -3 - ( ) +  f(t) Với Từ Với ta có thỏa mãn hệ phương trình cho , ta có: Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Suy với ta ln có Vậy hệ cho có nghiệm Ví dụ 19: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : Nếu vế cho lại không thỏa mãn (2) x khác Từ (1) chia hai Ta : Xét hàm số : hàm số f(t) đồng biến R Khi : ta : Lại đặt với t thuộc R Chứng tỏ vào phương trình (2), suy : Xét hàm số : Có : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" (Vì mà nên ) nghiệm : Vậy nghiệm hệ phương trình : Ví dụ 20: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : Ta có : Xét hàm số : Suy f(u) đồng biến Thế vào (2), ta : với Ta thấy không nghiệm Mặt khác : nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm : Bài tập tự luyện Bài Giải hệ phương trình : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Với chuyên đề giảng dạy lớp 12A1 12A2 Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời câu hỏi trình làm tốn nói chung cách biến đổi hàm đặc trưng điều kiện sử dụng phương pháp Với cách làm Tơi thấy phần lớn học sinh lớp học hứng thú, tự tin biến đổi khơng cịn thấy e ngại với hệ phương trình dạng Cụ thể sau: Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu kết sau: Lớp 12A1 12A2 Lần kiểm tra Lần kiểm tra Lần kiểm tra Sĩ số 48 47 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 15 22 25 12 19 30 0 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Lần kiểm tra 2 21 15 C KẾT LUẬN I Kết nghiên cứu : Thơng qua q trình giảng dạy lớp 12A1, 12A2 ôn thi đội tuyển cho đối tượng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận biến đổi xác cách giải hệ phương trình sử dụng tính đơn điệu hàm số - Hình thành tư logic, kỹ giải hệ phương trình phương pháp hàm số Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Tôi thống kê kết thấy hiệu rõ rệt sáng kiến kinh nghiệm Kiến nghị đề xuất - Trong trình dạy học phương trình, hệ phương trình bất phương trình nói chung, tơi thấy phương pháp giải hệ phương trình chưa trình bày cách đầy đủ, đặc biệt phương pháp hàm số Rất mong có thêm nhiều tài liệu viết đề tài để góp phần cho việc dạy học đạt hiệu cao - Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy tài liệu hữu ích tơi mang lại kết khả quan dạy học sinh Hy vọng trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh người quan tâm đến vấn đề hệ phương trình Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý bạn đọc để đề tài hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm ! Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" D TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách Đại số 10 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục - Sách Đại số 12 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục - Tạp chí tốn học tuổi trẻ - Đại số sơ cấp- Trần Phương - Lê Hồng Đức NXB Hà Nội - Đề thi Đại học Cao đẳng từ 2002 đến 2015 Bộ GD & ĐT -Đề thi HSG cấp tỉnh Tỉnh Thanh Hóa -Lời giải đề thi Học sinh giỏi toán 12 - Trần Tiến tự NXB ĐHQG Hà Nội -Chuyên đề nâng cao đại số trung học phổ thông - Phạm Quốc Phong NXB GD - Từ internet : www.math.vn; www.vnmath.com; www.laisac.page.tl; … Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề …………………………………………………… B Giải vấn đề …………………………………………… I Cơ sở lý luận vấn đề …………………………………… II Thực trạng vấn đề …………… III Giải pháp tổ chức thực Trang bị lại cho học sinh số kiến thức 2 Kỹ giải hệ phương trình phương pháp hàm số …… C Kết luận ……………………………………………………… 20 D Tài liệu tham khảo …………………………………………… 21 E Mục lục ………………………………………………… 22 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày19 tháng năm2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Hoàng Minh Thành Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... skknchat123@gmail.com SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Bài Giải hệ phương trình : Với chun... :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: Hệ phương trình cho tương đương với : (A 2012) Từ phương trình (2) suy : Xét hàm số : đoạn Hàm số. .. :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Phương trình (1) tương đương với : (2), ta : vào phương trình Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương