(SKKN mới NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải 1 số dạng bài tập trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số

1 MỞ ĐẦU Giải phương trình lượng giác nội dung trọng tâm Đại số Giải tích 11 chương trình tốn học phổ thơng nói chung Trong vài năm lại đây, đề thi trung học phổ thơng quốc gia mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, dạng tốn giải phương trình lượng giác xuất hiện, thay vào phương trình lượng giác chứa tham số 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình Đại số Giải tích 11, phương trình lượng giác chứa tham số chưa đề cập nhiều, tập hạn chế Khi học sinh gặp tập dạng thường tỏ lúng túng, chưa linh hoạt Việc hệ thống dạng tập nhằm rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác chứa tham số cần thiết Vì vậy, tơi viết sáng kiến: “Rèn luyện kỹ giải số dạng tập trắc nghiệm phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giải phương trình lượng giác chứa tham số giúp học sinh hiểu rõ chất, có nhìn sâu sắc, tổng hợp, linh hoạt phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp Qua hạn chế tư máy móc, phụ thuộc vào máy tính cá nhân học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài có đối tượng nghiên cứu là: - Phương pháp dạy học mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp khảo sát, thu thập thông tin - Phương pháp thống kê , xử lý số liệu 1.5 Những điểm SKKN -Hướng dẫn học sinh thành thạo giải tốn phương trình lượng giác chứa tham số; số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số,thông qua hệ thống tập đa dạng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận để đề xuất sáng kiến Khi giảng dạy người giáo viên phải phát khó khăn mà học sinh thường gặp giải phương trình lượng giác chứa tham số Từ đưa giải pháp giúp học sinh giải khó khăn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phương trình lượng giác chứa tham số nhìn chung nội dung khó phức tạp Nội dung phương trình lượng giác chứa tham số đề cập đến sách giáo khoa sách tập Tài liệu, sách tham khảo phương trình lượng giác chứa tham số hạn chế Các tập đưa cịn rời rạc chưa có tính hệ thống Đồng thời, dạng tập phần đa dạng khiến cho học sinh khó nắm bắt, lúng túng khó khăn việc tìm hướng giải toán 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống lý thuyết hàm số lượng giác, phương trình lượng giác bản, số phương trình lượng giác thường gặp A Các hàm số lượng giác: y = sinx; y = cosx;y = tanx; y = cotx B Các phương trình lượng giác bản: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a C Một số phương trình lượng giác thường gặp a Phương trình bậc hàm số lượng giác b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác c Phương trình bậc sinx cosx 2.3.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ giải số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số thơng qua hệ thống ví dụ dạng tập Dạng Phương trình bậc với hàm số lượng giác chứa tham số  Bài toán 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình lượng giác bản: f(x) = m với f(x) hàm số lượng giác 2 Ví dụ 1: Tìm tham số m để phương trình:  m  3m   cos x  m  m  1  1 có nghiệm 2 Giải:  m  3m   cos x  m  m  1   m  1  m   cos x  m  m  1 ; +) Khi m = 1, phương trình có dạng: = ln x  ¡ , hay phương trình có nghiệm x  ¡ +) Khi m = 2: phương trình có dạng: = (vơ lý), suy phương trình vơ nghiệm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +) Khi m ≠ 1, m ≠ 2:  1   m   cos x  m  cos x  Khi (2) có nghiệm  (1) có nghiệm m   m  Vậy phương trình m2 Ví dụ 2: Tìm m cho phương trình mãn Giải: m  2 m2 có hai nghiệm thỏa Điều kiện ln đúng, ta có: (1) +) Với m = 2, phương trình có dạng: = (vơ lý), m = không thỏa mãn +) Với , Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng nghiệm trên Dựa vào đồ thị, phương trình (1) có khi: phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn Vậy với Ví dụ 3: Gọi S tập giá trị m để phương trình nghiệm thuộc khoảng có Tìm tổng số phần tử nguyên S TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giải: Xét phương trình: (1) khoảng ; Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng khoảng y = m + đường thẳng song song trùng với trục Ox Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình (1) có nghiệm , giá trị nguyên m thỏa mãn – 6; – 5; – Ta có tổng phần tử nguyên m thỏa mãn – 15  Bài tập tương tự Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sinx – m = có nghiệm? A 2  m  B m  C m  Bài 2: Với giá trị m để phương trình: D  m    cos  3x    m   có 4  nghiệm? A m   B m   C m    3;  D   m   TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com   Bài 3: Phương trình sin  2x    m  3m  vô nghiệm khi: 7  A 1  m  B 3  m  1 m  C  m   m  2 D  m  Bài 4: Tìm m để phương trình 2cos x  m   có nghiệm phân biệt  3 3  thuộc   ;  ?  2 A B C D     Bài 5: Để phương trình 4sin  x   cos  x    a  sin 2x  cos 2x có 3  6  nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: A 1  a  B 2  a  1 C   a  2 D 3  a   Bài toán 2: Giải phương trình tích đưa phương trình bậc với hàm số lượng giác chứa tham số Ví dụ 1: Cho phương trình cos 2x   2m  1 cos x  m    1 Tìm tham số   3  m để phương trình có nghiệm khoảng  ;  2  Giải: cos 2x   2m  1 cos x  m    2cos x   2m  1 cos x  m   cos x    2cosx  1  cos x  m       cos x  m TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Dựa vào đồ thị hàm số y  cos x   ; 3  , ta thấy   ; 3  phương trình cos x  vô 2  2    3  nghiệm Do để phương trình (1) có nghiệm  ;  phương trình 2    3  cos x  m có nghiệm  ;  Từ đồ thị ta có: 1  m  2  Ví dụ 2: Cho phương trình: a) Giải phương trình m    b) Tìm m để phương trình có nhiều nghiệm  0;   2 Giải: Điều kiện cos x   x    k Ta có:   2cos x  1  2m cos x  m  1  ; a) Khi m  (1) trở thành:  2cos x  1  cos x   1    cos x   x    k2  k     tm   2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com   b) Nhận xét: Trên  0;  , phương trình thỏa mãn điều kiện xác định  2  cos x   * pt     2m cos x   m  ** Ta có:   Từ đồ thị ta có  0;  phương trình cos x  có nghiệm  2   Vậy để phương trình có nhiều nghiệm  0;  phương trình  2  ** phải có nghiệm  0;    với nghiệm thỏa mãn cos x  2 +) Xét m = 0, pt có dạng = suy phương trình vơ nghiệm +) Khi m khác cos x  1 m   , dựa vào đồ thị hàm số  0;  2m  2   2m cos x   m phải có nghiệm  0;  với nghiệm thỏa mãn  2 1  1 m  m 1     2m  cos x  khi:  Vậy  m 1  m    2m  2 1   m   m   Ví dụ 3: Cho phương trình trình có hai nghiệm thuộc đoạn Phương khi: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com A B C D Giải: ; ; Phương trình (2) Vì nên khơng tồn k thỏa mãn Vậy phương trình (2) vơ nghiệm Do đó, để phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn thuộc đoạn phương trình (1) có hai nghiệm Xét phương trình (1): , đặt 2x = t với Ta có đồ thị hàm số Từ đồ thị ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt trên : Vậy đáp án D  Bài tập tương tự TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sin 2x  3m  2cos x  3msin x  * có nhiều nghiệm khoảng  0;  B 1  m  ; A 1  m  C 2 3 m 3  2 m0  D   0  m   Bài Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  3  sin 2x  m  sinx  2mcos x (*) có hai nghiệm thuộc đoạn  0;   4 A  m  2 B  m  C m  D m  ;m  ;m  ; 2 2 Bài Cho phương trình  sin x  1  sin 2x  msin x   mcos x Tìm tập S tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm khoảng    0;   6  3 A S   0;    B S   0;1  1 C S   0;   2  3 D S   1;    Bài Cho phương trình sin 2x  2msin x  4sin x Có tất giá trị nguyên m để phương trình có 11 nghiệm đoạn  0;5 A B C D vô số TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Biết m  m0 2sin x   5m  1 sin x  2m  2m  phương trình có nghiệm phân biệt thuộc    khoảng   ;3  Mệnh đề sau đúng:   A m  3 B m  1 3  C m   ;   10   2  D m    ;   5  Bài Số giá trị thực tham số m để phương trình  sinx  1  2cos x   2m  1 cos x  m    0;2 có nghiệm thực thuộc đoạn là: A B C D vô số Dạng 3: Phương trình bậc với sinx cosx chứa tham số Ví dụ : Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm:  m   sinx  mcosx  Giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a  b  c2 nên ta có:  m  2  m  1  m   2m  4m    m   Ví dụ 2: Cho phương trình  2k  1 cos 2x  k sin x  k  Tìm giá trị k để phương trình vơ nghiệm Giải: Phương trình cho vơ nghiệm khi: k   2k  1  k   k  1   k  2 2 Ví dụ 3: Cho phương trình: a  cosx  2sin x  với a tham số Gọi m, n lần 2cosx  sin x  lượt giá trị lớn nhỏ a cho phương trình có nghiệm Tính giá trị S  m  11n 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm  a  1 2 cosx ≠ Trước hết, (1) có nghiệm  2a    a  1   a  1   a  sin x  2sinxcosx  Xét cos x    1  a   a   a  cos 2x  2cos x     Thử lại, với a =  1  cos 2x  1  2cos x   cos x  , hay phương tình có nghiệm cosx = Do đó, giá trị a = không thỏa mãn yêu a  1 a  1  cầu đề Như vậy, phương trình có nghiệm a    a 0  a  Ví dụ 6: Có giá trị nguyên dương m để phương trình sin x  2sinx  cosx  cos x  msin x có nhiều nghiệm đoạn  0;2 Giải: sin x  2sinx  cosx  cos x  msin x  2sin x cos x  2sin x  cos x  cos x  m   cos x     cos x  1  2sin x   m  1 cos x  m   ;  cos x    1   2sin x   m  1 cos x  m    Giải (1): cos x    cos x  1  x    k2,  k    Trên đoạn  0;2 (1) có nghiệm x = π Giải (2): 2sin x   m  1 cos x  m  12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Để phương trình cho có nhiều nghiệm đoạn  0;2 thì: 2sin x   m  1 cos x  m  có nghiệm  22   m  1  m  m  Vậy có hai giá trị nguyên dương m = 1, m = thỏa mãn điều kiện toán  Bài tập tương tự Bài Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x  sin x   m  1 vô nghiệm A m   ; 1   1;   B m   1;1 C m   ;   D m   ;0    0;   Bài Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình  m  1 sin x  sin x  cos x  có nghiệm A 4037 B 4036 C 2019 D 2020 Bài Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [– 10; 10] để     phương trình sin  x    cos  x    2m vô nghiệm? 3 3   A 21 B 20 C 18 D Bài Tìm m để phương trình 2sin x  msin 2x  2m vơ nghiệm? A m  0,m  C  m  4 B m  0,m  D m  0;m  Bài Tìm điều kiện để phương trình a sin x  a sin x cos x  bcos x  với a ≠ có nghiệm: A a  4b B a  4b C 4b 1 a D 4b  a 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Tìm tất giá trị m để bất phương trình 3sin 2x  cos 2x  m  với x   sin 2x  4cos x  A m  B a  9 C m  65  D 65  Dạng 4: Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác biểu thức lượng giác chứa tham số  Bài tốn 1: Phương trình đưa phương trình bậc hai với hàm số lượng giác Ví dụ 1: Tìm tất giá trị m nguyên dương để phương trình 4sin 2x  8cos x   3m  có nghiệm Giải: Ta có:  ; ;  Đặt t  cos 2x  t  1 , phương trình có dạng: 4t  4t   3m Xét bảng biến thiên hàm số y  4t  4t   1;1 : t –∞ 1 f(t) +∞ –3 4 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm m  1   4 m   4  3m    3m   m  ;  3  m  Vậy m  1;m  thỏa mãn yêu cầu toán 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình   có hai nghiệm phân biệt đoạn  0;   4 Giải: Ta có: Với t  sin 2x, t   0;1 Khi   x  0;  , đặt  4 (1) có hai nghiệm   phân biệt đoạn 0;  (1”) có hai nghiệm phân biệt  4  0;1 Xét bảng biến thiên hàm số t –∞ f(t) y  2t  3t  đoạn  0;1 : +∞ 17 Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu toán tương đương  m  17 Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình tan x  m cot x  có nghiệm Giải: cos x  k x  k   ; Điều kiện xác định:  sin x   Pt  tan x  m   tan x  8tan x  m   tan x  8tan x  m ; tan x Đặt t  tanx , phương trình có dạng: t  8t   m , xét bảng biến thiên hàm số y  t  8t : t –∞ +∞ 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com y +∞ +∞ – 16 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm m  16  m  16 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm    x   ;   2 A 3  m  B 2  m  C  m  D 1  m  x    Giải: Đặt t  tan , để x    ;  t   1;1 Khi PT có dạng:  2 2t  t2  m   m  4t  m  mt   m    m  t  t  4t   2m 2 1 t 1 t 1 t y –2    Vậy để phương trình 2sin x  mcos x   m có nghiệm x    ;   2 2  2m   1  m  4 Ví dụ 5: Cho phương trình  sin x  cos x   cos 4x  2sin x  m  Tìm   m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn  0;   2 Giải: Ta có:   pt  1  sin 2x     2sin 2   2sin x  m    ;   sin 2x   2sin 2x  2sin 2x  m   m  3sin 2x  2sin 2x  Đặt sin 2x  t với:  x     2x  2   sin 2x  hay t   0;1 ; 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xét hàm số f  t   3t  2t  [0; 1]: t –∞ –3 +∞ –2 10 f(t) Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm  10  m  2 Ví dụ 6: Cho phương trình cos 4x  cos 3x  msin x , tìm giá trị tham   số m để phương trình có nghiệm khoảng  0;   12  Giải: Ta có: ;       ;1 Khi đó: Đặt cos2x = t Ta có: x   0;   2x   0;   cos 2x  t    12   6   pt   t  1  4t  m  3   4t  m    t  1  4t   m t –∞ +∞ f(t) Vậy với  m  thỏa mãn yêu cầu đề 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  Bài tốn 2: Phương trình đối xứng với sinx cosx Ví dụ 1: Tìm giá trị tham số m để phương   sin 2x  sin  x     có nghiệm thực thuộc khoảng 4  trình  3   0;    Giải     3     x   0;    x      sin  x      sin  x    ; 4 4     Mặt khác:   sin  x    sinx  cosx 4  Đặt  sinx  cosx  t, t  0;   sin x  cos x  2sin x.cos x  t  sin 2x  t  2 Phương trình cho trở thành t   t   m  t  t   m  * Xét  f  t   t  t  3, t  0;  Ta có bảng biến thiên: t 1 f(t) –3 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nhiều nghiệm t   Mặt khác xét t  sin  x   để pt cho có nghiệm thực x 4  t   3  thuộc khoảng  0;  thì:    0  t  18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Dựa vào đồ thị ta suy điều cần chứng minh) Với t  thay vào phương trình (*): m     m   1  Với  t  , ta có bảng biến thiên: t 1 f(t) –3 Vậy 3  m  1 suy có giá trị nguyên m – – Ví dụ 2: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm:       4sin 3x sin x  4cos  3x   cos  x    cos  2x    m  4 4 4         2 Giải: 4sin 3x sin x  4cos  3x   cos  x    cos  2x    m  ; 4 4 4       1       cos 2x  cos 4x    cos  2x    cos 4x   1  cos  4x     m  2      2 1   cos 2x  sin 2x   sin 4x  m   2   cos 2x  sin 2x   sin 2x cos 2x  m       Đặt t  cos 2x  sin x  cos  2x     t  Khi đó: 4    19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com t2 1 t   2sin 2x cos 2x  sin xcos x  2 Phương trình (1) trở thành t  4t  2m    t  4t   2m Xét bảng biến thiên hàm số y  t  4t với   t  t –∞ 2  2 +∞ 24 y(t) 24 Từ bảng biến thiên, yêu cầu toán thỏa mãn :    2m    2  m  2 Ví dụ 3: Cho phương trình ,   Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;   2 Giải: ; Đặt cos x  sin x  t, t   sin x cos x   t2 ;  t2  m   t  4t   2m  1  2t  Với điều kiện  x     k,k   khơng thỏa mãn Do nghiệm x    ta cần phương trình (1) có nghiệm khoảng 0;   2 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  1  2m  f  t   t  4t  Với  x    Trong đó, t  cos x  sin x  cos  x   4    3     x    cos  x     1  t  Xét 4 4 2  hàm số f  t    t  4t  với 1  t  , ta có bảng biến thiên: t –1 f(t) –4 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm 2  m  2.4 Hiệu sáng kiến Việc hệ thống hóa kiến thức chương, giúp học sinh có nhìn tổng quan, thấy liên hệ kiến thức Khi sử dụng lý thuyết tập học sinh có linh hoạt tư Nhờ phân dạng tập cách có hệ thống, có liên kết với kiến thức học sinh học, ví dụ với hình thức hỏi đa dạng tạo hứng thú, sôi học tập học sinh Kết kiểm tra viết hai lớp 11B2,11B3 năm học 2018-2019 Kết thực nghiệm Loại nhóm Số Lớp Trung HS Giỏi Số % HS Thực nghiệm Đối chứng Khá Số Yếu, bình % HS Số % HS Số % HS 11B2 24 33,3 33,3 25 8,4 11B3 43 2,3 4,7 13 30,2 12 28 KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT 3.1  Kết luận: 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Sáng kiến làm tài liệu tham khảo tốt để giảng dạy phụ đạo bổ sung kiến thức cho học sinh, ôn tập thi trung học phổ thơng quốc gia 3.2 Đề xuất: +Về phía học sinh: Học sinh phải tự giác, nhiệt tình có khả phát huy tính tích cực, chủ động học tập Tăng cường việc tự học tìm phương pháp học tập phù hợp cho thân +Về phía giáo viên: Giáo viên phải có lịng nhiệt tình, chuẩn bị cơng phu trước lên lớp, có phương pháp truyền đạt dễ hiểu vai trò tổ chức, điều khiển học sinh học tập Bên cạnh đó, giáo viên cần phải trau dồi thêm kiến thức Internet, áp dụng thủ pháp dạy học giúp học sinh tiếp cận với kiến thức cách tích cực, chủ động đồng thời giúp em học Tốn với vui vẻ, tích cực hiệu + Về phía nhà trường:Đổi cơng tác quản lý, trọng đến công tác bồi dưỡng mũi nhọn,khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để góp phần nâng cao chất lượng dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 10 tháng5 năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phan Thị Yến 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 2007 Vũ Tuấn (Chủ biên): Bài tập đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 2007 Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí: Phương pháp giải toán lượng giác NXB Hà Nội 2008 Trần Bá Hà: Phân dạng phưng pháp giải dạng tập trắc nghiệm NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2017 Đặng Việt Đông: Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác phương trình lượng giác Toanmath.com: 232 tập trắc nghiệm hàm số lượng giác phương trình lượng giác có đáp án 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 26 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... c Phương trình bậc sinx cosx 2.3.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ giải số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số thơng qua hệ thống ví dụ dạng tập Dạng Phương trình bậc với hàm số lượng giác. .. Các phương trình lượng giác bản: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a C Một số phương trình lượng giác thường gặp a Phương trình bậc hàm số lượng giác b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác. .. pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3 .1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống lý thuyết hàm số lượng giác, phương trình lượng giác bản, số phương trình lượng giác thường gặp A Các hàm số lượng giác: y = sinx;