Cung cấp được cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán; Phân tích thực trạng, khó khăn sai lầm của học sinh khi sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phương trình; Hệ thống và phân loại các dạng phương trình và hệ phương trình từ dễ đến khó thường gặp và phù hợp với khả năng tư duy học tập của học sinh; Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết về hàm số, nghiệm của phương trình và các kỹ thuật trình bày lời giải của phương trình và hệ phương trình được giải theo phương pháp hàm số; Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây; Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm trong dạy học; Nâng cao khả năng giải toán cho học sinh thông qua các phương pháp mới, có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi; Đánh giá kết quả áp dụng sáng kiến bằng định tính, định lượng, kiểm tra được độ tin cậy và nêu ra được những hướng phát triển của sáng kiến.
MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học giáo dục Tác giả: Họ tên: Nguyễn Văn Công Ngày/tháng/năm sinh: Nam 21/10/1982 Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Chức vụ, đơn vị cơng tác: Tổ trưởng tổ tốn, trường THPT Kinh Môn II Điện thoại: 01226418114 Đồng tác giả ( Khơng có) Chủ đầu tư tạo sáng kiến: (Khơng có) Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Kinh Môn II; Xã Hiệp Sơn, Huyện Kinh Môn , Tỉnh Hải Dương; Điện Thoại 03203826755 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh có lực học từ trung bình trở lên Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ ngày 10/11/2013 đến ngày 23/11/2013 HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÓM TẮT SÁNG KIẾN Cung cấp sở lý luận thực tiễn phương pháp dạy học theo hướng rèn luyện kỹ giải tốn; Phân tích thực trạng, khó khăn sai lầm học sinh sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình; Hệ thống phân loại dạng phương trình hệ phương trình từ dễ đến khó thường gặp phù hợp với khả tư học tập học sinh; Cung cấp cho học sinh sở lý thuyết hàm số, nghiệm phương trình kỹ thuật trình bày lời giải phương trình hệ phương trình giải theo phương pháp hàm số; Minh họa nhiều loại tập có đề thi Đại học, Cao đẳng thi học sinh giỏi cấp năm gần đây; Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải toán giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm dạy học; Nâng cao khả giải tốn cho học sinh thơng qua phương pháp mới, có trọng đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi; Đánh giá kết áp dụng sáng kiến định tính, định lượng, kiểm tra độ tin cậy nêu hướng phát triển sáng kiến MÔ TẢ SÁNG KIẾN CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ kỹ giải toán 1.1.1 Khái niệm kỹ Theo giáo trình Tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính, chất vật giải thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải nhiệm vụ mới” Các định nghĩa không giống mặt từ ngữ nói kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải nhiệm vụ 1.1.2 Kỹ giải toán Kỹ giải toán cách sử dụng kiến thức chuyển toán cần giải dạng tương đương đơn giản Có hai phương pháp để cung cấp cho học sinh kỹ giải toán: Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh số tốn có cách giải để sau giải xong học sinh tự rút quy tắc cho riêng Đây phương pháp có hiệu nhiều thời gian, khó đánh giá khơng đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào lực trình độ học sinh Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành giảng kỹ cách hệ thống đầy đủ Phương pháp hiệu dễ nâng cao độ phức tạp toán cần giải 1.1.3 Phân loại kỹ mơn Tốn 1.1.3.1 Kỹ nhận thức Kỹ nhận thức mơn Tốn bao gồm nhiều khía cạnh là: khả nắm khái niệm, định lý, kỹ áp dụng thành thạo quy tắc yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc 1.1.3.2 Kỹ thực hành Kỹ thực hành mơn Tốn bao gồm kỹ vận dụng tri thức vào hoạt động giải tốn, kỹ tốn học hóa tình thực tiễn (trong Toán học đời sống), kỹ thực hành cần thiết đời sống thực tiễn 1.1.3.3 Kỹ tổ chức hoạt động nhận thức Để có kỹ tổ chức hoạt động nhận thức địi hỏi người học phải có kế hoạch học tập biết cách học phù hợp với điều kiện lực thân nhằm phấn đấu đạt mục đích 1.1.3.4 Kỹ tự kiểm tra đánh giá Ở trường phổ thông thường quan tâm tới kết kiểm tra từ phía giáo viên học sinh, từ giáo viên điều chỉnh cách dạy mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá thân Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, … xét kỹ tự kiểm tra đánh giá phương diện: kỹ vận dụng tri thức nội mơn Tốn, kỹ vận dụng tri thức toán học vào mơn học khác, kỹ vận dụng tốn học vào đời sống 1.2 Thực tiễn dạy học sử dụng phương pháp hàm số giải tốn phương trình hệ phương trình 1.2.1 Thực trạng việc rèn luyện kỹ sử giải phương trình hệ phương trình phương pháp hàm số THPT Đối với giáo viên Giáo viên dạy chủ yếu thơng qua hình thức dạy học chuyên đề ôn luyện đan xen vào tiết tự chọn lớp Nội dung sáng kiến chưa có phần cụ thể sách giáo khoa THPT Giáo viên nhiều thời gian để tìm tịi sở lý thuyết xây dựng hệ thống tập Giáo viên gặp khó khăn tìm tài liệu để mở rộng kiến thức ví dụ ứng dụng Giáo viên chưa có có kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phương trình hệ phương trình Giáo viên nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác học sinh Thời gian để giáo viên hướng dẫn chữa tập cho học sinh không nhiều Đối với giáo viên không chủ chốt tổ chuyên môn có hội dạy đội tuyển dạy luyện thi Đại học việc phân loại tập, trình bày lời giải cịn hạn chế đơi lúc cịn mắc sai lầm Đối với học sinh Học sinh thường có hứng thú với vấn đề giáo viên đặt lúc bắt đầu học Tuy nhiên, học đến định nghĩa xây dựng định lý, hệ học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu mơ hồ vận dụng làm tập Những học sinh trung bình chưa thể hiểu kỹ lý thuyết vận dụng vào tập Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ khái niệm, định nghĩa ví dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải tốn chưa khoa học cịn mắc nhiều sai lầm Khả tìm tịi tự học đa số học sinh hạn chế học chưa có khả rút kinh nghiệm, hệ thống dạng tập Nhiều học sinh chưa biết nhiều phương pháp giải toán, kỹ kỹ xảo để xử lý dạng tập phức tạp 1.2.2 Những khó khăn sai lầm học sinh Sau học xong chuyên đề ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán lúc vận dụng học sinh mắc nhiều sai lầm lý thuyết, chẳng hạn ta xem xét toán sau Bài tốn Gải phương trình Phân tích Có số học sinh thực lời giải tốn sau Phương trình cho tương đương với phương trình Xét hàm số , Ta có (*) , suy hàm số đồng biến Từ phương trình (*) dạng , mà ta lại có nghiệm phương trình cho Nguyên nhân sai lầm học sinh chưa nắm kỹ khái niệm tính đơn điệu hàm số, ngồi phải xét phải ý cịn số điểm hữu hạn hàm số đồng biến, rõ ràng lời giải ta thấy cho ta vô số điểm nên chưa thể khảng định chắn hàm số xét đồng biến Bài tốn Gải phương trình Phân tích Sai lầm học sinh thực lời giải tập chỗ tập xác định phương trình nên tính đạo hàm hàm số Nếu điểm rõ ràng đạo hàm khơng xác định Đây sai lầm nhỏ phổ biến trình học sinh làm tập Phải ý cho học sinh rằng, tính đạo hàm hàm số khoảng mở điểm đầu mút phải tính trực tiếp định nghĩa đạo hàm Bài toán Gải hệ phương trình Phân tích Với số học sinh có biết chút phương pháp hàm số nhận thấy phương trình (1) hệ xét hàm số đặc trưng lập luận cho kết , kết có trường hợp Nguyên nhân hàm số đơn điệu khoảng bị gián đoạn điểm nên chẳng hạn cho ta kết Bài toán Gải phương trình Phân tích Bài tập tác giả cho học sinh nhà học theo Đã có số học sinh đưa lời giải, có số học sinh không làm hỏi giáo viên dạy lớp tác giả thấy lời giải khơng xác Hầu hết em cho kết nghiệm biến đổi phương trình dạng , em quên đơn điệu khoảng thị hàm số từ xét hàm số đồ có hai nhánh nên số nghiệm phương trình hai kết ngồi nghiệm cịn có nghiệm Bài tốn Giải hệ phương trình Phân tích Những học sinh có lực học trung bình tương đối khó khăn giải tập này, kể học sinh nhiều em mắc sai lầm Đó nhìn vào hệ phương trình ta có điều kiện viết dạng Từ phương trình (1) em với hàm đặc trưng có từ lập luận cho kết Nguyên nhân sai lầm học sinh chưa đánh giá đặc trưng phải đại diện cho biến vào miền biến Do biến biến thuộc thuộc vào miền (có thể lấy miền biến rộng hơn, khơng lấy miền hẹp hơn), rõ ràng với điều kiện ta thấy biểu thức cho biến hai biến nên hàm đặc trưng biến chưa đại diện Một số tập kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, thi Đại học nhiều học sinh không nhận xét đánh giá chặt biến nên điều kiện biến đặc trưng không giúp cho hàm số đặc trưng đơn điệu ( Thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2013) (Thi ĐH khối A, A1 năm 2013) Bài toán Giải phương trình Lời giải ĐK: Phương trình cho tương đương với phương trình Trong Ta có biến với (*) Suy hàm số Do từ (*) cho ta Vậy phương trình có nghiệm đồng Lời giải ĐK: Phương trình cho tương đương với phương trình Vậy phương trình có nghiệm Phân tích Ta thấy lời giải cho kết xác, nguyên nhân lời giải sai lầm là; Việc xét hàm số biến , hàm số biến lời giải chưa chuẩn xác, Cụ thể , nên Như theo lời giải ta khảo sát hàm số mà chưa khảo sát hàm số nghiệm Từ làm 1.3 Lý chọn sáng kiến Qua phân tích sở lý luận phương pháp dạy học theo hướng rèn luyện kỹ giải toán, phân tích thực trạng giảng dạy giáo viên, phân tích khó khăn sai lầm học sinh sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trrình hệ phương trình Ngồi thân tơi trình dạy học năm gần theo dõi đề thi ĐH, thi HSG cấp ln có phần ứng dụng phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình Quan trọng sách giáo khoa, tài liệu tham khảo thị trường chưa có nhiều chưa xếp thành hệ thống đầy đủ dạng tập sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình Từ kinh nghiệm qua giảng dạy nghiên cứu mảng chun đề tốn học THPT, tơi đề xuất phương pháp rèn luyện kĩ giải phương trình hệ phương trình phương pháp hàm số Chính lý nên tơi chọn tên sáng kiến là: “Rèn luyện kĩ sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình” HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phân tích sở lý thuyết 2.1.1 Dấu hiệu đạo hàm tính đơn điệu hàm số Định lí Cho hàm số có đạo hàm (Kí hiệu khoảng, đoạn nửa khoảng) a) Nếu với thuộc đồng biến b) Nếu với thuộc nghịch biến (Hàm số đồng biến nghịch biến điệu gọi chung hàm số đơn ) Chú ý Ta có định lí mở rộng sau Giả sử hàm số điểm có đạo hàm số hữu hạn a) Nếu với thuộc đồng biến b) Nếu với thuộc nghịch biến 2.1.2 Dấu hiệu hàm số tồn nghiệm phương trình Định lí Cho hàm số liên tục đoạn phương trình có nghiệm khoảng 2.1.3 Các kết giải toán Kết Xét với Hàm số khoảng, đoạn nửa khoảng liên tục đơn điệu khoảng ,( phương trình số) có nhiều nghiệm trình khơng có nghiệm Kết Xét với Hàm số khoảng, đoạn nửa khoảng liên tục đơn điệu Ta có Kết Xét với Cho phương trình ) khoảng, đoạn nửa khoảng , 10 (có thể phương