MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT mới hiện nay các bài toán ứng dụng tích phân trong sách giáo khoa , sách bài tập của học sinh còn chưa có nhiều và các s.. Tài liệu viết về sáng tạo bất đẳng thức cơ bản của tích phân, ứng dụng tích phân để chứng minh phương trình có nghiệm
A.Lý chọn đề tài MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Trong chương trình tốn THPT tốn ứng dụng tích phân sách giáo khoa , sách tập học sinh chưa có nhiều sách tham khảo có đề cập đến mà thấy chưa hệ thống trọng tâm cho Hơn đề thi ĐH CĐ, đề thi học sinh giỏi tốn ứng dụng tích phân để chứng minh, xây dựng bất đẳng thức, xác định nghiệm phương trình hay xuất Nhằm giúp em học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho thi ĐH, thi HSG, viết chuyên đề qua khích lệ tinh thần sáng tạo say mê hứng thú học toán em học sinh, nâng cao tinh thần tự học tập yêu nghề giáo viên Rất hi vọng tơi viết đề tài đồng nghiệp em học sinh đóng góp hưởng ứng để giúp tơi có kinh nghiệm bổ sung hồn thiện tốt đề tài B Nội dung đề tài Cơ sở lý thuyết a) Cho hàm số f(x) liên tục đoạn có đạo hàm (a;b) thỏa mãn phương trình f(x)=0 có nghiệm (a;b) Chứng minh: F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ta có F’(x)=f(x) Theo định lý Lagrange ta có => f(c)=0 => Phương trình f(x)=0 có nghiệm thuộc khoảng (a;b) b) Cho hai hàm số f(x) g(x) khả tích f(x) < g(x) với Nếu t ta có c) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x=a, x=b hai đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục cho công thức sau S= xác định Ứng dụng tích phân để chứng minh phương trình có nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm Bài giải: Ta xét Vậy phương trình có nghiệm Bài 2: Cho m>0 a, b, c số thực thỏa mãn đồ thị hàm số y= khoảng (0;1) Bài giải: Yêu cầu toán ta có Hay Chứng minh ln cắt trục ox điểm có hồnh độ thuộc có nghiệm thuộc khoảng (0;1) có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Ta xét Vậy ln cắt trục ox điểm có hồnh độ thuộc khoảng (0;1) Bài 3: Với a, b, c tùy ý cho trước Chứng minh phương trình acos3x+b cos2x+c cosx+sinx=0 ln có nghiệm thuộc (0; ) (ĐH Quốc gia Hà Nội 1999) Bài giải: Xét Vậy phương trình acos3x+b cos2x+c cosx+sinx=0 ln có nghiệm thuộc (0; Bài 4: Chứng minh phương trình nghiệm phân biệt Bài giải: Ta đặt f(x)= ) (1) có ta có Vì (1) có nghiệm khoảng (-4;-3), (-3;-2), (-2;-1), (-1;0) mà (1) lại phương trình bậc nên (1) có nghiệm phân biệt Bài 5: Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt thuộc (-1;2) Bài giải: Phương trình cho tương đương với ta tìm nguyên hàm f(x)= Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng (-1;0), (0; ), ( ) nên phương trình (1) có nghiệm thuộc (-1;2) Bài 6: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn , khả vi (a;b) f(a)=f(b)=0 Chứng minh với k , phương trình f(x)+kf’(x)=0 (1) ln có nghiệm thuộc (a;b) (HSG Tỉnh Quảng Bình) Bài giải: Phương trình (1) (1*) có nghiệm thuộc (a;b) Ta xét => (1*) có nghiệm thuộc (a;b) Hay (1) ln có nghiệm thuộc (a;b) Ứng dụng tích phân để phát biểu chứng minh bất đẳng thức Bài 1: 1) Ta có bất đẳng thức hiển nhiên sau: (1) 2) Từ (1) với x > ta có Vậy ta có (2) 3) Từ (2) với x > ta có Vậy ta có (3) ( HSG Tỉnh Thái Bình Năm 200-2001) 4) Từ (3) với x > ta có Vậy ta có (4) (HSG Tỉnh Hải Dương năm 2008) 5) Sử dụng lập luận phương pháp chứng minh qui nạp ta có kết tổng quát sau: (5) Và cho x=1 ta có bất đẳng thức đặc biệt sau Bài 2: 1) Ta xuất phát từ bất đẳng thức hiển nhiên (1) 2) Từ (1) với x > ta có Vậy ta có (2) 3) Từ (2) với x>0 ta có Vậy ta có (3) 4) Từ (3) với x>0 ta có Vậy ta có (4) 5) Lại làm ta chứng minh (5) Sử dụng lập luận phương pháp chứng minh qui nạp ta có kết tổng quát sau 6) Lại làm ta chứng minh (6) Sử dụng lập luận phương pháp chứng minh qui nạp ta có kết tổng quát sau 7) Từ (4) ta biến đổi dẫn đến Vậy ta có 8) Từ (5) với (7) ta có > Vậy ta có >cosx (8) 9) Từ (7) (8) cho ta bất đẳng thức sau (9) (Olympic 30-4 lần IV) 10) Từ (9) với ta có Vậy ta có (10) Nếu khai thác thêm chút (10) ta có bất đẳng thức sau Tam giác ABC nhọn ta có Bài 3: 1) Ta từ bất đẳng thức hiển nhiên sau 2) Từ (1) với Vậy ta có ta có (2) (1) 3) Từ (2) với Vậy ta có 4) Với Vậy ta có 5) Với ta có (3) ta lấy hai bất đẳng thức (2) (3) nhân vế với vế ta có (4) ta lại lấy hai bất đẳng thức (2) (4) nhân vế với vế ta có Vậy ta có (5) Sử dụng lập luận phương pháp chứng minh qui nạp ta có kết tổng quát sau (6) Bai 4: Chứng minh a) b) Bài giải: a) Xét hàm số nên phương trình F’(x)=0 có nghiệm a khoảng Hàm số F(x) lồi mà , tức F(x) đạt cực đại a nên (1) b) Nhận thấy với x=0 ta ln có ta cần chứng minh Với theo bất đẳng thức (1) phần a) ta có: , Vậy ta có Bài 5: a) Chứng minh: b) Chứng minh: Bài giải: a) Với theo bất đẳng thức cơsi ta có , Từ bất đẳng thức ta có b) Với (HSG Tỉnh ConTum 2005-2006) theo bất đẳng thức cơsi ta có Ta tổng quát sau Khai thác thêm chút ta có tập Trong tam giác ABC nhọn ta có tốn Bài 6: 1) Ta biết với Vậy ta có 2) Từ (1) với x>0 ta có (1) Vậy ta có (2) (HSG Thái Bình 2006-2007) 3) Với x>0 ta có Vậy ta có (3) Khai thác thêm (3) chút ta có 4) Ta có Vậy ta ln có 4) Bài 7: Cho hàm số Chứng minh Bài giải: Theo đề ta có (HSG Tỉnh Hải Dương 2007) Bài 8: Chứng minh Bài giải: Ta xét tích phân sau Qua cơng thức truy hồi ta có Do Vận dụng (1) (2) ta có => (đpcm) Từ bất đẳng thức ta có Đây cơng thức Wallis nhà tốn học Jodn Wallis(người Anh) tìm Cơng thức để tính gần số Bài 9: Chứng minh với số tự nhiên N Bài giải: ta có Bài 10: Cho số p>1, q>1 liên hệ với Thế a, b dương ta có (Bất đẳng thức Young) Bài giải: Ta xét đường cong Ta có Ta thấy (Hình bên) tổng diện tích S, S' ln lớn diện tích hình chữ nhật y OACB B C b Mà diện tích hình chữ nhật OACB là: OA.OB=a.b Và S => S' A a Bài 11: Cho Chứng minh Bài Giải: Xét đường cong y=lnx ( ).(Hình bên) Ta thấy diện tích hình chữ nhật OACB khơng lớn tổng diện tích S, S' Mà diện tích hình chữ nhật OACB là: OA.OB=b(a-1) y a-1 B C S S' 10 A b x x Bài 12: Chứng minh với số tự nhiên n>1 ta có Bài giải: y Bn Trong mặt phẳng toạ độ lấy điểm B4 nằm trục hồnh B3 Có hồnh độ theo thứ tự 1, 2, 3, ,n B2 Gọi nằm đường cong B1 y=lnx có hình chiếu lên trục ox A1 A2 A3 A4 An x điểm (Hình bên) Thấy diện tích hình thang cong A1BnAn lớn tổng diện tích hình thang A1B2A2, A2B2B3A3, , An-1Bn-1Bn An Vậy ta có Bài tập rèn luyện Bài Chứng minh phương trình 2(x-1)sin2x-cos2x+ có nghiệm Bài 2: Cho phương trình : Chứng minh tồn m thuộc N* cho phương trình ln có nghiệm x thuộc (0;1) Bài 3: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm asin6x+bcos5x+csin4x+dcos3x+esinx=0 Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn , khả vi (a;b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm thuộc khoảng (a;b) Bài 5: Cho số a,b dương.Chứng minh rằng: 11 Bài 6: Cho a>0, b>0, n nguyên dương Chứng minh rằng: Bài 7: Chứng minh với n nguyên dương ta có Bài 8: Cho a2(cosb-cosa) Bài 9: Chứng minh rằng: ex >ln(1+x)+1 với x>0 Bài 10: Chứng minh C Kết luận, kết kiến nghị Đề tài ứng dụng tích phân rộng, dạng tập nghiên cứu sáng tạo sưu tầm tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp Tôi hy vọng đề tài tơi cung cấp cho quí đồng nghiệp em học sinh phương pháp mới, cách suy nghĩ tích phân việc chứng minh phương trình có nghiệm tìm tòi sáng tạo, chứng minh bất đẳng thức Ngay từ năm tơi cịn sinh viên đại học có lần bạn phịng tơi có nói ứng dụng tích phân để chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức lúc tơi chưa suy nghĩ nhiều loại tốn Sau tốt nghiệp trường nhà trường tín nhiệm phân cơng giảng dạy lớp 12 năm vừa qua Trong trình giảng dạy nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi tơi tích lũy suy nghĩ nhiều ứng dụng lạ hiệu tích phân Qua trao đổi với đồng nghiệp trường thắc mắc, vấn đề lý thuyết viết chuyên đề giới thiệu cho em học sinh có lực học lớp 12A1, 12A2 đồng nghiệp nhóm chun mơn Kết thật đáng để khích lệ em học sinh hứng thú tiếp thu nắm bắt nội dung đồng nghiệp hưởng ứng đóng góp ý kiến q báu! Trong khn khổ viết ta thấy có nhiều vấn đề bỏ ngỏ bất đẳng thức tích phân, dùng tích phân để tính giới hạn chứng minh đẳng thức tổ hợp… Trong trình viết chuyên đề cố gắng nhiên việc sai sót khơng tránh khỏi kính mong q đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Qua việc viết sáng kiến kinh nghiệm cho nhiều kiến thức q báu say mê học hỏi tìm tịi sáng tạo Vì tơi mong sở giáo giục thường xuyên tổ chức hội thảotheo chuyên đề, viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm thật mạnh mẽ liên tục để giáo viên chúng tơi có hội học hỏi sáng tạo kiến thức Cuối xin kính chúc q đồng nghiệp tìm phần kinh nghiệm qua đề tài tôi, chúc cho nghiệp giáo dục tỉnh nhà tăng tiến Xin trân trọng cảm ơn! 12 13