(SKKN MỚI NHẤT) RÈN LUYỆN KỶ NĂNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

NỘI DUNG: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỂN

Cơ sở lý luận

2.1.1 Kỷ năng và kỷ năng giải toán

Theo từ điển tiếng việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế’’ [24,tr426]

Theo giáo trình tâm lý học đại cương, kỹ năng được định nghĩa là khả năng sử dụng dữ kiện, tri thức và khái niệm đã có để nhận diện thuộc tính và bản chất của sự vật, từ đó giải quyết thành công các nhiệm vụ lý luận hoặc thực hành cụ thể.

Như vậy kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản

Môn toán trong trường phổ thông đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển nhân cách học sinh Kỹ năng học toán là yếu tố then chốt, giúp học sinh phát huy tư duy và đáp ứng nhu cầu giải quyết vấn đề hiệu quả.

2.1.1.3 Vai trò của kỹ năng giải toán

Việc rèn luyện kỹ năng giải toán là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành

Dạy học hiệu quả đòi hỏi học sinh không chỉ thuộc lòng khái niệm, định nghĩa và định lý, mà còn phải hiểu bản chất của chúng để có thể áp dụng vào giải bài tập Giải bài tập toán được coi là "chìa khóa" rèn luyện kỹ năng giải toán Để phát triển kỹ năng này, giáo viên cần chú trọng đến một số vấn đề quan trọng.

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận biết ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối liên hệ giữa chúng

- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại

Ngoài ra một yêu cầu hết sức quan trọng là phải kích thích hứng thú cho học sinh bằng cách rèn luyện các mặt sau

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau và so sánh các cách giải khác nhau để hiểu sâu sắc hơn

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm đặc điểm của bài toán

2.1.1.4 Phân loại các kỹ năng trong môn toán

- Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

- Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.

Cơ sở thực tiễn

2.2.1 Thực tiễn dạy học rèn luyện

Sau 20 năm giảng dạy, tôi nhận thấy rằng hầu hết học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu và áp dụng các khái niệm, định lý và hệ quả Sự trừu tượng và mơ hồ trong kiến thức khiến các em khó khăn khi làm bài tập.

Nhiều học sinh chưa hiểu về khái niệm, định lý và các ví dụ mẫu nên dẫn đến giải bài tập còn mắc nhiều sai lầm

Khả năng phân tích bài toán và nhận diện các dấu hiệu đặc trưng của nó còn hạn chế Hơn nữa, đa số học sinh thiếu khả năng tìm tòi và tự học, điều này ảnh hưởng đến quá trình tiếp thu kiến thức và giải quyết vấn đề.

Nhiều giáo viên thiếu cơ hội giảng dạy lớp mũi nhọn và ôn luyện thi đại học, dẫn đến sự sa sút về kiến thức Tình trạng này đã ảnh hưởng đến khả năng định hướng và giải quyết vấn đề cho học sinh, khiến quá trình dạy học gặp nhiều sai sót.

2.2.2 Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh Để khảo sát và tìm hiểu về tình hình học tập của học sinh tôi phát phiếu khảo sát cho học sinh hai lớp 12A1, 12A6 với nội dung phiếu khảo sát như sau

Họ và tên học sinh: ……… Lớp: … …

Em hãy trả lời các câu hỏi sau

Câu Nội dung Có Không

1 Em có thích học bộ môn toán không?

2 Em có gặp khó khăn khi giải phương trình ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao không?

3 Em có thành thạo việc sử dụng ứng dụng của đạo hàm vào việc giải phương trình không?

4 Em có hứng thú khi học chương 1: Ứng dụng của đạo hàm không?

5 Em có nắm được và hiểu được định lý Lagrange không ?

2.2.3 Những khó khăn và sai lầm của học sinh

Bài toán 1 Giải phương trình: sinx = x (1)

Phân tích: Có một số học sinh đã giải như sau

Ta có f    x   1 c osx    o, x Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R, mà ta lại có f(0) = 0 Nên phương trình (*) có dạng f(x) = f(0)  x 0 là nghiệm của phương trình đã cho

Sai lầm của học sinh thường xuất phát từ việc chưa hiểu rõ tính đơn điệu của hàm số Để xác định hàm số đồng biến, không chỉ cần xem xét điều kiện f'(x) ≥ 0, mà còn phải chú ý đến các điểm hữu hạn mà f'(x) = 0.

  0 2 , f x   x k  kR là vô số điểm nên chưa thể khẳng định được hàm số đồng biến trên

Bài toán 2 Giải phương trình: x 2 3x 1 2x 1 0

Học sinh giải như sau: ĐK 1 x2 Phương trình đả cho tương đương

Ta có   2 1 0, 1 f t     t t 2 và   0 1 f t   t 2 Suy ra f(t) đồng biến trên 1

   Từ đó phương trình (*) cho ta 0 2

        Vậy phương trình có một nghiệm x = 1

Nguyên nhân lời giải sai lầm là việc xét hàm số: f t     t 2 t trên

0;2 t  nên làm mất đi nghiệm x 2 2

Bài toán 3 Giải phương trình ; 2 3x x 3 x 2x1

Phân tích: Học sinh đưa ra lời giải như sau

Phương trình tương đương  2 x  1 3  x  2 x  1 vì 1 x 2 không phải là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho 2x - 1, được 2 1

 có   0, 1 f x  x 2 nên hàm số đơn điệu với mọi x2

Và f(1) = 0 suy ra x = 1 là nghiệm

Sai lầm của lời giải là học sinh không nhận thấy đồ thị hàm 2 1

 có hai nhánh nên xét sự tương giao của hai đồ thị 2 1

 và y3 x cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là x = 1 ; x = -1.

Các giải pháp thực hiện

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học sơ cấp, đặc biệt là trong các kỳ thi như THPT Quốc gia và kỳ thi đánh giá năng lực vào các trường Đại học Trong bài viết này, tôi sẽ tập trung vào những ứng dụng thường gặp của đạo hàm mà học sinh cần nắm vững để chuẩn bị cho các kỳ thi này.

 Giải các phương trình vô tỉ, mũ, logarít

Tôi trình bày các bài toán một cách chi tiết và phân tích cách giải để giúp học sinh nhận biết thời điểm sử dụng công cụ đạo hàm một cách hiệu quả.

Sau đây tôi xin trình bày một số hoạt động thể hiện nội dung đề tài:

Khi giải các phương trình vô tỉ, mũ và logarit, học sinh thường gặp khó khăn khi áp dụng các phương pháp thông thường như đặt ẩn phụ hay lũy thừa Để khắc phục tình trạng này, cần sử dụng những công cụ và phương pháp phù hợp hơn nhằm giải quyết hiệu quả các loại phương trình phức tạp này.

Phương trình có thể được hiểu là sự giao nhau của hai đồ thị từ hai hàm số trong một phương trình nhất định Để khảo sát đồ thị của một hàm số, cần sử dụng các công cụ phù hợp nhằm phân tích và đánh giá các đặc điểm của nó.

“lợi hại” đó chính là đạo hàm Vậy thử sử dụng công cụ đạo hàm có được không ? nếu sử dụng thì sử dụng như thế nào ?

Trước hết tôi yêu cầu học sinh phải nắm được các tính chất cơ bản sau:

 Tính chất 1 Nếu hàm số f x   đơn điệu trên tập D , với x x 1 , 2 D khi đó ta có:

 Tính chất 2 Nếu hàm số f x   đơn điệu và liên tục liên tục trên khoảng

  a b ; thì tồn tại nhiều nhất một điểm x 0  a b; để f x   0 0

 Tính chất 3 (Định lí Bolzano-Cauchy )

Nếu hàm số f x  liên tục trên   a b ; và f a f b      0thì tồn tại ít nhất một điểm x 0  a b; để f x   0 0

Nếu hàm số f x  liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình f x    0 có không quá một nghiệm trên D

2.3.1 Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên   a b ;

Ví dụ mở đầu a) Trước hết ta xét phương trình sau: 4 x 3.2 x 10

Nhận xét: Đặt t2 ; x t0, ta được phương trình bậc 2 theo t Giải phương trình này tính được t từ đó tính được nghiệm x của phương trình

Khi xem xét phương trình với góc nhìn mới, ta nhận thấy vế trái có vẻ là hàm số tăng trên tập xác định của phương trình Dựa vào tính chất bậc hai, phương trình này tồn tại nhiều nhất một nghiệm, và dễ dàng nhận thấy x = 1 là một nghiệm Tiếp theo, ta sẽ phân tích một phương trình phức tạp hơn: \(1 - \frac{x}{x + 3} = 2\).

Nhận xét: Phương trình này giải bằng cách: Phương trình

     bình phương 2 vế của phương trình 2 lần, tính được nghiệm

Nếu quan sát kỹ, vế trái "có vẻ" là hàm số giảm trên toàn bộ miền xác định của phương trình Dựa vào tính chất 3, phương trình này tồn tại nhiều nhất một nghiệm, và dễ dàng nhận thấy rằng x = -3 là nghiệm của phương trình.

Từ những nhận xét này tôi hình hành cho học sinh các bước giải như sau:

Bước 0 Bước phán đoán phương trình có nghiệm duy nhất (có thể xem là bước phân tích)

Bước 1 Xây dựng hàm số f x   trên MXĐ của phương trình

Bước 2 Xét dấu đạo hàm f '   x để phát hiện tính tăng giảm, nên phương trình nếu có nghiệm thì chỉ có tối đa là một nghiệm

Bước 3 Tìm một nghiệm x  x 0 của phương trình

Tôi xin minh họa qua các bài toán cụ thể sau:

Nhận xét: Trong quá trình giảng dạy tôi thường chia lớp thành các nhóm để học sinh trao đổi và thảo luận và nhận thấy

Bài toán này học sinh thường giải như sau:

+) Bình phương 2 vế của phương trình ta được

+) Tới đây không thể đặt ẩn phụ cũng như bình phương 2 vế được nữa vì rất phức tạp và lời giải đi vào bế tăc

Do đó tôi hướng học sinh suy nghỉ đến một cách cách giải khác

Học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề

Dấu hiệu nhận biết: Khi xem xét kỹ lưỡng, có thể thấy rằng các biểu thức dưới dấu căn là những hàm số tăng, cụ thể là các hàm số bậc nhất với hệ số a > 0.

Học sinh lựa chọn cách thức, công cụ để giải quyết đó là sử dụng đạo hàm và các tính chất nêu ở trên

Học sinh thu thập các thông tin và làm rõ các thông tin

Sau đó học sinh thực hiện giải quyết vấn đề

Giải bài toán 1 ĐKXĐ của phương trình là: x2

Bước 1 Xét hàm số: f x    x   1 x   2 2 x  10  7 , với x2

Bước 2 Xét dấu đạo hàm

 hàm số tăng trên  2;  do đó theo tính chất 4 thì phương trình f x    0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Bước 3 Tìm một nghiệm mặt khác f   3  0 nên x  3 là nghiệm

Phương trình có nghiệm x = 3 Để đáp ứng yêu cầu của kỳ thi THPTQG và các kỳ thi đánh giá năng lực, học sinh cần rèn luyện khả năng tính toán nhanh Tôi khuyên học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải bài toán hiệu quả hơn.

Bước 2 Do hàm số đơn điệu và f     2 f 4  0 nên phương trình chỉ có một nghiệm    2;4

Bước 3 Chọn STEP = 0,5 máy tính hiện bảng kết quả x f(x)

Qua bài toán này, tôi đã giúp học sinh phát triển các năng lực toán học quan trọng, bao gồm năng lực tư duy và lập luận, khả năng giải quyết vấn đề, kỹ năng giao tiếp toán học, năng lực hợp tác, cũng như khả năng sử dụng công cụ toán học hiệu quả.

Bài toán 2 Giải phương trình: x 2 4x 9 x 2 4x 9 6

Giáo viên đã tổ chức cho các nhóm học sinh tiến hành trao đổi và thảo luận Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các phương trình bậc 4 không theo mẫu, dẫn đến tình trạng bế tắc trong việc tìm ra lời giải.

Tôi khuyến khích học sinh sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết bài toán, từ đó phát triển các năng lực toán học như tư duy và lập luận, giải quyết vấn đề, giao tiếp và hợp tác trong học tập.

 Hàm số yx 2 4x9 tăng với x 2, giảm với x 2

Hàm số y x 2 4x9 tăng với x2, giảm với x2

Như vậy hàm số vế trái của phương trình tăng với x2, giảm với x 2, chỉ còn lại khoảng  2; 2 

 Phương trình f '   x  0chỉ có một nghiệm duy nhất x0 và giá trị này cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Do đó phải lập được BBT của hàm số

Bước 1 Xét hàm số: f x    x 2  4 x   9 x 2  4 x   9 6 , trên

Bước 2 Xét dấu đạo hàm

Vậy ta có BBT sau x  2 0

Bước 3 Dựa vào BBT ta có phương trình có nghiệm duy nhất x0

Phân tích: Giáo viên tổ chức lớp thành các nhóm học tập trao đổi và thảo luận

Học sinh phát hiện được vấn đề: Để giải phương trình này học sinh có các lựa chọn

1 khảo sát sự tương giao của hai đồ thị Với cách lựa chọn này học sinh gặp khó khăn khi khảo sát hàm số f x   x 1 x

2 Đưa phương trình về dạng : f x   ln x x 1 0 x

    và xét dấu đạo hàm chứng minh hàm đơn điệu trên tập xác định và áp dụng tính chất 1

Dấu hiệu: Loại phương trình được gọi là phương trình “siêu việt” Biến đổi phương trình về dạng : f x   ln x x 1 0 x

    và nhận thấy hàm đơn điệu trên khoảng  0;   nên theo tính chất 2 phương trình có nhiều nhất một nghiệm

Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề

Bước 1 Xét hàm số: f x   ln x x 1 x

Bước 2 Xét dấu đạo hàm

         do đó phương trình f x    0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Bước 3 Tìm một nghiệm mặt khác f   1  0 nên x  1 là nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

Giáo viên đã hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh bài toán, từ đó giúp hình thành các năng lực toán học quan trọng như tư duy và lập luận, giải quyết vấn đề, giao tiếp toán học, hợp tác, và sử dụng công cụ toán học.

Giải phương trình: sin 2 cos 2

Nhận xét: Đầu tiên tôi cố gắng hình thành cho học sinh năng lực tư duy và lập luận toán học sinh như sau:

Dấu hiệu: phân tích và đưa về cùng số mũ

2 sin sin sin sin cos 2 1 2sin

Hình thành năng lực giải quyết vấn đề toán học đòi hỏi học sinh nhận diện rằng các hàm số ở vế trái đều là hàm số giảm, từ đó lựa chọn phương pháp và giải pháp phù hợp để giải quyết bài toán.

Chúng ta có thể điều chỉnh dữ kiện bằng cách biến đổi vế trái của phương trình thành tổng của hai hàm đồng biến, từ đó tạo ra một bài toán mới Qua quá trình này, học sinh sẽ phát triển khả năng sáng tạo trong toán học.

Tiếp tục hình thành năng lực giao tiếp toán học ( Trình bày lời giải)

2 sin sin sin sin cos 2 1 2sin

        Đặt t sin 2 x, ĐK của t là: t    0;1

Bước 2 Xét dấu đạo hàm

    do đó phương trình f t    0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Chú ý là log 1296 6 4 vì f   0  4 nên t  0 là nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm xk ,k

Nhận dạng phương pháp trong các phương trình mũ và logarit dễ hơn so với các phương trình vô tỉ Để thực hiện điều này, cần phát hiện các dấu hiệu đặc trưng của bài toán, bao gồm việc xây dựng hàm y = f(x) trên miền xác định D Đồng thời, cần phải thành thạo tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để chỉ ra tính đơn điệu của hàm số trên D.

Thực nghiệm sư phạm

2.4.1 Mục đích của thực nghiệm

Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.3 Tổ chức thực nghiệm a Địa điểm và đối tượng thực nghiệm

- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại đơn vị trường THPT Tân Kỳ 3, huyện Tân Kỳ, tỉnh Nghệ An b Thời gian thực nghiệm

Vào tháng 11 năm 2021, tôi đã tiến hành dạy 3 buổi ở lớp 12A1 theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm, đồng thời thực hiện 3 buổi đối chứng ở lớp 12A6 không theo nội dung và tiến trình của sáng kiến này Công tác chuẩn bị cho các buổi dạy được thực hiện kỹ lưỡng để đảm bảo chất lượng giảng dạy.

- Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm 12A1

- Soạn bài và giảng dạy theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm d Tổ chức thực nghiệm

Soạn bài và giảng dạy theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

Tiến hành kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm

Dạy cùng các bài toán cùng nội dung sáng kiến nhưng không theo tiến trình sáng kiến

Tiến hành kiểm tra cùng một đề như lớp thực nghiệm

2.4.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

Khi áp dụng sáng kiến vào thực tiễn tôi nhận thấy

Học sinh trong lớp thực nghiệm thể hiện sự hứng thú cao hơn trong việc học tập, với sự tích cực và chủ động trong các giờ học Điều này giúp các em phát huy tính độc lập và sáng tạo, đồng thời biết phân tích và nhận diện các đặc điểm đặc trưng của bài toán.

Học sinh lớp đối chứng 12A6 vẫn còn thụ động trong việc tiếp thu kiến thức, chưa nhận diện được các dấu hiệu và đặc điểm đặc trưng của bài toán Điều này dẫn đến việc các em không thể giải quyết các bài tập tương tự hoặc thường xuyên mắc phải những sai lầm phổ biến.

Kết quả khảo sát khả năng lĩnh hội của các em học sinh là khá cao, phán ảnh rõ ở bài khảo sát Kết quả:

Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu