LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12

TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình khơng gian 3.2 Hai hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi 5.2 Khối đa diện 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp 6.2 Thể tích khối lăng trụ 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật 6.4 Thể tích khối lập phương 10 6.5 Tỉ số thể tích 10 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt 10 CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 10 7.1 Hệ thức lượng tam giác 10 7.2 Các cơng thức tính diện tích 11 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP 12 CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 14 PHẦN II MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 16 MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN 16 1.1 Mặt nón tròn xoay 16 1.2 Khối nón 16 1.3 Thiết diện cắt mặt phẳng 16 MẶT TRỤ TRÒN XOAY 17 ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 2.1 Mặt trụ 17 2.2 Hình trụ trịn xoay khối trụ tròn xoay 17 MẶT CẦU – KHỐI CẦU 18 3.1 Mặt cầu 18 3.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 18 3.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 19 3.4 Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu 19 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI 20 4.1 Bài tốn mặt nón 20 4.2 Một số dạng tốn cơng thức giải toán mặt trụ 23 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 25 5.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 25 5.2 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 28 5.3 Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 29 5.4 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 30 5.5 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu 31 TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 32 6.1 Chỏm cầu 32 6.2 Hình trụ cụt 33 6.3 Hình nêm loại 33 6.4 Hình nêm loại 33 6.5 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay 33 6.6 Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip 33 6.7 Diện tích hình vành khăn 33 6.8 Thể tích hình xuyến (phao) 34 PHẦN HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 35 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 35 1.1 Các khái niệm tính chất 35 1.2 Phương pháp giải số toán thường gặp 37 MẶT PHẲNG 38 2.1 Các khái niệm tính chất 38 2.2 Viết phương trình mặt phẳng 39 2.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 41 ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 2.4 Khoảng cách hình chiếu 42 2.5 Góc hai mặt phẳng 42 2.6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 42 ĐƯỜNG THẲNG 43 3.1 Phương trình đường thẳng 43 3.2 Vị trí tương đối 44 3.3 Góc khơng gian 46 3.4 Khoảng cách 47 3.5 Lập phương trình đường thẳng 48 3.6 Vị trí tương đối 51 3.7 Khoảng cách 51 3.8 Góc 52 MẶT CẦU 53 4.1 Phương trình mặt cầu 53 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng 53 4.3 Một số toán liên quan 53 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 56 5.1 Dạng 56 5.2 Dạng 57 5.3 Dạng 57 5.4 Dạng 57 5.5 Dạng 57 5.6 Dạng 58 5.7 Dạng 58 5.8 Dạng 58 5.9 Dạng 58 5.10 Dạng 10 59 PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP • Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần không gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt • Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) B' S C' D' A' F' N E' A B B C D M A F E D C KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện • Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: ▪ Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung ▪ Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 2.2 Khái niệm khối đa diện • Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện đó • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện đó gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền ngồi khối đa diện • Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền không giao miền miền ngồi hình đa diện, đó có miền chứa hoàn toàn đường thẳng đó d Miền Điểm N Điểm M HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình không gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình không gian: 3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm M thành M' v M ' cho MM ' = v M 3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) Nội dung ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Hình vẽ Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 ( ) M Là phép biến hình biến điểm thuộc P thành nó, biến điểm M không thuộc ( ) P ( ) thành điểm M ' cho P trung trực MM ' I mặt phẳng ( ) Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P ( ) hình H ( ) thành P P M' biến gọi ( ) mặt phẳng đối xứng H 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình M' O M (H ) thành O gọi tâm đối xứng ( H ) 3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM ' I M' M Nếu phép đối xứng trục  biến hình ( H ) thành  gọi trục đối xứng ( H ) * Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ' ) , biến đỉnh, cạnh, mặt ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng ( H ' ) 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ ( ) Nếu khối đa diện H hợp hai khối đa ( ) ( ) ( ) ( ) diện H , H cho H H chung điểm ta nói chia ( ) khối đa diện H ( ) (H ) (H ) (H ) ( ) (H1) thành hai khối đa diện H H , hay lắp ghép hai khối đa diện với để khối đa diện (H) (H2) KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối đó Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa • Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: ▪ Các mặt đa giác n cạnh ▪ Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh   • Khối đa diện gọi khối đa diện loại n, p 5.2.2 Định lí         Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; , loại 4; , loại 3; , loại 5; ,   loại 3;5 Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt Tứ diện 3; 3 Khối lập phương 12 4; 3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5; 3 15 Hai mươi mặt 12 30 20 3;5 15   Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ = 2C = nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó: • Các trọng tâm mặt nó đỉnh khối tứ diện đều; • Các trung điểm cạnh nó đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối đó Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: • Ba đường chéo cắt trung điểm đường • Ba đường chéo đơi vng góc với nhau; • Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V = Hình vẽ S h đáy • S đáy : Diện tích mặt đáy • h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD = d S (S,(ABCD )) ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ V = S đáy h • S đáy : Diện tích mặt đáy • h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V = a.b.c ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 6.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V = a3 6.5 Tỉ số thể tích Nội dung VS AB C  VS ABC = Hình vẽ SA SB  SC  SA SB SC S V = ( h B + B  + BB  B’ A’ Thể tích hình chóp cụt ABC ABC  C’ ) A B C Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt • Đường chéo hình vng cạnh a a • Đường chéo hình lập phương cạnh a : a • Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b, c : a + b + c • Đường cao tam giác cạnh a là: a CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác 7.1.1 Cho ABC vng A , đường cao AH • AB + AC = BC 2 • AB = BH BC • AC = CH BC • AH BC = AB.AC • AH = BH HC 1 = + 2 AH AB AC • AB = BC sinC = BC cos B = AC tanC = AC cot B • ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Trang 10 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Thế (1) , ( ) , ( ) vào phương trình mp ( P ) rút gọn dưa dạng: at + b = (*) • d cắt mp P điểm pt * có nghiệm t • d song song với P pt * vơ nghiệm • d nằm ( P )  Pt (*) có vơ số nghiệm t • d vng góc ( P )  a n cùng phương 3.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng M ' 1  a  b  u M0  u' 2 1 2 ' 1 M M  u  u' M0 M 1  u' 2 M 0' M0  u ' 2 3.2.2.1 Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: 1 qua M có vectơ phương u1  qua N có vectơ phương u2 • 1   •  //   u1 , u2  = u1 , MN  =    u , u  =      u , MN      u , u    2    • cắt   u , u  MN =    • 1  chéo  u1 , u2  MN  3.2.2.2 Phương pháp đại số  pt(1 ) Muốn tìm giao điểm M (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm pt(2 )   x, y, z Suy ra: M ( x , y, z )  3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho đường (S ) : (x − a) thẳng d: x = x + a t (1)  y = y + a t (2)  z = z + a t (3)  mặt cầu + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm I (a;b;c) , bán kính R 3.2.3.1 Phương pháp hình học ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Trang 45 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 • Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu h = d(I , d ) = (S ) đến đường thẳng d IM a    a • Bước 2: So sánh d(I , d ) với bán kính R mặt cầu: ▪ Nếu d(I , d )  R d không cắt (S ) ▪ Nếu d(I , d ) = R d tiếp xúc S ▪ Nếu d(I , d )  R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng ( ) ( ) góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2 Phương pháp đại số Thế (1) , (2 ) , ( ) vào phương trình (S ) rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t ( * ) • Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt S • Nếu phương trình ( * ) có nghiệm d tiếp xúc (S ) • Nếu phương trình ( * ) có hai nghiệm d cắt (S ) hai điểm phân biệt M, N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ,  xác định phương trình : ( ) : A1x + B1y + C 1z + D1 = ( ) : A2x + B2y + C 2z + D2 = Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Trang 46 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 A1A2 + B1B2 + C 1C cos  = A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung Cho () : đường x − x0 a = y − y0 = Hình vẽ thẳng z − z0 b c mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức: sin  = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng : x − x y − y0 z − z = = a b c x − x 0 y − y 0 z − z 0 ( ) : = = a' b' c' Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta ( ) : có cơng thức: cos  = aa ' + bb ' + cc ' a + b + c a '2 + b '2 + c '2 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Cho mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = điểm M (x ; y ; z ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính : d(M ; ) = Ax + By0 + Cz + D A2 + B + C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Hình vẽ Trang 47 TÀI LIỆU DẠY THÊM Cho đường thẳng LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 () qua điểm M (x ; y ; z ) có VTCP u = (a;b; c) Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến () tính cơng thức: d(M1, ) = M M ; u    u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Hình vẽ Định lý: Trong khơng gian ( Oxyz ) cho hai đường thẳng chéo : (1 ) co VTCP u = (a;b;c) va qua M0 (x ; y ; z ) (2 ) co VTCP u ' = (a ' ;b ' ;c ' ) va qua M0' (x 0' ; y0' ; z 0' ) Khi đó khoảng cách (1 ) va ( 2 ) u, u '  M M '   0 tính cơng thức d (1, 2 ) = u; u '    3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng x = x + a t o  d qua điểm M (x ; y ; z ) có VTCP a = (a1; a2 ; a ) (d ) : y = yo + a2t z = z + a t o  ( t  R) 3.5.2 Dạng d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB 3.5.3 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d 3.5.4 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng ( P ) cho trước: Vì ( ) ( ) d ⊥ P nên VTPT P VTCP d ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 48 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 3.5.5 Dạng d giao tuyến hai mặt phẳng P , Q : • Cách 1: Tìm điểm VTCP (P ) ▪ Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với (Q ) việc chọn giá trị cho ẩn) ▪ Tìm VTCP d : a = nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đó 3.5.6 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad1 , ad2  3.5.7 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) , vng góc cắt đường thẳng  • Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  Thì H   Khi đó đường thẳng d đường thẳng qua M , H  M 0H ⊥ u  • Cách 2: ( ) ( ) Gọi P mặt phẳng qua A vuông góc với d ; Q mặt phẳng ( ) ( ) qua A chứa d Khi đó d =   P  Q 3.5.8 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : • Cách 1: Gọi M  d1, M  d2 Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ đó suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) Gọi P = (M , d1 ) , Q = (M , d2 ) Khi đó d = P  Q Do đó, VTCP d chọn a = nP , nQ  3.5.9 Dạng ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 49 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 d nằm mặt phẳng ( P ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : ( ) ( ) Tìm giao điểm A = d1  P , B = d2  P Khi đó d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 ( ) ( ) Viết phương trình mặt phẳng P chứa  d1, mặt phẳng Q chứa  d2 ( ) ( ) Khi đó d = P  Q 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: • Cách 1: MN ⊥ d1 Gọi M  d1, M  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, MN ⊥ d2 d đường thẳng MN • Cách 2: ▪ Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad1 , ad2  ▪ Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d d1, cách: ✓ Lấy điểm A d1 ✓ Một VTPT ( P ) là: nP = a , ad1  ▪ Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d d2 Khi đó ( ) ( ) d = P  Q 3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng P ta Lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa  vng góc với mặt phẳng ( P ) cách: • Lấy M   • Vì (Q ) chứa  vng góc với ( P ) nên nQ = a  , nP  • Khi đó d = ( P )  (Q ) 3.5.13 Dạng 13 d qua điểm M , vng góc với d1 cắt d2 : • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 50 TÀI LIỆU DẠY THÊM ( ) Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa M Khi đó d = ( P )  (Q ) LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 ▪ Viết phương trình mặt phẳng P qua M vng góc với d1 ▪ ▪ d2 3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: M M , a    M Cho đường thẳng d qua có VTCP a d(M , d ) = a • Cách 2: ▪ Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d ( ) ▪ d M , d = MH • Cách 3: ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 51 TÀI LIỆU DẠY THÊM ( LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 ) ▪ Gọi N x ; y; z  d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) ▪ Tìm t để MN nhỏ ▪ Khi đó N  H Do đó d ( M , d ) = MH 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP a , d qua điểm M có VTCP a d(d1, d2 ) = a1, a2  M 1M a1, a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng ( ) chứa d song song với d1 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song ( ) song d đến mặt phẳng ( ) Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng  khoảng cách từ điểm M song với 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 là: cos (a1, a2 ) = a1.a2 a1 a 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a ; a ) mặt phẳng ( ) có VTPT n = (A; B;C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d với hình chiếu d ' ( ) là: sin d , ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Aa1 A2 B2 Ba2 C a12 Ca3 a2 a32 Trang 52 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu (S ) tâm I (a;b; c ) , bán kính R là: () (S ) : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O (C ) : x + y + z = R 4.1.2 Phương trình tổng quát Phương trình : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b2 + c2 − d  phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b; c ) , bán kính R = a + b + c − d 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt phẳng ( ) mặt cầu (S ) có phương trình : ( ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Gọi d(I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu (S ) đến mặt phẳng  Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) ( ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P )  d = IH = d I , ( P ) d R d =R d R Mặt cầu mặt Mặt phẳng tiếp xúc mặt Mặt phẳng cắt mặt cầu phẳng không có điểm cầu: ( P ) mặt phẳng thiết diện đường chung trịn có tâm I  bán kính diện mặt cầu H : r = R − IH tiếp điểm 4.3 Một số toán liên quan 4.3.1 Dạng (S ) có tâm I (a;b;c ) bán kính R (S ) : (x − a ) + (y − b)2 + (z − c)2 = R 4.3.2 Dạng ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 53 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 (S ) có tâm I (a;b;c ) qua điểm A bán kính R = IA 4.3.3 Dạng (S ) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: • Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : x I = xA + xB • Bán kính R = IA = ; yI = yA + yB ; zI = zA + zB AB 4.3.4 Dạng (S ) qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) • Giả sử phương trình mặt cầu (S ) có dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( * ) • Thay toạ độ điểm A, B,C , D vào ( * ) , 2 ta phương trình • Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b, c, d  Phương trình mặt cầu (S ) 4.3.5 Dạng (S ) qua ba điểm A, B,C ( ) có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước giải tương tự dạng 4.3.6 Dạng (S ) có tâm I ( ) tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: • Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu (T ) • Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S ) (Xét hai trường hợp tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S ) : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b2 + c2 − d  (S ) có tâm I ( –a; –b; –c ) bán kính R = a + b + c − d Đặc biệt: Cho hai mặt cầu S1 ( I 1, R1 ) S ( I , R2 ) • I 1I  R1 − R2  (S1 ) , • I 1I  R1 + R2 (S )  (S ) , (S ) ngồi ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN 2 Trang 54 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 • I 1I = R1 − R2  (S1 ) , • • (S ) tiếp xúc I I = R + R  (S ) , (S ) tiếp xúc R − R  I I  R + R  (S ) , (S ) cắt 1 2 2 1 2 theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) 4.3.7 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b; c ) , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) cho ( ( )) trước bán kính mặt cầu R = d I ; P 4.3.8 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b; c ) , cắt mặt phẳng ( P ) cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện • Đường trịn cho trước (bán kính diện tích chu vi) từ cơng thức diện tích đường trịn S =  r chu vi đường trịn P = 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r ( ( )) • Tính d = d I , P • Tính bán kính mặt cầu R = d + r • Kết luận phương trình mặt cầu 4.3.9 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S ) tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có tâm I (a;b; c ) cho trước đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S ) ta có R = d (I,  ) 4.3.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu (S ) tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm ( M x o , yo , zo sau: ) thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước ta làm • Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M vng góc với đường thẳng  • Toạ độ tâm I = ( P )   nghiệm phương trình • Bán kính mặt cầu R = IM = d ( I,  ) • Kết luận phương trình mặt cầu (S ) 4.3.10 Dạng 10 ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 55 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b; c ) cắt đường thẳng  hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: • Độ dài AB số • Tam giác IAB tam giác vng • Tam giác IAB tam giác Thì ta xác định d ( I ,  ) = IH , IAB cân I nên HB = AB bán kính mặt cầu R tính sau: • R = IH + HB • R= IH sin 45o • R= IH sin 60o 4.3.11 Dạng 11 Tập hợp điểm mặt cầu ( ) Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P đó • Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 2 hoặc: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = • Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 4.3.12 Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu x = f (t )  • Tìm toạ độ tâm I , chẳng hạn: y = g(t )  * z = h(t )  () () • Khử t * ta có phương trình tập hợp điểm • Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1 Dạng 5.1.1 Yêu cầu Cho ( P ) hai điểm A, B Tìm M  ( P ) để ( MA + MB )min ? 5.1.2 Phương pháp ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 56 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 • Nếu A B trái phía so với ( P )  M, A, B thẳng hàng  M = AB  ( P ) • Nếu A B phía so với ( P ) tìm B ' đối xứng B qua ( P ) 5.2 Dạng 5.2.1 Yêu cầu ( ) Cho ( P ) hai điểm A, B Tìm M  P để MA − MB ? max 5.2.2 Phương pháp • Nếu A B phía so với ( P )  M, A, B thẳng hàng  M = AB  ( P ) • Nếu A B trái phía so với ( P ) tìm B ' đối xứng B qua ( P )  MA − MB ' = AB ' 5.3 Dạng 5.3.1 Yêu cầu ( ) Cho điểm M x M ; yM ; z M không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương ( ) trình P qua M cắt tia Ox,Oy,Oz A, B,C cho VO ABC nhỏ nhất? 5.3.2 Phương pháp (P ) : 3xx M + y z + =1 3yM 3z M 5.4 Dạng 5.4.1 Yêu cầu ( ) Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , cho khoảng cách từ ( ) điểm M  d đến P lớn nhất? 5.4.2 Phương pháp Qua  A  d  P :    n (P ) =  u d , AM  , u d  ( ) 5.5 Dạng 5.5.1 Yêu cầu ( ) Viết phương trình mặt phẳng P qua A cách M khảng lớn ? 5.5.2 Phương pháp ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 57 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Qua  A P : n (P ) = AM ( ) 5.6 Dạng 5.6.1 Yêu cầu ( ) ( ) Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , cho P tạo với  (  khơng song song với d ) góc lớn lớn ? 5.6.2 Phương pháp Qua  A  d  P :    n (P ) =  u d , u   , u d  ( ) 5.7 Dạng 5.7.1 Yêu cầu ( ) Cho  / / P Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) song song với  cách  khoảng nhỏ ? 5.7.2 Phương pháp Qua  A  P d : Lấy A   , gọi A hình chiếu vng góc A ( )  u d = u  5.8 Dạng 5.8.1 Yêu cầu Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt ( ) phẳng P cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d lớn ( AM không vng góc với ( P ) ) ? 5.8.2 Phương pháp Qua  A  d  d:   u d = n (P ) , AM  5.9 Dạng 5.9.1 Yêu cầu Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt ( ) phẳng P cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ ( AM khơng vng góc với ( P ) ) ? ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 58 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 5.9.2 Phương pháp Qua  A  d  d:    u d =  n (P ) , AM  , n (P )  5.10 Dạng 10 5.10.1 Yêu cầu ( ) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  P cho trước, cho d nằm ( ) góc với ( P ) )? P tạo với đường thẳng  góc nhỏ (  cắt không vuông 5.10.2 Phương pháp Qua  A  d  d:    u d =  n (P ) , AM  , n (P )  ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang 59 ... 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình ST&BS: ĐẶNG HOÀI SƠN Trang TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ... Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân ST&BS: ĐẶNG HỒI SƠN Trang 20 TÀI LIỆU DẠY THÊM LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Thiết diện qua đỉnh hình nón tam... tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD Hình chóp tứ giác hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn nội S.ABCD tiếp hình vng ABCD S Khi đó hình