Tổng hợp lý thuyết Hình học 12

1 PHẦN :HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẤN ĐỀ I : KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN A KHOẢNG CÁCH 1) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a không gian độ dài đọan thẳng MH, MH  a với H  a 2) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) độ dài đọan MH, MH  (P) với H  (P) 3) Nếu đường thẳng a // (P) khỏang cách từ a đến (P) khỏang cách từ điểm M a đến (P) 4) Nếu hai mặt phẳng song song khỏang cách chúng khỏang cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5) Hai đường thẳng chéo a b ln ln có đường thẳng chung  Nếu  cắt a b A B độ dài đọan thẳng AB gọi khỏang cách a b chéo nói Muốn tìm khỏang cách hai đường thẳng chéo người ta cịn có thể: a) Tính độ dài đoạn vng góc chung b) Hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ c) Hoặc tìm khỏang cách hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với B GĨC 1) Góc  (0    90 ) hai đường thẳng khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm tùy ý không gian song song với hai đường thẳng cho 2) Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc mặt phẳng 3) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng VẤN ĐỀ II : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc Thể tích khối lập phương V = a3 Thể tích khối lăng trụ V = B.h Thể tích khối chóp ( a, b, c kích thước) V = B.h ( B diện tích đáy ) Chú ý : Tỉ số thể tích S I’ C’ A’ B’ I C A B VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. R.l 2 Thể tích khối trụ: V =  R h ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) ( h : độ dài đường cao ) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  R.l  R h Thể tích khối nón: V = Diện tích mặt cầu: S = 4. R  R Thể tích khối cầu: V = Phần II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Tọa độ điểm véctơ :      Tọa độ điểm: M  x;y;z   OM  xi  y j  zk  Tọa độ véctơ : a  a1 ;a ;a  a  a1 i  a j  a k        CÔNG THỨC : Cho A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  , C  xC ; yC ; Z C    a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  ta có:  Toạ độ véc tơ : AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A    Tổng – Hiệu hai véc tơ : a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3  Nhân số với véc tơ :  k a   ka1; ka2 ; ka3  a1  b1   Điều kiện hai véc tơ : a  b  a  b  2 a  b  3    a  kb ; k  R  a1:a : a  b1:b : b3   Điều kiện hai véc tơ phương : a / / b   a1 a a     b1 b b3        a, b     Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng  AB // AC Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước ( k  )   ĐN : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k MB Khi đó: xM  x1  kx2 y  ky2 z  kz2 ; yM  ; zM  1 k 1 k 1 k Toạ độ trung điểm I đoạn AB : xI  x A  xB y  yB z z ; yI  A ; zI  A B 2  xM '  xI  xM Toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua điểm I :   yM '  y I  yM z  2z  z I M  M' Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC : x  x A  xB  xC ; y  y A  yB  yC ; z  z A  z B  zC G G G 3 10 Toạ độ trọng tâm K tứ diện ABCD : xK  x A  xB  xC  xD y  yB  yC  yd z  z  z  zD ; yK  A ; zk  A B C 4 11 Tích vô hướng hai véc tơ :  12 Độ dài véc tơ : a   a.b  a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 13 Độ dài đoạn thẳng ( Khoảng cách hai điểm AB ) :  AB  AB   xB  x A  14 Góc hai véc tơ :   Gọi   a, b     0;      yB  y A    zB  z A   a.b  cos     a.b Lưu ý: Góc hai véc tơ thường dùng để tính số đo góc tam giác 15 Điều kiện hai véc tơ vng góc :    a  b  a.b  Công thức tích có hướng tích hỗn tạp 1/ 2/   a, b, c      a, b  c  đồng phẳng      a, b, c không đồng phẳng   a, b  c  3/ A,B,C,D đồng phẳng  4/ ABCD tứ diện  5/ Diện tích tam     A B , A C  A D              A B , A C  A D    giác ABC : S ABC     AB , AC       V   AB, AC  AA ' 6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: 7/ Thể tích tứ diện ABCD : VABCD      AB, AC  AD  6 Chú ý: † Một số điểm đặc biệt : M  Ox  M( x;0;0 ) , M  Oy  M( 0;y;0 ) , M  Oz  M( 0;0;z ) 2.M  Oxy  M( x;y;0 ), M  Oxz  M( x;0;z ), M  Oyz  M( 0;y;z) II Mặt phẳng : Định lý : Mp  qua điểm  x0; y0; z0  có phương trình tổng quát :  n   A; B; C  làm VTPT nhận A x  x0   B y  y0   C z  z0   Chú ý:  MpOxy có phương trình : z =  MpOxz có phương trình : y =  MpOyz có phương trình : x =  k   0;0;1 có VTPT  j   0;1;0  có VTPT  i  1;0;0  có VTPT Định lý :mặt phẳng  chắn trục Ox , Oy , Oz A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c  có pttq : x y z   1 a b c III Đường thẳng:  Định lý: Đường thẳng d qua điểm M  x ; y ; z  nhận a   a1; a2 ; a3  làm VTCP có x  x0  a1t  phương trình tham số :  y  y  a 2t z  z  a t  t  phương trình tắc : Chú ý: R x  x0 y  y z  z ( a1 , a2 , a3  )   a1 a2 a3 x  t Trục Ox có phương trình y  z   x   có VTCP i  1;0;0  , Trục Oy có phương trình y  t z   x    , Trục Oz có phương trình y  có VTCP k   0;0;1  z  t   VTCP j   0;1;0  IV Vị trí tương đối đường thẳng - mặt phẳng: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  1  : A1x  B1y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  TH1 :  1  cắt  2   TH2 :  1  song song TH3 :  1   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  2    2   A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng Đường thẳng TH1:  d1  TH2:  d1   d2   d1   có VTCP a   a1; a2 ; a3  qua điểm A  có VTCP b   b1; b ; b  qua điểm B   a // b a1 : a2 : a3  b1 : b : b3 cắt  d             a, b  AB      a, b  AB        song song  d   a // b khơng phương AB có TH3:  d1  TH4:  d1  ,  d    d2      a // b // AB chéo      a, b  AB       , đồng phẳng d d a   1    , b  AB  Chú ý: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cách 1: Cho đường thẳng  d có VTCP a   a1; a2 ; a3  qua điểm A  x ; y ; z   Mặt phẳng (  ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n   A; B; C  TH1:   d cắt (  )  n.a    (a  n)   n.a=0 n.a=0 TH2: d // (  )     A.x o +B.y o +C.z o +D   A  mp     n.a=0 TH3: d  (  )    A  mp     n.a=0   A.x o +B.y o +C.z o +D=0 Cách : Tìm giao điểm đưa kết luận   n Chú ý: d  (  )  // a  a1 : a2 : a3 = A : B : C V Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M đến mp (  ) Cho điểm M  x ; y ; z  mp(  ) : Ax + By + Cz + D = Ta có : d  M;   Chú ý : Ax0  By  Cz  D A  B  C2 d  M; mpOxy   z , d  M; mpOxz   y , Các dạng khoảng cách khác : i Khoảng cách hai mặt phẳng song song Phương pháp: Lấy điểm M  mp     d  ,    d  M,   ii Khoảng cách đường thẳng  song song mặt phẳng Phương pháp: Lấy điểm M  đường thẳng   d  M; mpOyz   x0  d  ,    d  M,   Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  Phương pháp : Gọi H hình chiếu vng góc điểm M đt  B1: Lập mặt phẳng B2: H =    qua điểm M vng góc đt   B3: d  M,    MH  Cơng thức:  có véctơ a qua điểm A     a ,A M    d M ,    a Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vng góc H điểm M trục tương ứng tính MH Hệ quả: Khoảng cách hai đường thẳng song song d1 d  d1 có véctơ a qua điểm A  d có véctơ b qua điểm B  d    a, AB    d1 , d      a Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d  d1 có véctơ a qua điểm A  d có véctơ b qua điểm B Phương pháp: Lập phương trình mặt phẳng  chứa d1 song song d2  d  d1; d   d  B,       a, b  AB Công thức: d d , d      2   a, b   VI Góc : Góc hai mặt phẳng  1  va        n1.n2  cos     n1 n2    Gọi    ,      ,90  Hệ quả:  1     n1.n2   2   Góc hai đường thẳng d1 d :     d2      Gọi   d , d     ,90  Hệ quả:  d1   a.b  cos     a.b  a.b       Chú ý : Trong tam giác ABC ta có : A  AB, AC Góc đường thẳng d mặt phẳng    Gọi   d ,      00 ,900  Hệ quả: d      n // a   AB AC  cosA= AB AC     n.a  sin     n.a VII Mặt cầu: ĐL1: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ;c ) bán kính R có phương trình:  x  a   y  b   z  c 2  R2 ĐL2: Mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= đk: a2 + b2 + c2 – d > phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) bán kính R  a  b  c  d Vị trí tương đối mặt phẳng TH1:  cắt ( S )  TH2:  TH3:  tiếp xúc ( S )  d  I ;   R không cắt ( S ) Thường hợp   mặt cầu ( S ) :  d  I ;   R d  I ;   R gọi tiếp diện MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng Phương pháp: Tìm điểm véctơ pháp tuyến ( cặp VTCP ) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình mặt đường thẳng Phương pháp : Tìm điểm véctơ phương (hoặc cặp VTPT) VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng Dạng 1: Hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  Phương pháp: Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mp  B1: Lập đường thẳng d qua điểm M vng góc mp  B2: H = d   Chú ý: Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp   M’ đối xứng với điểm M qua điểm H  x M /  2x H  x M  y /  2y H  y M M  z  M /  2z H  z M Dạng 2: Hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng d Phương pháp: Gọi H hình chiếu vng góc điểm M đt d B1: Lập mặt phẳng B2: H = d   qua điểm M vuông góc đt d  Đặc biệt : Cho điểm M (x;y; z) ta có: + Hình chiếu vng góc điểm M trục Ox có tọa độ ( x;0;0 ) -M trục Oy có tọa độ ( 0;y;0 ) -M trục Oz có tọa độ ( 0;0;z ) +Hình chiếu vng góc điểm M Mp(Oxy) có tọa độ (x;y;0 ) -M Mp(Oxz) có tọa độ (x;0;z ) M Mp(Oyz) có tọa độ (0;y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ M’( x;-y;-z ) -M qua trục Oy có tọa độ M’( -x;y;-z ) -M qua trục Oz có tọa độ M’( -x;-y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ M’(x;y;-z) M qua Mp(Oxz) có tọa độ M’(x;-y;z) - M qua Mp(Oyz) có tọa độ M’(-x;y;z) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ M’( -x;-y;-z ) Dạng 3: Hình chiếu vng góc đường thẳng d xuống mặt phẳng Phương pháp: Gọi d’ hình chiếu vng góc đtd xuống mp   10 B1: Tìm giao điểm I đt d mp  B2 : Lấy điểm A  đường thẳng d tìm hình chiếu H A mp  KL : Đt d’ qua hai điểm I A x  x0  a1t Đặt biệt: Hình chiếu vng góc đường thẳng d : y  y  a t  z  z  a t  x  x0  a1t y  y  a 2t z   mặt phẳng tọa độ Oxy có pt :  x  x0  a1t y  z  z  a t  mặt phẳng tọa độ Oxz có pt :  x  y  y  a 2t z  z  a t  mặt phẳng tọa độ Oyz có pt :  VẤN ĐỀ 4: Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d   d1 có véctơ a qua điểm A   d có véctơ b qua điểm B Phương pháp : Gọi  đường vng góc chung d1 d  B1: Gọi u VTCP đường vng góc chung       d1  u   a, b     d2 Vì  B2: Lập mặt phẳng    chứa  d1   qua điểm A có cặp VTCP a, u B3: Tìm giao điểm I  với d  KL: Đường vng góc chung  qua điểm I có VTCP u VẤN ĐỀ 5: Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước thỏa điều kiện khác Dạng 1: Lập đường thẳng  qua điểm M cắt hai đường thẳng d1 , d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  B2: Tìm giao điểm I qua điểm M chứa đường thẳng d1  với d 11  Đường thẳng  qua hai điểm M I B3: So sánh VTCP  VTCP đường thẳng d1  Kết luận Dạng 2: Lập đường thẳng  qua điểm M , vng góc đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M vng góc đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm I  với d  Đường thẳng  qua hai điểm M I Dạng : Lập đường thẳng  qua điểm M , vuông góc cắt đường thẳng d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M vng góc đường thẳng d B2: Tìm giao điểm I  với d  Đường thẳng  qua hai điểm M I Dạng : Lập đường thẳng  qua điểm M , song song mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng  qua điểm M song song mặt phẳng ( P ) B2: Tìm giao điểm I  với d  Đường thẳng  qua hai điểm M I Dạng : Lập đường thẳng  nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước Phương pháp: B1: Tìm giao điểm A B d1 , d2 mp( P ) B2:  đường thẳng qua hai điểm A B   VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng  nằm mp( P ) cách đường thẳng d  P cho trước khoảng L Phương pháp : Cho đường thẳng Mặt phẳng  n   A; B; C  B1: Lập mặt phẳng   d có VTCP a   a1; a2 ; a3  qua điểm A  x ; y ; z  P : Ax + By + Cz + D = có VTPT vng góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d cách điểm A 12 khoảng L B2: Lấy điểm M   P       Đường thẳng  qua điểm M có VTCP a   a1; a2 ; a3  VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng  nằm mp (P) vng góc đường thẳng d cho trước giao điểm I d mp (P) Phương pháp: B1: Tìm giao điểm I d mp( P )       P   B2: Vì   d có VTCP u   n P , ad    d   Đường thẳng  qua điểm I có VTCP u VẤN ĐỀ 8: Lập phương trình mặt cầu ( S )  Phương pháp1: Tìm tâm bán kính  Phương pháp2: (Có kiện mặt cầu qua điểm) B1 : Chỉ dạng  Nếu có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc  Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2  Nếu khơng có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc  Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= B2 : Khai thác kiện để lập hệ phương trình VẤN ĐỀ 9: Đường trịn giao tuyến Phương trình đường trịn giao tuyến: Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường trịn giao tuyến có pt : Ax+By+Cz+D=0    2 2 (x-a) +(y-b) +(z-c) =R  S 1.1 Tâm đường tròn giao tuyến: Gọi K tâm đường tròn giao tuyến  K hình chiếu vng góc tâm I mặt phẳng B1: Lập đường thẳng d qua điểm M vng góc mp  B2: H = d    13  IA2  IB  Chú ý: Toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ :  IA2  IC       AB, AC  AI  1.2 Bán kính đường trịn giao tuyến r = R - IK r = R - d  I ,  VẤN ĐỀ 10: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) (Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc) Dạng 1: Tiếp diện điểm M thuộc (S) Phương pháp :  Tiếp diện điểm M vng góc IM  có véctơ pháp tuyến IM Dạng 2: Tiếp diện song song mặt phẳng song song hai đường thẳng khơng phương vng góc đường thẳng cho trước Phương pháp:  Phương trình tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc d  I ,tiếp diện  = R ... pháp : Tìm điểm véctơ phương (hoặc cặp VTPT) VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng Dạng 1: Hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  Phương pháp: Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mp  B1: Lập đường thẳng d... 2: Hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng d Phương pháp: Gọi H hình chiếu vng góc điểm M đt d B1: Lập mặt phẳng B2: H = d   qua điểm M vng góc đt d  Đặc biệt : Cho điểm M (x;y; z) ta có: + Hình. .. Dạng 3: Hình chiếu vng góc đường thẳng d xuống mặt phẳng Phương pháp: Gọi d’ hình chiếu vng góc đtd xuống mp   10 B1: Tìm giao điểm I đt d mp  B2 : Lấy điểm A  đường thẳng d tìm hình chiếu