Tổng hợp chuyên đề Hình học thi vào lớp 10

CHUYÊN ĐỀ - HÌNH HỌC Bài ( Đề thi thử 10 – THCS Kim Chung 2014 – 2015) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R), hai đường cao BD CE cắt H cắt (O) M N a) b) c) Chứng minh tứ giác ADHEvà tứ giác BCDE nội tiếp Chứng minh AD.AC = AE.AB MN // DE 1 + = KD ID OA cắt DE DB I K Chứng minh AD 2 DE cắt BC F, P trung điểm BC Chứng minh rằng: FE.FD = FP − PD Bài (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2017 – 2018) Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, AC = 4cm Vẽ đường cao AH a) Tính độ dài đường cao AH, góc ABC (làm trịn đến độ) b) Vẽ đường trịn tâm B, bán kính BA Tia AH cắt đường tròn (B) điểm thứ hai D Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (B) c) Chứng minh rằng: BC qua điểm cung nhỏ AD, tính số đo cung nhỏ AD (làm trịn đến độ) d) Gọi K hình chiếu D đường kính AE đường trịn tâm B Nối CE cắt DK L Chứng minh LD = LK Bài (Đề thi thử 10 – Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2018-2019) Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’.Gọi E; F theo thứ tự chân đường vng góc hạ từ B C xuống đường kính AA’ a) Chứng minh: tứ giác AEDB nội tiếp b) Chứng minh: DB.AC = AD.A’C c) Chứng minh: DE ⊥ AC d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh MD = ME = MF Tính bán kính đáy hình trụ có chiều cao hai lần đường kính đáy Diện tích xung quanh hình trụ 288π cm2 Bài ( Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB < AC ) đường kính AD Đường cao BE, CP, AQ cắt H a) b) c) d) Chứng minh tứ giác APHE nội tiếp · · So sánh BAH DAC Gọi I trung điểm BC G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm ∆ABC Tìm điều kiện tam giác ABC để OH // BC Bài (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Cơng Trứ 2017 – 2018) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi I điểm cố định đoạn OB Dựng đường thẳng d vng góc với AB I Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) (CA > CB, C không nằm đường thẳng d) Gọi giao điểm đường thẳng d với tia BC E Gọi AC cắt đường thẳng d F a) Chứng minh: Bốn điểm A, I, C, E thuộc đường tròn b) Chứng minh: IE IF = IA IB c) Đường tròn ngoại tiếp ∆CEF cắt AE N Chứng minh: N thuộc đường tròn (O) d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Chứng minh rằng: Khi C chuyển động đường trịn (O) K ln nằm đường cố định Bài (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Công Trứ 2018 – 2019) Cho điểm M cố định nằm ngồi đường trịn (O; R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (A, B tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P Đường thẳng MP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Gọi K trung điểm PN a) Chứng minh tứ giác MKOB nội tiếp b) Chứng minh rằng: KM phân giác ·AKB c) Gọi Q giao điểm AN OM, AB cắt OM H Chứng minh MQ2 = AQ.QN từ suy Q trung điểm HM d) Tiếp tuyến P N đường tròn (O) cắt I Chứng minh I nằm đường thẳng cố định Bài (Đề thi thử 10 – Chương Mĩ 2017-2018) Cho đường trịn tâm (O) dây BC (khác đường kính) cố định A điểm chuyển động cung lớn BC (A khác B C) Kẻ AD vng góc với BC D, kẻ đường kính AA’ Gọi E F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’ Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn b) DB.A’A = AB.A’C c) DE ⊥ AC d) Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF điểm cố định A chuyển động cung lớn BC Bài (Đề thi thử 10 – Thanh Trì 2017 – 2018) Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên nửa đường trịn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D cho cung AC nhỏ cung AD Gọi T giao điểm hai đường thẳng CD AB Vẽ đường trịn tâm I đường kính To cắt đường trịn tâm O M N (M năm nửa đường tròn tâm O chứa điểm C) Gọi E giao điểm MN CD Chứng minh: TM tiếp tuyến đường tròn (O) Chứng minh TM2 = TC.TD Chứng minh: Tứ giác ODCE nội tiếp Chứng minh: Góc MEC góc MED Bài (Đề thi thử 10 – THCS Phan Chu Trinh 2017 – 2018) Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AN, CK ∆ABC cắt H Chứng minh tứ giác BKHN tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKHN · · Chứng minh KBH = KCA Gọi E trung điểm AC Chứng minh KE tiếp tuyến đường tròn (I) Đường tròn (I) cắt (O M Chứng minh BM vng góc với ME Bài 10 (Đề thi thử 10 –THCS Hoàng Hoa Thám 2018 – 2019) Cho (O; R) đường kính AB cố định Dây CD vng góc với AB H nằm A O Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ BF cắt CD I; AF cắt tia DC K Chứng minh tứ giác AHIF tứ giác nội tiếp 2 Chứng minh rằng: HA.HB = HI.HK Đường tròn ngoại tiếp tam giác KIF cắt AI E Chứng minh H chuyển động đoạn OA E thuộc đường tròn cố định I cách ba cạnh ∆HFE Gọi G giao điểm hai đường thẳng AB EF Đường thẳng qua F song song với KB cắt KG, CD P, Q Chứng minh P đối xứng Q qua F Bài 11 (Đề thi thử 10 – Nam Từ Liêm 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính MN PQ vng góc với Lấy điểm A cung nhỏ PN, PA cắt MN B, AQ cắt MN E Chứng minh: OABQ tứ giác nội tiếp Nối AM PQ PN C I Chứng minh rằng: Tích MC.MA khơng đổi A di chuyển cung nhỏ PN Chứng minh: IN = EN Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác ACE đạt giá trị lớn Bài 12 (Đề thi thử 10 – Bắc Từ Liêm 2017 – 2018) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC (với B, C tiếp điểm) cát tuyến AMN với đường trịn (O; R) (với MN khơng qua O AM < AN) 1) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: AM.AN = AC2 3) Tiếp tuyến điểm N đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC điểm F Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh tứ giác MHON nội tiếp, từ suy đường thẳng FM tiếp tuyến đường tròn (O; R) 4) Gọi P giao điểm dây BC dây MN, E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác MON đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC (E khác O) Chứng minh ba điểm P, E, O thẳng hàng Câu 13 (Đề thi thử 10 – THCS Phú Đô 2017 - 2018 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M thuộc đoạn OA cho AM = AO Kẻ dây CD vng góc với AB M Gọi K điểm cung lớn CD (K ≠ C, K ≠ B, K ≠ D) Gọi giao điểm AK với CD E a) Chứng minh tứ giác KEMB nội tiếp đường tròn · · b) Chứng minh ACM = ABC AC2 = AE.AK c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KEC Chứng minh điểm C; I; B thẳng hàng d) Tìm vị trí K cung lớn CD (K ≠ C, K ≠ B, K ≠ D) để độ dài đoạn thẳng DI nhỏ Bài 14 (Đề thi thử 10 – THCS Dịch Vọng Hậu – 2018 – 2019) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), D điểm cạnh AC cho CD < AD Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC E Từ B vẽ tiếp tuyến thứ hai đường tròn (D) với F tiếp điểm a) Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F thuộc đường tròn b) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng BF cắt AM, AE, AD theo · thứ tự N, K, I Chứng minh AI tia phân giác FAE c) IF.BK = IK.BF d) Chứng minh tam giác ANF tam giác cân Bài 15 (Đề thi thử 10 – THCS Thái Thịnh 2017 – 2018) Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Gọi E D hai điểm thuộc cung AB đường tròn (O) cho E thuộc cung AD; AE cắt BD C; AD cắt BE H; CH cắt AB F 1) Chứng minh tứ giác CDHE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AE.AC = AF.AB 3) Trên tia đối tia FD lấy điểm Q cho FQ = FE Tính góc AQB 4) M; N hình chiếu A B đường thẳng DE Chứng minh rằng: MN = FE + FD Bài 16 (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2016 – 2017) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, đường kính MN thay đổi khơng trùng AB Gọi d tiếp tuyến đường tròn B, AM AN cắt đường thẳng d Q P Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật Chứng minh tổng S = AM.AQ − AN.AP không đổi Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 4 Xác định vị trí đường kính MN để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ Bài 17 (Đề thi thử 10 – Hà Đông 2017-2018) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Đường cao AD, BE cắt H, kéo dài BE cắt đường tròn (O; R) F 1) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn; 2) Chứng minh ∆HAF cân; 3) Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh: ME tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CDE; 4) Cho BC cố định BC = R Xác định vị trí A đường tròn (O) để DH.DA lớn Bài 18 (Đề thi thử 10 – THCS Vĩnh Tuy 2015-2016) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB điểm C thuộc đường trịn Gọi M N điểm cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I Hạ ND vng góc AC Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF a) b) c) d) Tính góc MIC Chứng minh F thuộc đường trịn (O; R) Chứng minh DN tiếp tuyến (O; R) Khi C chuyển đơng đường trịn (O; R), chứng minh MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định Bài 19 (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Nhị 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB I điểm thuộc AO cho AO=3IO Qua I vẽ dây CD vng góc với AB, CD lấy điểm K tùy ý, tia AK cắt đường tròn (O) M Chứng minh IKMB nội tiếp Chứng minh AK.AM = AC2 Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CMK Chứng minh F thuộc đường cố định Tính khoảng cách nhỏ DF Bài 20 (Đề thi thử 10 – THCS Minh Khai 2017 – 2018) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Các đường cao AD, BE, CF tam giác cắt H (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) M, N (E nằm F M) Chứng minh điểm B, C, E, F nằm đường trịn Chứng minh góc ACB góc AFE ∆AMN tam giác cân Chứng minh ∆AMH ∼ ∆ADM Gọi O1 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CME, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BNF Chứng minh đường thẳng MO NO2 cắt điểm nằm đường tròn (O) Bài 21 (Đề thi thử 10 – THCS Ngô Sĩ Liên 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R) điểm S ngồi đường trịn (O; R) Từ điểm S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới (O; R) (A B tiếp điểm) Kẻ dây cung BC song song với SA; SC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai D; tia BD cắt SA điểm M Chứng minh MA2 = MD.MB Gọi I trung điểm đoạn DC Chứng minh năm điểm S, B, I, O, A thuộc đường tròn tia IS phân giác góc BIA Qua điểm I kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E Chứng minh ED // BC Giả sử BM ⊥ SA, tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆SDA theo R Bài 22 (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Quan – Hồn Kiếm 2017 – 2018) Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C (C không trùng với O A), kẻ đường thẳng d vng góc với AB C Trên d lấy điểm D nằm ngồi đường trịn (O), từ D kẻ hai tiếp tuyến DE DF với đường tròn (O) (với E, F tiếp điểm E thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d có chứa điểm A) Gọi M, N giao điểm DE DF với đường thẳng AB a) Chứng minh điểm C, E, D, F O thuộc đường tròn b) Chứng minh CD phân giác góc ECF c) Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt EF K Chứng minh FK.ND = EK.MD d) Gọi I trung điểm MN Chứng minh ba điểm D, K, I thẳng hàng Bài 23 (Đề thi thử 10 – THCS Trưng Vương 2017 – 2018) Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA đến (O) (với A tiếp điểm) vẽ cát tuyến MBC cho MB < MC tia MC nằm hai tia MA, MO Gọi H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng OM, gọi E trung điểm đoạn thẳng BC 1) Chứng minh bốn điểm O, E, A, M thuộc đường tròn 2) Chứng minh MA2 = MB.MC · 3) Chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp HA tia phân giác BHC 4) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) điểm I Chứng minh S ΔBIM = BM S BH ΔBIH Bài 24 (Đề thi thử 10 – Hoàng Mai 2017 – 2018) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Hai đường cao BD CE tam giác ABC cắt H Tia BD tia CE cắt đường tròn (O) M, N (M khác B, N khác C) 1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn 2) Chứng minh DE // MN 3) Đường tròn đường kính AH cắt đường trịn (O) điểm thứ hai K (K khác A) Tia KH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai Q Tứ giác BHCQ hình gì? Tại sao? Bài 25 (Đề thi thử 10 – Hồng Mai 2017 – 2018) Cho đường trịn (O; R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) Gọi giao điểm đoạn thẳng AO dây MN H 1) Chứng minh điểm A, M, O, N nằm đường tròn 2) Chứng minh OH.OA = R2 3) Qua O kẻ OK vng góc với BC K Đường thẳng OK cắt đường thẳng MN S Chứng minh SC tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Gọi giao điểm dây MN dây BC D Khi đường thẳng d quay  SM DN   SN DM ÷  có giá trị khơng quanh A (thỏa mãn điều kiện đề bài), chứng minh tích  thay đổi Bài 26 (Đề thi thử 10 – THCS Gia Thụy 2014 – 2015) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O; R) có BE, CF, AD đường cao cắt H ( E ∈ AC,F ∈ AB,D ∈ BC ) a) b) c) d) Chứng minh tứ giác HECD tứ giác nội tiếp · Chứng minh EB tia phân giác DEF Vẽ tiếp tuyến xAy đường tròn (O) Chứng minh OA ⊥ EF Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) N M (điểm F nằm N E) Chứng minh AN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác NHD Bài 27 (Đề thi thử 10 – THCS Long Biên 2015 – 2016) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) b) c) d) Chứng minh BCEF tứ giác nội tiếp Chứng minh DH.DA = DB.DC Gọi H’ điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh H ' ∈ (O) Chứng minh ∆ABC nhọn H tâm đường tròn nội tiếp ∆EF.D Bài 28 (Đề thi thử 10 – THCS Long Biên 2015 – 2016) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) b) c) d) Chứng minh BCEF tứ giác nội tiếp Chứng minh DH.DA = DB.DC Gọi H’ điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh H ' ∈ (O) Chứng minh ∆ABC nhọn H tâm đường tròn nội tiếp ∆EF.D Bài 29 (Đề thi thử 10 – THCS Ngọc Lâm 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d khơng qua tâm O cắt đường trịn (O) hai điểm A B Từ điểm C đường tròn (O), C thuộc đường thẳng d cho CB < CA kẻ hai tiế tuyến CM, CN tới đường tròn (M; N tiếp điểm, M thuộc cung AB nhỏ) Gọi H trung điểm dây AB, OH cắt CN K 1, Chứng minh: KN.KC = KH.KO 2, Chứng minh: điểm M, H, O, N, C thuộc đường tròn 3, Đoạn thẳng CO cắt MN I Chứng minh: Góc CIB = góc OAB 4, Một đường thẳng qua O song song với MN cắt CM, CN E F Xác định vị trí điểm C đường thẳng d để diện tích tam giác CEF nhỏ Bài 30 (Đề thi thử 10 – Tây Hồ 2017) Cho đường tròn (O, R), dây BC cố định Điểm A điểm cung nhỏ BC, điểm E di chuyển cung lớn BC Nối OA cắt BC I, hạ CH vng góc với AE H a) Chứng minh A, I, H, C thuộc đường tròn b) Gọi AE cắt BC D Chứng minh DA.DH = DC.DI c) Chứng minh đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE d) Gọi đường thẳng CH cắt BE M Tìm vị trí điểm E cung lớn BC để diện tích tam giác MAC lớn Câu 31 (Đề thi thử 10 – THCS Achimedes Academy 2017 – 2018) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC (AB > AC) Từ A kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia BC M Kẻ dây AD vng góc với BC H Chứng minh rằng: Tứ giác AMDO nội tiếp Giả sử ∠ ABC = 300 Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AC cung AC nhỏ theo R Kẻ AN vng góc với BD (N thuộc BD), gọi E trung điểm AN, F giao điểm thứ hai BE với (O), P giao điểm AN BC, Q giao điểm AF BC a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp b) Chứng minh BH2 = BP.BQ Từ F kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD AM I K Chứng minh rằng: F trung điểm IK Câu 32 (Đề thi thử 10 THCS Achimedes Academy 2017 – 2018) Cho đường trịn (O) đường kính AB CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ BC Chứng minh rằng: Tứ giác ACBD nội tiếp AM cắt CD, CB P Q Chứng minh QB QC = QA.QM Gọi E giao điểm DM AB Chứng minh EQ phân giác góc CEM Kẻ PL, EK vng góc CB (L, K thuộc CB) PK cắt EL H EC cắt PM I HI cắt ME F Chứng minh HI = HF Câu 33 (Đề thi thử 10 – THCS Lômôlôxốp 2017-2018) Cho đường thẳng d cắt (O; R) hai điểm phân biệt A, B Gọi I trung điểm AB, qua I kẻ đường kính MN (O) (N thuộc cung AB lớn) Trên d lấy C không thuộc đoạn AB, gọi D giao điểm MC với (O), E giao điểm DN AB 1) 2) 3) 4) Chứng minh tứ giác EIMD nội tiếp ∆CEM đồng dạng với ∆CDI Chứng minh CA.CB = CE.CI Chứng minh C thay đổi d không thuộc đoạn AB tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BDE nằm đoạn thẳng cố định Câu 34 (Đề thi thử 10 – THCS Lơmơlơxốp 2017-2018) Cho đường trịn (O) có đường kính AB Gọi C điểm cố định đoạn OA Điểm D thuộc đường tròn (O) soa cho DA < DB Dựng đường thẳng d vng góc với AB C, đồng thời cắt BD E cắt AD F 1) 2) 3) 4) Chứng minh bốn điểm B, C, D, F thuộc đường tròn Chứng minh CA.CB = CE.CF Đường tròn ngoại tiếp ∆DEF cắt BF K Chứng minh K thuộc đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BEF Chứng mih D di chuyển nửa đường trịn (O) I ln thuộc đường thẳng cố định Câu 35 (Đề thi thử 10 – THCS Lơmơlơxốp 2017-2018) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm C khác điểm A Từ điểm C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) M N Qua C kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng BM I a) b) c) d) Chứng minh tứ giác AMIC tứ giác nội tiếp Chứng minh CI = CA.CB Chứng minh ba điểm I, A, N thẳng hàng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆MIN A trọng tâm ∆CMN Bài 36 (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) ( AB < CD ) Gọi I điểm cung nhỏ AB Hai dây DI CI cắt dây AB M N Các tia DA CI cắt E Các tia CB DI cắt F a) b) c) d) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp Chứng minh EF // MN Chứng minh AI = IM.ID IA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆AMD Cho AB cố định, C, D chuyển động Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆AMD R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BMD Chứng minh R1 R có tổng khơng đổi Bài 37 (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) ( AB < CD ) Gọi I điểm cung nhỏ AB Hai dây DI CI cắt dây AB M N Các tia DA CI cắt E Các tia CB DI cắt F a) b) c) d) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp Chứng minh EF // MN Chứng minh AI = IM.ID IA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆AMD Cho AB cố định, C, D chuyển động Gọi R1 bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆AMD R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BMD Chứng minh R1 R có tổng không đổi Bài 38 (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Ax By hai tiếp tuyến (O) A, B Lấy điểm M nửa đường trịn, tiếp tuyến M (O) cắt Ax, By C D a) b) c) Chứng minh tứ giác AOMC BOMD nội tiếp Giả sử BD = R 3, tính diện tích tứ giác ABDC Nếu OC cắt AM E, OD cắt BM F, kẻ MN ⊥ AB N Chứng minh ONEF hình thang cân d) Tìm vị trí điểm M nửa đường trịn để chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF nhỏ Bài 39 (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB điểm M thuộc đường tròn (M khác A B) Kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt tia BM N Tiếp tuyến đường tròn M cắt AN D a) Chứng minh điểm A, D, M, O thuộc đường tròn b) Chứng minh OD song song với BM suy D trung điểm AN c) Đường thẳng kẻ qua O vng góc với BM cắt tia DM E Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (O; R) d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng BM I Gọi giao điểm AI BD J Khi điểm M di động đường trịn (O; R) J chạy đường nào? Bài 40 (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) Cho điểm A cố định ngồi đường trịn (O;R), đoạn OA cắt (O;R) H Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn hai điểm B C (B nằm A C) Kẻ AM, AN tiếp xúc với đường tròn M N, gọi I trung điểm BC a) b) c) d) Chứng minh điểm A, M, N, O, I thuộc đường trịn Khi OA = 2R, tính diện tích phần tam giác AMO nằm (O;R) theo R Gọi K giao điểm HC MN Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC tiếp xúc với MH Khi cát tuyến d quay quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC chạy đường nào? Bài 41 (Đề thi thử 10 – THCS Lương Thế Vinh 2017 – 2018) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB điểm M thuộc đường tròn ( M ≠ A , B ) Kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt tia BM N Tiếp tuyến đường tròn M cắt AN D a) Chứng minh: điểm A, D, M , O thuộc đường tròn b) Chứng minh: OD // BM suy D trung điểm AN c) Đường thẳng kẻ qua O vng góc với BM cắt tia DM E Chứng minh: BE tiếp tuyến đường tròn (O ; R) d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng BM I Gọi giao điểm AI BD J Khi điểm M di động (O ; R) J chạy đường nào? Câu 42 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tât Thành – Hưng Yên 2014 – 2015) Cho tam giác ABC có góc nhọn, vẽ đường cao AD BE Gọi H trực tâm tam giác ABC AD a) Chứng minh: tanB.tanC = HD BC DH DA ≤ b) Chứng minh: c) Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC sin A a ≤ 2 bc Chứng minh rằng: Câu 43 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tât Thành – Hưng Yên 2014 – 2015) Cho ba điểm A,B,C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O ) qua B,C Từ A kể tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (O) ( M,N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC, đường thẳng AO cắt MN H, đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh tứ giác AMIN tứ giác nội tiếp Chứng minh MD song song với BC Chứng minh đường trịn (O ) thay đổi ln qua hai điểm B,C ( với O ≠ BC ) N thuộc đường trịn cố định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HIO chạy đường thẳng cố định Bài 44 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) Cho đường trịn (O;R), đường kính AB I điểm cố định đoạn OB Điểm C đường tròn (CA > CB) Vẽ đường thẳng d vng góc với AB I Đường thẳng d cắt đường thẳng BC E, cắt đường thẳng AC F Chứng minh bốn điểm A, C, E, I nằm đường tròn Chứng minh IE IF = IA IB Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) N Chứng minh N, B, F thẳng hàng 4 Chứng minh C di chuyển đường trịn (O) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường thẳng cố định Bài 45 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh tổng diện tích tam giác OAB diện tích tam giác OCD nửa diện tích tứ giác ABCD Gọi E, F tiếp điểm đường tròn (O) với AB, CD H giao HA EA = điểm EF AC Chứng minh HC FC Bài 46 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) Cho hình vng ABCD với tâm O có cạnh a Gọi M N tương ứng trung điểm đoạn thẳng CD AO Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp đường trịn Tính diện tích tam giác BMN theo a Bài 47 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Hai đường cao BN CM tam giác ABC cắt H 1) 2) 3) 4) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp Kẻ đường thẳng xy tiếp tuyến đường tròn (O) A Chứng minh xy // MN Chứng minh MN = BC.cosA µ Giả sử A = 60 Chứng minh OH = AC – AB Bài 48 (Đề thi thử 10 – THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2017 – 2018) Cho tam giác ABC vuông A đường phân giác BD (D thuộc AC) Đường trịn đường kính CD cắt BC tia AD H K Chứng minh rằng: KA = KC = KH KC2 = KD KB KH tiếp tuyến đường trịn đường kính BD Bài 49 (Đề thi thử 10 – THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017 – 2018) Cho nửa đường trịn tâm (O; R) đường kính AB Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng OA (AH > HO) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường tròn điểm M Kẻ HF // AM (F ∈ MB); HE // MB (E ∈ MA) 1) Chứng minh tứ giác MEHF hình chữ nhật; 2) Chứng minh tứ giác AEFB tứ giác nội tiếp 3) Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn (O) hai điểm C D (C thuộc cung nhỏ MA, D thuộc cung nhỏ MB) Chứng minh M điểm cung CD; xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHD; 4) Gọi Q K trung điểm AM MB Chứng minh ba đường thẳng QF, EK AB đồng quy Bài 50 (Đề thi thử 10 – THCS Hà Huy Tập– Hà Nội 2018 – 2019) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi E D hai điểm thuộc cung AB đường tròn (O) cho E thuộc cung AD; AE cắt BD C; AD cắt BE H; CH cắt AB F 1) Chứng minh tứ giác CDHE tứ giác nội tiế 2) Chứng minh: AE.AC = AF.AB 3) Trên tia đối tia FD lấy điểm Q cho FQ = FE Tính góc AQB 4) M; N hình chiếu A B đường thẳng DE Chứng minh rằng: MN = FE + FD Bài 51 (Đề thi thử 10 – THCS Lê Thánh Tông– Hà Nội 2018 – 2019) Cho đường tròn (O; R) dây Ab cố định (AB < 2R) Điểm C di động đường tròn (O; R) cho tam giác CAB nhọn Các đường cao AE, BF cắt H 1) Chứng minh tứ giác ABEF tứ giác nội tiếp 2) Tia phân giác góc AHF cắt CA M, tia phân giác góc BHE cắt CB N Chứng minh tam giác CMN cân 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN cắt tia phân giác góc ACB K Gọi P giao điểm MK AH, Q giao điểm NK BH Chứng minh tứ giác PHQK hình bình hành đường thẳng HK ln qua điểm cố định Bài 52 (Đề thi thử 10 – THCS Phúc Xá – Hà Nội 2018 – 2019) Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính EF Vẽ trung trực EF cắt nửa đường tròn I Trên tia đối tia IO lấy điểm A cho IA = IO Vẽ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn (P, Q tiếp điểm) 1) Chứng minh tứ giác APOQ nội tiếp; 2) Tiếp tuyến vẽ từ S thuộc cung PQ nửa đường tròn (O) cắt AP, AQ H K Tính góc HOK; 3) PQ cắt OH OK M N Chứng minh điểm M, O, Q, K thuộc đường tròn; 4) Chứng minh: HK = 2MN Bài 53 (Đề thi thử 10 – THCS Phương Liệt – Hà Nội 2015 – 2016) Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Điểm H thuộc đoạn OA Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường trịn (O) C Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ nửa đường tròn tâm I đường kính AH nửa đường trịn tâm K đường kính HB Đoạn thẳng AC cắt nửa đường tròn tâm I E, BC cắt nửa đường tròn tâm K F 1) 2) 3) 4) Chứng minh tứ giác CEHF hình chữ nhật Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp EF cắt đường tròn (O) hai điểm M N (M thuộc BC) Chứng minh tam giác CMN tam giác cân Tìm vị trí điểm H để chu vi tam giác COH lớn Bài 54 (Đề thi thử 10 – THCS Phương Liệt – Hà Nội 2017 – 2018) Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm B ≠ C) Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B M ≠ C) Gọi I, H, K hình chiếu vng góc M CB, BA, AC Biết MB cắt IH E, MC cắt IK F 1) Chứng minh bốn điểm M, K, I, C thuộc đường tròn · · = MHI 2) Chứng minh MIK MI2 = MH.MK 3) Chứng minh EF ⊥ MI 4) Đường tròn ngoại tiếp ∆MFK đường tròn ngoại tiếp ∆MEH cắt điểm thứ N Chứng tỏ M di động cung nhỏ BC (M ≠ B M ≠ C) đường thẳng MN ln qua điểm cố định Bài 55 (Đề thi thử 10 – THCS Sài Đồng 2018 – 2019) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) AH đường cao tam giác ABC Gọi E; F hình chiếu H lên AB; AC Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Chứng minh AE.AB = AF.AC Kẻ đường kính AK (O), AK cắt EF I Chứng minh AK vng góc với EF Cho AH = R Chứng minh: E; O; F thẳng hàng Bài 56 (Đề thi thử 10 – Vinschool 2017 – 2018) Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB; điểm I nằm A O; dây CD vng góc với AB I; điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B, C) Dây AM cắt CD K 1) Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp 2) a) Chứng minh AD2 = AK.AM b) Nếu cho R = 6cm I trung điểm AO Tính DI, từ tính thể tích hình tạo thành tam giac ADI quay quanh trục DI 3) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CKM 4) Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Chứng minh rằng: điểm A, B, I cố định điểm M thay đổi cung nhỏ BC (M khác B, C) đường trịn ngoại tiếp tam giác BCE qua điểm cố định khác C B Bài 57 (Đề thi thử 10 – THCS Tân Trường 2015 – 2016) Cho đường tròn (O) dây BC cố định không qua tâm, điểm A chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Đường cao BE CF tam giác ABC cắt H cắt (O) M N a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp MN // FE b) Vẽ đường cao AD tam giác ABC Chứng minh H tâm đường tròn nội tếp tam giác DEF c) Đường thẳng qua A vng góc với EF ln qua điểm cố định Bài 58 (Đề thi thử 10 – TP Hà Nội 2016 – 2017) Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O) Đường thẳng AI cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn AB BD = BE 2) Chứng minh AE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài 59 (Đề thi thử 10 – Tỉnh Lục Nam 2017 – 2018) 4) Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB CD cố định vng góc với M điểm bất Kỳ đường kính AB (M khác O, A, B), tia CM cắt (O) điểm N khác C, kẻ đường thẳng d qua điểm M vng góc với AB, qua điểm N kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng d điểm P 1) 2) 3) 4) Chứng minh OMNP tứ giác nội tiếp Chứng minh CM.CN = 2R Tứ giác CMPO hình gì? Vì sao? Chứng minh điểm M di chuyển đoạn thẳng AB điểm P di chuyển đường cố định Bài 60 (Đề thi thử 10 – THCS Đức Giang 2016 – 2017) Cho nửa đường trịn (O), đường kính BC Gọi D điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC ( D ≠ O,D ≠ C ) Dựng đường thẳng d vuông góc với BC điểm D, đường thẳng d cắt nửa đường tròn (O) điểm A Trên cung AC lấy điểm M ( M ≠ A,M ≠ C ) Tia BM cắt đường thẳng d điểm K, tia CM cắt đường thẳng d điểm E Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) điểm N ( N ≠ B ) a b c d Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp Chứng minh ba điểm C, K, N thẳng hàng CD.BD = KD.DE Tiếp tuyến N nửa đường tròn (O) cắt đường thẳng d F Chứng minh: F trung điểm KE OF ⊥ MN Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BKE Chứng minh I nằm đường thẳng cố định Bài 61 (Đề thi thử 10 – THCS Văn Khê 2015 – 2016) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC ( I ∈ AB, K ∈ AC ) a) b) c) Chứng minh AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn · · Vẽ MP ⊥ BC ( P ∈ BC ) Chứng minh MPK = MBC BM cắt PI, CM cắt IK E, F Tứ giác BCFE hình gì? d) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Bài 62 (Đề thi thử 10 – TTBDVH Dạy Tốt 2016 – 2017) Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 6cm Trên đoạn OB lấy điểm H cho HB = 2HO Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường trịn C Vẽ đường trịn (I) đường kính OA cắt AC D Gọi E giao điểm OC BD 1) 2) 3) 4) Chứng minh AD = CD Chứng minh bốn điểm O, D, C, H nằm đường tròn Chứng minh BD tiếp tuyến (I) Tính diện tích tam giác ABE Bài 63 (Đề thi thử 10 – TTBDVH Edufly 2016 – 2017) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Trên đường trịn lấy điểm M bất kì, N điểm đối xứng với A qua M Đoạn BN cắt đường tròn C, AC cắt BM E a b c Chứng minh tứ giác CEMN nội tiếp NE ⊥ AB Gọi F đối xứng với E qua M, chứng minh FA ⊥ AB AF.AC = AH.AB Chứng minh FN tiếp tuyến đường trịn tâm B bán kính BA Bài 64 (Đề thi thử 10 – THCS Mạc Đĩnh Chi 2018 – 019) Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm C (CA < CB ) Hạ CH vuông góc AB H Đường trịn đường kính CH cắt AC BC thứ tự M,N Chứng minh tứ giác HMCN hình chữ nhật Chứng minh tứ giác AMNB tứ giác nội tiếp Tia NM cắt tia BA K, lấy Q đối xứng với H qua K Chứng minh QC tiếp tuyến đường trịn (O; R ) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trường hợp AC=R Bài 65 (Đề thi thử 10 – THCS Tây Tựu 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R) Một đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn (O) điểm A B Trên đường thẳng d lấy điểm C cho CA < Cb Từ C kẻ hai tiếp tuyến CM CN với đường tròn (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với AB H cắt CN K 1) Chứng minh O, C, H, N thuộc đường tròn 2) Chứng minh KN.KC = KO.KH 3) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMN 4) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C đường thẳng d cho diện tích tam giác CEF nhỏ Bài 66 (Đề thi thử 10 – THCS MIS 2017 – 2018) Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định nằm ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng (d), qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chứng minh điểm A, M, O, I, N thuộc đường tròn Chứng minh AB AC = AM2 Chứng minh: IE // MC Chứng minh đường thẳng (d) quay quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC thuộc đường tròn cố định Bài 67 (Đề thi thử 10 – THCS Nhân Chính 2017 – 2018) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), lấy điểm M thuộc cánh AC Vẽ đường tròn (O) đường kính MC cắt BC E, BM cắt (O) N, AN cắt (O) D, ED cắt AC H a) Chứng minh tứ giác BANC nội tiếp b) Chứng minh AB // DE MH.MC = EH2 c) Chứng minh M cách cạnh tam giác ANE d) Lấy I đối xứng với M qua A, lấy K đối xứng M qua E Tìm vị trí M để đường trịn ngoại tiếp ∆BIK có bán kính nhỏ Bài 68 (Đề thi thử 10 – THCS Thanh Oai 2017 – 2018) Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D tiếp điểm), tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng CD E Gọi H giao điểm AD OE, K giao điểm BE với đường trịn (O) (K khơng trùng với B) a) b) c) d) Chứng minh AE = EK EB ; Chứng minh điểm B,O,H,K thuộc đường tròn; Cho BC = 4cm, CD = 32cm Tính bán kính đường trịn (O); Đường thẳng vng góc với AB O cắt CE M Chứng minh AE EM − = EM CM Bài 69 (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2017 – 2018) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường cao AD, BE cắt H Kéo dài BE cắt đường tròn (O) F a b Chứng minh tứ giác CDHE tứ giác nội tiếp Kéo dài AD cắt (O) N Chứng minh tam giác AHF cân C điểm c cung NF Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ME tiếp tuyến đường d tròn ngoại tiếp tam giác CDE Cho điểm B, C cố định BC = R Hãy xác định vị trí A (O;R) để DH DA lớn Bài 70 (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2011 – 2018) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d d2 hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 M, N 1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp · · · 2) Chứng minh ENI = EBI MIN = 900 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI 4) Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng  ... AMBN hình chữ nhật Chứng minh tổng S = AM.AQ − AN.AP không đổi Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 4 Xác định vị trí đường kính MN để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ Bài 17 (Đề thi thử 10 –... đường trịn (O); Đường thẳng vng góc với AB O cắt CE M Chứng minh AE EM − = EM CM Bài 69 (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2017 – 2018) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính... giác CDE Cho điểm B, C cố định BC = R Hãy xác định vị trí A (O;R) để DH DA lớn Bài 70 (Đề thi thử 10 tổng hợp – TP Hà Nội 2011 – 2018) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d d2 hai tiếp