HỌC THUYẾT QUÁ lớn để sụp đổ và NHỮNG vấn đề đặt RA đối với NGÀNH NGÂN HÀNG của VIỆT NAM

KHAI THÁC KHÁI NI M ð TH HÀM S L I, LÕM ð ðÁNH GIÁ B T ð NG TH C I LÝ DO CH N ð TÀI ng d ng hàm l i ñ ñánh giá b t ñ ng th c (BðT) ñã ñư c khai thác nhi u ñ i di n cho ng d ng ñó BðT Jensen Khái ni m hàm l i chương trình SGK cũ m i (bài đ c thêm) ñư c ñ nh nghĩa d a vào v trí n m trên, n m dư i c a ti p n v i ñ th hàm s Trong đ nh nghĩa đó, cho ta m t tính ch t hình h c c a ti p n ðó là: ta có th đánh giá thông qua m t bi u th c b c nh t c a V n d ng tính ch t này, ta có th tìm đư c l i gi i ñơn gi n cho m t s toán ch ng minh BðT Hơn n a thơng qua đ th y đư c vi c d y cho HS B n ch t c a khái ni m Toán h c r t quan tr ng phát tri n tư cho h c sinh ðó lí mà tơi ch n ñ tài “Khai thác khái ni m ñ th hàm s l i, lõm ñ ñánh giá BðT” II TH C TR NG TRƯ C KHI TH C HI N CÁC GI I PHÁP C A ð TÀI: Thu n l i: V i s ñ i m i phương pháp d y h c trung h c ph thông l y h c sinh làm trung tâm t o s h ng thú h c t p H c sinh ch ñ ng chi m lĩnh tri th c Do đó, vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a m t khái ni m Toán h c h t s c quan tr ng Khó khăn: Khi d y khái ni m Tốn h c giáo viên chưa tr ng nhi u vào vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a khái ni m mà ch y u t p trung vào vi c kh o sát ñ i tư ng có thu c v khái ni m hay khơng? Do h c sinh Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa quan tâm đ n b n ch t c u khái ni m ñã h c nên m t ph!n h n ch vi c phát tri n tư s h ng thú h c t p III N I DUNG ð TÀI Cơ s lí thuy t a ð nh nghĩa: Cho hàm s ñi m = liên t c có đ th (C) Khi ta có hai n m đ th (C) n u ti p n t i m i ñi m n m cung i) ð th (C) g i l i ln n m phía đ th (C) n u ti p n t i m i ñi m n m cung ii) ð th (C) g i lõm n m phía dư i đ th (C) y _ y _ a _ b _ x _ x _ _ b _ a ð th hàm s l i ð th hàm lõm b D u hi u ñ th l i ð nh lí 1: Cho hàm s = có đ o hàm c p hai liên t c *N u > ∀ ∈ ( ) đ th hàm s lõm *N u < ∀ ∈ ( ) đ th hàm s l i c ( ) ( ) ng d ng T" hình nh tr c quan c a ñ nh nghĩa cho ta m t phương pháp gi i toán BðT c c tr sau : ð nh lí 2: (B t ñ ng th c ti p n) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa liên t c có đ o hàm đ n c p hai = Cho hàm s ≥ i) N u ∀ ∈ ≤ ii) N u ≥ ∀ ∈ − ≤ + − ∀ + ð ng th c hai B t ñ ng th c x y ⇔ ∈ ∀ = ∈ Ta có th ch ng minh đ nh lí sau = i) Xét hàm s Ta có : = = ⇒ ≥ − − − ⇔ = = ∀ ∈ − = ⇒ ∈ , ≥ ∀ ∈ ñ i d u t" − sang + x qua nên ta có : ii) Ch ng minh tương t ð nh lí 3: (B t đ ng th c cát n) i) N u ii) N u liên t c có đ o hàm ñ n c p hai = Cho hàm s ≥ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ − − ≥ − − ≤ − + − ð ng th c BðT có ch# ∀ ∈ + ∀ ho$c = = ∈ N!i dung, bi n pháp th"c hi n gi#i pháp c$a đ% tài: Ví d 1: Cho s th c dương + + = Gi#i: Xét hàm s + + th%a + ≤ + v i = Ch ng minh r ng + ∈ + Ta có: = =− ⇒ + Nên ta có: ≤ < ∀ ∈ + − + Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa ≤ − + ≤ − + + Suy : +       ≤ ( + + − )+ = ð ng th c x y ⇔ = = = + th%a : Ví d : Cho s th c dương + + + + + = Ch ng minh ≥ + Gi#i : = Xét hàm s : =− < , + > ⇒− ≤ ≥ − + ≥ − + ≥ − + + ≥ + + − + + M$t khác : + + ≤ + Ta suy : ∀ ∈ − + Nên ta có : + Ta có : = ⇒ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ + + + − + ≥ + + (*) = ≤ =− < nên t" (*) = Nh&n xét : D u hi u giúp nh n phương pháp BðT c!n ch ng minh có d ng + + + ≥ ho$c + + + ≤ , = s th c cho trư c Trong m t s trư ng h p BðT chưa có d ng trên, ta ph i th c hi n m t s phép bi n ñ i m i ñưa v d ng trên.Chúng ta c!n ý m t s d u hi u sau Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hịa ≥ • N u BðT có d ng ta l y loganepe hai v • N u BðT c!n ch ng minh ñ ng b c ta có th chu&n hóa Tùy thu c vào t"ng toán mà ta l a ch n cách chu&n hóa phù h p + + th%a : Ví d : Cho s th c dương = Tìm GTLN c a bi u th c :  = +      +   + +     +      + Gi#i : = Ta có : + = Xét hàm s : = + +   +  + + ⇒ ( )+ − = +  −  ≤ +  −  ≤ +  −  ≤ (Do + <   +  ∀ ∈ ( = Ví d : Cho − + + )+ ð ng th c x y ⇔ = = = V y GTLN c a ≤ ≤ + − ≤ + + + + + Nên ⇒    + < Ta có : < ≤ ⇒  +  + + ≤ Suy :    − = ⇒   +  = + + ) + ⇒ > th%a ≤ + + + + + = Tìm GTNN c a bi u th c = − + − + − Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa ≥ Gi#i : Áp d ng BðT Cơ si, ta có : ð$t = =− ≤ ⇒ ≤ + Vì hàm s + − − = có < − − = ≤ +      −  +    ⇒ ⇒ = ⇒ + + + − − − − − − ≤ + + ð ng th c x y ⇔ ≥ ⇒ = = V y GTNN c a = = = =− ≥ Ví d : Cho − − + + th%a = Tìm GTNN c a bi u th c = + + Gi#i : = Xét hàm s = + ⇒ = ⇒ = Vì  ∈  ≤ ≤ Ta có : = ⇒ + +   +  + + = + + + + = ( + l y ñ o hàm hai v ta ñư c ) +  >  ∀ ∈   nên áp d ng BðT ti p n, ta có :  ≥ − + ≥ − + Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa ≥ − + + C ng ba BðT ta có : + ( ≥ + + − )+ = ñ t ñư c ⇔ = = = V y GTNN c a = Ví d : Cho > Ch ng minh r ng : + + + + + ≥ + + + + + (Trích đ thi Albania 2002) L i gi i Vì BðT cho thu!n nh t nên ta ch# c!n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s + th c dương a,b,c th%a mãn + ≥ đó: + + = = , ñó bñt c!n ch ng minh tr' thành: + − v i < < D( th y hàm s > có ∀ ∈ Nên theo BðT ti p n ta có : + +    ≥      < Do      + + ≤ + + − + + + +    + ≥ = s th c +    + ⇒ Ví d 7: Cho +    thu c kho ng ≤ π      =  th%a : ≤ Ch ng minh : Gi#i : ð$t = = ⇒ > = ∑ ≤ = Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa Ta c!n ch ng minh : ∏ ≤ + = = Xét hàm s (1) > = có ≤ ⇒∏ − + = + = =∏ ⇔ = − ∏ ≤ = = = + = + +  ∑  =     ≤ = ð ng th c x y ⇔ = = π ∀ > + + ⇒ < ⇒ = = = ⇔     ≤    + = = = = = Nh&n xét : Qua ví d trên, ta có đư c k t qu t ng quát sau ð nh lí : Cho hàm s n m đo n  • N u • N u > < = có đ o hàm c p hai   th%a mãn : ∀ ∈  ∀ ∈  Ví d Cho tam giác ∑ = ≤ ∑ ≥ ≤  s =  ta có :  ta có : = ∑ ≤ = có m t góc không nh% + + ≥ − π Ch ng minh r ng : L i gi#i Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa = Hàm s π ≥ Khơng m t tính t ng qt, ta gi s)  π ∈  có   , > ≥ ≤ ⇒ π  π ∀ ∈  Áp d ng BðT ti p n, ta   > có π ≥ π ≥ π − π ≥  ⇒   − −   +    π + π π + π π +   +      ≥   π π  − −   π π  +  +   + − π π  +  +   Do π        +     −  π   >     +    − π ≥  π  ≥  +    ð ng th c x y ⇔ π = + + π   =   − = = π = + π nên ta có : đpcm ≥ th%a + π      hốn v Ví d Cho s th c không âm GTNN c a bi u th c : =   + + + + + = Tìm L i gi#i Khơng m t tính t ng quát, ta gi s) = Xét hàm s ⇒ = − + + ∈ > ∀ ∈ = ( ) có ⇒ = ≥ ≤ + Áp d ng BðT ti p n, ta có : Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa ≥ − + ⇒ + ≥ ;  ≥  + + =    − ð ng th c x y ⇔ = V y − = = − + + ≥ ; + ≥ + + + = hoán v Nh&n xét : Trong m t s trư ng h p ñ th hàm s  −  ta v*n có đư c đánh giá : = ≥ có kho ng l i, lõm − + ∈ Ch ng h n b n xem ñ th minh h a dư i ñây y _ a x _ O x0 _ ∈ ℝ Ví d 10: Cho + + + b = Ch ng minh r ng : + ≥ + + L i gi#i: BðT ñã cho ⇔ − + Trong − Ta th y = − + − = ≥ − ⇔ + + nên đ th hàm s ≥ có kho ng l i kho ng lõm ta khơng th áp d ng BðT ti p n ñư c Tuy nhiên ta Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 10 v*n có th đánh giá đư c đ ng th c x y qua ti p n c a t i m có hồnh đ = = − = + ⇒ − + = Chú ý Vì hồnh đ − ≥ + + + = − m có hồnh đ = − = − + ≥ = là: = − ∀ ∈ℝ (ñpcm) ti p n c a ñ th hàm s − (vì = ) Ta có ti p n c a ñ th hàm s t i − = ( )−( = nên ta có s phân tích: = )=( − t i m có − − ) ( )v i ≥ ≠ ≥− Ví d 11: Cho + + + + + + + = Ch ng minh r ng: ( Vơ đ ch Tốn Ba Lan 1996) ≤ L i gi#i Ta th y ñ ng th c x y + + = ≤ + V y: + − + + + + − + > + − = + + ≤ Ví d 12 : Cho s th c ∈ − v i + t i m có hồnh đ = + = Bđt cho có d ng: = = Ti p n c a ñ th hàm s Ta có: = + + + = ≥ = : = + ∀ ∈ − ñpcm tho mãn + + = Ch ng minh : + + + + Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa ≥ 11 L i gi#i Ta có : + ≤ + + − = + + + ≤ ≥ + − + + (Nh n xét : ð ng th c x y = s − M$t khác: − + − = + + + − − − + + − = − + + − − − − ⇒ − − + − − ≤ + = : = − ≥ + + + ≥ + + + + − − ) ∀ ∈ − = ñpcm  ≥   + + − − − = ∀ ∈ + + + +   +  = , Bđt cho tr' ≤ Vì a,b,c đ dài ba c nh tam giác Ta có : + ti p n c a đ th hàm L i gi#i Khơng làm m t tính t ng quát ta gi s) − = + nên ñ dài ba c nh tam giác Ch ng minh r ng : Ví d 13 Cho thành − = = − + + + − = + ≤ t i m có hồnh đ − ⇒ − = − + + − ≤ − = suy ∈ ∀ ∈ Ta có hai Bđt tương t C ng Bđt l i v i ta có: − − + − − + − − ≤ + + − = (ñpcm) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 12 ð ng th c x y = = = > Ch ng minh r ng : Ví d 14 Cho + − + + + + − + + + + − + + ≥ (Olympic Toán Nh t B n 1997) L i gi#i Vì Bñt c!n ch ng minh thu!n nh t nên ta ch# c!n ch ng minh Bñt ñúng th%a mãn + + = Khi Bđt cho tr' thành: v i m i s th c dương − − ⇔ ⇔ ⇔ + − + − + − − + + + + + + − + Trong ñó − + − + − + ≤ = − + − + + + − ⇒ + − + + + − + − + v i ∈ ≥ ≤ t i m có hồnh đ = − = ≤ − Ti p n c a đ th hàm s Ta có: ≥ + + − + + + + = = − + − + = ≥ : = + ∀ ∈ ñpcm Trong ví d ta ch# xét BðT ñ i x ng ba bi n ñ ng th c x y bi n b ng Ph!n ti p theo ta s+ ñi xét m t s BðT khơng đ i x ng ho$c BðT ñ i x ng ñ ng th c x y có nh t hai bi n không b ng Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 13 Ví d 15: Cho + + = Ch ng minh r ng: + + − + = ⇔ < − = ∈ ≥        −  +        ≥        −  +        + > • N u       ≥ ( − ( )( − )+ ( )= ≥ ( )( − )+ ( )= + ( > )+ + + − )+ ( )> − ≥ ⇒ = − ⇒ ∀ ∈ = < − ∀ ∈    =   Áp d ng BðT ti p n cát n ta có: − ≥ (Trung Qu c 2005) Áp d ng BðT ti p n ,ta có:        −  +        + ≥ có đ ng th i = ≥ ⇒ + ≥ = Xét hàm s • N u ≥ L i gi#i: Gi s) ⇒ > + = > Ví d 16: Cho ∆ nh n Tìm GTLN c a bi u th c: = L i gi#i: Ta có : Xét hàm s = + = + ∈ Áp d ng BðT ti p n v i ∆ π ⇒ = ! ⇒ =−  ∀ ∈  π   nh n, ta có : Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 14 ≤ ( − )+ = ≤ ( − )+ = ≤ ( − )+ + ⇒ ( ) − ) − + ! + ! + ! ≥ + + cho : = = = + M$t khác : = ( ) − + Ch n ba góc ⇒ = ( + = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = = = = = + + ⇒ ⇒ + ≤ + + ð ng th c x y ⇔ ≤ = V y GTLN c a = = = = Nh&n xét : T" cách gi i trên, ta có đư c cách gi i cho toán t ng quát sau : Cho ∆ nh n Tìm GTLN c a = ,v i nh ng s th c dương (Xem ' ph!n t p) nh n Tìm GTNN c a bi u th c : Ví d 17 : Cho tam giác = + + L i gi#i : (D a theo l i gi i c a 2M) Xét hàm s ⇒ =  ∈  = + > π = +  , có   ∀ ∈  π   Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 15 Áp d ng BðT ti p n v i ∆ ≥ − + nh n, ta có : = − + ! ≥ ⇒ ! + ≥ Tương t : ! + + ! ⇒ ! − − + ! Ta ch n góc ≥ ! + ≥ = cho : ! + > + = ! − = ! ba góc c a tam giác nên ta có đ ng th c : Vì + ! ! + ⇒ + ! + + + ! ! = ⇒ nghi m dương c a phương trình : + = ⇒ − ! = − + = = (1) ; − + − + − + − − đ t đư c = ba góc c a tam giác nh n ñư c xác ñ nh b'i : V i = ! + − = − = − = V y GTNN c a + − = + ≥ ⇒ + = ! = ! > ! = ! = , nghi m dương nh t c a PT (1) Nh&n xét : Tương t cách làm trên, ta tìm ñư c giá tr nh% nh t c a bi u th c = + + , s th c dương ba góc c a tam giác nh n (Xem ' ph!n t p) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hịa 16 > Ví d 18: Cho + th%a + = = Tìm GTNN c a : + + + + = + , ∈ L i gi#i: = Ta có hàm s = + ñ o hàm c p hai dương kho ng > Nên v i nh ng hàm s có th%a + + = áp d ng BðT ti p n, ta có: ≥ − + + ≥ ; = ⇔ − = cho Ta ch n Do + + + = = + = − ≥ ;      ⇔      − = = + = + = + + ≥ V y = = + + = + = s th c dương α α > ∀ ∈ − + + − v i nghi m n m c a (2) = liên t c có đ o hàm c p hai − Ví d 19 (BðT Jensen) Cho hàm s a) N u − = + − ( ) (1) − − ð ng th c x y ⇔    =   ⇔ =    =   (2) D( th y phương trình (2) ln có nghi m kho ng ⇒ + α có t ng b ng ta có: ∑α ≥ = Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa  ∑α   =     17 v i ∀ ∈( ) = b) N u < ∀ ∈ ð ng th c có ta có: = = ∑α ) ð ng th c có = =  ∑α   = ≤ = v i ∀ ∈( = = =     L i gi#i a) ð$t =α Vì > ⇒α )+ − ∈ ⇒ ∀ = (α ≥ ∑α +α + nên áp d ng BðT ti p n, ta có: ( ≥ ⇒ +α −α ∑α ≥ = )+α −α ∀ = ∑α + =  =  ∑α   = = =     b) Ch ng minh tương t Ví d 20 (2M) Cho hai b s th c dương ∑ = = ∑ Ch ng minh r ng: = ∏ ≥∏ = th%a mãn: = L i gi#i BðT c!n ch ng minh ⇔ ∑ ≥ = = Hàm s − ≤ − + + = ⇒ − ∑ = ⇒ ∑ = ≤ = hàm l i, nên áp d ng BðT ti p n ta có: ≤ ⇒ ∑ ∑ + ≤ ∑ − = + ∑ = = ∑ = ñpcm = Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 18 Chú ý: ði u thú v BðT Cô si l i m t h qu c a toán Th t v y: ∑ = Cho ∏ ≤∏ = = ∑ ⇒ = ≥ = = = =  ∑  = =    ∏        Khi BðT cho tr' thành: = ( = = ) BðT Cơ Si cho s = Bài t&p áp d ng Cho > Ch ng minh: Cho > th%a + + + ≤ th%a + + Cho s th c    Cho ∈ π − ! + + ≥ + + ≥ Ch ng minh r ng: + + + Cho + + + + +  ∈      −     −       + +  − ≥   ( + + + + + ≤ = Ch ng minh − ) = π Ch ng minh − ! + ≤ + = Ch ng minh r ng: + + + + + + − ! Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa + − ! ≥ 19 Cho n s th c dương tho mãn: ∑ = Cmr: = + + + π − + + + + π + ! Cho tam giác − π + ! − ! Ch ng minh r ng ! ≤ ! + + Cho tam giác = 2) Giá tr nh% nh t c a = ! + + > nh n 1) Giá tr l n nh t c a 10 Cho ( New Zealand 1998) + Tìm GTNN c a bi u th c Cho tam giác = ≤ < + Tìm: + + s th c khơng âm ≤ có t ng b ng Ch ng minh: (BðT Cauchy) 11 Cho > Ch ng minh: + + + 12 Cho + + + + + + + + + + ≤ (M - 2003 ) > Ch ng minh: + + + > Ch ng minh: 14 Cho > + + + + 13 Cho ≥ + + + + + + + + + ≥ + + + = Ch ng minh : + 15 Cho + > Ch ng minh: + − + + + + + + + ≥ + + + + ≤ + ( H ng Kông 1997) IV K'T QU • H c sinh h ng thú ý h c khái ni m Toán h c Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 20 • H c sinh gi i quy t ñư c m t l p tốn khó v BðT V BÀI H C KINH NGHI M • Khi d y h c khái ni m Toán h c c!n ý ñ n b n ch t c a khái ni m khai thác b n ch t c a khái ni m • Trong q trình d y h c, có th g i m' m t s hư ng phát tri n t" m t khái ni m Toán h c cho h c sinh tìm tịi nghiên c u VI K'T LU(N Vi c khái thác khái ni m ñ th l i lõm c a ñ th hàm s cho chúng ta: • M t phương pháp ch ng minh BðT gi i m t s d ng toán c c tr hi u qu ñơn gi n • D a vào hai BðT ti p n cát n k t h p v i phương pháp cân b ng h s , có th sáng t o nhi u tốn BðT hay khó NGƯ-I TH.C HI/N Nguy n T t Thu Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 21 ... BðT có d ng ta l y loganepe hai v • N u BðT c!n ch ng minh ñ ng b c ta có th chu&n hóa Tùy thu c vào t"ng toán mà ta l a ch n cách chu&n hóa phù h p + + th%a : Ví d : Cho s th c dương = Tìm GTLN... ng : L i gi#i Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hịa = Hàm s π ≥ Khơng m t tính t ng quát, ta gi s)  π ∈  có   , > ≥ ≤ ⇒ π  π ∀ ∈  Áp d ng BðT ti p n, ta   > có π ≥ π... d Cho s th c không âm GTNN c a bi u th c : =   + + + + + = Tìm L i gi#i Khơng m t tính t ng quát, ta gi s) = Xét hàm s ⇒ = − + + ∈ > ∀ ∈ = ( ) có ⇒ = ≥ ≤ + Áp d ng BðT ti p n, ta có : Nguy