công thức hình học không gian

hay

Chuyên đề : Hình học không gian 11-12 (Ôn thi ĐH-CĐ)

1 Các công thức thường dùng

a Tam giác đều cạnh a  chiều cao h = a 3

2 ; diện tích S = a2 3

4

b Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R thì a = R 3

c Tam giác vuông có một góc 300 (hoặc 600) đgl nửa tam giác đều Khi đó nếu cạnh huyền bằng a thì hai cạnh góc vuông là 2a (đối diện góc nhỏ) và 3

2

a (đối diện góc lớn)

d Hình vuông cạnh a  đường chéo d = a 2; diện tích S = a2

e Hình vuông cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R thì a = R 2

f Hình bình hành 2 cạnh liên tiếp a,b và góc giữa 2 cạnh liên tiếp bằng , diện tích S = absin

g  HCN có độ dài hai cạnh liên tiếp là a và b thì diện tích S = ab

h  Hình thoi cạnh a, góc giữa 2 cạnh liên tiếp bằng , diện tích S = a2sin

i Diện tích hình thang có đáy nhỏ = a, đáy lớn = b, chiều cao =h là: S = (a b h2 )

j Mọi tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau thì diện tích S = nửa tích hai đường

chéo

(áp dụng cho cả hình thoi, hình vuông vì chúng có hai đường chéo vuông góc)

k Các đường đặc biệt trong tam giác :

- Ba đường cao đồng qui tại H, H đgl trực tâm tam giác Tam giác ABC vuông tại

A thì H  A

- Ba đường trung tuyến đồng qui tại G, G đgl trọng tâm tam giác Giả sử trung

tuyến AM thì GA=2GM

- Ba đường phân giác trong đồng qui tại I, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

- Ba đường trung trực đồng qui tại O, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

l Các công thức tính diện tích tam giác ABC : S = 12đáy.cao = 12tích hai cạnh.sin(góc xen giữa)

= abc4R = pr = p p a p b p c(  )(  )(  ) = 12 (AB AC ) 2  (  AB AC ) 2

p là nửa chu vi tam giác

m Hệ thức lượng trong tam giác : Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b, AB = c

TH1: 2 2 2

2

b c a

bc

 

> 0  A nhọn

2

b c a

bc

 

< 0  A tù TH3: b2 + c2 – a2 = 0  A = 1vuông (khi đó ta có định lý Pitago: a2 = b2 + c2)

R

A B  C 

- Định lý về trung tuyến: Gọi ma là trung tuyến kẻ từ đỉnh A , thế thì 2 2 2 2

a

b c a

m   

n Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AH :

- a2 = b2 + c2 (Pitago)

AH b c - b2 = a.HC

o Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông :

sin = huyen doi ; cos = huyen ke ; tan = doi ke ; cot = doi ke

p Tích vô hướng của 2 vectơ: a b  a b  .cos( , )a b   a b a b . = 0

Qui ước : Góc giữa 2 vectơ  [0;1800]; Góc giữa 2 đường thẳng  [0;900]

2.Các hình thường gặp

a Hình chóp tam giác

- Hình chóp S.ABC : đỉnh là S, đáy là tam giác ABC (có thể là tam giác vuông, cân, đều tuỳ theo giả thiết cho); 3 mặt bên là 3 tam giác (có thể là tam giác vuông, cân, đều tuỳ theo giả thiết cho)

- Hình chóp đều S.ABC : đỉnh là S, đáy là tam giác đều ABC; 3 mặt bên là 3 tam giác cân bằng nhau, hình chiếu của đỉnh trùng tâm đáy

Chú ý : 1 Hình chóp tam giác còn gọi là tứ diện; bất kỳ mặt nào cũng có thể xem là đáy.

2 Cho hình chóp S.ABC A' SA, B' SB, C' SC thế thì: ' ' '

.

S A B C

S ABC

V SA SB SC

(A', B', C' có thể trùng A, B, C công thức vẫn đúng)

b Hình chóp tứ giác

- Hình chóp S.ABCD : đỉnh là S, đáy là tứ giác (có thể là hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang vuông tuỳ theo giả thiết cho); 4 mặt bên là 4 tam giác

A

H

a b c

- Hình chóp đều S.ABCD : đỉnh là S, đáy là hình vuông ; 4 mặt bên là 4 tam giác cân bằng nhau, hình chiếu của đỉnh trùng tâm đáy

Vchóp =13Bh B là diện tích đáy, h là khoảng cách từ đỉnh đến đáy (gọi là chiều cao

hình chóp)

c Hình lăng trụ tam giác:

- Hình lăng trụ ABC.A'B'C' (2 đáy là 2 tam giác ABC, A'B'C' bằng nhau, nằm trên 2 mp// và có các cạnh tương ứng //, 3 mặt bên là 3 hình bình hành, 3 cạnh bên // và bằng nhau)

- Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' (2 đáy là 2 tam giác ABC, A'B'C' bằng nhau, nằm trên

2 mp// và có các cạnh tương ứng //, 3 mặt bên là 3 hình chữ nhật, 3 cạnh bên // và bằng

nhau đồng thời ┴ đáy, cạnh bên = chiều cao)

- Hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' (2 đáy là 2 tam giác đều ABC, A'B'C' bằng nhau, nằm trên 2 mp//, 3 mặt bên là 3 hình chữ nhật bằng nhau, 3 cạnh bên // và bằng nhau đồng

thời ┴ đáy, cạnh bên = chiều cao)

d Hình lăng trụ tứ giác:

- Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' (2 đáy là 2 tứ giác ABCD, A'B'C'D' bằng nhau, nằm trên 2 mp// và có các cạnh tương ứng //, 4 mặt bên là 4 hình bình hành, 4 cạnh bên // và bằng nhau)

- Hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' (2 đáy là 2 tứ giác ABCD, A'B'C'D' bằng nhau, nằm trên 2 mp// và có các cạnh tương ứng //, 4 mặt bên là 4 hình chữ nhật, 4 cạnh

bên // và bằng nhau đồng thời ┴ đáy, cạnh bên = h)

- Hình lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' (2 đáy là 2 hình vuông ABCD, A'B'C'D' bằng nhau, nằm trên 2 mp//, 4 mặt bên là 4 hình chữ nhật bằng nhau, 4 cạnh bên // và bằng nhau

đồng thời ┴ đáy, cạnh bên = chiều cao)

e Hình hộp : là hình lăng trụ tứ giác, 2 đáy là 2 hình bình hành bằng nhau  cả 6 mặt

là 6 hình bình hành (chia thành 3 cặp đối, đôi một bằng nhau)

f Hình hộp đứng : là hình lăng trụ đứng, 2 đáy là 2 hình bình hành bằng nhau  4 mặt

bên là 4 hình chữ nhật (chia thành 2 cặp đối, đôi một bằng nhau)

VL.trụ = Bh B là diện tích đáy, h là khoảng cách giữa 2 đáy (gọi là chiều cao lăng trụ)

g Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng, 2 đáy là 2 hình chữ nhật bằng nhau  cả

6 mặt là 6 hình chữ nhật (chia thành 3 cặp đối, đôi một bằng nhau) Độ dài 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh đgl 3 kích thước của hình hộp chữ nhật  VH.hộp CN = a.b.c (a,b,c là độ dài ba kích thước)

e Hình lập phương : Là hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau  cả 6 mặt là 6

hình vuông bằng nhau  V H.L.phương = a3 (a là cạnh lập phương)

Chú ý: Hình chóp và hình lăng trụ có chung đáy và chiều cao thì thể tích khối lăng trụ

= 3 thể tích khối chóp.

3 Vài cách xác định chân đường cao hình chóp

a Hình chóp đều : Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đa giác đáy.

Thường gặp: Hình chóp tam giác đều (đáy là tam giác đều, 3 cạnh bên bằng nhau), hình chóp tứ giác đều (đáy là hình vuông, 4 cạnh bên bằng nhau).

b Hình chóp có 2 mặt bên liên tiếp cùng ┴ với đáy  giao tuyến của 2 mặt bên đó,

chính là chiều cao

c Hình chóp có tất cả các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau  Chân

đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

d Hình chóp có tất cả các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau  Chân

đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

e Hình chóp có một mặt bên ┴ đáy  Chân đường cao hình chóp giao tuyến của mặt bên đó và đáy

4 Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

ĐN: Cho đa giác nội tiếp trong đường tròn tâm I Đường thẳng ┴ với mp chứa đa giác tại

I đgl trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đó

+ Dựng đường thẳng  là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Dựng mp (P) là mp trung trực của một cạnh bên thích hợp

+ Dựng giao điểm O của (P) và  O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Mọi hình chóp tam giác, luôn tồn tại duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp nó Còn hình

chóp tứ giác thì chỉ tồn tại mặt cầu ngoại tiếp nó khi đáy là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

5 Trong không gian, hãy nêu cách:

a C/m 3 điểm thẳng hàng: Có thể dùng một trong các cách sau:

a1: Chứng tỏ 3 điểm đó là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt

a2: Trong tam giác, 3 điểm : chân đường cao, trực tâm, đỉnh tương ứng thẳng hàng,

b C/m 3 đường thẳng đồng quy: Có thể dùng một trong các cách sau:

b1: Giả sử đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại I, ta c/m đường thẳng EF qua I bằng cách c/m E, I, F thẳng hàng  3 đường thẳng AB, CD, EF đồng qui tại I

b2: AD định lý: Ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó hoặc // hoặc đồng quy

b3: Các đường đặc biệt trong tam giác (3 trung tuyến, 3 đường cao )

c C/m đường thẳng // đường thẳng : Có thể dùng một trong các định lý sau:

c1: Nếu đường thẳng d // mp (P), khi đó bất kỳ mp nào chứa d và cắt (P) theo giao tuyến u

thì d//u

Tóm tắt: d//(P), (Q) d, (P) (Q) = u  d//u

c2: Hai mp cắt nhau, cùng // với đường thẳng d thì giao tuyến của chúng // d

Tóm tắt: (P) (Q) = u, (P)//d, (Q)//d  d//u

c3: Một mp cắt hai mp // theo 2 giao tuyến //

Tóm tắt: (R)  (P) = u1, (R)  (Q) = u2 , (P) //(Q)  u1 // u2

c4: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì //

Tóm tắt: d1 ┴ (P), d2 ┴ (P), d1, d2 phân biệt  d1 // d2

c5: Hai mp cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng // thì giao tuyến của chúng // hoặc 

với một trong hai đường thẳng đó.

Tóm tắt: (P)  (Q) = u, (P) a, (Q) b, a//b  u //a, u //b hoặc ua V u  b

c6: Đường trung bình của tam giác, định lý đảo Talet,

d C/m đường thẳng // mặt phẳng: Có thể dùng một trong các định lý sau:

d1: Nếu đường thẳng d  mp(P) và d // d', d' (P) thì d // (P)

d2: Đường thẳng d và mp (P) không chứa d cùng vuông góc với đường thẳng khác thì //

Tóm tắt: d ┴ a, (P) ┴ a , d  (P)  d // (P) d3: d  (Q), (Q) // (P)  d //(P)

e C/m mặt phẳng // mặt phẳng: Có thể dùng một trong các định lý sau:

e1: Trên mp nọ có chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng // với mp kia thì 2 mp đó //

Tóm tắt: a cắt b, a  (P), b  (P), a // (Q), b // (Q)  (P) // (Q)

e2: Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì //

Tóm tắt: (P) ┴ d, (Q) ┴ d, (P) (Q)  (P) // (Q)

Chú ý: Hai mp phân biệt cùng vuông góc với mp thứ ba thì có thể cắt nhau, có thể //

f Đường thẳng vuông góc đường thẳng: Có thể dùng một trong các định lý sau

f1: Đường thẳng a ┴ mp (P) b  a ┴ b

f2: Đường thẳng a ┴ với 2 cạnh của tam giác thì ┴ với cạnh còn lại

f3: Định lý 3 đường vuông góc: Đường thẳng nằm trong mp, vuông góc với hình chiếu

đường xiên thì vuông với đường xiên và ngược lại.

f4: Đường thẳng a // với mp(P), khi đó bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với (P) thì

cũng ┴ với a

Tóm tắt: a// (P) , b ┴ (P)  a ┴ b

f5: Tính chất trực tâm trong tam giác, đảo Pitago, hai đường chéo hình thoi, hình

g Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Có thể dùng một trong các định lý sau

g1: Đường thẳng ┴ với 2 đường thẳng cắt nhau của mp thì đường thẳng ┴ với mp đó.

Tóm tắt: d ┴ a, d ┴ b, a cắt b, a và b  (P)  d ┴ (P)

g2: Hai mp ┴ nhau, khi đó bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mp này và ┴ giao tuyến thì

┴ mp kia.

Tóm tắt: (P) ┴ (Q), (P)  (Q) = u, d  (P), d ┴ u  d ┴ (Q)

g3: Hai mp cắt nhau cùng ┴ với mp thứ ba thì giao tuyến của chúng ┴ với mp thứ ba.

Tóm tắt: (P)  (Q) = u , (P) ┴ (R), (Q) ┴ (R)  u ┴ (R) Xem chú ý ở mục e2

g4: Hai mp //, khi đó đường thẳng nào ┴ với mp thứ nhất thì cũng ┴ với mp thứ hai.

Tóm tắt: (P) // (Q), d ┴ (Q)  d ┴ (P)

h Hai mp vuông góc: Có thể dùng một trong các định lý sau:

h1: Hai mp ┴ với nhau khi và chỉ khi trên mp nọ có chứa một đường thẳng ┴ với mp kia.

Tóm tắt: d ┴ (P), (Q) d  (Q) ┴ (P); ngược lại, nếu (Q) ┴ (P) thì hiển nhiên trên (Q)

có vố số đường thẳng ┴ (P) (chỉ cần ┴ với giao tuyến)

h2: Hai mp //, khi đó mp nào ┴ với mp thứ nhất thì cũng ┴ với mp thứ hai.

6 Nêu cách tính :

a Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d :

Kẻ AH ┴ d (H  d) khi đó d(A,d) = AH

b Khoảng cách từ điểm A đến một mặt phẳng (P)

Kẻ AH ┴ (P) (H  (P)) khi đó d(A, (P)) = AH

c Khoảng cách từ đường thẳng d đến mp (P) //d

Chọn điểm M  d, khi đó d(d, (P)) = d(M, (P))

d Khoảng cách giữa hai mp // (P) và (Q)

Chọn điểm M  (Q), khi đó d((P), (Q)) = d(M, (P))

e Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d' :

Cách 1: Là độ dài đường vuông góc chung của chúng

Cách 2: Tìm mp (P) d' và // d, khi đó d(d,d') = d(d, (P))

Cách 3: Tìm mp (P) d' , (P) // d và Tìm mp (Q) d , (Q) // d', khi đó d(d,d') = d((P), (Q))

7 Nêu cách xác định :

a Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d' (qui ước từ 0 -> 90 0 )

Chọn điểm I thích hợp (I có thể d hoặc  d'), qua I kẻ đường thẳng  // d và ' // d', khi đó ( ,d d    ') ( , ')

- d//(P) thì ( , ( ))d  P = 0

- d  (P) = I, chọn M thích hợp  d, vẽ MH ┴ (P) Khi đó, ( , ( ))d  P = M IH

c Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) (qui ước từ 0 -> 90 0 )

- Chọn điểm I thích hợp trên giao tuyến u của (P) và (Q)

- Trên (P), từ I vẽ đường thẳng d ┴ u ; Trên (Q), từ I vẽ đường thẳng d' ┴ u Khi đó, (( ) ( ))P  Q =( , ')d d