PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Đại số lớp 11 | 1 | ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG I LƯỢNG GIÁC PHẦN II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI TOÁN 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  sin 1 x a Trường hợp a 1 phương trình vô nghiệm Trường hợp a 1 , khi đó + Đặc biệt   sin 0 sin 1 2 ; 2 sin 1 2 2 x x k x x k k Z x x k                             + Không đặc biệt Tồn tại một số  sao cho  a sin  ta được Nếu  (chẵn số) thì sin x a sin x sin     x k2 , k x k2          Nếu  (lẻ số) thì sin.

Đại số lớp 11 | ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG I LƯỢNG GIÁC PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I sin x  a 1 LÝ THUYẾT Trường hợp a  phương trình vơ nghiệm Trường hợp a  ,  sin x   x  k    ; k Z + Đặc biệt: sin x   x   k 2    sin x  1  x    k 2   + Không đặc biệt: Tồn số  cho a  sin    ta  x    k2 ,k  Nếu  (chẵn số) sin x  a  sin x  sin    x      k2    x  arcsin  a   k2 Nếu  (lẻ số) sin x  a   ,k   x    arcsin  a   k2    x    k.360 ,k  Nếu  (tính theo độ) sin x  sin     x      k.360  Chú ý : Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian 1| II = VÍ DỤ Ví dụ Giải phương trình sau a d g b e c i k m n f h j l o Lời giải   x    k 2    a sin x    sin x  sin      k   3  x  4  k 2   1  x  arc sin    k 2   b sin x    k   1  x    arc sin    k 2 4  c sin  x  60      sin  x  60   sin 30  x  60  30  k 360  k   x  60  150  k 360 d sin x   x    k 2  k   x  90  k 360 k   x  210  k 360    e Ta có sin 3x   1;1  sin 3x   vơ nghiệm f Ta có: sin  2019x  2020 1;1  sin  2019x  2020  vô nghiệm |2 Đại số lớp 11 |   k 2   3x   k 2 x     18 g sin 3x   sin 3x  sin    k  3x  5  k 2  x  5  k 2   18   x      k 2  x  x         3 h sin       sin     sin      k  2 3 2 3  3  x    4  k 2  3 2 x     k 2  k   x    k 2  4  x  k 4   k   x  2  k 4     x    k 2   i 2sin  3x  1   sin  3x  1   sin  x  1  sin   k  3x   5  k 2     3x    k 2  k  3x  5   k 2   k 2   x  18    k   x  5   k 2  18 3       j sin sin  x     sin  x    k  k   3      Vì sin  x     1;1 k  3     nên ta có k      sin  x     x   k  k  3   x   k  k       k Ta có sin  x    sin  x   2 3       x   x   k 2  k   x       x     k 2    3  5   x    k 2  k   x  5  k 2  18   sin x   l Ta có sin 3x     sin x    3|   2   3 x   k 2 x   k   3 x  2  k 2  x  2  k 2   3  k  k     3 x     k 2  x     k 2   3   4 4 2 3 x  x  k  k 2 3   m Ta có sin 2x  cos x   sin x  cos x     sin x  sin   x  2     x   x  k 2  k   x    x  k 2  n Ta có sin 3x  sin x   2  x   k  k   x    k 2    sin 3x   sin x  sin 3x  sin   x    x  k  3x   x  k 2  k     k  x    x  k     x   k     x  k k     o Ta có sin x  cos  x+   3       sin x   cos  x+   sin x  sin  x   6 3      x  x   k 2  k   x  7  x  k 2     x   k 2 k    x  7  k 2  18  Ví dụ Tìm nghiệm phương trình khoảng Lời giải   x    k 2  Ta có sin x     k   x  7  k 2   Theo đề bài: 0   k 2     k   không tồn k 12 12 |4 Đại số lớp 11 | 7  k 2      k    không tồn k 12 12 Vậy phương trình cho vơ nghiệm 0 Ví dụ Tìm nghiệm phương trình khoảng Lời giải Ta có 2sin  x  40   sin  x  40   x  40  60  k 360  k   x  40  120  k 360 Theo đề bài:   x  20  k 360  k   x  80  k 360  180  20  k 360  180    k   k  9 13 180  80  k 360  180    k   k  18 18 Vậy phương trình có hai nghiệm x  20 x  80 Ví dụ Tìm nghiệm phương trình đoạn Lời giải Điều kiện: cos x  1  x    l 2  l   Khi sin 3x   sin 3x   3x  k  k  cos x    x  m2   Kết hợp điều kiện ta được:  x   m  m    2 x   m     x  k k    7 8 10 11   Vì x  2 ;4  nên x  2 ; ; ; ;  3 3   5| BÀI TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I cos x  a 1 LÝ THUYẾT + Trường hợp a  phương trình vơ nghiệm + Trường hợp a  , đó: Tồn số thực  cho a  cos  Khi đó:  x    k2 ,k  cos x  a  cos x  cos    x    k2  Chú ý: 0     1) Số thực  thỏa mãn:  ta viết   arccos a Khi ta có: cos   a cos x  arccos a  x   arccos a  k 2 , k   x     k.360 2) Phương trình cos x  cos    cos x  cos     , k   x     k.360  3) Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian Đặc biệt    k ; k  cos x   x  k 2 ; k  cos x   x      cos x  1  x   2k  1  ; k  II =  VÍ DỤ Ví dụ Giải phương trình sau a c e f d g i b h j |6 Đại số lớp 11 | Lời giải   3   a Ta có cos  3x      cos  3x    cos 6 6    3  3x    k 2  k  3x     3  k 2  b Ta có cos  x    11 k 2   x  36    x  7  k 2  36 k   2  x    arccos    k 2 5  2  x   arccos     k 2  k  5 c Ta có cos  2x  50     cos  2x  50  cos60  x  50  60  k.360  k   x  50  60  k.360  x  5  k.180 k   x  55  k.180   1  2cos x  d Ta có 1  2cos x 3  cos x     3  cos x   cos x   2 x  k 2  k     e Ta có cos  3x     3x   k 2  k  6  f Ta có 2cos x  1  cos x     x  18  2 x  k 2  k  g Ta có 2019.cos  x  30  2020  cos  x  30   k 2 k    2020  ( vơ nghiệm) 2019 h Ta có cos  3x  10  1  3x  10  180  k 360  x  170  k 120  k     i Ta có sin 3x  cos x   sin 3x  sin   x  2    3x   x  k 2  k   3x   x  k 2   k 2   x  10   k    x   k 2  j Ta có cos cos  x     cos  x  2  k 2  k    Vì: 1  cos  x  2  nên k  7| Khi đó: cos  x     x     m  x     m ,  m   Ví dụ Giải phương trình Lời giải Ta có: sin x.cos x   sin x   x  k k   Ví dụ Phương trình có nghiệm thỏa mãn ? Lời giải Ta có     cos  x     cos  x    3 3       x    k 2  k   x       k 2     x   12  k 2  k   x   7  k 2  12  Với  x  2 ta có  25  1 23 0    k 2  2  k   24 12 24  k  nghiệm x   12 k  k  7 31  7  k 2  2 17 0    k   24 12 24  k   x   12 k  k  Vậy phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn  x  2 |8 Đại số lớp 11 | BÀI TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN tan x  u 1 I VÀ cot x  v  2 LÝ THUYẾT cot x  v  2 tan x  u 1 Đặc biệt:   tan x   x  k    ; k  tan x   x   k     tan x  1  x    k Điều kiện x     k với k  Z   cot x   x   k    ; k cot x   x   k    cot x  1  x    k    x  k với k  Z Tồn số  cho u  tan    Tồn số  cho v  cot    Nếu  (chẵn số) Nếu  (lẻ số) tan x  tan   x    k  k  cot x  cot   x    k  k  Nếu  (theo đơn vị độ) tan x  tan  tan x  u  x  arctan u  k  k    cot x  u   x  arc cot u  k k    cot x  cot    x    k.180 k     x    k.180 k   Chú ý : Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian II = VÍ DỤ 9| Ví dụ Giải phương trình sau a b c e d f g i h k m j l Lời giải  2  2  2x   k  x   k , k  7 x  2 x x   k 2 , k  b Ta có tan   tan  tan    k  x  3 2 a Ta có tan x  tan  tan 3x  30  tan  30  3x  30  30  k180  x  k 60, k     d Ta có tan x   tan x  1  x    k , k   x   k , k  4 c Ta có tan  3x  30   e Ta có tan x   2x  k  x  k  ,k           f Ta có cot  x     cot  x    cot  x    k  x   k , k  12 6 6 6   g Điều kiện: sin x x    l  x  l 2 , l  2  x  x   x   k 2 cot    k    x  x   2 Ta có  cot  1 cot  1      2 ,k      x     k 2  x     k cot x  1    2 TM  h Ta có      tan   x   tan  x     cot x  2cot x   cot x  1  x    k , k  2 2   | 10 Ví dụ (Dự bị – ĐH Khối B – 2002) Cho phương trình a Giải phương trình với (với tham số) để phương trình có nghiệm b Tìm Lời giải a Giải phương trình với a  Ta có: sin x  2cos x   0, x  Do D  Ta có 2sin x  cos x  1    2sin x  cos x  1  sin x  2cos x  sin x  2cos x  3      5sin x  5cos x   sin x  cos x   sin  x     sin  x    4 4    x   k , k  x  Vậy phương trình có họ nghiệm x     k , k   k , k  b Tìm a để phương trình có nghiệm Điều kiện xác định: x  Ta có 2sin x  cos x   a  2sin x  cos x   a sin x  2a cos x  3a sin x  2cos x     a  sin x  1  2a  cos x  1  3a Phương trình có nghiệm    a   1  2a    1  3a    4a  a   4a  4a   6a  9a 2 2  4a  6a      a  Vậy   a  2 BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VỚI SIN VÀ COS I LÝ THUYẾT Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x cos x có dạng | 48 Đại số lớp 11 | a sin x  b sin x cos x  c cos x  d Sử dụng công thức hạ bậc để chuyển phương trình dạng A.sin 2x  B.cos 2x  C Điều kiện có nghiệm phương trình là: A2  B  C II = VÍ DỤ Ví dụ Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Lời giải Ta có: 1  cos x 2sin x  sin x cos x  cos x  m  1  cos x   sin x  m 2  sin 2x  3cos 2x   2m Điều kiện để phương trình có nghiệm 12  32  1  2m    2m  10   10  10 m 2 Ví dụ Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm a b c Lời giải a Ta có: m sin x   m  1 cos x  2m  m sin x   m  1  cos x  2m  m sin 2x   m  11  cos 2x   2m  m sin 2x   m  1 cos 2x    m  1  2m  m sin 2x   m  1 cos 2x  m 1 Phương trình có nghiệm  m  4 2  m2   m  1   m  1  m2  m2  2m   m2  2m   m2  4m    m  Vậy m  4 m  b Ta có: 49 |  m  1 sin x  sin x  cos x    m  1  cos x  sin x  cos x    m  11  cos x   2sin x  2cos x   2sin x   m 1 cos x  m 1 Phương trình có nghiệm   2   m  1   m  1   m2  2m   m2  2m   4m   m  2 Vậy m  c Ta có: m cos x  4sin x cos x  m    m  cos x  2sin x  m    m 1  cos 2x   4sin 2x  2m   4sin x  m cos x  3m  Phương trình có nghiệm  42   m    3m    16  m2  9m2  24m  16  8m2  24m    m  2 Vậy  m  Ví dụ Có giá trị nguyên dương tham số có nghiệm? để phương trình Lời giải Ta có m sin x   2m  1 sin x cos x   m  2 cos2 x   cos x 1  cos x  m   2m  1 sin x   m   0 2   2m  1 sin x  2cos x  2m  Điều kiện để phương trình có nghiệm  2m  1  22   2m    m  Kết hợp điều kiện m ngun dương m  10 suy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ Tìm để phương trình có nghiệm Lời giải Ta có | 50 Đại số lớp 11 | sin x   2m  2 cos x sin x   m  1 cos2 x  m  cos x 1  cos x    2m   sin x   m  1 m 2   2m  2 sin 2x   m  2 cos 2x  3m Phương trình có nghiệm   2m  2   m    9m2  4m2  4m    2  m  2 Ví dụ Cho phương trình a Giải phương trình b Tìm để phương trình có nghiệm Lời giải a Khi m  ta phương trình cos2 x  sin x cos x    cos x  sin x  cos x     x   k cos x  cos x     k  cos x  sin x   tan x  1  x     k   b Ta có: cos2 x  sin x cos x  m 1  sin x    cos x 1  cos x  sin x  m  m 2  sin 2x   m  1 cos 2x  3m 1 Phương trình có nghiệm  12   m  1   3m  1  8m2  8m    2 2 2 m 4 Ví dụ Cho phương trình a Giải phương trình b Tìm để phương trình vơ nghiệm Lời giải a Khi m  2 ta có phương trình cos x  sin x cos x  2sin x    3cos2 x  sin x cos x   3cos x  sin x  cos x  51 |   x   k cos x  cos x      k   3cos x  sin x   tan x   x  arctan  k  b Ta có: cos2 x  sin x cos x  2sin x  m    cos x  sin x  1  cos x   m   3cos 2x  sin 2x  2m  2 Phương trình có nghiệm  1  10 m  2  32  12   2m  1  4m2  4m      1  10 m   Ví dụ để phương trình Tìm tất giá trị tham số nghiệm? có Lời giải Điều kiện xác định phương trình:  m   m  1 Phương trình có nghiệm khi: 2 a  b  c     m    m  1   m  1   m  m  2m   m  2m   3m  2  m   Kết hợp với 1 ta m BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN HÀM SỐ BẬC HAI HOẶC ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I LÝ THUYẾT Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai với biến ( ý điều kiện biến mới) Trường hợp 1: Nếu cô lập tham số đưa dạng f  t   m f  t  hàm số bậc hai Lập bảng biến thiên hàm số bậc hai y  f  t  Trường hợp 2: | 52 Đại số lớp 11 | Nếu không cô lập tham số ta xét điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm II = VÍ DỤ Ví dụ Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm? Lời giải Ta có: cos x  sin x   m   1  sin x   sin x   m   2sin x  sin x   m   2sin x  sin x   m Đặt t  sin x, điều kiện: t  1;1 Yêu cầu toán trở thành phương trình: 2t  t   m có nghiệm với t  1;1 Xét hàm số bậc hai f  t   2t  t  tập xác định D   1; 1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  t   m có nghiệm với t   1; 1 m 25 Ví dụ Có giá trị ngun để phương trình có nghiệm? Lời giải   Ta có sin x  cos x  sin  x   4    Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ; x  4   t   ;  Ta có t   2sin x cos x  sin x   t Phương trình trở thành  t  t  m   t  t   m , 1 53 | Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm t    ;  Xét hàm số bậc hai f  t   t  t  tập xác định D    ;  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  t   m có nghiệm t    ;   1   m  Vì m nên m2; 1;0;1 Vậy có tất giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ Tìm tất giá trị để phương trình có nghiệm? Lời giải Phương trình 1  2sin x   1  sin x   3sin x  2m   3sin x  3sin x   2m Đặt t  sin x ; x   t 1; 1 Phương trình trở thành 3t  3t   2m , 1 Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm t   1; 1 Xét hàm số bậc hai f  t   3t  3t  tập xác định D   1; 1 Bảng biến thiên t 1 f(t) 11 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  t   2m có nghiệm t   1; 1 | 54 Đại số lớp 11 |  11 11  2m     m  Vậy giá trị cần tìm  11 m2 Ví dụ để phương trình Tìm tất giá có nghiệm Lời giải Phương trình cho tương đương với sin 2 1 x  cos x   2sin x cos x  cos x  sin 2 x  m    cos 2 x  cos x   m 4 Đặt t  cos 2x ; x   t 1; 1 Phương trình trở thành  t2  t   m , 1 4 Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm t   1; 1 Xét hàm số bậc hai f  t    t2 tập xác định D   1; 1 t  4 Bảng biến thiên t 1 f(t) Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  t   m có nghiệm t   1; 1  2  m  Vậy giá trị cần tìm 2  m  Ví dụ Tìm để phương trình có nghiệm Lời giải Điều kiện: cos x   x    k  k   55 | m sin x   m  1 cos x    m  m tan x  m   m  tan x  m tan x  m tan x   cos x • Trường hợp 1: m  , phương trình trở thành 1  (vơ nghiệm) m  • Trường hợp 2: m  , phương trình có nghiệm    m2  4m     m  4 Vậy phương trình cho có nghiệm m  m  4 Ví dụ để phương trình Tìm có nghiệm Lời giải Điều kiện: cos x   x   Ta có m tan x  tan x    k  k     m 1 tan x  tan x   cos x • Trường hợp 1: m  1, phương trình trở thành tan x   x    k , k  • Trường hợp 2: m  1, phương trình có nghiệm    2m    m  Vậy phương trình cho có nghiệm m  (thỏa mãn) DẠNG 5: TÌM THAM SỐ M ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN CHO TRƯỚC I LÝ THUYẾT + Cô lập tham số đưa dạng f  x   m + Lập bảng biến thiên hàm số y  f  x  khoảng đoạn cho II = VÍ DỤ Ví dụ Cho phương trình nghiệm Tìm giá trị để phương trình có | 56 Đại số lớp 11 | Lời giải Ta có: cos 2x   2m  1 cos x  m   1  cos x    2cos x   2m  1 cos x  m    cos x  m Dễ thấy phương trình cos x   3 khơng có nghiệm thuộc khoảng  ;  2   3 Nên để phương trình 1 có nghiệm x   ;  phương trình cos x  m phải có nghiệm 2    3  x  ;  2  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm 1  m  Ví dụ để phương trình Tìm tất giá trị nghiệm có Lời giải Phương trình cho tương đương với 2  cos2 x  sin x   2sin x cos2 x   1  2sin 2 x   2sin x  m     3sin x  2sin x   m   Đặt t  sin x ; x  0;   t  0 ; 1  2 Phương trình trở thành 3t  2t   m , 1 57 |  Phương trình cho có nghiệm x  0;  phương trình 1 có  2 nghiệm t 0; 1 Xét hàm số bậc hai f  t   3t  2t  tập xác định D  0; 1 Bảng biến thiên t 10 f(t) Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  t   m có nghiệm t 0; 1   m  Vậy giá trị cần tìm  m  10 10 Ví dụ Cho phương trình nghiệm Tìm giá trị để phương trình có Lời giải Ta có: cos2 x  2m cos x  6m   cos x  VN  1   cos x  2m   cos x  2m     Để phương trình 1 có nghiệm x    ;  phương trình cos x  2m  phải có nghiệm  2    x   ;   2 Bảng biến thiên | 58 Đại số lớp 11 | Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là:  2m    m2 Ví dụ Cho phương trình nghiệm Tìm giá trị để phương trình có Lời giải cos x  Ta có: 2cos x   m  2 cos x  m  1   cos x  m  2   Dễ thấy phương trình cos x  có nghiệm thuộc khoảng x  0;  x   2 m   Do để phương trình 1 có hai nghiệm x  0;  phương trình cos x  phải có  2   nghiệm x   0;   2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là:  m    m  Vậy  m  Ví dụ Cho phương trình có nghiệm Tìm giá trị để phương trình Lời giải cos x  VN   cos x   m Ta có: cos2 x   m  4 cos x  2m   1   cos x   m   59 |  Để phương trình 1 có nghiệm x   ; 2  phương trình cos x   m phải có    nghiệm x   ; 2    Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện  3  1   m     m  Vậy  m  m    2  m  m  Ví dụ Cho phương trình Tìm giá trị phương trình có nghiệm để Lời giải   Ta có: sin x  2m   sin x  cos x   2m   1   Đặt t  sin x  cos x  2.sin  x   4    2  t  ta có: sin x  2sin x.cos x  t  Phương trình:       2.sin  x    sin  x      t  4 4   t  2m  t  2m            t  m  2.sin  x    2m sin  x    m 4 4           5  Dễ thấy phương trình sin  x    có nghiệm thuộc khoảng  0;  x  4      5  Do để phương trình 1 có hai nghiệm x   0;  phương trình sin( x  )  m   | 60 Đại số lớp 11 | phải có nghiệm khác  thuộc khoảng  5  0;     Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là: 1  m  Vậy  2  m 2 2 m 2 Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng để phương trình có Lời giải  sin x   Ta có: cos 2x   2m  1 sin x  m 1  1  2sin x   2m  1 sin x  m    sin x  m Dễ thấy phương trình sin x  5   3  có nghiệm thuộc khoảng  ;  x  2    3  Do để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  ;  phương trình 2  5   3  thuộc khoảng  ;  sin x  m phải có nghiệm khác 2  Bảng biến thiên 61 | 1  m   Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là:  m   1  Vậy m   1;1 \   2 | 62 ... , phương trình cho có hai nghiệm 4  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP BÀI TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ (BẬC N) THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT Một số dạng phương trình bậc hai hàm số lượng. .. Vậy phương trình cho có họ nghiệm x  arc cot  x   2  2cot x  1  cot x  PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CHỨA THAM SỐ BÀI TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I LÝ THUYẾT Phương trình. .. 3m Phương trình có nghiệm   2m  2   m    9m2  4m2  4m    2  m  2 Ví dụ Cho phương trình a Giải phương trình b Tìm để phương trình có nghiệm Lời giải a Khi m  ta phương trình