NGUYÊN LÝ BANHACH – CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K - METRIC. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC. NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ NGUYÊN LÝ BANHACH – CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 MỞ ĐẦU Nguyên lý ánh xạ co cổ điển Banach-Caccioppoli đơn giản có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tốn học nói riêng khoa học kỹ thuật nói chung Nguyên lý mở rộng theo nhiều hướng khác để áp dụng cho lớp tốn Cho khơng gian vectơ dược xếp thứ tự nón tập gọi K-metric hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ thỏa tiên đề sau: (a) (b) (c) (d) gọi khơng gian K-metric Khi đó: Cặp Luận văn trình bày hướng mở rộng nguyên lý ánh xạ co cho ánh xạ tác động không gian K-metric dạng: thỏa mãn điều kiện ánh xạ từ Với số điều kiện đặt lên vào khơng gian , luận văn trình bày tồn điểm bất động ánh xạ Đây hướng nghiên cứu chưa trình bày rộng rãi Nội dung luận văn gồm chương Chương trình bày khái niệm khơng gian K-metric khơng gian K-định chuẩn đồng thời nhắc lại số kết giải tích hàm sử dụng chương Ngồi ra, với mục đích mở rộng định lý Krasnolselski khơng gian K-định chuẩn, chương cịn xây dựng tô pô không gian K-định chuẩn, chứng minh kết mở rộng định lý Schauder điểm bất động tốn tử khơng gian K-định chuẩn Nội dung nguyên lý Banach-Caccioppoli trình bày chương chương tập trung vào định lý 1, định lý 2, định lý 3, định lý nêu báo [2], luận văn trình bày chứng minh định lý cách chi tiết Chương cuối luận văn nhằm mục đích đưa vài ví dụ vận dụng nguyên lý Banach-Caccioppoli cho toán tử tương đối cụ thể, đồng thời trình bày chứng minh kết mở rộng định lý Krasnoselski cho khơng gian Kđịnh chuẩn Chương KHƠNG GIAN K-METRIC VÀ K-ĐỊNH CHUẨN Mục đích chương trình bày số khái niệm không gian Kmetric không gian K-định chuẩn số kết dùng chương sau Ngồi ra, cịn nhắc lại số kết giải tích hàm, phương trình vi phân số ví dụ dùng đến chương 1.1 Nón thứ tự sinh nón 1.1.1 Khái niệm nón Định nghĩa Cho khơng gian tuyến tính (trên trường số thực ) tập khác rỗng gọi nón nếu: (i) ; (ii) Trong trường hợp ; khơng gian định chuẩn có thêm tính chất: (iii) tập đóng 1.1.2 Thứ tự sinh nón Trong khơng gian tuyến tính với nón , ta xét quan hệ sau: Ta thấy quan hệ có tính chất: phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Như quan hệ thứ tự Như ba ( ) không gian tuyến tính có thứ tự Các kí hiệu sử dụng thơng thường Trong khơng gian tuyến tính có thứ tự, ta định nghĩa khái niệm phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất, cận trên, cận dưới, cận nhỏ nhất, cận lớn tập hợp khái niệm dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn trên, dãy bị chặn dưới, dãy bị chặn thông thường 1.1.3 Ánh xạ đơn điệu, ánh xạ dương Định nghĩa Cho khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh nón gọi đơn điệu dẫn đến , ánh xạ ( ) gọi ánh xạ dương 1.1.4 Khơng gian tuyến tính có thứ tự với hội tụ Cho không gian tuyến tính có thứ tự sinh nón ta qui ước hội tụ có tính chất sau đây: (a) Mỗi dãy hội tụ có giới hạn ( ta nói dãy hội tụ ký hiệu: , ký hiệu ) (b) Dãy hội tụ (c) Sự hội tụ dãy không thay đổi thêm bỏ bớt số hữu hạn phần tử dãy (d) Nếu dãy hội tụ dãy hội tụ (e) Tổng hội tụ hai dãy hội tụ , dãy (f) Tích dãy hội tụ (trong ) , dãy hội tụ hội tụ và (g) Nếu (h) (Tính chất Weierstrass) Nếu (giảm bị chặn dưới): ( Thì tồn ( dãy tăng bị chặn ) có đẳng thức ) Trong phần sau ta qui ước gọi khơng gian tuyến tính thứ tự gồm ba , khơng gian tuyến tính, theo nghĩa nón hội tụ có tính chất nói 1.1.5 Ánh xạ thỏa tính chất Fatou Định nghĩa , ánh xạ Trong khơng gian tuyến tính thứ tự tính chất Fatou (Fatou dưới) dãy ) ( dẫn đến: ( 1.1.6 Nón chuẩn Định nghĩa ) gọi có thỏa: Nón khơng gian định chuẩn gọi nón chuẩn tồn số cho: số gọi số phổ dụng Với 1.2 Không gian K-metric K-định chuẩn Giả sử khơng gian tuyến tính có thứ tự sinh nón 1.2.1 Khơng gian K-metric Định nghĩa Cho hội tụ tập hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ K-metric gọi thỏa tiên đề sau: ( zero (a) ), (b) (c) (d) (bất đẳng thức tam giác) Cặp tập hợp khác rỗng K-metric gọi không gian K-metric gọi hội tụ phần tử dãy hội tụ (Ký hiệu nghĩa là: Định nghĩa Cho không gian K-metric Tập gọi tập đóng có tính chất sau: Nếu dãy Bằng cách kiểm tra tiên đề xác định tơ pơ, ta có: ) tô pô , gọi tô pô sinh K-metric bán kính Quả cầu tâm tập hợp: 1.2.2 Không gian K-định chuẩn Định nghĩa Cho khơng gian tuyến tính (trên trường số thực ) Ánh xạ gọi K-chuẩn thỏa tiên đề sau: (a) (b) (c) (d) Cặp = gọi không gian K-định chuẩn , khơng gian tuyến tính, K-chuẩn Mệnh đề Mỗi không gian K-định chuẩn không gian K-metric với K-metric sinh chuẩn tương ứng cho công thức: Chứng minh: Việc kiểm tra tiên đề K-metric khơng khó khăn, chẳng hạn ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác với Như vậy, không gian K-định chuẩn cách viết sau nghĩa: (i) (ii) (iii) 1.2.3 Không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass Kantorovich Cho không gian K-metric với K-metric Cho dãy (trong , ta ký hiệu để chuổi tương ứng hội tụ ), nghĩa dãy tổng riêng hội tụ (trong ), viết: Định nghĩa Dãy gọi dãy nghĩa Weierstrass Không gian K-metric gọi đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, dãy nghĩa Weierstrass hội tụ gọi dãy nghĩa Kantorovich, tồn dãy Dãy cho: ( ) Không gian K-metric gọi đầy đủ theo nghĩa Kantorovich dãy nghĩa Kantorovich hội tụ 1.3 Một số ví dụ kết dùng 1.3.1 Tính chất thứ tự hội tụ Cho không gian tuyến tính thứ tự (i) (zero (ii) ( (iii) Nếu ) Cho khơng gian tuyến tính thứ tự theo chuẩn Weierstrass , nón Nếu ánh xạ tuyến tính, phổ dụng Chứng minh: , có thứ tự nón có tính chất hội tụ Cho không gian định chuẩn suy ) đơn điệu Cho không gian định chuẩn Từ tăng (giảm) hội tụ (iv) Nếu dãy dương , nón ) Nếu Khi hội ngoại trừ tính chất , thứ tự nón chuẩn (hằng số nên nên suy ra: mà 1.3.2 Kết giải tích hàm sử dụng Cho tập hợp khác rỗng bất kỳ, Nếu tính chất sau: (i) có họ thỏa với (ii) (iii) (iv) Với tồn cho Thì đó, tồn tơ pơ họ tất lân cận điểm ( Cho với cho tô pô họ ) không gian tô pô thỏa tiên đề đếm thứ (tại điểm có sở lân cận đếm được) Khi đó: Nếu (mọi dãy chứa dãy hội tụ) compact compact theo dãy Cho không gian tô pô thỏa tiên đề đếm thứ Khi đó: Tập khác rỗng đóng dãy Cho khơng gian tuyến tính tơ pơ, gốc, đó: lân cận (mở) lân cận (mở) Không gian tuyến tính tơ pơ khơng gian Hausdorff khi: tồn lân cận gốc không chứa Với không gian metric compact, không gian định chuẩn, ánh xạ liên tục, không gian định chuẩn, không gian hàm Giả sử dãy không gian metric compact, liên tục từ vào hội tụ ánh xạ , với chuẩn Cho khơng gian Banach, liên tục song ánh liên tục ánh xạ tuyến tính, Cho khơng gian Banach, dãy chuổi hội tụ chuổi hội tụ 10.(Định lý Brouwer) Cho tập lồi, đóng, bị chặn khơng gian ( ), ánh xạ liên tục, có điểm bất động 11 Trên khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều, có tô pô lồi địa phương Hausdorff, tơ pơ Euclide thơng thường (tơ pơ thơng thường ) 1.3.3 Ví dụ Cho Ta có nón , Sự hội tụ thơng thường gian tuyến tính có thứ tự hội tụ không thông thường: ta xét phép tốn cộng nhân ngồi chuẩn thơng thường: khơng gian Banach Khi tập đóng Đặt nón chuẩn (hằng số phổ dụng ) Sự hội tụ xét đến hội tụ theo chuẩn Cho không gian Banach số thực dương tập hàm liên tục đoạn nhận giá trị sau Ta phân hoạch đoạn , ký hiệu , sau: Ta xác định ánh xạ Khi đó: K-chuẩn không gian K-định chuẩn đầy đủ theo dãy nghĩa Weierstrass Chứng minh: Trước hết ta nhận xét: với liên tục tập compact nên hàm bị chặn, tức ánh xạ xác định Việc kiểm tra tiên đề K-chuẩn khơng khó khăn, chẳng hạn ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác Với , theo bất đẳng thức tam giác chuẩn ( ta có: ) Suy ra: Giả sử cho: thỏa , ta chứng tỏ tồn , để Thật vậy, với cho trước, chuổi , nên tồn số tự nhiên hội tụ khơng gian Banach cho: với Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta suy ra: nón chuẩn (với số phổ dụng ) nên ta có ( ) đó: thì: với (1.1) , dãy Như vậy, với không gian dãy Banach nên (hội tụ tồn cho ), ta xác định hàm Từ (1.1) cho ta có: Tức hội tụ , với (1.2) liên tục nên liên tục , tức Từ (1.2) suy ra: , suy ra: với Suy ra: ta có ( ) với ta có Vậy khơng gian K-định chuẩn hay 1.4 Mở rộng định lý Schauder điểm bất động không gian Kđịnh chuẩn Cho không gian K-định chuẩn với K-chuẩn khơng gian định chuẩn có thứ tự sinh nón 1.4.1 Tơ pơ khơng gian K-định chuẩn Trong trường hợp nón chuẩn (hằng số phổ dụng ) ta chứng tỏ tơ tương thích với cấu trúc đại số , pô sinh metric nữa, tô pô lồi địa phương, Hausdorff thỏa tiên đề đếm thứ (có sở lân cận địa phương đếm được) Trước hết ta định nghĩa số ký hiệu: ( ) Mệnh đề Tồn tô pô ( ), họ pơ nhận làm họ tất lân cận sở lân cận Ta ký hiệu tô Chứng minh: Theo kết cách xác định tơ pơ, ta cần chứng minh họ tính chất sau: (i) thỏa với (ii) (iii) (iv) Với tồn Chứng minh tính chất (i) theo định nghĩa họ cho với tồn Chứng minh tính chất (ii) cho Giả sử đặt 3.Chứng minh tính chất (iii) 4.Chứng minh tính chất (iv) cho đặt , ta chứng tỏ với ta có: , suy ra: tức suy Vậy Thật vậy, Như tồn tô pô lân cận theo định nghĩa họ sở lân cận cho với họ chứa tất ta có họ Do với số , tồn số hữu tỷ nên họ: sở lân cận Vậy thỏa tiên đền đếm thứ Mệnh đề không gian tuyến tính tơ pơ, lồi địa phương Hausdorff Chứng minh: Chứng minh ánh xạ liên tục lân cận , tương ứng lân cận Với suy ra: tức ta có: Chứng tỏ ánh xạ liên tục lân cận đặt: đó: với thỏa ta có: suy ra: với ý ta suy ra: Chứng tỏ tồn sở lân cận gốc gồm tồn tập lồi Theo kết trước họ: họ tất lân cận gốc Xét họ Ta chứng minh ( bao lồi ) sở lân cận gốc Thật vậy, đặt: (với ta có: )