Kiểm tra HSG toán 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ) a) Tính giá trị biểu thức , biết b)Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện và Câu 2(2đ) a) Giải hệ phương trình b) Giải phương trình Câu 3 (2đ) a Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho cũng là số nguyên Gọi a là ước chung của x và y Chứng minh rằng b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= Câu 4 (3đ) Cho điểm A nằ.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ): a) Tính giá trị biểu thức: M = ( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) , biết x = 3 + 2 − 3 − 2 , y = 17 + 12 − 17 − 12 b)Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời điều kiện : a − b + c = a − b + c 1 + + =1 a b c Câu 2(2đ) 2 x + y + = x a) Giải hệ phương trình: 3 x + 12 x + y = x +9 b) Giải phương trình: ( x + − x + 2)(1 + x + x + 10) = Câu 3: (2đ) a/ Cho x, y hai số nguyên dương cho: x + xy + y số nguyên Gọi a ước xy chung x y Chứng minh rằng: a ≤ x + y b) Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n + 3n M7 Câu 4: (3đ): Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm (O) Qua A kẻ tiếp tuyến với(O) tiếp xúc với (O) M N Cát tuyến qua A cắt (O) B C(B nằm A C) Từ B kẻ đường thẳng song song với AM cắt MN H Kẻ OD vng góc với BC D a Chứng minh tứ giác BHDN nội tiếp b Chứng minh rằng: MB.NC = BN.MC c CH cắt AM E Chứng minh E trung điểm AM Câu 5: (1đ): Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x4 y4 z4 F= + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án a/ 1điểm x3 = ( 3+ 2 − 3− 2 ) Điểm ( )( 3+ ) (0,5đ = + 2 − + 2 − 33 + 2 − 2 (1) Tương tự: y + y = 24 (2) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta x = − x ⇒ x + 3x = 0,5đ x − y + 3( x − y ) = ( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) = −20 Vậy M = −20 b/ 1đ Có a − b + c = a − b + c 0,25đ ⇔ a − b + c + b = a + c ⇔ a − b + c + b(a − b + c ) + b = a + c + ac (2đ) a = b ⇔ b(a − b + c) = ac ⇔ (a − b)(b − c ) = ⇔ b = c Nếu a = b a , c dương Ta có 0,5đ 1 + + = ⇔ + = ⇔ 2c + a = ac ⇔ (a − 2)(c − 1) = a b c a c Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau : a − = a = = b 1) ⇒ c − = c = a − = 2) ⇒ a =c =3=b c − = Nếu b = c b,c dương Ta có 0,25đ 1 1 + + = ⇔ + = ⇔ 2a + b = ab ⇔ (b − 2)(a − 1) = a b c a b Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau : b − = 1) ⇒a =b=3=c a − = 2 (2đ) b − = b = = c 2) ⇒ a − = a = Vậy cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2) a/ 1đ Từ phương trình (1) ta suy ra: = 12 x − x − y vào phương trình (2) thu gọn ta được: 0,25đ 0,25đ x + y = x3 + y = 3( x − y ) ⇔ ( x + y )( x − xy + y − 3x + y ) = ⇔ 2 x − xy + y − 3x + y = * Nếu x + y = ⇔ y = − x ⇒ y = x vào phương trình (1) ta 0,25đ x + = x ⇔ 2( x − 1) + = phương trình vơ nghiệm * Nếu x − xy + y − 3x + y = , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: 0,25đ − 3−2 x = − xy − 3x + y − = − x ⇔ xy − x − y + = ⇔ ( x − 3)( y − 1) = ⇔ y =1 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = suy y = => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = => x = => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) 0,25đ b/ ( x + − x + 2)(1 + x + x + 10) = ĐK: x ≥ -2 Ta có: 0,25đ x + + x + ≠ => nhân hai vế với x+5 + x+2 ( x + − x + 2)( x + + x + 2)(1 + x + x + 10) = 3( x + + x + 2) ⇔ + x + x + 10 = x + + x + 0,25đ 0,25đ 0,25đ Đặt x + = a; x + = b ⇒ + ab = a + b => (a-1)(b-1) = =+ a = b = +/ a = => x = -4(loại) , b = => x = -1 (t/m) a/ 1đ x + xy + y x+ y x+ y + số nguyên => = số nguyên xy xy xy 0,5đ x, y hai số nguyên dương => (2đ) x+ y số nguyên dương => x+y ≥ xy xy Gọi a ước chung x y => xy ≥ a2 => a ≤ x + y b/ 1đ Với n chẵn n = 2k 0,5đ 0,25đ 7t − 7t − A = 2k 42 k + 32 k = (2k + 1).42 k + (16 k − 9k ) M7 ⇒ k + 1M7 ⇒ k = ⇒ n = 7t − = 7m + ( m ∈ N ) 0,25đ Với n lẻ n = 2k+1 0,25đ A = 2k 42 k + 32 k = (2k + 1).42 k + (16 k − 9k ) M7 ⇒ k + 1M7 ⇒ k = A = (2k +1).4 k +1 +32 k +1 = 2k k +1 +(42 k +1 +32 k +1 ) M ⇒2k M ⇒k = 7t ⇒n =14m +1( m ∈N ) Vậy n = m + n = 14m + ( với n ∈ N ) A chia hết cho M K E A H B O D N C 0,25đ (3đ) a/ 1đ AM, AN tiếp tuyến (O) ⇒ OM ⊥ AM , ON ⊥ AN => ·AMO = ·ANO = ·ADO = 900 => điểm : A, O, D, M, N thuộc đường tròn · · => MND = MAD · · BH // AM => HBC = MAD · · Suy ra: HND => tứ giác BHDN nội tiếp = HBD b/1đ Tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC (g.g) 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ » ( góc A chung, ·AMB = ·ACM = sd MB ) AM MB AN NB = = => C/m tương tự: AC CM AC CN MB NB = mà AM = AN => => MB.CN=CM.NB CM CN C/ 1đ BH cắt CM K · · Tứ giác BHDN nội tiếp => HNB = BDH 0.5đ 0.25đ 0.25đ » · · = BCM = sd MB Ta có: HNB · · => BCM => HD // CM = BDH HD // CM mà OD ⊥ BC => DB = DC Suy H trung điểm BK 0.25đ 0.25đ HK CH = ME CE HB CH HB KH = = HB // AE => Suy ra: AE CE AE ME HK // ME => mà BH = HK => E M = EA => (đpcm) (1đ) Ta có (a − b) ≥ ⇔ Ta có: a + b2 ≥ ( a + b ) (dấu “=” xảy a = b) x4 y4 − = x− y; ( x + y )( x + y ) ( x + y )( x + y ) y4 z4 − = y−z ( y + z )( y + z ) ( y + z )( y + z ) z4 x4 − = z−x ( z + x )( z + x) ( z + x )( z + x) 0.25đ F= x4 y4 z4 + + = ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) y4 z4 x4 + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) Do F = x4 y4 z4 + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) 0.5đ 1 x4 + y y4 + z4 z + x4 = + + ÷ 2 2 2 ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) 2 2 y2 + z2 ) z + x2 ) ( ( 1 ( x + y ) ÷ ≥ + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ÷ 2 2 2 1( x + y ) ( y +z ) ( z +x ) ÷ = + + ( x + y) ( y + z) ( z + x) ÷ 2 ( y + z ) + ( z + x ) ÷ = x + y + z = 1 ( x + y) ≥ + ( ) ( x + y ) ( y + z) ( z + x) ÷ 1 Do F đạt giá trị nhỏ x = y = z = 0.25đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án a/ 1điểm x3 = ( 3+ 2 − 3− 2 ) Điểm ( )( 3+ ) (0,5đ = + 2 −... + 32 k = (2k + 1).42 k + (16 k − 9k ) M7 ⇒ k + 1M7 ⇒ k = ⇒ n = 7t − = 7m + ( m ∈ N ) 0,25đ Với n lẻ n = 2k+1 0,25đ A = 2k 42 k + 32 k = (2k + 1).42 k + (16 k − 9k ) M7 ⇒ k + 1M7 ⇒ k = A = (2k... H B O D N C 0,25đ (3đ) a/ 1đ AM, AN tiếp tuyến (O) ⇒ OM ⊥ AM , ON ⊥ AN => ·AMO = ·ANO = ·ADO = 90 0 => điểm : A, O, D, M, N thuộc đường tròn · · => MND = MAD · · BH // AM => HBC = MAD · · Suy