UBND huyện Thanh Miện đề thi hsg cấp huyện

UBND HuyÖn Thanh miÖn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1 (2 điểm) 1) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P với a > 2 2) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) Câu 2 (2 điểm) a) Tìm các số hữu tỷ a và b sao cho x = là nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + 1 = 0 (1) b) Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phương trình (1) ứng với a , b.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN Câu 1: (2 điểm) 1) Cho biểu thức: P  ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang a  3a   a  1 a   a  3a   a  1 a   a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P với a > 2) Tìm số tự nhiên a, b, c, d, e biết : 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số hữu tỷ a b cho x =  nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + = (1) b) Gọi x1, x2, x3 nghiệm phương trình (1) ứng với a , b vừa tìm n n n đặt Sn = x1  x2  x3 Chứng minh Sn  N với số tự nhiên n ? Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình: x  x  x   x2   3x 2 b) Cho điểm A(1; 4); B(3; 1) Xác định đường thẳng y = ax cho A B nằm phía đường thẳng cách đường thẳng Câu 4: (3 điểm): Cho (O; R) (O’; R’) cắt A B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), D E tiếp điểm E nằm (O’) Đường thẳng AD, AE cắt (O’) M N ( M N khác A) Tia DE cắt MN I Chứng minh rằng: a Tứ giác BEIN nội tiếp b MIB đồng dạng với AEB c O’I  MN Câu 5: ( điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x ( y  z )  y z  x  z x  y     HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Biểu điểm 0,25 đ Câu a) ĐK: a ≤ - 2; a ≥ b) với a > a  3a   a  1 a   => P  = a  3a   a  1 a    a  1  a     a  1 a  1.1 =  a  1  a    a  a     a  1 a  �  a  1 a    a  1 � =  a  1 a  �  a  1 a    a  1 �  a  1 a  =  a  1 a  a  3a    a  1 a  a  3a    a  1 a  0,25 đ 0,25 đ a  2� � a  2� � 0,25 đ a) 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) abcd  ab  ad  cd  cd  =a+ bcd  b  d bcd  b  d 1 a a 1 b b = a + bcd  b  d = cd  1 c cd  d d 15 1 1  1  1  1  1  1 11 1 11 11 2 2 2 Lại cú: 4 1 3 0,25 đ  a = 1; b = 2; c = 1; d = 0,25 đ Ta có 1.2 1đ 2đ a) Vì x =  nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + =          a   b  1   ( 4a + b + 17) + ( 9a + 2b + 39 ) = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ �a  5 b3 � � b) Vì a = - 5, b =  (1)  x3 - 5x2 + 3x + =  (x - 1)(x2 - 4x - 1) = x 1 � 0,25 đ � x  2� �    n  n  Sn      0,25 đ     =S 5    5 n Đặt Un =      2 n n2  Un + =  = n    �2  � � 0,25 đ - với n  N n2     5 n 1 0,25 đ n 1       �   �2  n   n � � � � � � �  Un + = 4Un + + Un với n  N Vì với U0 = ; U1 =  S0 = 3; S1 =  Un  N+ n  N  Sn nhận giá trị nguyên n  N a) Từ (1) suy ra: x  3x  x   x  x   20 x  12 x  12 x   x  36 x   12 x  x  12 x  x  x  22 x  24 x  0 (x 0) 24  x  x  22   0 x x2 Đặt x   y (*) ta có: x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ y2 - 8y + 16 = suy y = thay vào (*) ta x2 - 4x + = � x = 1; x = 3 b) Gọi đường thẳng cần tìm d y Gọi AH, BK khoảng cách từ A B đến đường thẳng d Đường thẳng qua A song song với Ox Cắt d điểm M  M( ; 4) a Đường thẳng qua B song song với Ox -2 Cắt d điểm N  N( ; 1) a 0,25 đ M H K N O -1 d A B 0,25 đ x -1 -2 Vì AH = BK  AM = BN  0,25 đ 0,25 đ 5 - = -  =  a =  hàm số có dạng y = x a a a 4 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ C A D M 1 E O' O I B N Vẽ hình 0,25 đ �  BAD � a Ta có tứ giác ABNM nội tiếp  BNM �  BED � (Cùng chắn BD � ) Mà BAD �  BED �  Tứ giác BEIN nội tiếp  BNM � (1) (Cùng chắn BN � ) A1  M b Ta có � �  BIE �  EIM �  BNE �  ENI �  NEI �  BNI �  NEI �  BED �  DEA �  AEB � BIM (2) Từ (1) (2)  AEB MIB c Chứng minh CDB CDA (g g)  Chứng minh tương tự có CE EB  (4) CA EA 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ BD CD  (3) DA CA 0,25 đ Mà CD = CE (tính chất tiếp tuyến)  EB BD  (5) EA DA 0,25 đ EB IB  (6) EA MI � (Cựng = � �  IBN � Mà � ABD  IEN AED ) ; IEN � , mà INB �  DAB �  � ABD  IBN BD IB   DBA IBN  (7) DA IN Ta lại có AEB MIB nên Từ (5), (6), (7)  IM = IN  OI  MN 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Đặt a = � x2 + y2 = c(a + b); y2 + z2 = a( b + c); z2 + x2 = b( c + a) a2 b2 c2   bc ca ab a b c   � chứng minh bc ca a b � 1 1 � abc = 2 = ; c = ; b = y x y z x z E 0.25 đ 0.25 đ Nhân vế với a + b + c > 0, ta a  a  b  c b  a  b  c c  a  b  c   �  a  b  c bc ca ab 2 2 a b c a  b  c abc    � �  bc ca ab 2 3  E ≥  E = a = b = c = 2 0.25 đ 0.25 đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Biểu điểm 0,25 đ Câu a) ĐK: