đề toán học sinh giỏi lớp 9 nâng cao

§Ò sè 22 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A tại x = Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên b) Chứng minh rằng với a + b > c và với a,b,c > 0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm Câu 4 (3,0 điểm) 1)Cho tam giác ABC vuông t.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A = x − x2 − x2 − x + x + 2x + ( x + 3) − x 2 : x+1 2x 1− x+ a) Rút gọn biểu thức A 368 368 + 3− 27 27 b) Tính giá trị A x = 3+ Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x− 1 + 1− = x x x   1 ( x + y)  1+ ÷ =   xy  b) Giải hệ phương trình:   x2 + y2  1+  =  2÷   xy   ( ) Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho 2p + lập phương số tự nhiên b) Chứng minh với a + b > c a − b < c với a,b,c > phương trình 2 2 2 bậc hai a x + ( a + b − c ) x + b = vô nghiệm Câu (3,0 điểm) 1)Cho tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm BC Gọi D điểm cạnh BC Trung trực AD cắt trung trực AB AC theo thứ tự E F Chứng minh : a) điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn b) Tam giác AEF tam giác ABC đồng dạng 2)Trong tam giác ABC, đường phân giác AA’, BB’, CC’ đồng quy I (A’∈BC, B’∈AC,C’∈ AB) Chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn AI.BI.CI ≤ AA '.BB'.CC' 27 a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 = 2012 a2 b2 c2 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = b + c a+ c b + a HƯỚNG DẪN CHẦM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS MÔN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Câu Nội dung a.( điểm) Đkxđ: −2 < x < x ≠ -1 A= x − x × + x + ( − x) ( x + 3) x + − x : x( x + 2) + ( x + 3) − x × + x x + Điểm 0,25 0,25 − x × x + x + ( x + 3) − x   x + − x  = : × ÷ x+ 2÷ x +  x x + + ( x + 3) − x    0,25 2− x x+ × × x + x + 2− x = x+1 (2,0 điểm) b.( điểm) = 0,25 368 368 ,b = 3− ⇒ a3 + b3 = 6,ab = − 27 27 Ta có x = a + b,x > a > Đặt a = 3+ 0,25 x3 = ( a + b) = a3 + b3 + 3ab( a + b) = − 5x ⇔ x3 + 5x − = 0,25 ⇔ ( x − 1) ( x2 + x + 6) = Mà với x > x2 + x + > ⇒ x − = ⇔ x = (thoả mãn) =1 Thay x = vào A được: A = 1+ a.( điểm) (2,0 điểm) Tìm điều kiện: x ≥ (*) 1 Đặt x − = a ≥ 0; − = b ≥ x x x −1 = 1− Ta có: a + b = x a − b = x − Suy a − b = x x 1 = x − + = a + ⇒ a − 2a + = ⇒ a = (tm) x x 1 x − = ⇒ x − = ⇒ x2 − x −1 = x x 0,25 0,25 0,25 0,25 Do 2a = x + − Ta có Giải phương trình tìm x = 1± 1+ 1− ( thoả mãn), x = p số nguyên tố nên suy =1 p= n2 + n + 1, suy n = p = 13 Với p = 13 2p + = 33 Vậy số nguyên tố phải tìm 13 b ( điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ a + b > c a − b < c với a,b,c > ⇒a + b - c > 0; a - b - c 0, a+b+ c= (*) 0,25 Ta có ∆ = ( a2 + b2 − c2 ) − 4a2b2 = ( a2 + b2 − c2 + 2ab) ( a2 + b2 − c2 − 2ab) 0,25 Từ (*) suy ∆ < , suy phương trình vơ nghiệm Hình vẽ: 0,5 = ( a + b + c) ( a + b − c) ( a − b + c) ( a − b − c) (3 điểm) F A M E B I N D C 1a.( 1,25 điểm) Lập luận chứng minh · · · VAEI =VBEI ( c.c.c) ⇒ EAI = EBI = EBD (1) Do tính chất điểm thuộc trung trực đoạn thẳng ta có: BE = ED ( EA) suy VBED cân E · · (2) ⇒ EBD = EDI · · ⇒ tứ giác AEID nội tiếp (*) Từ (1) (2) ⇒ EAI = EDI · · · Tứ giác AEID nội tiếp ⇒ ADC (3) = AEI = BEI · · Do EI//AC( vng góc với AB) ⇒ BIE (đv) (4) = ACD Từ (3) (4) ⇒VBEI ∽ VADC ( g.g) · · · · (5) ⇒ CAD = IBE ⇒ CAD = IAE · · ( góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (6) Mà CAD = IFE · · Từ (5) (6) ⇒ IFE = IAE ⇒ tứ giác AEIF nội tiếp (**) Từ (*) (**) suy điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn 1b.( 0,75 điểm) Gọi IE cắt AB M, IF cắt AC N, lập luận chứng minh tứ · giác AMIN hình chữ nhật ⇒ FIE = 900 · + EAF · · Mà tứ giác AEIF nội tiếp ⇒ FIE = 1800 ⇒ EAF = 900 ⇒VEAF vuông A Do điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn · · ⇒ AFE = AIE · · Mà AIE = BIE(do VAEI =VBEI) · · · · Có BIE ( theo (4)) ⇒ AFE = ACD = ACD Từ lập luận ⇒VABC ∽ VAEF ( g.g) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2.( điểm) A C’ B’ I C B A’ Ta có gọi s,s1,s2,s3 diện tích tam giác ABC, IBC, IAC, IAB AI S S S + SACI s +s = ABI = ACI = ABI = Ta có: AA ' SABA ' SACA ' SABA ' + SACA ' s BI s3 + s1 CI s2 + s1 = ; = Chứng minh tương tự BB' s CC' s Từ ta có (s +s ) (s +s ) (s +s ) s +s +s +s +s +s  AI.BI.CI = 3 ≤ 3 1ữ ì AA '.BB'.CC' s  s  2( s1 + s2 + s3 )   2s 3 = ÷ × = ÷ × =   s   s 27 0,25 0,25 Dấu xảy khi s1 = s2 = s3 hay tam giác ABC (1 điểm) 0,5 Ta có: 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b) ⇒ a + b ≤ 2( a2 + b2 ) Tương tự b + c ≤ 2( b2 + c2 ) ;a + c ≤ 2( a2 + c2 ) Từ suy P ≥ a2 2( b + c 2 ) + b2 2( a + c 2 ) + c2 0,25 2( a2 + b2 ) Đặt x = b2 + c2 ,y = c2 + a2 ,z = b2 + a2 y2 + z2 − x2 z2 + x2 − y2 x2 + y2 − z2 + + Suy P ≥ 2x 2y 2z   y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2 = − x+ − y+ − z÷  y z 2 x  2   ( z + x)   ( x + y)     ( y + z)  ≥ − x÷+  − y÷+  − z÷ ÷  2y ÷  2z ÷ 2   2x      2   ( z + x)   ( x + y)    ( y + z)  ≥ + 2x − 3x ÷ +  + 2y − 3y ÷ +  + 2z − 3z÷ ÷  2y ÷  2z ÷ 2   2x       ( 2( y + z) − 3x) + ( 2( z + x) − 3y) + ( 2( x + y) − 3z)  ≥  2 1 ×2 2012 = 1006 ( x + y + z) = = 2 2 0,25 0,25 Dấu xảy  a = b = c ⇔ a = b = c = 1006  2 2 2  a + b + b + c + c + a = 2012 1006 Vậy minP = 1006 a = b = c = 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẦM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Câu Nội dung a.( điểm) Đkxđ: −2 < x