UBND HUYỆN LƯƠNG tài

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học 2018 2019 Môn thi Toán Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi Bài 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2 (2 điểm) a) Giải các phương trình sau b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nh.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2018- 2019 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Thí sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi Bài 1: ( điểm) Cho biểu thức P = x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x + a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm giá trị lớn biểu thức Q = + x P Bài 2: (2 điểm) a) Giải phương trình sau: x − x +1 − x + + x + = b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình ( m − ) x + ( m − 3) y = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn Bài 3: (2 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2013 số y + z 2013 hữu tỉ, đồng thời x + y + z số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x2 ) = 4y(y -1) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB2 b+c c+a a+b HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi:Tốn - Lớp Bài 1: (2điểm) Ý/Phần Đáp án ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ a Ta có P = b x + x +1− x − − ( )( ( x −1 x + )( x + 1) x +1 )= x −1 Điểm 0,25 − x x + x +1 0,75 Áp dụng BĐT Cơ – si ta có: Q= ( )+ −2 x + x + x   x = −2 −  x + ÷ ≤ −2 − 2 x  Vậy GTLN Q= −2 − 2 x=2 0,75 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a ĐKXĐ: x ≥ Đáp án Điểm 0,25 x − x +1 − x + + x + = ⇔ ⇔ (1) x + − x + = x +1 − x = x+9 + x+4 0,25 x +1 + x ⇔ x + + x + = 5( x + + x) (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra: x + = x + + x ≥ x + = x + ≥ x + ,dấu b “=” xảy x=0 Thử lại x=0 nghiệm pt Vậy pt cho có nghiệm x=0 Với m, đường thẳng (d) không qua gốc toạ độ O(0; 0) • m = 4, ta có đường thẳng y = 1, khoảng cách từ O đến (d) (1) • m = 3, ta có đường thẳng x = -1, khoảng cách từ O đến (d) (2) • m ≠ 4, m ≠ (d) cắt trục Oy, Ox tại: 0,25 0,25     A  0; ; ÷ ÷ B   m−3 m−4  Hạ OH vng góc với AB, tam giác vng AOB, ta 1 có: OA = m − , OB = m − 0,25 1 2 = + = ( m − 3) + ( m − ) = 2m − 14m + 25 2 OH OA OB 7 1  = 2 m − ÷ + ≥ 2 2  0,25 Suy OH ≤ ⇒ OH ≤ (3) Từ (1), (2), (3) ta có GTLN OH , đạt m = 0,25 Kết luận: m = Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần a Đáp án x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = y + z 2013 n nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒  y z n mz − ny = ( Ta có ) x + y + z = ( x + z ) − xz + y = ( x + z ) − y = ( x + y + z ) ( x + z − y ) 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 Vì x + y + z > x + y + z số nguyên tố nên  x2 + y + z = x + y + z  x − y + z = Từ suy x = y = z = (thỏa mãn) x(1 + x + x2 ) = 4y(y - 1) ⇔ x + x2 + x3 + = 4y2 – 4y + b ⇔ (x2 + 1)(x + 1) = (2y - 1)2 (1) Do (2y - 1)2 số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) ⇒ d số lẻ x2 + Md (x + 1)(x – 1) Md ⇒ Md mà d lẻ nên d = nên x2 + x + nguyên tố với x, y số nguyên (2y - 1)2 số phương nên x2 + x + số phương lại có x2 x2 + hai số phương liên tiếp ⇒ x2 = ⇒x = Thay x = vào phương trình (1) ta tìm y = 0, y =1 Vậy cặp số tự nhiên (x,y) (0,1); (0,0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án a A E F G O H B C M D Điểm 0,25 · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường trịn đường kính BC · Ta có ACD = 900 ⇒ DC ⊥ AC Mà HE ⊥ AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD b c ⇒ G trọng tâm ∆AHD ⇒ GM = AM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, Suy G tâm ∆ABC GM = AM 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Do a,b,c > áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ≥ a(b + c) ⇔ a [a + (b + c)] ≥ 2a b + c  a 2a ≥ b+c a+b+c Điểm 0,25 Tương tự ta thu : b 2b ≥ c+a a+b+c Cộng theo vế ta được: , c 2c ≥ a+b a+b+c a b c + + ≥ b+c c+a a+b 0,25 0,25 Dấu ba BĐT đồng thời xảy , có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c đề số dương ) Từ suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b 0,25