Tài liệu Tổng hợp đề thi đại học và đáp án môn toán các khối (từ năm 2007 - 2012) doc

Tìm giá trị nhỏ nhất của PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.. Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.. Trong mặt phẳng tọ

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối: A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1

2 1

x

y x

− +

=

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và

B Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất

d sin cos

bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a Câu V (1,0 điểm) Cho x y z , , là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn

Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến

MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích

bằng 10

2 2( ) : C x + − y 4 x − 2 y =0

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng

Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3

( ) : 2 P x y z− − + =4 0

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết: 2 2

z = z + z

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip

x y

E + = Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc

(E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất

Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều

2 2 2( ) : S x y z + + − − − =4 x 4 y 4 z 0(4; 4; 0)

A

Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2 z − 1)(1 + + + i ) ( z 1)(1 − = −i ) 2 2i

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh:

Trang 2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn: TOÁN; Khối A

(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)

x x

∆' = m2+ 2m + 2 > 0, ∀m Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m 0,25

Gọi x1 và x2 là nghiệm của (*), ta có:

k1 + k2 = – 2

1

1 (2 x −1) – 2

2

1 (2 x −1) =

Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = – 4m2 – 8m – 6 = – 4(m + 1)2 – 2 ≤ – 2

Suy ra: k1 + k2 lớn nhất bằng – 2, khi và chỉ khi m = – 1 0,25

−

1 2

−

− ∞ + ∞

y

x

1 2

− 1 2

(C)

– 1

Trang 3

Câu Đáp án Điểm

1 (1,0 điểm)

Điều kiện: sin x ≠ 0 (*)

Phương trình đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 2 sin2x cosx 0,25

⇔ 1 + sin2x + cos2x = 2 2 cosx (do sinx ≠ 0) ⇔ cosx (cosx + sinx – 2 ) = 0 0,25

• x2+ y2= 2; từ (1) suy ra: 3y(x2+ y2) – 4xy2+ 2x2y – 2(x + y) = 0

dsin cos

π

++

0,25

IV

(1,0 điểm)

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N

⇒ MN //BC và N là trung điểm AC

2

BC a

2

AB a

Trang 4

Trang 3/5

Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N, song song với AB Hạ AD ⊥ ∆ (D ∈ ∆) ⇒ AB // (SND)

⇒ d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND))

⇔ ( ab – 1)( a – b )2≥ 0, luôn đúng với a và b dương, ab ≥ 1

Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: a = b hoặc ab = 1

33 Từ (1) và (2) suy ra dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: x = 4, y = 1 và z = 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 34;

Trang 5

Gọi A(x; y) Do A, B thuộc (E) có hoành độ dương và tam giác OAB cân tại O, nên:

B(x; – y), x > 0 Suy ra: AB = 2| y | = 4−x2 0,25

Gọi H là trung điểm AB, ta có: OH ⊥ AB và OH = x

(S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính R = 2 3 Nhận xét: O và A cùng thuộc (S)

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r =

3

OA

= 4 2.3

0,25

Khoảng cách: d(I, (P)) = R2− = r2 2

3(P) đi qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0, a2+ b2+ c2 ≠ 0 (*)

(P) đi qua A, suy ra: 4a + 4b = 0 ⇒ b = – a

c

a +c ⇒ 2 2

22

Trang 6

Trang 5/5

Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: (2z – 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 – i) = 2 – 2i

⇔ [(2a – 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) – bi](1 – i) = 2 – 2i 0,25

⇔ (2a – 2b – 1) + (2a + 2b – 1)i + (a – b + 1) – (a + b + 1)i = 2 – 2i 0,25

Trang 7

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN; Khối: B

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x = − 4 2( m + 1)x2+ m (1), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc

tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

1 sin

d cos

x

π+

Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2+ b2) + ab = (a + b)(ab + 2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0

Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 1 ; 1

⎟ Đường tròn nội tiếp

tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F Cho

và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung

Trang 8

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Môn: TOÁN; Khối B

– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 2; yCT = – 3, đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1

Phương trình đã cho tương đương với: sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx 0,25

⇔ cos2x(sinx – 1) + cosx(sinx – 1) = 0 ⇔ (sinx – 1)(cos2x + cosx) = 0 0,25

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: x =

2

π + k2π; x =

3

π + k23

Trang 9

π

0sin

d cos

x x

π

Ta có: 3 2

01dcos x x

x x

π

0

1dcos

x x

d sin

x x

π

−

= 23

Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ A1 O ⊥ (ABCD)

Gọi E là trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD và A1E ⊥ AD

⇒ nA EO1 là góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) ⇒ nA EO1 =60 D

VABCD A B C D = SABCD A1 O = 3 3

Trang 10

−

0,25

OM.ON = 8 ⇔ (5a2 – 8a + 4)2= 4(a – 2)2 0,25

⇔ (5a2 – 6a)(5a2 – 10a + 8) = 0 ⇔ 5a2 – 6a = 0

Trang 11

BD ⎛

= ⎜⎝ ⎠

⎟ ⇒ BD // EF ⇒ tam giác ABC cân tại A;

⇒ đường thẳng AD vuông góc với EF, có phương trình: x – 3 = 0

0,25

F có tọa độ dạng F(t; 3), ta có: BF = BD ⇔

2 2

Trang 12

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN; Khối: D

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

4 0

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: 1 3

x + = = y z−

− ⋅

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: z – (2 + 3i) z = 1 – 9i

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x2+ y2 – 2x + 4y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

đoạn [0; 2]

- Hết -

www.laisac.page.tl

Trang 13

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Môn: TOÁN; Khối D

=+ > ∀ x ∈ D ,Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞)

++ ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1) (do x = – 1 không là nghiệm)

Trang 14

Điều kiện: cosx ≠ 0, tanx ≠ − 3 (*)

Phương trình đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx – 1 = 0 0,25

⇔ 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 ⇔ (sinx + 1)(2cosx – 1) = 0 0,25

t t

−+

2

12

Trang 15

+ ∞

f u + 0 –

5 8

Đường thẳng AC đi qua D và E, có phương trình: 4x – y – 13 = 0 0,25

Tọa độ A(x; y) thỏa mãn hệ: ⎧

⎨ 1 0 ⇒ A(4; 3) Suy ra: C(3; – 1)

Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2x + y – 2z + 2 = 0 0,25

Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra ∆ là đường thẳng đi qua các điểm A, B 0,25

B ∈ Ox, có tọa độ B(b; 0; 0) thỏa mãn phương trình 2b + 2 = 0 ⇒ B(– 1; 0; 0) 0,25

Trang 16

Áp dụng định lý Viét đối với (1), suy ra: 2m2+ 4m – 6 = 0

⇔ m = 1 hoặc m = – 3, thỏa mãn (*) Vậy, phương trình ∆: y = 1 hoặc y = – 3 0,25

2 (1,0 điểm)

Gọi I là tâm của mặt cầu I ∈ ∆, suy ra tọa độ I có dạng: I(1 + 2t; 3 + 4t; t) 0,25

Mặt cầu tiếp xúc với (P), khi và chỉ khi: d(I, (P)) = 1

1

Trang 17

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN; Khối: A

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều

cos

x x

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3 x + = và d y 0 2: 3 x − = 0 Gọi (T) là y đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết

phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 1

x− = =y z

−2+ và mặt phẳng (P): x − 2y + z = 0

Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết z =( 2+ i) (12 − 2 )i

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung

điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3)

nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng ∆: 2 2

3

x+ = y− = z+ Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8

Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z = (1 3 )3

1

i i

Trang 18

Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x 1 = 1; x 2 và x3 là các nghiệm của (*)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

−

5 27

1

2

Trang 19

Câu Đáp án Điểm

1 (1,0 điểm)

Điều kiện: cosx ≠ 0 và 1 + tanx ≠ 0

Khi đó, phương trình đã cho tương đương: 2 sin

d

1 2

x x e

+

Ta có:

1 2 0

d

1 2

x x e x e

+

2

1 0

d(1 2 )

1 2

x x e e

+ +

1 ln(1 2 ) 2

x e

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC

Hạ HK ⊥ SC (K ∈ SC), suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC, do đó:

Trang 20

x y

5 2

g ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0, do đó (3) có nghiệm duy nhất x = 12; suy ra y = 2

Trang 22

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=+

2 Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng

( 'A BC) và (ABC) bằng Gọi G là trọng tâm tam giác Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức M = 3(a b2 2+b c2 2+ c a2 2) +3(ab +bc + ca)+ 2 a2+ b2+ c2

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương

và mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0 Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng

(P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1

3

Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

(1 )

z i− = +i z

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3 ) và elip (E):

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

Trang 23

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Môn: TOÁN; Khối B

=

0,25

Hàm số đồng biến trên các khoảng (− ∞; −1) và (−1; + ∞)

∆ = m2 + 8 > 0 với mọi m, suy ra đường thẳng y = −2x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm

Gọi A(x1; y1) và B(x2; y2), trong đó x1 và x2 là các nghiệm của (1); y1 = −2x 1 + m và y 2 = −2x 2 + m

Trang 24

Trang 2/4

1 (1,0 điểm)

2 d

Gọi D là trung điểm BC, ta có:

BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ ' A D, suy ra: n' 60 ADA = D

0,25

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra:

2.12

a

.2

a = 712

Trang 25

Biểu diễn số phức z = x + yi bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

Trang 26

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương vG = (2; 1; 2)

Do M thuộc trục hoành, nên M có tọa độ (t; 0; 0), suy ra: AMJJJJG= (t; −1; 0)

Do đó, hệ đã cho tương đương với:

x y

Trang 27

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN; Khối: D

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x4− x2+ 6

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =

4

AC Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − +x2 4x + 21 − − +x2 3x+ 0 1

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(−2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0 Viết

phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: | z | = 2 và z2 là số thuần ảo

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:

định tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 bằng 1

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

Trang 28

Môn: TOÁN; Khối D

6x − 1, nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6 0,25

I

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm)

Trang 29

2 < 0, suy ra f(x) nghịch biến trên ⎡⎣3 4 ;+ ∞)

Ta có f(2) = 0, nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1; x = 2

e x x x

Trang 30

Phương trình AH: x = 3 và BC ⊥ AH, suy ra phương trình BC

có dạng: y = a (a ≠ − 7, do BC không đi qua A)

Do đó hoành độ B, C thỏa mãn phương trình:

(x + 2)2 + a 2 = 74 ⇔ x 2 + 4x + a 2 − 70 = 0 (1)

0,25

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất

một nghiệm dương khi và chỉ khi: | a | < 70

Do C có hoành độ dương, nên B(− 2 − 74 a− 2; a) và C(− 2 + 74 a− 2 ; a)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

2 0

Gọi tọa độ H là (a; b), ta có: AH2=a2+ − (b 2)2 và khoảng cách

từ H đến trục hoành là | b |, suy ra: a2 + (b − 2) 2 = b 2 0,25

Trang 31

x y

Trang 32

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN; Khối: A

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

+

=

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại

hai điểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O

hai mặt phẳng (SBC ) và (ABCD bằng ) 60 D Gọi là trung điểm của cạnh I AD Biết hai mặt phẳng (SBI )

và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD , tính thể tích khối chóp ) S ABCD theo

chéo

(6;2)

I

AC và BD Điểm M( )1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh thuộc đường

CD

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2 x − 2 y z− − = và mặt cầu 4 0

( )S x : 2 +y 2 +z 2 − 2 x − 4 y − 6 11 0.z− = Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo một

đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình z 1 z2 z 2 + 2 10 z + = Tính giá trị của biểu thức 0 2 2

A = z 1 + z 2 .

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( )C x : 2 +y 2 + 4 x + 4 y + = và đường thẳng 6 0

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x : − 2 y + 2 1 z − = và hai đường thẳng 0

Câu VII.b (1,0 điểm)

Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh.

Trang 33

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…

Gọi toạ độ tiếp điểm là ( ; )x y , ta có: 0 0 2

• x 0 = − 2 , y 0 = 0 ; phương trình tiếp tuyến y = − − (thoả mãn) x 2

Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − −x 2

−∞

+∞

1 2

y

x O

1

2

y =

3 2

x= −

0,25

Trang 34

Trang 2/4

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

2

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 2sin )cos − x x = 3(1 2sin )(1 sin ) + x − x

u v

Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3 a2

2

3

; 2

a

suy ra

2

3 2

Trang 35

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

1 (1,0 điểm) Viết phương trình AB

Gọi N đối xứng với M qua suy ra I, N(11; 1 − và N thuộc đường thẳng ) CD 0,25

Gọi H và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, r

H là hình chiếu vuông góc của trên I ( ) :P IH d I P= ( ,( ) 3, )= r = R 2 −IH2 = 4 0,25

Toạ độ H = ( ; ; )x y z thoả mãn:

1 2

2 2 3

Trang 37

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Với các giá trị nào của m, phương trình x x 2 | 2 − 2 | = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? m

3 ln

( 1)

trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện 'A ABC theo a

( ) : ( 2)

5

C x − +y = và hai đường thẳng Δ1 : x y − = 0 , Xác định toạ độ tâm

2 : x 7 y 0

1 );

1 , 2

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A ( 1;4) − và các đỉnh B C, thuộc đường thẳng Δ : x y− − = 0 4 Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : P x − 2 y + 2 z− = và hai điểm ( 3;0;1), 5 0 A −

Trong các đường thẳng đi qua (1; 1;3).

khoảng cách từ

( ), P

B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Câu VII.b (1,0 điểm)

2 1

x y x

Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh:.

Trang 38

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Môn thi: TOÁN; Khối: B