Đề 10 đề luyện thi ĐGNL ĐHQG hà nội môn toán năm 2022 (bản word có lời giải)

Tailieuchuan vn ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NĂM 2022 ĐỀ SỐ 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 195 phút (không kể thời gian phát đề) Tổng số câu hỏi 150 câu Dạng câu hỏi Trắc nghiệm 4 lựa chọn (Chỉ có duy nhất 1 phương án đúng) và điền đáp án đúng Cách làm bài Làm bài trên phiếu trả lời trắc nghiệm CẤU TRÚC BÀI THI Nội dung Số câu Thời gian (phút) Phần 1 Tư duy định lượng – Toán học 50 75 Phần 2 Tư duy định tính – Ngữ văn 50 60 Phần 3 Khoa học 3 1 Lịch sử 10 60 3 2 Địa lí 10.

ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NĂM 2022 ĐỀ SỐ 10 MƠN TỐN Thời gian làm bài: Tổng số câu hỏi: Dạng câu hỏi: Cách làm bài: 195 phút (không kể thời gian phát đề) 150 câu Trắc nghiệm lựa chọn (Chỉ có phương án đúng) điền đáp án Làm phiếu trả lời trắc nghiệm CẤU TRÚC BÀI THI Nội dung Phần 1: Tư định lượng – Toán học Phần 2: Tư định tính – Ngữ văn 3.1 Lịch sử 3.2 Địa lí Phần 3: Khoa học 3.3 Vật lí 3.4 Hóa học 3.5 Sinh học Số câu 50 50 10 10 10 10 10 Thời gian (phút) 75 60 60 Trang PHẦN TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – Lĩnh vực: Toán học Câu (NB): Theo báo cáo thường niên năm 2017 ĐHQG-HCM, giai đoạn từ năm 2012 đến năm 2016, ĐHQG-HCM có 5.708 cơng bố khoa học, gồm 2.629 cơng trình cơng bố tạp chí quốc tế 3.079 cơng trình cơng bố tạp chí nước Bảng số liệu chi tiết mơ tả hình bên Năm số cơng trình cơng bố tạp chí quốc tế chiếm tỷ lệ cao số công bố khoa học năm? A Năm 2013 B Năm 2014 C Năm 2015 Câu (TH): Một vật rơi tự có phương tình s = D Năm 2016 gt , g = 9,8m / s gia tốc trọng trường Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 11,5 giây : A 112, 2m / s B 117, 2m / s C 127, m / s D 112, 7m / s Câu (NB): Phương trình 42 x +3 = 84 − x có nghiệm là: A B C D  x + y = Câu (TH): Hệ phương trình sau có nghiệm?   x + x + x = A B C D Câu (NB): Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z + z + = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm sau điểm biểu diễn số phức z1 ? Trang ( A P −1; − 2i ) ( B Q −1; 2i ) ( C N −1; ) ( D M −1; − ) Câu (TH): Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm M ( 2; 2;3) vng góc với trục Oy là: A y + = B y = C y − = D x + z = Câu (NB): Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A ( 1; 2;3 ) mặt phẳng ( Oyz ) có tọa độ là: A ( 0; 2;3) B ( 1;0;3) Câu (TH): Tập nghiệm bất phương trình C ( 1; 0;0 ) D ( 0; 2;0 ) x +1 ≤ là: − 2x  3 A  −1;   2 3  B ( −∞; −1] ∪  ; +∞ ÷ 2  3  C ( −∞; −1] ∪  ; +∞ ÷ 2   3 D  −1; ÷  2 Câu (TH): Số nghiệm phương trình 2sin 2 x + cos x + = [ 0; 2018π] A 2018 B 1009 C 2017 D 1008 Câu 10 (VD): Trên bàn cờ có nhiều vng, người ta đặt hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đặt tiếp vào thứ hai số hạt nhiều ô thứ 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều ô thứ hai 5,… tiếp tục đến ô thứ n Biết để đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ có ơ? A 98 B 100 C 102 D 104 Câu 11 (TH): Hàm số F ( x ) sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = ln x + − ln x + + C C F ( x ) = ln x +1 +2 x+3 x+3 ? x + 4x + B F ( x ) = ln ( x + ) D F ( x ) = ln ( x + 1) ( x + )  Câu 12 (VDC): Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) < m − x − x ( m tham số thực) nghiệm với x ∈ ( −2;0 ) khi: A m > f ( ) B m ≥ f ( −2 ) − 10 C m > f ( −2 ) − 10 D m ≥ f ( ) Trang Câu 13 (TH): Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 3t + ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây Tính quảng đường vật khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ 10? A 994m B 945m C 1001m D 471m Câu 14 (VD): Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng 10 triệu đồng trả hàng tháng trả hết nợ (tháng cuối trả 10 triệu đồng) Hỏi sau tháng người trả hết số nợ ngân hàng A 19 B 22 C 21 D 20 Câu 15 (TH): Tập nghiệm bất phương trình log x ≥ log3 x + là:  1 A 0;   9 1  B  −∞;  9   1 C  0;   9 1  D  ; +∞ ÷ 9  Câu 16 (TH): Cho hình phẳng ( D ) giới hạn đường y = sin x , y = , x = , x = π Thể tích khối trịn xoay sinh hình ( D ) quay xung quanh Ox bằng: A π 1000 B π C π2 D π2 1000 Câu 17 (VD): Gọi T tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = x − 2mx + đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) Tổng giá trị phần tử T bằng: A B 45 C 55 D 36 Câu 18 (TH): Số phức z thỏa mãn z − ( + i ) = iz + − 3i A z = 14 + i 5 B z = − 2i C z = + 2i D z = 14 − i 5 Câu 19 (TH): Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z + |=| i − z | đường thẳng d có phương trình A x + y + 13 = B x + y + = C −2 x + y − 13 = D x − y + = Câu 20 (VD): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) , diện tích trọng tâm G nằm đường thẳng x − y − = Tìm hồnh độ điểm C, biết C có hoành độ dương A B C D 2 Câu 21 (TH): Cho đường cong ( C ) : ( m + 1) x + m ( m + 3) y + 2m ( m + 1) x − m − = Giá trị m để ( C) đường tròn: A m = − B m = C m = D m = −3 Trang Câu 22 (VD): Cho K ( 1; 2;3) phương trình mặt phẳng ( P ) :2 x − y + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa OK vng góc với mặt phẳng (P) A x + y − z = B x + y − z = C x + y + z = D x − y − z = Câu 23 (TH): Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = Biết diện tích xung quanh hình nón 5π Tính thể tích khối nón? A π B π C π D π Câu 24 (VD): Cho tam giác SAB vuông A, ∠ABS = 600 Phân giác góc ∠ABS cắt SA I Vẽ nửa đường trịn tâm I , bán kính IA (như hình vẽ) Cho miền tam giác SAB nửa hình trịn quay xung quanh trục SA tạo nên khối tròn xoay tích tương ứng V1 , V2 Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 B V1 = V2 D V1 = V2 C V1 = 3V2 Câu 25 (VD): Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC A V = a3 a Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ B V = a3 12 C V = a3 3 D V = a3 24 Câu 26 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SD, điểm N thuộc cạnh SA cho SN = 3AN Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (ABCD) P, đường thẳng PC cắt cạnh AB K Trình bày cách xác định điểm K tính tỉ số A B C KA KB D 2 Câu 27 (VD): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = hai điểm uuur uuur A(0; 2;0) , B (2; −6; −2) Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( S ) thỏa mãn tích MA ×MB có giá trị nhỏ Tổng a + b + c Trang A −1 B C D Câu 28 (TH): Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng qua điểm M ( −1;1;0 ) vng góc với mặt phẳng ( α ) :5 x − 10 y − 15 z − 16 = có phương trình tham số là:  x = −1 + 5t  A  y = + 10t  z = 15t   x = −5t  B  y = −10t  z = −15t   x = −3 − t  C  y = + 2t  z = + 3t   x = −1 + 5t  D  y = − 10t  z = 15t  Câu 29 (VD): Cho hàm số y = f ( x ) có biến thiên sau : Hàm số g ( x ) = f ( x − x ) có điểm cực trị? A B C D Câu 30 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0; 0), B (3; 2; 4),C (0;5; 4) uuur uuur uuuu r Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho MA + MB + 2MC nhỏ B M (1; −3;0) A M (1;3;0) C M (3;1;0) D M (2; 6;0) Câu 31 (VD): Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình y = x − x + m có điểm cực trị? A Câu B 32 (VD): Gọi ( S C tập giá D vơ số trị m thỏa mãn hệ sau có nghiệm )  x − + m x − + x + + 2019m ≤  Trong tập S có phần tử số nguyên?   mx + 3m − x − ≥ A B C D π x Câu 33 (VD): Cho F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) π Tìm họ nguyên hàm hàm số f ′ ( x ) π x A ∫ f ′ ( x ) π dx = − x π C ∫ f ′ ( x ) π dx = x ln π − πx π−1 + C x x π + x π−1 + C B ∫ f ′ ( x ) π dx = − x D ∫ f ′ ( x ) π dx = − x x x π π ln π + πx π−1 + C + πx π−1 + C Trang Câu 34 (VD): Một hộp đựng 40 thẻ đánh số thứ tự từ đến 40 Rút ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để lấy thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho A 126 1147 B 252 1147 C 26 1147 D 12 1147 Câu 35 (VD): Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cân A có AB = AC = 2a, ∠CAB = 1200 Mặt phẳng ( AB′C ′ ) tạo với đáy góc 600 Thể tích khối lăng trụ là: A 2a B 3a C a3 D 3a Câu 36 (NB): Cho hàm số y = x − 3x − Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = là: Đáp án: …………………………………………… Câu 37 (TH): Cho hàm số y = f ( x ) f ′ ( x ) = x ( x + 1) xác định liên tục tập ¡ có đạo hàm ( − x ) Hàm số cho có điểm cực trị ? Đáp án: …………………………………………… ( P ) : x + y − 2z + = Câu 38 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( Q ) : x + y − z − = Khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) là: Đáp án: …………………………………………… Câu 39 (TH): Trong ngày hội giao lưu văn hóa – văn nghệ, giải cầu lơng đơn nữ có 12 vận động viên tham gia, có hai vận động viên Kim Liên Các vận động viên chia làm hai bảng A B, bảng gồm người Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai vận động viên Kim Liên thi đấu chung bảng Đáp án: …………………………………………… Câu 40 (VD): Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn lim x→2 f ( x ) − 15 x−2 = Tính L = lim x →1 f ( x) +1 − 2 x2 − x + Đáp án: …………………………………………… Câu 41 (TH): Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = f ( x ) = x − x + đoạn [ −2;1] Đáp án: …………………………………………… Câu 42 (TH): Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − 3x + mx + có cực đại cực tiểu ? Đáp án: …………………………………………… Trang Câu 43 (TH): Hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln có diện tích bằng: Đáp án: …………………………………………… Câu 44 (VD): Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Tìm m để phương trình f ( sin x ) = m có hai nghiệm đoạn [ 0; π] Đáp án: …………………………………………… Câu 45 (VD): Cho số phức z thỏa mãn z − = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w xác định w = ( + 3i ) z + + 4i đường trịn bán kính R Tính R Đáp án: …………………………………………… Câu 46 (TH): Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ , gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( ABC ) Tính ( A′BD ) tan ϕ Đáp án: …………………………………………… Câu 47 (TH): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = đường thẳng ∆ có  x = −1 + t  phương trình tham số  y = − t Khoảng cách đường thẳng Δ mặt phẳng ( P ) bằng:  z = −3 − 4t  Đáp án: …………………………………………… Câu 48 (VDC): Xét số thực dương x , y thỏa mãn log x + log y ≤ log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ 2 Pmin biểu thức P = x + y Đáp án: …………………………………………… Trang Câu 49 (TH): Cho hình vng ABCD có cạnh a Qua trung điểm I cạnh AB dựng đường a thẳng ( d ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Trên ( d ) lấy điểm S cho SI = Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAD ) Đáp án: …………………………………………… Câu 50 (VD): Khối chóp tam giác có độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh a, 2a,3a tích lớn Đáp án: …………………………………………… Trang Đáp án D D C B D C A C A 10 B 11 B 12 D 13 C 14 A 15 C 16 C 17 B 18 C 19 B 20 A 21 C 22 A 23 C 24 D 25 B 26 C 27 B 31 B 32 A 33 B 34 A 35 D 36 37 28 C 38 30 A 40 41 M = 15; m = 42 m bất phương trình x2 −1 + m ( x2 −1 + m ( ) x − + x + + 2019m ≤ vơ nghiệm ) x − + x + + 2019m > 0;∀x ≥ Vậy có giá trị m thỏa mãn đề m = π x Câu 33 (VD): Cho F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) π Tìm họ nguyên hàm hàm số f ′ ( x ) π x A ∫ f ′ ( x ) π dx = − x π C ∫ f ′ ( x ) π dx = x ln π − πx π−1 + C x x π + x π−1 + C B ∫ f ′ ( x ) π dx = − x D ∫ f ′ ( x ) π dx = − x x x π π ln π + πx π−1 + C + πx π−1 + C Phương pháp giải: u = π x  Sử dụng phương pháp tích phân phần, đặt   dv = f ′ ( x ) dx Giải chi tiết: Trang 27 x Đặt I = ∫ f ′ ( x ) π dx x u = π x    du = π ln π ⇒ Đặt  dv = f ′ ( x ) dx  v = f ( x )  ⇒ I = π x f ( x ) − ln π ∫ π x f ( x ) dx  F ′ ( x ) = f ( x ) π x Vì F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) π ⇒  x π  ∫ f ( x ) π dx = F ( x ) + C = x + C π x ⇒ π.x π−1 = f ( x ) π x ⇒ f ( x ) = ⇒ I = πx π.x π−1 πx π.x π−1 − x π ln π + C x π ⇒ I = π.x π−1 − x π ln π + C Câu 34 (VD): Một hộp đựng 40 thẻ đánh số thứ tự từ đến 40 Rút ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để lấy thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho A 126 1147 B 252 1147 C 26 1147 D 12 1147 Phương pháp giải: Cơng thức tính xác suất biến cố A là: P ( A ) = nA nΩ Số chia hết cho số chia hết cho Giải chi tiết: 10 Số cách chọn 10 thẻ 40 thẻ cho là: nΩ = C40 cách chọn Gọi biến cố A: “Chọn thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn, có thẻ chia hết cho 6” Số thẻ chia hết cho chọn số: 6; 12; 18; 24; 30; 36 ⇒ nA = C20 C144 C61 cách chọn ⇒ P ( A) = C144 C61 126 nA C20 = = 10 nΩ C40 1147 Câu 35 (VD): Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cân A có AB = AC = 2a, ∠CAB = 1200 Mặt phẳng ( AB′C ′ ) tạo với đáy góc 600 Thể tích khối lăng trụ là: A 2a B 3a C a3 D 3a Phương pháp giải: Trang 28 - Xác định góc hai mặt phẳng ( AB′C ′ ) ( A′B′C ′ ) góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến - Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng tính độ dài đường cao h = AA′ - Tính diện tích đáy S A′B′C ′ , sử dụng cơng thức S = ab sin C - Tính thể tích khối lăng trụ V = Sh Giải chi tiết: Gọi D trung điểm B′C ′ Vì tam giác A′B′C ′ cân A′ nên A′D ⊥ B′C ′ (trung tuyến đồng thời đường cao) Ta có: A′D ⊥ B′C ′  ⇒ B′C ′ ⊥ ( AA′D ) ⇒ B′C ′ ⊥ AD AA′ ⊥ B′C ′  ( AB′C ′ ) ∩ ( A′B′C ′ ) = B′C ′  ⇒ ∠ ( ( AB′C ′ ) ; ( A′B′C ′ ) ) = ∠ ( AD; A′D ) = ∠ADA′ = 600 ( AB′C ′ ) ⊃ AD ⊥ B′C ′ ( A′B′C ′ ) ⊃ A′D ⊥ B′C ′  Vì tam giác A′B′C ′ cân A′ nên ∠DA′C ′ = ∠B′A′C ′ = 600 (trung tuyến đồng thời phân giác) Xét tam giác vng A′C ′D có: A′D = A′C ′.cos 60 = 2a = a Xét tam giác vng AA′D có: AA′ = A′D tan 600 = a Ta có: S ABC = 1 AB AC.sin ∠BAC = 2a.2a = a 2 Vậy VABC A′B′C ′ = AA′.S ABC = a 3.a = 3a Câu 36 (NB): Cho hàm số y = x − 3x − Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = là: Đáp án: Phương pháp giải: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x0 k = f ′ ( x0 ) Trang 29 Giải chi tiết: 2 Ta có y ′ = x − x ⇒ y′ ( ) = 3.2 − 6.2 = nên hệ số góc cần tìm k = Câu 37 (TH): Cho hàm số y = f ( x ) f ′ ( x ) = x ( x + 1) xác định liên tục tập ¡ có đạo hàm ( − x ) Hàm số cho có điểm cực trị ? Đáp án: Phương pháp giải: - Xác định số nghiệm bội chẵn, bội lẻ phương trình f ′ ( x ) = - Số điểm cực trị hàm số số nghiệm bội lẻ phương trình f ′ ( x ) = Giải chi tiết:  x = ( nghiem boi le )  + f ′ ( x ) = ⇔  x = −1 ( nghiem boi chan )  x = ( nghiem boi le ) Vậy hàm số cho có điểm cực trị Câu 38 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + = ( Q ) : x + y − z − = Khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) là: Đáp án: Phương pháp giải: +) ( P ) / / ( Q ) ⇒ d ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ( A; ( Q ) ) , A ∈ ( P ) +) M ( x0 ; y0 ; z0 ) , d (M , ( α ) ) = ( α ) : Ax + By + Cz + D = Khoảng cách từ M đến ( α) là: Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Giải chi tiết: Ta có: A ( −3;0;0 ) ∈ ( P ) , ( P ) / / ( Q ) ⇒ d ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ( A; ( Q ) ) = −3 + − − 1+ + = Câu 39 (TH): Trong ngày hội giao lưu văn hóa – văn nghệ, giải cầu lơng đơn nữ có 12 vận động viên tham gia, có hai vận động viên Kim Liên Các vận động viên chia làm hai bảng A B, bảng gồm người Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai vận động viên Kim Liên thi đấu chung bảng Đáp án: 11 Phương pháp giải: Trang 30 - Tính số phần tử không gian mẫu - Gọi A biến cố: “hai vận động viên Kim Liên thi đấu chung bảng”, sử dụng tổ hợp chọn người cịn lại vào bảng đó, tính số phần tử biến cố A - Tính xác suất biến cố Giải chi tiết: 6 Chia 12 người vào bảng ⇒ Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C12 C6 = 924 Gọi A biến cố: “hai vận động viên Kim Liên thi đấu chung bảng” Số cách chọn bảng cho A B cách Khi cần chọn thêm bạn C10 cách ⇒ n ( A ) = 2.C104 = 420 Vậy xác suất để Kim Liên thi chung bảng P ( A ) = Câu 40 (VD): Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn lim x →2 Đáp án: L = 420 = 924 11 f x +1 − f ( x ) − 15 ( ) = Tính L = lim x →1 x − x + x−2 Phương pháp giải: f ( x ) − 15 - Đặt x−2 f ( x) = g ( x ) , tìm lim x →2 - Sử dụng phương pháp nhân liên hợp Giải chi tiết: Đặt f ( x ) − 15 = g ( x ) ⇒ f ( x ) = ( x − ) g ( x ) + 15 x−2 ⇒ lim f ( x ) = 15 x→2 a4 − b4 Chú ý liên hợp bậc 4: a − b = a + a 2b + ab + b3 L = lim x →1 f ( x) +1 − 2 x2 − x + f ( x ) + − 16 2 x →1 a + a b + ab + b ( x − ) ( x − 3) = lim = f ( x ) − 15 1 lim = = x → 8+8+8+8 x−2 32 Câu 41 (TH): Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = f ( x ) = x − x + đoạn [ −2;1] Trang 31 Đáp án: M = 15; m = Phương pháp giải: Cho hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) Với a > : Giá trị nhỏ hàm số ymin = − ∆ b đạt x = − 4a 2a Với a < : Giá trị lớn hàm số ymax = − ∆ b đạt x = − 4a 2a Giải chi tiết: Hàm số y = x − x + có a = > nên bề lõm quay lên Hoành độ đỉnh x = − b = = ∉ [ −2;1] 2a    f ( 1) =  m = y = f ( 1) = ⇒ Ta có:    f ( −2 ) = 15   M = max y = f ( −2 ) = 15 Câu 42 (TH): Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − 3x + mx + có cực đại cực tiểu ? Đáp án: m < Phương pháp giải: Hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có cực đại cực tiểu ⇔ y′ = có hai nghiệm phân biệt Giải chi tiết: Ta có: y = x3 − x + mx + 2 ⇒ y ′ = x − x + m ⇒ y ′ = ⇔ x − x + m = ( *) Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ ( *) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ − 3m > ⇔ m < Câu 43 (TH): Hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln có diện tích bằng: Đáp án: Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Giải chi tiết: Hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln là: ln S= ∫ ln5 e x dx = ∫ e dx = e x x ln5 = −1 = Trang 32 Câu 44 (VD): Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Tìm m để phương trình f ( sin x ) = m có hai nghiệm đoạn [ 0; π] Đáp án: −4 < m ≤ −3 Phương pháp giải: Sử dụng đồ thị Giải chi tiết: Đặt sin x = t ∈ [ 0;1] ( x ∈ [ 0; π] ) ⇒ t ′ = cos x = ⇔ x = π Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ứng với giá trị t khác có giá trị x Do để phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm đoạn [ 0; 2] phương trình f ( t ) = m phải có nghiệm [ 0;1) ⇒ −4 < m ≤ −3 Câu 45 (VD): Cho số phức z thỏa mãn z − = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w xác định w = ( + 3i ) z + + 4i đường tròn bán kính R Tính R Đáp án: R = 13 Phương pháp giải: Thế số phức từ yêu cầu vào giả thiết để biểu diễn môđun liên quan đến số phức w Giải chi tiết: Trang 33 Ta có z − = z − = z − = mà w = ( + 3i ) z + + 4i ⇔ z = Suy w − − 4i + 3i w − − 7i w − − 4i w − − 7i −1 = ⇔ =5⇔ = ⇔ w − − 7i = 13 + 3i + 3i + 3i Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I ( 5; ) , , bán kính R = 13 Câu 46 (TH): Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ , gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( ABC ) Tính ( A′BD ) tan ϕ Đáp án: tan ϕ = Phương pháp giải: Xác định góc hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) ta làm sau +) Xác định giao tuyến d ( P ) ( Q ) +) Trong ( P ) xác định đường thẳng a ⊥ d , ( Q ) xác định b ⊥ d +) Góc ( P ) ( Q ) góc a b Giải chi tiết: Gọi a cạnh hình lập phương O giao điểm AC BD Ta có ( A′BD ) ∩ ( ABC ) = BD Trong ( ABCD ) có AC ⊥ BD (do ABCD hình vng) Trong ( A′BD ) có A′O ⊥ BD (do tam giác A′BD cân A′ ) Suy góc hai mặt phẳng ( A′BD ) ( ABC ) góc A′O AC hay ϕ = ·A′OA Gọi a cạnh hình lập phương O giao điểm AC BD Ta có ( A′BD ) ∩ ( ABC ) = BD Trang 34 Trong ( ABCD ) có AC ⊥ BD (do ABCD hình vng) Trong ( A′BD ) có A′O ⊥ BD (do tam giác A′BD cân A′ ) Suy góc hai mặt phẳng ( A′BD ) ( ABC ) góc A′O AC hay ϕ = ·A′OA Ta có AO = AC = AD + AB 2a = 2 tan ·A′OA = Xét tam giác AA′O vng A có AA′ a = = AO a 2 Vậy tan ϕ = Câu 47 (TH): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = đường thẳng ∆ có  x = −1 + t  phương trình tham số  y = − t Khoảng cách đường thẳng Δ mặt phẳng ( P ) bằng:  z = −3 − 4t  Đáp án: Phương pháp giải: Nếu ∆ / / ( P ) d ( ∆; ( P ) ) = d ( A; ( P ) ) , A ∈ ∆ Giải chi tiết: r r Mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = có VTPT n = ( 2; −2;1) Đường thẳng Δ có VTCP u = ( 1; −1; −4 ) rr Ta có: n.u = 2.1 − ( −1) + ( −4 ) = ⇒ ∆ / / ( P ) Lấy A ( −1; 2; −3 ) ∈ d , A ∉ ( P ) (do ( −1) − 2.2 + ( −3) + ≠ ) ⇒ d ( ∆; ( P ) ) = d ( A; ( P ) ) = Vậy d ( ∆; ( P ) ) = ( −1) − 2.2 + ( −3 ) + + +1 2 = 4 Câu 48 (VDC): Xét số thực dương x , y thỏa mãn log x + log y ≤ log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ 2 Pmin biểu thức P = x + y Đáp án: Pmin = Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức log a x + log a y = log a ( xy ) ( < a ≠ 1, x, y > ) , giải bất phương trình logarit log a f ( x ) ≤ log a g ( x ) ( < a < 1) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) Trang 35 +) Rút x theo y , vào P +) Đưa P dạng P = f ( y ) Lập BBT tìm GTNN P = f ( y ) Giải chi tiết: Theo ta có: log x + log y ≤ log ( x + y ) ⇔ log ( xy ) ≤ log ( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y 2 2 2 ⇔ x ( y − 1) ≥ y > Mà x > ⇒ y − > ⇔ y > ⇒x≥ y2 y2 P = x + y ≥ + y với y > Khi ta có y −1 y −1 Xét hàm số f ( y ) = y2 + y với y > ta có: y −1  y=  y ( y − 1) − y y − 2y + 3y − 6y + 4y − 8y + f ′( y) = +3 = = =0⇔ 2 ( y − 1) ( y − 1) ( y − 1) y =  2 2 BBT: 3 f ( y ) = f  ÷= Từ BBT ta thấy y >1 2 Vậy P ≥ hay Pmin = Câu 49 (TH): Cho hình vng ABCD có cạnh a Qua trung điểm I cạnh AB dựng đường a thẳng ( d ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Trên ( d ) lấy điểm S cho SI = Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAD ) Đáp án: a Phương pháp giải: - Tính VS ACD = SI S∆ACD - Chứng minh ∆SAD vng, tính S∆SAD Trang 36 - Sử dụng công thức d ( C ; ( SAD ) ) = 3VS ACD S ∆SAD Giải chi tiết: Ta có: S ∆ACD a2 = S ABCD = 2 1 a a a3 ⇒ VS ACD = SI S ∆ACD = = 3 2 12  AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ ∆SAD vuông A Ta có:   AD ⊥ SI  a   a 2 Xét tam giác vuông SAI : SA = SI + AI =  =a  ÷ ÷ +  ÷    ⇒ S ∆SAD = 1 a2 SA AD = a.a = 2 Vậy d ( C ; ( SAD ) ) = 3VS ACD = S ∆SAD a3 12 = a a2 2 Câu 50 (VD): Khối chóp tam giác có độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh a, 2a,3a tích lớn Đáp án: a Phương pháp giải: Khối chóp tích lớn cạnh đơi vng góc Giải chi tiết: Trang 37 Giả sử khối chóp ABCD có AB = a, AC = 2a, AD = 3a Gọi H hình chiếu vng góc D lên ( ABC ) , ta có: DH ⊥ ( ABC ) DH ≤ AD Ta có: S ABC = 1 AB AC.sin ∠BAC ≤ AB AC 2 1 1 Vây VABCD = DH S ∆ABC ≤ AD AB AC = AB AC AD = a.2a.3a = a 3 6 Dấu “=” xảy ⇔ AD ⊥ ( ABC ) , AB ⊥ AC hay AB, AC , AD đơi vng góc Trang 38 ... 49 a 47 48 50 a LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – Lĩnh vực: Toán học Câu (NB): Theo báo cáo thường niên năm 2017 ĐHQG- HCM, giai đoạn từ năm 2012 đến năm 2016, ĐHQG- HCM có 5.708 cơng bố... mơ tả hình bên Năm số cơng trình cơng bố tạp chí quốc tế chiếm tỷ lệ cao số công bố khoa học năm? A Năm 2013 B Năm 2014 C Năm 2015 Câu (TH): Một vật rơi tự có phương tình s = D Năm 2016 gt , g... hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ có ơ? A 98 B 100 C 102 D 104 Câu 11 (TH): Hàm số F ( x ) sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = ln x + − ln x + + C C F ( x ) =