(SKKN mới NHẤT) GIÚP học SINH PHÁT TRIỂN NĂNG lực GIẢI QUYẾT bài TOÁN cực TRỊ của hàm số CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối từ một HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN - * * * - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ MỘT HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA MƠN:TỐN HỌC Tác giả: Thái Thị Bích Hường Tổ chun mơn : Tốn – Tin Năm thực hiện: 2022 ĐT: 0378 447 053 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phát triển chương trình theo hướng tiếp cận lực xu chung nhiều quốc gia giới áp dụng mục tiêu giáo dục chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 Nghị hội nghị Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: ‘ Tiếp tục đổi phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học cập nhật đổi tri thức, kĩ năng, phát triển lực.’ Từ năm học 2016-2017 đến nay, Bộ Giáo dục Đào tạo định thi môn Tốn kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan Câu hỏi đặt ‘ Khi chuyển từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan sách giáo khoa có cần phải thay đổi khơng? Sách giáo khoa tài liệu cụ thể hóa nội dung giáo dục quy định chương trình; cung cấp tri thức tảng, hệ thống, toàn diện chọn theo quy luật sư phạm, hướng dẫn hoạt động học, hỗ trợ hoạt động dạy Vì vậy, khơng có sách giáo khoa soạn riêng cho thi tự luận hay cho thi trắc nghiệm khách quan Trong dạy học Toán, lực giải toán lực bản, quan trọng mà học sinh phổ thông phải đạt Cho nên việc phát triển lực giải tốn cho học sinh phổ thơng u cầu cần thiết góp phần vào việc hình thành phát triển lực, phẩm chất cho học sinh Hoạt động giải tập hoạt động chủ yếu toán học, để hoạt động giải tập tốt phải cho học sinh hiểu rõ chất, nguồn gốc vấn đề chủ đề cần có dạng tập có chất lượng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Vì học sinh lớp vừa có giống vừa có khác nhận thức, tư duy, khiếu, sở trường… ‘Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số’ đóng vai trị quan trọng chiếm thời lượng lớn chương trình học thi tốt nghiệp học sinh Trong cực trị hàm số hấp dẫn nhờ vào vẻ đẹp tính độc đáo phương pháp kĩ thuật giải chúng yêu cầu cao tư cho người giải Trong kì thi THQG, Tốt nghiệp THPT kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh toán cực trị đề cập nhiều có giá trị phân hóa chất lượng thi cao Vì vậy: tác giả thực đề tài: “Giúp học sinh phát triển lực giải toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ hoạt động sách giáo khoa ” Trong viết tác giả từ hoạt động sách giáo khoa để giúp học sinh phát triển lực giải tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Sử dụng nhóm định nghĩa quy tắc, tính chất hàm số, phương pháp TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com sử dụng đồ thị, phương pháp sử dụng hàm ẩn… Sử dụng biến đổi quan trọng, phù hợp, hoạt động, nội dung ý sách giáo khoa để giúp học sinh giải toán hiệu ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu học sinh THPT, cụ thể học sinh lớp 12 trường THPT Học sinh tham kì thi học sinh giỏi tốt nghiệp THPT Quốc Gia MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Đề tài giúp em học sinh tìm hiểu nội dung học qua khái niệm ví dụ đơn giản sách giáo khoa đến tốn có tính chất nâng cao cách nhẹ nhàng hiểu Qua nội dung đề tài mong muốn học sinh lớp 12 có thêm tài liệu học tập Các dạng tập lựa chọn áp dụng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Học sinh giỏi phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ việc phát triển tốn, dự đốn tính khả thi tốn , tổng qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa tốn Học sịnh trung bình khơng lấp ‘lỗ hổng’ kiến thức mà nắm vững kiến thức Ngồi đề tài cịn tài liệu giúp học sinh hiểu sâu sắc nội dung sách giáo khoa đưa khẳng định ý nghĩa thực tiễn ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI Điểm kết nghiên cứu qua vấn đề nêu sách giáo khoa giáo viên giúp học sinh phát hiện, giải dạng tập từ cụ thể đến tập nâng cao nhằm phát triển lực tốn học Ngồi giáo viên tìm hiểu lực nhóm học sinh, Giúp em học sinh giỏi phát huy lực tốn lạ, tốn khó Đề tài có hệ thống toán từ nhận biết đến vận dụng cao sử dụng dạy học đề thi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận: Từ năm học 2016-2017 đến nay, Bộ Giáo dục Đào tạo định thi mơn Tốn kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan Đây thử thách thầy trò hội cho học sinh trung học phổ thông phát huy hết khả thơng minh sáng tạo Vì thi trắc nghiệm mơn Tốn với thời lượng 90 phút cho 50 câu nên đa số học sinh có cảm giác bị ngợp trước số lượng câu hỏi lớn thời gian ngắn Nhưng thi trắc nghiệm có nhiều ưu điểm, như: Phù hợp với xu hội nhập quốc tế, rèn tính động sáng tạo cho học sinh, kiểm tra kiến thức bao quát, tránh học lệch, học tủ…Đặc biệt, thi trắc nghiệm cần chọn đáp án đáp án cho kết có sẵn nên người học sáng tạo nhiều phương pháp, kỹ thuật giải nhanh độc đáo cho riêng Tơi thiết nghĩ mục đích mơn Tốn – giúp người học sáng tạo hơn, nhanh nhẹn hơn, đốn xác giải tốn xử lý cơng việc đời sống thực tiễn hàng ngày 1.2 Cơ sở thực tiễn: Việc đổi kì thi TN THPT thử thách thầy trò, hội cho thầy cô học sinh trung học phổ thông tiếp cận nội dung sách giáo khoa với tính tương tác chuyên sâu II BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẪN ĐỀ Hiện với cách thức thi mới, cịn sách giáo khoa viết từ năm cịn hình thức thi cũ nên nhiều học sinh tìm hiểu dạng toán tập nguồn khác khơng phải sách giáo khoa Dù thi theo hình thức sách giáo khoa tài liệu cụ thể hóa nội dung giáo dục quy định chương trình; cung cấp tri thức tảng, hệ thống, tồn diện chọn theo quy luật sư phạm, hướng dẫn hoạt động học, hỗ trợ hoạt động dạy Vì giáo viên cần định hướng dẫn dắt em tìm hiểu phát triển dạng tốn qua tập, ví dụ, hoạt động hay ý từ sách giáo khoa Từ khuyến khích học sinh giỏi có lực tự học, giúp cho em hứng thú khám phá phát triển tìm hiểu vấn đề qua nội dung sách III GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ MỘT HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA Mở đầu: Hoạt động dẫn tới tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Chứng minh hàm số y =| x | khơng có đạo hàm x = Hàm số có đạt cực trị điểm khơng? ( Hoạt động trang 16 SGK Giải Tích 12 ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Cách giải 1:  x x  1 x   y'=  − x x  −1 x  Xét hàm số y = x =  Hay lim y =  lim y = −1 x → 0+ x → 0− Suy hàm y =| x | khơng có đạo hàm x = Mặt khác y ' =  0, x  0; y = −1  0, x  Ta có bảng biến thiên: Hàm số đạt cực tiểu x = Vậy: hàm y =| x | khơng có đạo hàm x = đạt cực tiểu x = Cách giải 2:  x x  1 x   y'=  − x x  −1 x  Xét hàm số y = x =  Hay lim y =  lim y = −1 Suy hàm y =| x | khơng có đạo hàm x = x → 0+ x → 0− Sử dụng đồ thị hàm số y y= x x Ta có hàm số đạt cực tiểu x = Nếu tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có cơng thức đạo hàm giải theo quy tắc khơng? Ta xét lời giải Cách giải 3: ( Sử dụng quy tắc 1) Ta có: y ' =| x | ' = ( x ) ' = 2xx 2 = x suy y =| x | đạo hàm không xác định x = | x| Ta có bảng biến thiên: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy quy tắc cách giải áp dụng vào tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, với công thức đạo hàm hàm số trị tuyệt đối sau: ( x ) ' = 2xx = | xx | 2u.u ' u.u ' | u | ' = ( u )' = = |u| u y ' =| x | ' = 2 2 Bài tốn tìm cực trị hàm số y = f ( x) 1.1 Giúp học sinh phát giải vấn đề qua toán cụ thể Bài 1.1.1 Cho hàm số y =| x2 − x + | , hàm số có điểm cực trị? Cách giải 1: y' = (2 x − 4)( x − x + 3) =0 x=2 | x2 − 4x + | x = y ' không xác định x − x + =   x = Ta có bảng biến thiên x − − y' + + + + − + y 0 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y =| x2 − x + | có điểm cực trị Cách giải 2: Xét hàm số y = x2 − x + ta có đồ thị hàm số là: Do đồ thị hàm số y = x2 − x + cắt trục ox hai điểm phân biệt nên ta có đồ thị hàm y =| x2 − x + | : TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Dựa vào đồ thị ta có hàm số y =| x2 − x + | có điểm cực trị Nhận xét: Số cực trị hàm số y =| x2 − x + | số ngiệm y ' = y ' không xác định mà điểm y ' đổi dấu Số cực trị hàm số y =| x2 − x + | tổng số cực trị hàm số y = x − x + số giao điểm đồ thị hàm số y = x − x + với trục hoành Số cực trị hàm số y =| x2 − x + | tổng số nghiệm y ' = số nghiệm phương trình y = ) Tổng quát: Đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị (Áp dụng cơng thức) y = f ( x) = f ( x)  y = f ( x) f ( x) f ( x) y =  f '( x) = (1) , y ' không xác định điểm f ( x) = ( ) Còn số nghiệm (1) số cực trị hàm số y = f ( x) , Số nghiệm ( ) số giao điểm đồ thị y = f ( x) trục hoành y = Vậy tổng số nghiệm bội lẻ (1) ( ) số cực trị cần tìm Bài 1.1.2 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục sau: có bảng biến thiên Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? Giải Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số có dạng sau TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị y = f ( x ) có điểm cực trị nằm phía trục Ox cắt trục Ox điểm Suy đồ thị y = f ( x ) có điểm cực trị (tham khảo hình vẽ) Nhận xét: Ta nhận xét trực tiếp điểm cực trị hàm số giao điểm trục hoành qua bảng biến thiên mà không qua đồ thị Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị cắt trục Ox điểm Suy đồ thị y = f ( x ) có điểm cực trị Bài 1.1.3 Cho hàm số y = f ( x ) với bảng biến thiên x − − y' −1 0 + + − + + + y −4 −2 Hỏi hàm số y = f ( x) có điểm cực trị? Giải: Dựa vào nhận xét : hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị đồ thị cắt ox điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x) có điểm cực trị Bài 1.1.4 Cho hàm số y điểm cực trị hàm số y f x xác định có đồ thị hình vẽ Tìm số f x TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giải: Dựa vào nhận xét : hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị đồ thị cắt ox điểm có nghiệm bội lẻ nên hàm số y = f ( x) có điểm cực trị Nhận xét: Từ cách giải tổng quát toán đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị ta tổng quát toán dạng sau: Cho hàm số y = f ( x) xác định R ( cho dạng hàm số, cho đồ thị hàm số, cho bảng biến thiên hàm số hay cho dạng đạo hàm nó) tìm số điểm cực trị hàm số h( x) =  f ( x ) ( n  N , n  2) n Giải: n −1 Ta có h '( x) = n  f ( x ) f '( x) h '( x) =  n  f ( x )  n −1  f ( x) = 0(1) f '( x) =    f '( x) = 0(2) Với n chẵn n − lẻ ta có tổng số nghiệm bội lẻ (1) ( ) số cực trị cần tìm Với n lẻ n − chẵn nên nghiệm (2) nghiệm bội chẵn suy số nghiệm bội lẻ (1) số cực trị cần tìm Vậy: n chẵn cho ta đưa toán số điểm cực trị hàm y = f ( x) cịn n lẻ cho ta tốn số cực trị hàm y = f ( x) Bài 1.1.5 Cho hàm số y f x xác định có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y =  f ( x ) Giải: Từ đồ thị ta suy f ( x ) = có nghiệm bội lẻ, f  ( x ) = có nghiệm bội lẻ Do đó, hàm số y =  f ( x ) có điểm cực trị TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài 1.1.6 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm 0;6 Đồ thị hàm số y = f  ( x ) đoạn 0;6 cho hình bên Hỏi hàm số y =  f ( x ) có tối đa cực trị đoạn 0;6 2022 Giải: Từ đồ thị ta suy f ( x ) = có tối đa nghiệm, f  ( x ) = có nghiệm Do đó, hàm số y =  f ( x ) có tối đa điểm cực trị Bài 1.1.7 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm 2022 cực trị hàm số y = f ( x + − x ) Giải: Điều kiện  x  Xét hàm số g ( x ) = f ( x + − x )  g  ( x ) = f  ( x + − x )    −  8− x   x Từ đồ thị ta có f ( x ) =  x = a, x = 2, x = hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị ( ) ( b  a;2 ,c  2;4 f ( )  x + 8− x =  x + 8− x =   x + 8− x = 2   x + − x = a  0; 2  ) ( )   x = − = x =   8− x g ( x) =   x    x + − x = b  a; 2  f  x + − x =  f  x + 8− x =   x + − x = c  2;  ( ) ( ) ( ( ) ) Xét hàm số h( x) = x + − x TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hơn phương trình (1) ; ( ) ; ( 3) có nghiệm phân biệt nghiệm ln đơi khác khác −1 Hàm số có nhiều điểm cực trị y = có nhiều nghiệm  (1) ; ( ) ; m −   có nghiệm phân biệt  m +   m  m +   Kết hợp điều kiện m   −2019; 2019 , m Suy m  3; 4; ; 2018; 2022  Có tất 2020 giá trị m Khi đó, hàm số y = f ( x + − m ) có điểm cực trị Bài 2.3.4 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( )  Đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ bên Gọi m, n số điểm cực đại, số điểm cực tiểu hàm số g ( x ) = f ( x ) + x Giá trị m.n A C B D 16 Giải Đặt h ( x ) = f ( x ) + 3x Ta có h ( x ) = f  ( x ) + , h ( 0) = f ( 0) = c  Từ đồ thị ta suy h ( x ) , h ( x ) g ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số g ( x ) có số điểm cực đại m = , số điểm cực tiểu n = , từ m.n = 2.3 = Chọn đáp án C Bài 2.3.5 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) có bảng biến thiên sau: 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hàm số g ( x ) = f ( e2 x − x − ) có điểm cực trị? A B 11 Giải : Ta có g ( x ) = f ( e − x − ) 2x C D (Đề thi thử chuyên thái bình lần năm 2021) (e  g ( x) = 2x − x − )( 2e x − ) e2 x − x − ( f  e2 x − x − ) g  ( x ) không xác định e2 x − x − = (1) x =   e2 x − x − 2x   2e − =   e2 x − x − g ( x) =   2x   f  e − x − =  e2 x − x −   e2 x − x −  ( ) = a  −1 ( Loai ) = b  ( −1;0 )( Loai ) = c  ( 0;1) = d 1 x =  2x ( 2) e − x − = c  ( 0;1)  2x  e − x − = −c  ( −1;0 ) ( 3) e2 x − x − = d , d  ( 4)   e x − x − = − d , − d  −1 ( )  Xét hàm số h ( x ) = e2 x − x − ta có h ( x ) = 2e2 x − =  x = Có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: + Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác + Phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác + Phương trình (3) có nghiệm phân biệt khác + Phương trình (4) có nghiệm phân biệt khác + Phương trình (5) vơ nghiệm Các nghiệm nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) phân biệt 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Do phương trình g  ( x ) = có nghiệm bội lẻ hai điểm không xác định Vậy hàm số y = g ( x ) có tất điểm cực trị Nhận xét: Học sinh bấm máy tìm số nghiệm phương trình (1), (2), (3), (4), (5) để kết luận số điểm cực trị hàm số Bài toán tìm cực trị hàm số y = f ( x) + g ( x) 3.1 Giúp học sinh phát giải vấn đề qua toán cụ thể Bài 3.1.1 Tìm số điểm cực trị hàm số y = x + x + + x − x Giải x + x + 3) Ta có y ' = (2 x + 4)( + 4x −1 | x + 4x + | y' không xác định x2 + x + =  x = −1; x = −3 y' =  (2 x + 4)( x + x + 3) + 4x −1 = | x2 + 4x + |  x  −1 −1 Nếu   x + x +  y ' =  (2 x + 4) + x − =  x = x  −  Nếu −3  x  −1  x + x +  y ' =  −(2 x + 4) + x − =  x = (l ) Có bảng biến thiên hàm số x − y' − −1 −3 y' y' − + + + + y Dựa vào bảng biến thiên hàm số có điểm cực trị Nhận xét Đối với toán dạng ý tìm số nghiệm phương trình y ' = điểm y ' khơng xác định chưa kết luận số điểm cực trị hàm số Ta phải giải đầy đủ bước theo quy tắc Ta tìm hiểu quy luật đổi dấu hàm số y’ kết luận số điểm cực trị Trong y ' đổi dấu nghiệm y ' = Bài 3.1.2 Tìm số điểm cực trị hàm số y = x − x − + x + Giải x − x − 3) Ta có y ' = (2 x − 2)( +5 | x − 2x − | y'  x = −1 x = không xác định x − x − =   41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com y' =  (2 x − 2)( x − x − 3) + =  (2 x − 2)( x − x − 3) + | x − x − |= | x − 2x − | (2 x − 2)( x − x − 3) − 5( x − x − 3) = x  (−1;3)  2 (2 x − 2)( x − x − 3) + 5( x − x − 3) = x  (−; −1)  (3; +)  x = (2 x − 7)( x − x − 3) = x  (−1;3)   x = (2 x + 3)( x − x − 3) = x  (−; −1)  (3; +)  (l ) −3 Có bảng biến thiên hàm số − x − y' −1 + + + + y' + + y Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có điểm cực trị Nhận xét: Tương tự 3.1.1 Trong y ' đổi dấu nghiệm y ' = Bài 3.1.3 Tìm số điểm cực trị hàm số y = x − x + + x Giải x − x + 3) Ta có y ' = (2 x − 4)( +1 | x − 4x + | y' không xác định x2 − x + =  x = 1; x = y' =  (2 x − 4)( x − x + 3) +1 = | x2 − x + | x  3 Nếu   x − x +  y ' =  (2 x − 4) + =  x = (l ) x   Nếu  x   x − x +  y ' =  −(2 x − 4) + =  x = x − y' y' + + + − + + 13 y Vậy hàm số có ba điểm cực trị Nhận xét: Trong y ' đổi dấu hai điểm không xác định x = 1; x = nghiệm x =  (1;3) 42 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài 3.1.4 Tìm số điểm cực trị hàm số y = x − − 3x + x Giải : Ta có y ' = x.(2x − 1) − x + | x − 1| y'  x = −1 x = không xác định x − =   y' =  x.( x − 1) − 6x + = | x − 1| x  Nếu   x −  y ' =  x − x + =  x =  x  −1 Nếu −1  x   x −  y ' =  −2 x − x + =  x = x − −1 + + y' + + y' 43 − y − − Lúc dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có ba điểm cực trị Nhận xét: Trong y ' đổi dấu điểm thuộc nghiệm y ' = tính điểm y ' khơng xác định Bài 3.1.5 Tìm số điểm cực trị hàm số f ( x) = x3 + x − − x + x Giải : x + x − 3) Ta có y ' = (3x + 2).( − 2x + | x + 2x − | y' không xác định x3 + x − =  x = y' =  (3x + 2).( x3 + x − 3) − 2x + = | x3 + x − | Nếu x   y ' =  3x2 + − x + =  3x2 − x + = 0(vn) x = Nếu x   y ' =  − ( 3x + ) − x + =  −3 x − x =   x = −  2 Ta có bảng biến thiên x − − y' y' + + 0 + + y' + y Vậy hàm số có ba điểm cực trị 77 27 43 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận xét: Trong y ' không xác định điểm x = , y ' đổi dấu điểm nghiệm y ' = điểm y ' khơng xác định Ta xét tốn tổng quát tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x) + g ( x) Ta có: y ' = f '( x) f ( x) + g '( x) , y ' không xác định f ( x) = xi f ( x) y' =  f '( x) f ( x) + g '( x) = f ( x) Nếu f ( x)  y' =  f '( x) + g '( x) = (1) Nếu f ( x)  y' =  − f '( x) + g '( x) = (2) Lúc ta tìm nghiệm (1), (2) xi xếp thứ tự qua bảng biến thiên phân tích dấu y ' theo tốn cụ thể Trên khoảng nghiệm f ( x)  dấu y ' dấu f '( x) + g '( x) Trên khoảng nghiệm f ( x)  dấu y ' dấu − f '( x) + g '( x) Từ kết luận số điểm cực trị trực tiếp thông qua bảng biến thiên Từ ví dụ cụ thể nhìn tổng qt đổi dấu y ' qua trường hợp toán Bài 3.1.6 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x − x , x   −2; 2 Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x) = f ( x) − x − ? Giải Ta có: g' ( x ) = f '( x) − g'( x) x ( x − 1) x2 −1 = x − x2 − x ( x − 1) x2 −1 không xác định x − =  x = 1 g' ( x ) =  x − x − 2 x ( x − 1) x2 −1 =0 1  x  Nếu  g'( x) =  x − x − x =  x  −2  x  −1 Nếu −1  x  g'( x) =  x − x + x =  x g' ( x ) = ( ( ) − x − =  x = 0(l ) ) − x2 + =  x = có nghiệm thuộc khoảng (−1;1) suy g'( x) đổi dấu qua nghiệm hai điểm không xác định x = 1 nên hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị 3.2 Bài tốn phát triển có chứa tham số Bài 3.2.1 Cho hàm số f ( x) = ( x2 − x) , với m tham số thực, có giá trị nguyên m  (−10;10) để hàm số g ( x) = f ( x ) + 3x + m có điểm cực trị? Giải: Ta có : g' ( x ) = f ( x) f '( x) +3 | f ( x) | 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com g '( x ) không xác định f ( x) = ( x2 − x) =  x = 0; x = g' ( x ) =  f ( x) f '( x) +3= | f ( x) | x  Nếu  g '( x) =  f '( x) + =  x + =  x = − x  Nếu  x  g '( x) =  − f '( x) + =  −2 x + =  x = (l ) Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x) = f ( x ) + 3x + m − x − g '( x) + + + y' + + + g ( x) − +m Dựa vào bảng biến thiên để hàm số có ba điểm cực trị đồ thị 1 g ( x) = f ( x ) + 3x + m cắt trục hoành hai điểm phân biệt  − + m   m  4 m nguyên m  (−10;10) nên có m { − 9; ;0} Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn toán Bài 3.2.2 Cho hàm số f ( x) = ( x3 − 3x2 ) , với m tham số thực, có giá trị nguyên m  [ − 2022; 2022] để hàm số g ( x) = f ( x ) − x − x + m có điểm cực trị? Giải: Ta có: f ( x) = ( x3 − 3x2 )  f '( x) = 3x2 − x g' ( x ) = g '( x ) f ( x) f '( x) − 2x −1 | f ( x) | không xác định f ( x) = ( x3 − 3x2 ) =  x = 0; x = g' ( x ) =  f ( x) f '( x) − 2x −1 = | f ( x) | Nếu x  g '( x) =  f '( x) − x − =  3x − x − =  x =  19 (l ) x = Nếu x  g '( x) =  − f '( x) − x − =  −3x + x − x − =   x =  Bảng biến thiên hàm số x − y' y' y' + + + − + + m y −4 +m 27 −12 + m 45 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Dựa vào bảng biến thiên để hàm số có năm điểm cực trị đồ thị g ( x) = f ( x ) − x − x + m cắt trục hoành hai điểm phân biệt m   m nguyên m  [ − 2022; 2022] nên m { − 2022; ;0;1; ;11}  −12 + m   −4 + m 27  Vậy có 2034 giá trị m thỏa mãn tốn Bài 3.2.3 Tính tổng tất giá trị nguyên m  [ − 5;5] để hàm số f ( x) = x + − 2m x − m + có điểm cực trị? Giải: Ta có: đặt hàm số g ( x ) = x − m +  g '( x) = f '( x) = x − 2m g( x).g'( x) | g( x) | không xác định g( x) = ( x − m + 6) =  x = m − f '( x) f '( x) =  x − 2m g( x).g'( x) =0 | g( x) | Nếu x  m − f '( x) =  x − 2m =  x = m Nếu x  m − f '( x) =  x + 2m =  x = −m Để hàm số có ba điểm cực trị f '( x) = có nghiệm x = m, x = −m thỏa mãn m  m −  2m   m  m  [ − 5;5] nguyên nên m = 4, m = −m  m − Suy có  Vậy tổng giá trị Bài 3.2.4 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x − x , x  − 8;  Có tất giá trị nguyên m  [ − 2022; 2022] để hàm số g ( x) = f ( x) − x − m có điểm cực trị? Giải: Ta có: g' ( x ) = f '( x) − g'( x) x ( x2 − m ) x2 − m = x 8− x − 2x ( x2 − m ) x2 − m không xác định x2 − m =  x =  m ( m nguyên dương) g' ( x ) =  x − x − 2x ( x2 − m ) x2 − m =0 Xét trường hợp m  ta có: x  m Nếu   x  − m ) (  x = 0(l ) (1) x =   g'( x) =  x − x − x =  x − x − =   ( ) Nếu − m  x  m g'( x) =  x − x + x =  x − x + =  x = 0(t/ m) Để hàm có ba điểm cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt hay m    m  46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xét trường hợp m = ta có: g ( x) = f ( x) − x2  g'( x) =  x − x − x = x ( ) x = − x2 − =   suy  g'( x) = có ba nghiệm g'( x) đổi dấu qua  x = 2 ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị Xét trường hợp m   x2 − m  0, m nên ta có g ( x) = f ( x) − ( x − m )  g'( x) =  f '( x) − x =  x g'( x) ( ) x = − x2 − =   suy  g'( x) = có ba nghiệm  x = 2 đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị 0  m  Vậy  m  Vì m nguyên m  [ − 2022; 2022] nên có 2026 giá trị m thỏa mãn 3.3 Các toán liên quan Bài 3.3.1 Cho hàm số f ( x) = x − 2m x − m + + m3 − m2 + Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ − 20; 20] để hàm số cho có điểm cực trị? A 23 B 40 C 20 D 41 (Đề thi thử trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2020) Giải: Ta có f ( x) = x − 2m x − m + + m3 − m2 +  f '( x) = x − 2m.( x − m + 5) x−m+5 không xác định x − m + =  x = m − Nếu x  m − f '( x) =  x − 2m =  x = m (t/m) (1) Nếu x  m − f '( x) =  x + 2m =  x = −m (2) Từ (1) hàm số có điểm cực trị x = m nên để hàm số có điểm cực trị f '( x) (2) vô nghiệm suy −m  m −  m  Vậy có 23 giá trị nguyên m thỏa mãn toán Bài 3.3.2 Cho hàm số y = x − x + m + + x − Gọi S tập giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  −18;18 để hàm số có có điểm cực đại Tính tổng phần tử S ? Giải: Xét hàm số f ( x) = x2 − x + m + tam thức bậc hai có  ' = − m y = f ( x) + x − TH1:  ' = − m   m  ta có y = x2 − x + m + parabol có điểm cực tiểu (loại)  x = − − m = x1 TH2:  ' = − m   m  f ( x) = x − x + m + =    x = + − m = x2 47 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com y' = f ( x) f '( x) +2 | f ( x) | f '( x) không xác định x = x1; x = x2  x − x + m + x − x + m +  2 x − x − x + m +  y=  y' =  2 − x + x − m − x − x + m +  −2 x + x − x + m +   x = x − x + m +   y' =    x = x − x + m +  Nếu  m    x1  x2 có bảng biến thiên x − y' x1 y' + + + + x2 + + y Lúc hàm số có cực trị (loại) Nếu m =  = x1  x2 có bảng biến thiên x − y' + x2 + + y' + + y Hàm số có cực trị (loại) Nếu m   x1   x2 có bảng biến thiên x − y' x1 y' + + + x2 − + + y Hàm số có điểm cực đại (thỏa mãn tốn) Vậy m  m nguyên thuộc đoạn  −18;18 nên m { − 18; −17; ; 2} Tổng S = −168 Bài 3.3.3 Cho hàm số f ( x) = x − x + + mx Có giá trị nguyên tham số m để hàm số có ba điểm cực trị? Giải: 48 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta có f '( x) = f '( x) (2 x − 4) ( x − x + 3) x2 − x + +m không xác định x2 − x + =  x = 1; x = x  4−m Nếu  f '( x) =  x − + m =  x = x  Nếu  x  f '( x) =  −2 x + + m =  x = Xét m  −2  m+4 4−m  có bảng biến thiên x − y' 4−m − y' y' + + + + y 4−m = ) Tương tự hàm số có điểm cực trị 4−m  có bảng biến thiên Xét m   4−m x − (Với m = −2  y' y' + + + + + + y 4−m = ) Tương tự hàm số có điểm cực trị m+4  có bảng biến thiên Xét −2  m    ( Với m =  x − y' y' + + 4+m + − + + y Hàm số có ba điểm cực trị Vậy −2  m  suy có ba giá trị m { − 1;0;1} thỏa mãn Do khuôn khổ đề tài nên nội dung 1.3 tốn dạng khơng giải chi tiết nội dung 3.3 nêu toán liên quan dạng 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy tùy lớp đối tượng học sinh lựa chọn phần dạy dạng tập thích hợp + Đối với học sinh trung bình tơi lựa chọn dạy từ hoạt động sách giáo khoa dẫn đến tốn tìm số cực trị hàm số chúa dấu giá trị tuyệt đối mục 1.1; 2.1; 3.1 cho học sinh qua tập cụ thể để nhận biết vấn đề Tôi lựa chọn giải thích vấn đề đồ thị vẽ trực tiếp GeoGebra, sau học sinh nhận xét dạng đồ thị hàm trị tuyệt đối, nhận xét dạng đồ thị y = f ( x) + m hay đồ thị y = f ( x + m) biết đồ thị y = f ( x) + Đối với học sinh lựa chọn dạy đến mục 1.2; 2.2, 3.2 từ tập cụ thể học sinh nhận biết giải thích vấn đề đồ thị chuyển tiếp cho học sinh dùng bảng biến thiên vào giải tập + Đối với học sinh giỏi lựa chọn dạy hết mục yêu cầu học sinh phát triển dạng tốn hay tập tương tự Học sinh phải thực linh hoạt toán dựa đồ thị bảng biến thiên Đề tài áp dụng năm học 2021-2022 vào số lớp 12 trường đánh giá có hiệu Trong q trình giảng dạy thân đồng nghiệp, nhận thấy học sinh hứng thú quan tâm nội dung sách giáo khoa Học sinh tìm hiểu vấn đề đưa từ sách giáo khoa phát triển thành dạng toán Năm học 2021 – 2022 chọn áp dụng đề tài đối tượng học sinh trường cụ thể chọn hai thực nghiệm lớp 12A1, 12A10 ( Trong lớp 12A1 lớp có học lực tốt) hai lớp đối chứng lớp 12A5, 12A12 ( Trong lớp 12A5 lớp có học lực tốt) lớp có số lượng học sinh, chất lượng tương đương Qua hai kiểm tra 15 phút hình thức trắc nghiệm hai kiểm tra 45 phút theo hình thức trắc nghiệm kết hợp tự luận, thu kết sau: Lớp Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Tiêu chí ( Tổng số học sinh: 85 em ) ( Tổng số học sinh: 86 em ) Điểm < 0,5% 3,5% Điểm từ đến < 3,7% 6,8% Điểm từ đến < 46,9% 57,6% Điểm từ đến 10 48,9% 32,1% Qua bảng kết thực nghiệm cho thấy việc áp dụng đem lại kết cao, học sinh có học lực giỏi 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Với kết thu bước đầu cho phép kết luận rằng: Việc dạy học mơn tốn bám sát nội dung triển khai sách giáo khoa giáo viên cần định hướng giúp học sinh hiểu phát triển nội dung với dạng tốn cần thiết Giúp em học tập chủ động qua tìm hiểu sách giáo khoa Từ em quan tâm tìm hiểu sách giáo khoa nhiều hơn, hiểu nội viết cách sâu sắc phát triển nội dung dạng tốn liên quan có dạng tập Rồi em lại tiếp tục tìm hiểu qua nguồn tài liệu khác cách hứng thú Muốn dạy học sinh dạng toán nên từ tốn cụ thể từ giúp học sinh hiểu phát triển lực giải toán phức tạp KIẾN NGHỊ Kết thực nghiệm cho thấy việc việc áp dụng đề tài vào dạy học cho kết cao, mở rộng áp dụng đề tài cho trường THPT Đề tài tài viết xuất phát từ thực tế giảng dạy đúc rút kinh nghiệm thân với mong muốn học sinh chủ động học tập tìm hiểu sách giáo khoa, với giúp đỡ giáo viên học sinh hiểu phát triển dạng toán từ vấn đề nêu sách Mặc dù có nhiều cố gắng song hẳn đề tài cịn nhiều hạn chế, kính mong đực góp ý kiến, phê bình đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện thực bổ ích, góp phần nâng cao hiệu dạy học Tơi xin chân thành cảm ơn! Diễn Châu ngày 22 tháng năm 2022 Tác giả 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa giải tích 12, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Sách tập giải tích 12, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam http://www.baigiang.violet.vn https://toanmath.com Một số tài liệu đồng nghiệp tìm hiểu từ nguồn mạng internet Đề thi THPT Quốc gia đề thi TN THPT năm từ năm 2017 đến năm 2021 Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 52 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ: PHẦN II NỘI DUNG .3 I CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN .3 II BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Hoạt động mở đầu Bài toán cực trị hàm số y = f ( x) .5 1.1 Giúp học sinh phát giải vấn đề qua toán cụ thể 1.2 Bài toán phát triển có chứa tham số dạng hàm ẩn có chứa tham số 16 1.3 Các toán liên quan 21 Bài toán cực trị hàm số y = f ( x ) 24 2.1 Giúp học sinh phát giải vấn đề qua toán cụ thể 24 2.2 Bài tốn phát triển có chứa tham số dạng hàm ẩn có chứa tham số 30 2.3 Các toán liên quan 36 Bài toán cực trị hàm số y = f ( x) + g ( x) 41 3.1 Giúp học sinh phát giải vấn đề qua toán cụ thể: 41 3.2 Bài tốn phát triển có chứa tham số dạng hàm ẩn có chứa tham số 44 3.3 Các toán liên quan 47 IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 50 PHẦN III KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... ? ?Giúp học sinh phát triển lực giải toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ hoạt động sách giáo khoa ” Trong viết tác giả từ hoạt động sách giáo khoa để giúp học sinh phát triển lực giải. .. tự học, giúp cho em hứng thú khám phá phát triển tìm hiểu vấn đề qua nội dung sách III GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ MỘT... ĐỐI TỪ MỘT HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA Mở đầu: Hoạt động dẫn tới tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Chứng minh hàm số y =| x | khơng có đạo hàm x = Hàm số có đạt cực trị điểm