CHỦ ĐỀ 1 CÔNG THỨC LŨY THỪA I KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương Cho và Khi đó (n thừa số a) Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho và Ta có Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương Chú ý và không có nghĩa 2 Căn bậc n Cho số thực b và số nguyên dương Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu Khi n lẻ, Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là Khi n chẵn và thì không tồn tại căn bậc.
CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA I KHÁI NIỆM LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương Cho a ∈ ¡ n ∈ ¥ * Khi a n = a.a.a a (n thừa số a) Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ −n Cho a ∈ ¡ \ { 0} n ∈ ¥ * Ta có: a = ;a = an Lũy thừa với số mũ nguyên có tính chất tương tự tính chất lũy thừa với số mũ nguyên dương −n * Chú ý: 00 ( n ∈ ¥ ) khơng có nghĩa Căn bậc n Cho số thực b số nguyên dương n ≥ Số a gọi bậc n số b a n = b Khi n lẻ, b ∈ ¡ : Tồn bậc n số b n b Khi n chẵn b < khơng tồn bậc n số b Khi n chẵn b = có bậc n số b Khi n chẵn b > có bậc n số thực b n n = b − n b Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho số thực a > số hữu tỷ r = m m , ú m Â; n Ơ , n ≥ Khi a r = a n = n a m n Lũy thừa với số mũ vô tỷ rn = α Khi Giả sử a số dương α số vô tỷ ( rn ) dãy số hữu tỷ cho nlim →+∞ lim a rn = aα n →+∞ II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho hai số dương a; b m; n ∈ ¡ Khi ta có cơng thức sau Nhóm cơng thức 1 a m a n = a m + n am = a m−n m = ⇔ n = a − n ÷ n a a ( a m ) = a m.n Nhóm cơng thức m a n = n a m = n m a n b n = ( ab ) , n a n b = n ab n n Tính chất 1: a = 1( a ≠ ) a1 = a ( a) n an a n a n a = ÷ , = bn b n b b a > 1; a m > a n ⇔ m > n Tính chất (tính đồng biến, nghịch biến): m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n a m > bm ⇔ m > Tính chất (so sánh lũy thừa khác số): Với a > b > m a < b ⇔ m < Ví dụ 1: Cho biểu thức P = x x x3 , với x > Mệnh đề sau đúng? 13 Ta có: 13 13 A P = x 12 B P = x 24 3 13 C P = x Lời giải 7 13 D P = x 13 P = x x x = x x x = x x = x.x = x = x 12 Chọn A x x x = x n với x > Tìm n Ví dụ 2: Biết B n = A n = C n = D n = Lời giải Ta có: 1 5 1 + x x x = x x x = x x = x x = x = x Chọn C 23 Ví dụ 3: Cho biểu thức P = x x k x3 , với x > Biết P = x 24 , giá trị k bằng: A k = B k = C k = Lời giải 23 23 D k = 11 Ta có: P = x x k x = x 24 ⇒ x x k x = x 12 ⇔ x k x = x 12 11 x x =x ⇔ x =x k k 11 −2 Ví dụ 4: Cho biểu thức P = k ⇔ x = x ⇔ k = Chọn D ( a 2+ a1− a1+ B P = A P = a ) 1+ , với a > Mệnh đề sau đúng? a D P = C P = a a Lời giải Ta có: P = ( a 2+ a1− 1+ a ) 1+ = a 2+ a ( 1− )( 1+ ) 1+ a = a 2+ a −2 1+ a = a 1+ a = Chọn B a m Ví dụ 5: Cho biểu thức P = a b a = a ÷ với a; b > Tìm m b a b b A m = 24 B m = 12 C m = − 12 D m = − 24 Lời giải Đặt x = a b −1 1 3 3 −1 − ⇒ = x −1 Khi −1 2 8 24 P = x x x = x x x = x x = x.x = x = x b a 24 Do P = a b a = a ÷ ⇒ m = Chọn A b a b b 24 Ví dụ 6: Cho biểu thức với Q = a b a; b > Mệnh đề sau đúng? ab A Q = a a b B Q = C Q = ab D Q = a b Lời giải Ta có: Q = a b ab 7 a b = = ( ab ) a b a b = a Chọn A Ví dụ 7: Cho x số thực dương, viết biểu thức Q = x x x dạng lũy thừa với số hữu tỉ A Q = x 36 C Q = x B Q = x D Q = x Lời giải Ta có: Q = x x x = x.x x = x x = x Chọn C Ví dụ 8: Cho biểu thức P = x x x3 với x > Mệnh đề đúng? A P = x B P = x C P = x Lời giải D P = x 15 Ta có: P = x x x = x x x = x x ÷ = x ÷ = x Chọn C a ( a −2 b3 ) b −1 Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức T = A T = a b6 −1 B T = a b a ( a −2 b3 ) b−1 Ta có: T = ( a b ) ( a b ) −1 a −5 b −2 Ví dụ 10: Biết xa x = a −5 b −2 với a, b hai số thực dương C T = a b Lời giải D T = a b a a −4 b b −1 a −2 b5 = = a b Chọn D a −3 b a −5 b −2 a −8 b b2 = x với x > a + b = Tính giá trị biểu thức P = a − b B P = A P = Ta có: xa x b2 = x9 ⇔ x a −b C P = Lời giải D P = x >1 = x9 → a − b2 = ⇔ ( a + b ) ( a − b ) = ⇔ a − b = Ví dụ 11: Cho x, y > Biết A x x x = y n Tính m − n y = x m y y B 9 = = Chọn B a+b D −2 C Lời giải Ta có: x −8 −2 1 x3 = x = x x = x.x = x = x ⇒ m = x x x3 −2 1 13 13 −2 2 3 6 = y y y = y y y = y y = y y = y ⇒n= y Lại có: y y Do đó: m − n = −2 Chọn D ( Ví dụ 12: Giá trị biểu thức P = + A P = + ) ( − ) 2018 B P = − 2019 bằng: C P = 10 − D P = 10 + Lời giải ( )( ) Ta có: + − = 25 − 24 = ( ) ( 2018 Do đó: P = + 5−2 ) ( 2019 ( Ví dụ 13: Giá trị biểu thức M = + 2 ( )( ) ( 2019 ) −4 ) 2018 2018 ( ) − = − Chọn B bằng: ( 1009 B − 2 A 21009 ) = 5+2 5−2 ) ( 1009 C + 2 Lời giải ( ) ( Ta có: − = − 2 ⇒ M = + 2 ( )( ) ( Lại có: + 2 − 2 = 32 − 2 ( ) ) ( ) ( − 2 ) 2019 2018 ( = − = nên + 2 2018 ) ( − 2 ) 2018 2018 = ) 1009 Do đó: M = − 2 Chọn C Ví dụ 14: Cho x = Giá trị biểu thức T = x +1 + 22− x bằng: A 504 B 104 C 104 25 Lời giải Ta có: T = x +1 +2 2− x 22 4 504 Chọn A = 4 + x = ( x ) + x = 4.52 + = 2 5 x ) D + 2 D 504 25 Ví dụ 15: Cho x + 4− x = 34 Tính giá trị biểu thức T = A T = B T = 11 x + 2− x − − x +1 − 21− x C T = −3 11 D T = 13 Lời giải Ta có: x + 4− x = 34 ⇔ 22 x + + 2−2 x = 36 ⇔ ( x + 2− x ) = 36 ⇔ x + − x = (Do x + 2− x > ) Khi đó: T = 6−3 −3 = = Chọn C x −x − ( + ) − 2.6 11 Ví dụ 16: Cho hàm số f ( x ) = A T = 9x , với a, b ∈ ¡ a + b = Tính T = f ( a ) + f ( b ) 9x + B T = C T = −1 Lời giải D T = a 9 + 1−a = a + Ta có: T = f ( a ) + f ( b ) = f ( a ) + f ( − a ) = a +3 +3 +3 +3 9a 1− a a a 9a 9a + = + a = Chọn B a a a + + 3.9 +3 +3 Tổng quát: Cho hàm số f ( x ) = ax ta có f ( x ) + f ( − x ) = ax + a 4x Ví dụ 17: Cho hàm số f ( x ) = x +2 Tính tổng S = f ÷+ 2005 A S = 1002 f ÷+ + 2005 B S = 2004 f ÷+ 2005 3008 2005 f ÷ 2005 D S = C S = 1003 2005 Lời giải ax Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số f ( x ) = x ta có f ( x ) + f ( − x ) = a + a Khi S = f ÷+ 2005 2004 f ÷ + f ÷+ 2005 2005 = + + + + f ( 1) = 1002 + 2003 f ÷ + + f 2005 1002 ÷+ 2005 1003 f ÷ + f ( 1) 2005 3008 = Chọn B x +1 + x −1 x +1 − x −1 + Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức Q = ÷ với x > ta x x +1 − x −1 x +1 + x −1 ÷ A Q = B Q = x C Q = Lời giải D Q = −2 Ta có: Và ( ( ) ( x +1 + x −1 + )( x ) 1x + + x − = x + − x + = ) ( x +1 − x − ) ( 1x + + x +1 + x −1 + ( = 2x + x2 −1 + 2x − x2 −1 = 4x ) x +1 − x −1 ( Suy Q = x +1 − x −1 x +1 − Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức T = A T = a ) x −1) x −1 4x = = Chọn C x a− b a + ab − ta a−4b 4a+4b B T = b C T = a + b D T = − b Lời giải a) −( b) Ta có: T = ( 4 a− b 4 − a ( 4 a+4b a+ b )= a + b − a = b Chọn B a + ab Ví dụ 20: Cho a, b hai số thực khác Biết ÷ 125 A 76 21 B C = ( 625 ) a −10 ab Tính tỉ số 21 D a b 76 Lời giải a + ab ( ) a −10 ab 4 = 53 ÷ −3 a + ab ) a −10 ab ) ⇔ ( 5) ( = ( 5) ( Ta có: ÷ 125 = ⇔ −3 ( a + 4ab ) = 3a − 10ab ) ⇔ ( 3a − 10ab ) + ( a + 4ab ) = ( 3 625 a −10 ab ⇔(5 a = Chọn C b 21 a ,b ≠ ⇔ 21a = 4ab → 21a = 4b ⇒ Ví dụ 21: Cho x + 9− x = 14, A P = 10 ) −3 a + ab + ( 3x + 3− x ) − 3x +1 − 31− x B P = −10 = a ( a phân số tối giản) Tính P = ab b b C P = −45 Lời giải Ta có: x + 9− x = ( 3x + 3− x ) − = 14 ⇒ 3x + 3− x = Suy + ( 3x + 3− x ) 2−3 x +1 1− x −3 = + ( x + 3− x ) − 3( + x −x ) = + 3.4 = − ⇒ P = ab = −45 Chọn C − 3.4 D P = 45 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho < a ≠ biểu thức A n = 11 n a a viết dạng a Tìm n B n = C n = D n = Câu 2: Cho biết Q = a a với a > 0, a ≠ Khẳng định đúng? A Q = a 11 B Q = a C Q = a (a ) Câu 3: Cho < a ≠ Rút gọn P = D Q = a a a 17 A P = a 23 B P = a C P = a D P = a 4 Câu 4: Rút gọn biểu thức với P = x x x với x > x3 112 A P = x 13 B P = x 60 211 C P = x 18 D P = x 60 Câu 5: Với x > , rút gọn biểu thức P = x x x x x : x 16 13 A P = x 32 Câu 6: Biết A M = 18 B P = x 32 xa x b2 = x16 với x > a + b = Tính giá trị biểu thức M = a − b C M = B M = 14 B T = ( D M = y b b b dạng b Tính T = x + 12 y 12 Câu 8: Giá trị biểu thức P = + A 121008 D P = x 32 Câu 7: Cho a, b > , viết a a dạng a x A T = 17 C P = x 48 D T = C T = 14 ) ( 3− 3) 2016 2016 bằng: ( C + B 41008 ) 1008 ( D − ) 1008 Câu 9: Cho a số dương, biểu thức a a viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A a B a C a D a Câu 10: Viết biểu thức Q = x x x5 với x > dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? A Q = x B Q = x C Q = x Câu 11: Cho số thực a dương Rút gọn biểu thức P = a a a a D Q = x 1 A P = a 14 11 B P = a 120 13 C P = a 40 D P = a 60 11 Câu 12: Viết biểu thức A = a a a : a với a > dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 21 23 B A = a −12 A A = a 44 23 D A = a − 24 C A = a 24 m Câu 13: Biết A m = 15 b a a = ÷ với a, b số thực dương Tìm m a b b 15 B m = C m = D m = − 15 Câu 14: Viết biểu thức P = A P = a a 2a a a , ( a > ) dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ B P = a C P = a D P = a a b Câu 15: Cho a, b hai số thực dương Thu gọn biểu thức T = A T = a b2 Câu 16: Với a > biểu thức P = A P = a C T = B T = ab a +1 a 2− (a ) −2 − ab b a D T = a b rút gọn là: +2 B P = a D P = a C P = a 4 Câu 17: Cho x > 0, y > Viết biểu thức x x x = x m y : y y = y n Tính m − n A 11 B − C − 11 D Câu 18: Cho x = Tính A = 25 x + 52− x A A = 13 B A = Câu 19: Cho Cho x + 9− x = 14, A P = 10 75 C A = + ( 3x + 3− x ) 2−3 x +1 1− x −3 = 33 D A = 29 a ( a phân số tối giản) Tính P = ab b b B P = −10 C P = −45 D P = 45 Câu 20: Cho a, b số thực thỏa 3.2a + 2b = 5.2a − 2b = Tính S = a + b A S = B S = Câu 21: Cho hàm số f ( x ) = A 59 2x Tổng f ( ) + 2x + B 10 C S = 1 f ÷+ + 10 C 19 D S = 18 f ÷+ 10 19 f ÷ 10 D 28 ( Câu 22: Giá trị biểu thức P = − ( A − ) 1009 B 192018 ) ( 13 + ) 2018 2018 ( C 13 − 3 ) 1009 ( D 16 + Câu 23: Viết biểu thức P = x x x ( x > ) dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 61 A P = x 30 117 B P = x 30 113 C P = x 30 83 D P = x 30 ) 2018 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 13 34 3 Chọn C a a = a.a ÷ = a ÷ = a 1 10 Câu 2: Q = a a ÷ = a ÷ = a Chọn A Câu 3: P = a12 a Câu 4: P = 12 − =a x x x x Câu 5: 17 = a Chọn B x = 11 x = x Chọn A 3 x x x x = x x x.x = x x x 15 15 31 31 31 = x x.x = x x = x.x 16 = x 16 = x 32 ⇒ P = x 32 Câu 6: x16 = x a −b2 Chọn B = x 2( a −b ) ⇒ a − b = Chọn C 1 3 3 3 Câu 7: a x = a a = a ⇒ x = ; b y = b b ÷ = b.b ÷ = b ÷ = b 12 ⇒ b = Chọn C ÷ 12 ( )( ) Câu 8: P = + 3 − 2 5 2016 ( = ) 2016 = 121008 Chọn A Câu 9: a a = a a = a Chọn B Câu 10: Q = x x x = x Chọn B ( Câu 11: P = a a a ) = a a2 1 1 11 11 ÷ = a.a ÷ = a ÷ = a 40 Chọn C ÷ 1 11 11 2 23 − 11 11 Câu 12: A = a a ÷ : a = a.a ÷ : a = a ÷ : a = a : a = a 24 Chọn D ÷ 1 2 15 5 15 Câu 13: Ta có a ÷ = b a ÷ = b ÷ = b ÷ ⇒ m = − Chọn D a b ÷ a 15 b a m Câu 14: Ta có P = a a a a = a Chọn B 76 16 − 23 26 a Câu 15: T = a : a ÷ b : b ÷ = Chọn D b a3 Câu 16: P = −2 = a Chọn A a Câu 17: ( x ) m 24 = x x x = x x Câu 18: A = ( ) + 103 10 24 − 12 103 n 10 ⇒m= ; ( y ) = y : y y ÷ = y ⇒ n = − Chọn A 60 60 25 33 = Chọn C 5x x −x x −x Câu 19: ( + ) = 14 + = 16 ⇒ + = ⇒ a + 3.4 = = − Chọn C b − 3.4 2a = 2 a = ⇔ Câu 20: Ta có: b Chọn B b = = Câu 21: Với a + b = f ( a ) + f ( b ) = Lưu ý: 2a 2b 2.2 a +b + 2.2 a + 2.2b + = = 2a + 2b + 2a +b + 2.2a + 2.2b + 19 59 + = ⇒ P = f ( ) + f ( 1) + 9.1 = Chọn A 10 10 Câu 22: P = ( − ) 2018 ( 13 + ) 113 2018 = 192018 Chọn B Câu 23: P = x x x = x 30 Chọn C ... + B 10 C S = ? ?1? ?? f ÷+ + 10 C 19 D S = 18 f ÷+ 10 19 f ÷ 10 D 28 ( Câu 22: Giá trị biểu thức P = − ( A − ) 10 09 B 19 2 018 ) ( 13 + ) 2 018 2 018 ( C 13 − 3 ) 10 09... biểu thức P = a a a a D Q = x 1 A P = a 14 11 B P = a 12 0 13 C P = a 40 D P = a 60 11 Câu 12 : Viết biểu thức A = a a a : a với a > dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 21 23 B A = a ? ?12 A... 11 ÷ = a.a ÷ = a ÷ = a 40 Chọn C ÷ 1 11 11 2 23 − 11 11 Câu 12 : A = a a ÷ : a = a.a ÷ : a = a ÷ : a = a : a = a 24 Chọn D ÷ 1 2 15 5 ? ?15