Dao động của dầm FGM liên tục có vết nứt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỖ NAM DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỖ NAM DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜINGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm PGS.TS Phạm Mạnh Thắng: GSSKH Nguyễn Tiến Khiêm Hà Nội - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tác giả luận án xin cam đoan luận án bao gồm kết nghiên cứu nghiên cứu sinh hướng dẫn thầy hướng dẫn giúp đỡ đồng nghiệp, kết người khác trích dẫn đầy đủ Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021 Tác giả luận án Đỗ NamGS.TSK bảo hỗ trợ việc nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả cảm ơn đồng nghiệp Trường Đại học Công nghệ, Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật Tự động hóa nhiệt tình giúp đỡ q trình làm nghiên cứu sinh Khoa LỜI CẢM ƠN Tác giả chân thành cảm ơn Trường Đại học Công nghệ, Khoa Cơ học Kỹ thuật Tự động hóa tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh hồn thành luận án Đồng thời nghiên cứu sinh đặc biệt cảm ơn thầy hướng dẫn, GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS.TS Phạm Mạnh Thắng tận tình động viên, bảo hỗ trợ việc nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả cảm ơn đồng nghiệp Trường Đại học Công nghệ, Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật Tự động hóa nhiệt tình giúp đỡ q trình làm nghiên cứu sinh Khoa MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .i DANH MỤC BẢNG iii DANH MỤC HÌNH VẼ iv MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Vật liệu FGM ứng dụng 1.2 Dao động dầm liên tục (dầm có gối trung gian) 1.3 Dao động dầm có vết nứt 1.3.1 Dầm đồng có vết nứt 1.3.2 Dầm FGM có vết nứt 1.4 Đặt vấn đề nghiên cứu 10 Kết luận chương 12 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN 13 2.1 Cơ sở phương pháp ma trận truyền .13 2.2 Phương pháp ma trận truyền cổ điển 14 2.3 Phương pháp ma trận truyền cải biên 19 2.4 Ảnh hưởng gối trung gian đến tần số riêng dầm liên tục .23 Kết luận chương 27 CHƯƠNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CĨ VẾT NỨT 28 3.1 Mơ hình dầm có vết nứt 28 3.2 Hàm dạng dao động tổng quát dầm đồng có vết nứt 32 3.3 Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm liên tục có vết nứt 36 3.4 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng dầm liên tục 39 3.4.1 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng dầm liên tục hai nhịp 40 3.4.2 Ảnh hưởng vị trí vết nứt gối trung gian dầm liên tục hai nhịp 44 3.4.3 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng dầm liên tục ba nhịp 49 Kết luận chương Error! Bookmark not defined CHƯƠNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT .55 4.1 Mơ hình dầm FGM có vết nứt .55 4.1.1 Phương trình dao động dầm FGM .55 4.1.2 Mơ hình vết nứt dầm FGM .58 4.2 Hàm dạng dao động tổng quát dầm FGM có vết nứt .59 4.3 Phương pháp ma trận truyền mở cho dầm FGM liên tục có vết nứt 61 4.3.1 Ma trận truyền cho phần tử dầm FGM gối cứng hai đầu 61 4.3.2 Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục 62 4.4 Kết tính toán số .65 4.4.1 Kiểm chứng phương pháp, thuật toán chương trình .65 4.4.2 Một số đặc tính dao động dầm đơn FGM 69 4.4.3 Ảnh hưởng gối trung gian đến tần số riêng dầm FGM liên tục 82 4.4.4 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng dầm FGM liên tục .84 Kết luận chương 92 KẾT LUẬN CHUNG 93 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Ký hiệu Nguyên nghĩa 𝐼̄12 = 𝑛(𝑅𝜌 − 1) 2ℎ0 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)(𝑅𝜌 + 𝑛) ℎ(𝑛 + 1) Hệ số tương tác dao động dầm FGM ̅(𝑥, 𝜔), 𝑀 ̅ (𝑥, 𝜔), 𝑄̅(𝑥, 𝜔) Biên độ phức nội lực 𝑁 𝛾1 = 𝐸𝐴⁄𝑇 , 𝛾2 = 𝐸𝐼 ⁄𝑅 Độ lớn vết nứt tính từ độ sâu vết nứt 𝛾10 = 𝐸0 𝐴⁄𝑇, 𝛾20 = 𝐸0 𝐼 ⁄𝑅 Độ lớn vết nứt dầm đồng chất [𝐓(𝑥1 , 𝑥2 )] Ký hiệu ma trận truyền  Hệ số Poisson  Hệ số điều chỉnh biến dạng trượt Góc xoay tiết diện ngang Mật độ khối pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt 0 = (t + b)/2 dưới) 𝜃(𝑥, 𝑡 ) , t, b, 𝜔𝑗 , 𝜔̄ 𝑗 = 𝜔𝑗 /𝜔𝑗0 Tần số riêng tần số riêng chuẩn hóa (tỷ số tần số dầm bị nứt tần số riêng dầm nguyên vẹn) CC-beam (CCB) Ký hiệu dầm ngàm hai đầu CF-beam (CFB) Ký hiệu dầm công xôn DSM Phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method) e, a 𝐸, 𝐸𝑏 , 𝐸𝑡 𝐸0 = (𝐸𝑏 + 𝐸𝑡 )⁄2 Vị trí độ sâu vết nứt Mô đun đàn hồi pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dưới) E-FGM Vật liệu tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) FGM Vật liệu tính biến thiên nói chung (Functionally Graded Material) 𝐺= 𝐸 , 2(1+𝑣) ℎ ℎ0 , ℎ̄0 = = ℎ 𝐺, 𝐺𝑏 , 𝐺𝑡 Mơ đun trượt tính từ mơ đun đàn hồi pha vật liệu 𝑛(𝑅1 −1) Vị trí trục trung hịa tính từ trục dầm 2(𝑛+2)(𝑛+𝑅1 ) 𝑘𝑖 Số sóng L, b, h Chiều dài, chiều rộng, chiều cao dầm i Ký hiệu Nguyên nghĩa n Chỉ số phân bố vật liệu (số mũ quy luật hàm lũy thừa) 𝑁(𝑥, 𝑡 ), 𝑀(𝑥, 𝑡 ), 𝑄 (𝑥, 𝑡 ) Lực dọc trục, mô men uốn lực cắt mặt cắt vị trí x P-FGM 𝑟 = 𝑅𝑒 ⁄𝑅𝜌 Vật liệu tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa Hệ số tỷ lệ vật liệu 𝑅𝜌 = 𝜌𝑡 ⁄𝜌𝑏 Tỷ số mật độ khối pha vật liệu (trên/dưới) 𝑅𝑒 = 𝐸𝑡 ⁄𝐸𝑏 Tỷ số mô đun đàn hồi pha vật liệu (trên/dưới) S-FGM Vật liệu tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid SS-beam (SSB) Ký hiệu dầm tựa đơn hai đầu T, R Là độ cứng lò xo dọc trục lò xo xoắn mô tả vết nứt TMM Phương pháp ma trận truyền (Transfer Matrix Method) 𝑈(𝑥, 𝜔), 𝑊 (𝑥, 𝜔), Θ(𝑥, ) Biến đổi Fourrie (biên độ phức) chuyển vị dọc trục, độ võng góc xoay 𝑢(𝑥, 𝑡 ), 𝑤(𝑥, 𝑡) Chuyển vị điểm nằm mặt trung hòa 𝜆𝑗 Nghiệm phương trình đặc trưng ii DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 Tần số dầm hai nhịp (01 gối cứng trung gian) vị trí gối cứng thay đổi 24 Bảng 2.2 Tần số dầm ba nhịp vị trí gối cứng thay đổi 25 Bảng 4.1 So sánh tần số tính phương pháp ma trận truyền (TMM) phương pháp độ cứng động (DSM) trường hợp ℓ/h =5;10 giá trị khác số n 66 Bảng 4.2 Tần số riêng dầm FGM một, hai ba nhịp phụ thuộc vào số phân bố vật liệu n 82 Bảng 4.3 Ảnh hưởng số lượng phân bố vết nứt đến tần số riêng dầm ba nhịp .91 iii DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Sơ đồ hình học vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều dày Hình 2.1 Ảnh hưởng vị trí gối trung gian đến tần số riêng dầm hai nhịp hai trường hợp điều kiện biên (a) SS-beam and (b) CF-beam 26 Hình 3.1 Mơ hình vết cưa 29 Hình 3.2 Mơ hình vết nứt 29 Hình 3.3 Mơ hình vết nứt cạnh 30 Hình 3.4 Mơ hình dầm có nhiều vết nứt .32 Hình 3.5 Mơ hình dầm liên tục có vết nứt 36 Hình 3.6 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số .41 dầm đồng hai nhịp tựa đơn hai đầu .41 Hình 3.7 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số .42 dầm đồng hai nhịp ngàm hai đầu 42 Hình 3.8 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số .43 dầm công xôn đồng hai nhịp 43 Hình 3.9 Ảnh hưởng vị trí gối trung gian vết nứt đến ba tần số 45 dầm hai nhịp tựa đơn hai đầu 45 Hình 3.10 Ảnh hưởng vết nứt vị trí gối trung gian 47 dầm hai nhịp ngàm hai đầu 47 Hình 3.11 Ảnh hưởng vết nứt vị trí gối trung gian 48 dầm công xôn hai nhịp 48 Hình 3.12 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số riêng 51 dầm ba nhịp tựa đơn hai đầu 51 Hình 3.13 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số riêng 52 dầm ba nhịp ngàm hai đầu .52 iv b Dầm FGM liên tục ba nhịp Đối với dầm FGM ba nhịp, tỷ số tần số riêng trình bày Hình 4.17 (ảnh hưởng độ sâu vết nứt) Hình 4.18 (ảnh hưởng số phân bố vật liệu) Nghiên cứu đồ thị hình vẽ thấy: hai gối tựa trung gian điểm nút tần số dầm khớp hai đầu, dầm ngàm hai đầu điểm nút tần số không trùng với gối trung gian Nhưng tốc độ thay đổi tần số qua gối dầm ngàm hai đầu có bước nhảy (đạo hàm khơng liên tục) Điều lý giải việc điều kiện biên hai nhịp hai bên gối khác nên thay đổi tần số khác Đây biểu ảnh hưởng điều kiện biên đến thay đổi tần số dầm đa nhịp có vết nứt Ngồi cịn nhận thấy điểm hai nhịp biên dầm khớp hai đầu nhạy cảm với vết nứt, điểm nhạy cảm với vết nứt điểm dầm hay điểm nhịp trung gian dầm ba nhịp Sự ảnh hưởng tham số vật liệu đến tần số dao động dầm FGM ba nhịp có vết nứt tương tự dầm hai nhịp phân tích (a) 87 (b) Hình 4.17 Tần số (uốn) dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương ứng với các giá trị khác độ sâu vết nứt (a/h) (a) 88 (b) Hình 4.18 Tần số (uốn) dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương ứng với các giá trị khác chỉ số phân bố vật liệu (n) Tính tốn tần số uốn dầm FGM hai ba nhịp có vết nứt cho thấy: gối trung gian không ảnh hưởng đến tần số dao động dọc trục Điều dễ hiểu gối trung gian gối trượt, không ngăn cản chuyển vị dọc trục dầm FGM Hơn nữa, hai trường hợp điều kiện biên khớp ngàm chuyển vị dọc trục dầm bị hạn chế Vì Hình 4.19 trình bày tỷ số tần số dọc trục dầm FGM đa nhịp nói chung phụ thuộc vào tham số vết nứt vật liệu (n) Các đồ thị Hình 4.19 cho thấy tần số dao động dọc trục dầm FGM đa nhịp có điểm nút dầm việc tăng số phân bố vật liệu n làm giảm độ nhạy cảm tần số dọc trục với vết nứt Và trường hợp, độ sâu vết nứt tăng làm giảm mạnh tần số dao động dọc trục 89 (a) (b) Hình 4.19 Tần số dao động dọc trục dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc vào độ sâu vết nứt (a) chỉ số phân bố vật liệu n (b) 90 Ảnh hưởng số lượng vết nứt đến tần số dầm FGM đa nhịp nghiên cứu kết tính tốn tần số riêng dầm ba nhịp theo kịch khác vết nứt trình bày bảng 4.3 Các kịch vết nứt bao gồm nhịp bị nứt, cặp nhịp bị nứt ba nhịp bị nứt Tất vết nứt xảy nhịp có độ sâu 30%, tham số vật liệu n = Bảng 4.3 Ảnh hưởng số lượng phân bố vết nứt đến tần số riêng dầm ba nhịp Stt Số lượng vết nứt (a/h=30%) Một Khơng Vị trí vết nứt 1/6 1/2 Hai 5/6 1/6 -1/2 Ba 1/2 -5/6 1/6-5/6 1/6-1/2-5/6 2.7486 3.5104 4.1888 4.5317 8.1492 2.7794 3.2741 4.0554 4.7058 8.4273 2.6336 3.2741 4.0554 4.4553 8.0509 Dầm tựa đơn hai đầu 3.1173 3.6882 4.3266 4.8049 8.6070 2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196 2.9376 3.6882 4.3266 4.5923 8.2420 2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196 2.7486 3.5104 4.1888 4.5317 8.1492 Dầm ngàm hai đầu 3.6901 3.6042 3.3995 3.6042 3.3331 3.3331 3.5354 3.2754 4.3156 4.1779 4.3156 4.1779 4.1771 4.1771 4.0427 4.0427 4.8139 4.6265 4.8139 4.6265 4.6123 4.6123 4.4668 4.4668 5.4082 5.3252 5.3095 5.3252 5.2209 5.2209 5.1982 5.0673 8.6070 8.5196 8.2421 8.5196 8.1495 8.1495 8.4274 8.0512 3 Et=390GPa, t=3960kg/m , t=0.25; Eb=210GPa, b=7800kg/m , b=0.31; L=1, b = 0.1, h = 0.1; Nghiên cứu số liệu cho Bảng 4.3 ta thấy: Trong dầm đa nhịp vết nứt đối xứng qua điểm dầm ảnh hưởng đến tần số; Điểm dầm ba nhịp, đồng thời điểm nhịp điểm nút tần số thứ hai thứ ba (tần số uốn thứ hai tần số dọc trục đầu tiên); Vết nứt xuất nhịp dầm ngàm hai đầu nguy hiểm vết nứt xuất nhịp hai bên, dầm khớp hai đầu ngược lại Điều lý giải việc hai biên điểm nút tần số dầm khớp hai đầu Cũng tương tự dầm đồng chất, số lượng vết nứt tăng tần số giảm (tất nhiên trừ trường hợp vết nứt xuất điểm nút tần số) 91 Kết luận chương Trong Chương này, phương pháp ma trận truyền phát triển để áp dụng tính tốn tần số riêng dầm FGM liên tục đa nhịp có vết nứt Khác với dầm đồng chất, dao động uốn dao động dọc trục tách rời nhau, dầm Timoshenko FGM dao động uốn có tương tác với dao động dọc trục (uncoupled) Vì vậy, phương pháp ma trận truyền áp dụng cho dầm FGM phức tạp hơn, đặc biệt dầm FGM liên tục đa nhịp có vết nứt Sự phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm FGM kiểm chứng cách so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (p-version FEM) phương pháp độ cứng động lực Sử dụng phương pháp ma trận truyền nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng gối trung gian, vết nứt số phân bố vật liệu đến tần số riêng dầm FGM liên tục hai ba nhịp Kết việc nghiên cứu là: dầm FGM tồn tần số gối dầm đa nhịp đồng chất, tần số gối phụ thuộc nhiều vào số phân bố vật liệu n; Gối trung gian ảnh hưởng đến tần số dao động uốn mà không ảnh hưởng đến tần số dao động dọc trục; Chỉ số phân bố vật liệu không ảnh hưởng đến điểm nút tần số (các điểm không nhạy cảm với vết nứt) 92 KẾT LUẬN CHUNG Tổng kết lại, kết đạt tóm lược sau: Đã phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết nứt, cho phép đơn giản hóa việc tính tốn tần số riêng dầm đa nhịp (khơng cần tính phản lực gối trung gian dầm đa nhịp) Đã áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên để nghiên cứu chi tiết dao động riêng dầm Euler-Bernoulli liên tục đồng có vết nứt Ở phân tích chi tiết ảnh hưởng gối trung gian lên tần số dầm cho thấy gối trung gian ảnh hưởng nhiều đến phân bố tần số riêng dầm Đặc biệt gối trung gian làm xuất tần số giống cho điều kiện biên khác nhau, gọi tần số gối Đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu tần số riêng dầm FGM liên tục có vết nứt sử dụng nghiệm tổng quát dao động dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt Ở sử dụng mơ hình vết nứt biểu diễn hai lị xo dọc trục lò xoắn; lý thuyết dầm Timosshenko quy luật biến đổi vật liệu theo hàm lũy thừa Đặc biệt có kể đến vị trí thực trục trung hòa dầm FGM Đã nghiên cứu ảnh hưởng vết nứt tham số vật liệu có lý tính biến thiên liên tục đến tần số riêng dầm FGM liên tục Đặc biệt dầm FGM liên tục tồn vị trí mà vết nứt xuất khơng làm thay đổi tần số đó, gọi điểm nút tần số Đã vết nứt xuất gối không ảnh hưởng đến tần số này, lại làm thay đổi đáng kể tần số khác Tất nhận xét thông tin quan trọng để chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng 93 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN (1) (2016) Vibration of continuous multispan Timoshenko beam made of functionally graded material Proceedings of 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), Hanoi, August 25-26, 2016 (2) (2018) Free vibration of cracked multispan continuous beam Proceedings of Xth National Conference on Mechanics, Hanoi, December 8-9, 2017, pp.303311 (3) (2018) Effect of intermediate support location on natural frequencies of multiple cracked continuous beams Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 40, No (2018), pp 181 – 198 (4) (2019) An application of the dynamic stiffness approach to free vibration of continuous multispan beam with cracks Tuyển tập báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc kỷ niệm 40 năm Viện Cơ học, 9-4-2019 (5) (2020) Modal analysis of cracked continuous Timoshenko beam made of functionally graded material Mechanics Based Design of Structures and Machines 48(4) 459-479 DOI: 10.1080/15397734.2019.1639518 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm, “Lời giải xác toán dao động dầm đàn hồi có nhiều vết nứt ứng dụng” Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam 1975-2010 ISBN: 978604-913-009-0, Hà Nội, 2010 [2] Trần Thanh Hải (2012), “Chẩn đoán vết nứt dầm đàn hồi bằng phương pháp dao động” Luận án Tiến sĩ, Viện Cơ học, Viện HLKH&CNVN, Hà Nội, 2012 [3] Nguyễn Ngọc Huyên (2017), “Dao động dầm FGM có vết nứt” Luận án tiến sĩ, Học viện KH&CN, Viện HLKHCNVN, Hà Nội, 2017 [4] Nguyễn Văn Khang (2001), Dao động kỹ thuật NXB KHKT, Hà Nội 2001 [5] Nguyễn Tiến Khiêm (2016), Cơ sở động lực học cơng trình NXB ĐHQGHN Tài liệu tiếng Anh [6] Adams, R D., Cawley P., Pye C J and Stone B J “A vibration technique for non-destructively assessing the integrity of structures” Journal of Mechanical Engineering Science, Vol 20(2), 1978, pp 93-101 [7] Akbas, S.D Free Vibration Characteristics of Edge Cracked Functionally Graded Beams by Using Finite Element Method, Int J Eng Trends Technol 4(10) (2013) 4590-4597 [8] Aydin, K Free vibration of functional graded beams with arbitrary number of cracks, Euro J Mech., A/Solid 42 (2013) 112-124 [9] Azizi N., Saadatpour M.M and Mahzoon M Using spectral element method for analyzing continuous beams and bridges subjected to a moving load Applied Mathematical Modelling, 36(8) (2012) 3580-3592 [10] Banerjee, A., Panigrahi, B., Pohit, G Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA, Nondestr Test Eval 31(2) (2015) 142-164 95 [11] Birman, V., Byrd, L.W Modeling and analysis of functional graded materials and structures Appl Mech Rev 60 (2007) 195–215 [12] Caddemi, S and Caliò I “Exact closed-form solution for the vibration modes of the Euler-Bernoulli beam with multiple open cracks” Journal of Sound and Vibration, Vol 327(3-5), 2009, pp 73-489 [13] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams Int J Solids Struct 40 (2003) 2421–2448 [14] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J.N A new beam finite element for the analysis of functional graded materials Int J Mech Sci 45 (2003) 519–539 [15] Chondros, T G., Dimarogonas, A D and Yao, J A continuous cracked beam vibration theory” Journal of Sound and Vibration, 215 (1), 1998, 17-34 [16] Chondros, T.G., Dimarogonas, A.D., Yao, J Longitudinal vibration of a continuous cracked bar, Eng Fract Mech 61 (1988) 593-606 [17] Christides S and Barr, S One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams International Journal of Mechanical Sciences 26 (11-12), 1984, 639-648 [18] Do Nam et al., Effect of intermediate supports location on natural frequencies of multiple cracked continuous beam Vietnam J Mech 40 (2) (2018) 181198 [19] Eltaher, M., Alshorbagy, V and Mahmoud, F Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams, Compos Struct 99 (2013) 193-201 [20] Erdogan, F., Wu, B.H “The surface crack problem for a plate with functionally graded properties”, J App Mech 64 (1997) 448-456 [21] Gan, B.S., Kien, N.D Effect of Intermediate Elastic Support on Vibration of Functionally Graded Euler Bernoulli Beams Excited by a Moving Point Journal of Asian Architecture and Building Engineering May 2017 [22] Gu, P., Asaro, R.J Cracks in functionally graded materials, Int J Solids Struct 34(1) (1997) 1-17 96 [23] Guojin Tan · Zhiqing Zhu · Wensheng Wang · Yongchun Cheng Free Vibration Analysis of a Uniform Continuous Beam with an Arbitrary Number of Cracks and Spring-Mass Systems Arab J Sci Eng [24] Gupta, A., Talha, M Recent development in modeling and analysis of functionally graded material and structures, Progress in Aerospace Sciences 79 (2015) 1-14 [25] Henchi K., Fafard M., Dhatt G and Talbot M Dynamic behavior of multispan beams under moving loads Journal of Sound and Vibration 199(1) (1997) 33-50 [26] Ichikawa M, Miyakawa Y and Matsuda A Vibration analysis of the continuous beam subjected to a moving mass Journal of Sound and Vibration 230(3) (2000) 493-506 [27] Jin, Z.H., Batra, R.C Some basic fracture mechanics concepts in functionally graded materials, J Mech Phys Solids 44(8) (1996) 1221–1235 [28] Ke, L.L., Yang, J., Kitipornchai, S., Xiang, Y Flexural vibration and elastic buckling of a cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials, Mech Advanc Mater Struct 16 (2009) 488–502 [29] Khiem, N T and Lien, T V A simplified method for natural frequency analysis of a multiple cracked beam Journal of Sound and Vibration, Vol 245(4), 2001, pp 737-751 [30] Khiem, N.T and Huyen, N.N A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam”, Nondestr Test Eval 32(3) (2017) 319-341 [31] Khiem, N.T and Huyen, N.N Uncoupled vibrations in functionally graded Timoshenko beam, Vietnam J Sci Technol 54(6) (2016) 785-796 [32] Khiem, N.T., Tran T H A procedure for multiple crack Identification in beam-like structures from natural vibration mode Journal of Vibration and Control, Vol 20 (9), 1417-1427 (2014) 97 [33] Khiem, N.T., Lien, T.V., Ninh, V.T.A Natural frequencies of multistep functionally graded beam with cracks Iran J Sci Technol Trans Mech Eng (2019) 43 (Suppl 1): S881–S916 [34] Kitipornchai, S., Ke, L.L., Yang, J., Xiang, Y Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams, J Sound Vib 324 (2009) 962-982 [35] LE, Thi Ha, GAN, Buntara Sthenly, TRINH, Thanh Huong and NGUYEN, Dinh Kien (2014) Finite element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving harmonic load Bulletin of JSME: Mechanical Engineering Journal, Vol.1, No.3, 2014 Paper No.13-00226 [36] Lee, J.W., Lee, J.Y Free vibration analysis of functionally graded BernoulliEuler beams using an exact transfer matrix expression, Int J Mech Sci 122(2017) 1-17 [37] Li, X.F A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, J Sound Vib 318 (2008) 1210–1229 [38] Liang, R R Y., Hu, J and Choy, F “Quantitative NDE technique for assessing damages in beam structures” Journal of Engineering Mechanics, Vol 118(7), 1992, pp 1468 -1487 [39] Lien, T.V., Đuc, N.T., Khiem, N.T Free Vibration Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin Amer J Solids Struct 14(9) (2017) 1752-1766 [40] Lien, T.V., Đuc, N.T., Khiem, N.T Mode Shape Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin Amer J Solids Struct 14(7) (2017) 1327-1344 [41] Lin H.P., Chang S.C Free Vibration Analysis of Multispan Beams with Intermediate Flexible Constrains Journal of Sound and Vibration 281 (2005) 155-169 [42] Lin Y.K Free vibration of a continuous beam on elastic supports International Journal of Mechanical Systems (1962) 409-423 98 [43] Liu, H.B., Nguyen, H.H., Xiang, Y.M Vibration analysis of a multi-span continuous beam with cracks Applied Mechanics and Materials Vols 256259 (2013) 964-972 [44] Matbuly, M., Ragb, O and Nassar, M Natural frequencies of a functionally graded cracked beam using the differential quadrature method, App Math Comput 215(6) (2009) 2307-2316 [45] Morassi, A “Crack-Induced Changes in Eigenparameters of Beam Structures” Journal of Engineering Mechanics, Vol 119(9), 1993, pp 1798-1803 [46] Narkis, Y “Identification of crack location in vibrating simply supported beams” Journal of Sound and Vibration, Vol 172, 1994, pp 549-558 [47] Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai “Natural Frequency Analysis of Cracked Beam” Vietnam Journal of Mechanics, Vol 19(2), 1997, pp 28-38 [48] Nguyen Tien Khiem, Hai Thanh Tran, Do Nam, Modal analysis of cracked continuous Timosheko beam made of functionally graded material Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2019, Online First 16 July 2019 DOI 10.1080/15397734.2019.1639518 [49] Nguyen Tien Khiem, Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Long, Vibration of cracked Timoshenko beam made of functionally graded material, J.M Harvie, J Baqersad (eds.), Shock & Vibration, Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting, Acoustics & Optics, Volume 9, Chapter 15, pp 133-143 [50] Ostachowicz, W M and Krawczuk, M “Analysis of the effect of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam” Journal of Sound and Vibration, Vol 150, 1991, pp 191-201 [51] Panigrahi, B., Pohit, G Study of nonlinear dynamic behavior of open-cracked functionally graded Timoshenko beam under forced excitation using harmonic balance method in conjunction with an iterative technique, App Math Model 57(2018) 248-267 [52] Saeedi K and Bhat R.B Clustered natural frequencies in multispan beams with constrained characteristic functions Shock and Vibration 18 (2011) 697-707 99 [53] Sato H Free vibration of beams with abruptr changes of cross-section Journal of Sound and Vibration 89(1), 1983, 59-64 [54] Sherafatnia, K., Farrahi, G.H., Faghidian, S.A Analytic approach to free vibration and bucking analysis of functionally graded beams with edge cracks using four engineering beam theories, Int J Eng 27(6) (2014) 979-990 [55] Shifrin, E I and Ruotolo, R “Natural frequencies of a beam with an arbitray number of cracks” Journal of Sound and Vibration, Vol 222(3), 1999, pp 409-423 [56] Shvartsman, B., Majak, J Numerical method for stability analysis of functionally graded beams on elastic foundation, App Math Model 37 (2018) 248-267 [57] Simsek, M., Kocatuk, T Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected a concentrated moving harmonic load, Compos Struct 90(4) (2009) 465–473 [58] Sina, S.A., Navazi, H.M., Haddadpour, H An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams, Mater Des 30 (2009) 741–747 [59] Su, H., Banerjee, J.R Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beam, Comput Struct 147 (2015) 107-116 [60] Wang R.T Vibration of multispan Timoshenko beams to a moving force Journal of Sound and Vibration 207(5) (1997) 731-742 [61] Wei, D., Liu, Y.H., Xiang, Z.H An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks, J Sound Vib 331 (2012) 1685-1700 [62] Yan, T., Kitipornchai, S., Yang, J., He, X.Q Dynamic behavior of edgecracked shear deformable functionally graded beams on an elastic foundation under a moving load”, Compos Struct 93 (2011) 2992-3001 [63] Yang, J., Chen, Y Free vibration and buckling analyses of functionally graded beams with edge cracks, Compos Struct 83 (2008) 48-60 100 [64] Yesilce Y Free and forced vibrations of an axially-loaded Timoshenko multispan beam carrying a number of various concentrated elements Shock and Vibration 19(4) (2012) 735-752 [65] Yesilce Y., Demirdag, O Effect of axial force on free vibration of Timoshenko multispan beam carrying multiple spring-mass systems International Journal of mechanical Science 50(2008) 995-1003 [66] Yu, Z.G., Chu, F.L Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method, J Sound Vib 325 (2009) 69–84 [67] Yuen, M M F “A numerical study of the eigenparameters of a damaged cantilever” Journal of Sound and Vibration, Vol 103(3),1985, pp 301-310 [68] Zheng D.Y., Cheung Y.K Au F.T.K and Cheng Y.S Vibration of multi-span non-uniform beams under moving loads by using modified beam vibration functions Journal of Sound and Vibration, 212(3) (1998) 455-467 [69] Zhong, Z., Yu, T Analytical solution of a cantilever functionally graded beam, Comput Sci Technol 67 (2007) 481–488 [70] Zhou D Free vibration of multispan Timoshenko beam using static Timoshenko beam functions Journal of Sound and Vibration 241 (2001) 725-734 101 ... về: Vật liệu FGM dao động dầm FGM; nghiên cứu cổ điển dao động dầm đồng liên tục; mơ hình dao động dầm có vết nứt làm sở để đặt vấn đề nghiên cứu dao động dầm FGM liên tục có vết nứt Ngồi ra,... CHƯƠNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT .55 4.1 Mơ hình dầm FGM có vết nứt .55 4.1.1 Phương trình dao động dầm FGM .55 4.1.2 Mơ hình vết nứt dầm FGM. .. 1.1 Vật liệu FGM ứng dụng 1.2 Dao động dầm liên tục (dầm có gối trung gian) 1.3 Dao động dầm có vết nứt 1.3.1 Dầm đồng có vết nứt 1.3.2 Dầm FGM có vết nứt