Xét một dầm liên tục có n gối cứng tại các vị trí 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, khi đó các gối này sẽ chia dầm thành 𝑛 + 1 đoạn dầm được ký hiệu là (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 + 1; 𝑥0 = 0, 𝑥𝑛+1 = ℓ. Giả sử trong mỗi đoạn dầm chứa một vết nứt có độ sâu 𝑎𝑗
tại vị trí 𝑒𝑗 ∈ (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗). Khi đó như chúng ta đã chứng minh được ở phần trên, nghiệm tổng quát của phương trình (3.5) thỏa mãn điều kiện tại vết nứt
𝑊(𝑒𝑗− 0) = 𝑊(𝑒 + 0); 𝑊′′(𝑒𝑗− 0) = 𝑊′′(𝑒𝑗+ 0) = 𝑊′′(𝑒𝑗);
x1 xj-1 xj xn
x0=0 𝑥𝑛+1 = ℓ
x ej
𝑊′′′(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊′′′(𝑒𝑗+ 0); 𝑊′(𝑒𝑗− 0) = 𝑊′(𝑒𝑗+ 0) − 𝛾𝑗𝑊′′(𝑒𝑗),
có thể biểu diễn ở dạng
𝑊𝑗(𝑥) = 𝐶𝑗1𝐿1(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗3𝐿3(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗4𝐿4(𝑥, 𝑒𝑗), (3.24) trong đó
𝐿𝑘(𝑥, 𝑒𝑗) = 𝐿0𝑘(𝑥, 𝜆) + 𝛾𝑗𝐿″0𝑘(𝑒𝑗, 𝜆)𝐾(𝑥 − 𝑒𝑗), 𝑘 = 1,2,3,4,
𝐿01(𝑥, 𝜆) = (coshλ𝑥 + cosλ𝑥)/2; 𝐿02(𝑥, 𝜆) = (sinhλ𝑥 − sinλ𝑥)/2;
𝐿03(𝑥, 𝜆) = (cosh 𝜆 𝑥 − cos 𝜆 𝑥)/2; 𝐿04(𝑥, 𝜆) = (sinh 𝜆 𝑥 + sin 𝜆 𝑥)/2. Áp điều kiện độ võng tại các gối bằng 0 cho hàm (3.24) ta được hai phương trình
𝐶𝑗1𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗3𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗4𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) = 0; 𝐶𝑗1𝐿1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗3𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗4𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) = 0;
Giải hai phương trình này đối với hai hằng số 𝐶𝑗3, 𝐶𝑗4 ta được
𝐶𝑗3 = 𝛼31(𝑗)𝐶𝑗1+ 𝛼32(𝑗)𝐶𝑗2; 𝐶𝑗4 = 𝛼41(𝑗)𝐶𝑗1+ 𝛼42(𝑗)𝐶𝑗2, (3.25) trong đó 𝛼31(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) − 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗); 𝛼32(𝑗) =𝐿2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) − 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗); 𝛼41(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗); 𝛼42(𝑗) =𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗).
Khi đó biểu thức (3.5) có thể viết lại thành
𝑊𝑗(𝑥) = 𝐶𝑗1𝐿̂1𝑗(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿̂2𝑗(𝑥, 𝑒𝑗), (3.26) với
𝐿̂1𝑗(𝑥, 𝑒𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝛼31(𝑗)𝐿3(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝛼41(𝑗)𝐿4(𝑥, 𝑒𝑗);
𝐿̂2𝑗(𝑥, 𝑒𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝛼32(𝑗)𝐿3(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝛼42(𝑗)𝐿4(𝑥, 𝑒𝑗).
𝑊𝑗′(𝑥𝑗) = 𝑊𝑗+1′ (𝑥𝑗); 𝑊𝑗′′(𝑥𝑗) = 𝑊𝑗+1′′ (𝑥𝑗). (3.27) hay
𝐶𝑗1𝐿′1𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿′2𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) = 𝐶𝑗+1,1𝐿′1,𝑗+1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) + 𝐶𝑗+1,2𝐿′2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1);
𝐶𝑗1𝐿′′1𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿′′2𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) = 𝐶𝑗+1,1𝐿′′1,𝑗+1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) + 𝐶𝑗+1,2𝐿′′2,𝑗+1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1).
Từ đó ta nhận được biểu diễn
{𝐶𝑗+1,1 𝐶𝑗+1,2} = [ 𝑇11(𝑗) 𝑇12(𝑗) 𝑇21(𝑗) 𝑇22(𝑗)] { 𝐶𝑗1 𝐶𝑗2} = [𝐓(𝑒𝑗+1, 𝑒𝑗)] {𝐶𝑗1 𝐶𝑗2}, (3.28) trong đó ma trận [𝐓(𝑗)] bằng [𝑇11(𝑗) 𝑇12(𝑗) 𝑇21(𝑗) 𝑇22(𝑗)] = [ 𝐿′1,𝑗+1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) 𝐿′2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) 𝐿′′1,𝑗+1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) 𝐿′′2,𝑗+1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1)] −1 [𝐿1𝑗 ′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿′2𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿′′1𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿′′2𝑗(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)]. Sử dụng biểu thức (3.28) ta có {𝐶𝑗+1,1 𝐶𝑗+1,2} = [𝐓(𝑒𝑗+1, 𝑒𝑗)𝐓(𝑒𝑗, 𝑒𝑗−1) … 𝐓(𝑒2, 𝑒1)] {𝐶11 𝐶12} (3.29) và {𝐶𝑛+1,1 𝐶𝑛+1,2} = [𝐓(𝑒𝑛+1, 𝑒𝑛)𝐓(𝑒𝑛, 𝑒𝑛−1) … 𝐓(𝑒2, 𝑒1)] {𝐶11 𝐶12} = [𝐓(𝐞)] { 𝐶11 𝐶12} (3.30) Cuối cùng ta được 𝑊1(𝑥) = 𝐶11𝐿11(𝑥, 𝑒1) + 𝐶12𝐿21(𝑥, 𝑒1), (3.31a) 𝑊𝑛+1(𝑥) = 𝐶11𝐿̂1,𝑛+1(𝑥, 𝐞) + 𝐶12𝐿̂2,𝑛+1(𝑥, 𝐞), (3.31b) với 𝐞 = {𝑒1, … , 𝑒𝑛+1}và 𝐿̂1,𝑗+1(𝑥, 𝐞) = 𝑇11(𝐞)𝐿1,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1) + 𝑇21(𝐞)𝐿2,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1); 𝐿̂2,𝑗+1(𝑥, 𝐞) = 𝑇12(𝐞)𝐿1,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1) + 𝑇22(𝐞)𝐿2,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1). Áp điều kiện biên tổng quát vào các hàm (3.31) ta được
𝐶11𝐿̂(𝑏110) (0, 𝑒1) + 𝐶12𝐿̂(𝑏210) (0, 𝑒1) = 0; 𝐶11𝐿̂(𝑏1,𝑛+11) (ℓ, 𝐞) + 𝐶12𝐿̂(𝑏2,𝑛+11) (ℓ, 𝐞) = 0. (3.32) Từ đây ta nhận được phương trình tần số
𝑑(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿(𝑏110)
(0, 𝑒1)𝐿̂(𝑏2,𝑛+11)
(ℓ, 𝒆) − 𝐿(𝑏210)
(0, 𝑒1)𝐿̂(𝑏1,𝑛+11)
(ℓ, 𝒆) = 0. (3.33) Dưới đây sẽ sử dụng các điều kiện biên này để xây dựng phương trình tần số
cho hai loại dầm tựa đơn và ngàm hai đầu.
Trong hợp dầm tựa đơn hai đầu ta có điều kiện biên là
𝑊′′(0) = 𝑊′′(ℓ) = 0.
Do đó phương trình (3.32) có dạng
𝐶11𝐿′′11(0, 𝑒1) + 𝐶12𝐿′′21(0, 𝑒1) = 0; 𝐶11𝐿̂′′1,𝑛+1(ℓ, 𝒆) + 𝐶12𝐿̂′′2,𝑛+1(ℓ, 𝒆) = 0 (3.34) và phương trình tần số là
𝑑𝑠𝑠(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿′′11(0, 𝑒1)𝐿̂′′2,𝑛+1(ℓ, 𝒆) − 𝐿′′21(0, 𝑒1)𝐿̂′′1,𝑛+1(ℓ, 𝒆) = 0. (3.35) Đối với dầm ngàm hai đầu, khi đó điều kiện biên là 𝑊′(0) = 𝑊′(ℓ) = 0, ta có
𝐶11𝐿′11(0, 𝑒1) + 𝐶12𝐿′21(0, 𝑒1) = 0;
𝐶11𝐿̂′1,𝑛+1(ℓ, 𝒆) + 𝐶12𝐿̂′2,𝑛+1(ℓ, 𝒆) = 0, (3.36) Từ đó ta nhận được phương trình tần số
𝑑𝑐𝑐(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿11′ (0, 𝑒1)𝐿̂′2,𝑛+1(ℓ, 𝒆) − 𝐿′21(0, 𝑒1)𝐿̂′1,𝑛+1(ℓ, 𝒆) = 0. (3.37) Trong trường hợp dầm có đầu trái ngàm và đầu phải tự do (dầm công xôn) với điều kiện biên 𝑊′(0) = 𝑊′′(ℓ) = 0 thì phương trình tần số là
𝑑𝑐𝑐(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿11′ (0, 𝑒1)𝐿̂′′2,𝑛+1(ℓ, 𝒆) − 𝐿′21(0, 𝑒1)𝐿̂′′1,𝑛+1(ℓ, 𝒆) = 0. (3.38) Nghiệm các phương trình đại số siêu việt (3.35), (3.36) và (3.37) cho ta các trị riêng (hay còn gọi là tham số tần số) 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, …, biểu thị các tần số riêng của dầm liên tục nhiều nhịp có vết nứt. Mỗi nghiệm tìm được 𝜆𝑘 cho phép ta tìm được nghiệm chuẩn hóa tương ứng của các phương trình (3.32), (3.34) và (3.36):
{𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2} và {𝐶11𝑘, 𝐶12𝑘 } = 𝜗𝑘{𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2}. Khi đó các hằng số 𝐶𝑗1, 𝐶𝑗2, 𝑗 = 2,3, … , 𝑛 + 1 sẽ tìm được bằng công thức (3.10) và do đó dạng dao động riêng tương ứng sẽ tính được bằng công thức (3.26), trong đó chứa hằng số tùy ý 𝜗𝑘
được xác định từ điều kiện chuẩn hóa dạng riêng thông thường.
3.4. Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục
Ở đây trình bày kết quả tính toán tần số riêng của dầm đồng nhất có vết nứt áp dụng các phương pháp ma trận truyền đã trình bày ở trên. Nội dung nghiên
cứu bao gồm việc khảo sát ảnh hưởng của vị trí và độ sâu nứt đến các tần số riêng của dầm liên tục nhiều nhịp.
3.4.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp
Trên các Hình 3.6 – 3.8 trình bày sự phụ thuộc của ba tần số đầu tiên của dầm hai nhịp (gối trung gian ở giữa dầm) có vết nứt đã chuẩn hóa bởi tần số của dầm không nứt phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong ba trường hợp điều kiện biên cổ điển.