Mô hình vết nứt chỉ dựa trên sự thay đổi hình học được nghiên cứu một cách tỷ mỷ bởi Sato [53]. Mô hình được mô tả như một vết cưa (saw cut or notch, Hình 3.1) có hai kích thước là độ sâu (h) và bề rộng (l). Sato đã dùng phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu tần số riêng của dầm phụ thuộc vào hai tham số vết nứt nêu trên 𝜔 = 𝜔(𝑙, ℎ) và nhận được kết quả như sau: -Tần số giảm khi h giảm (độ sâu tăng); -Tần số tăng khi l
giảm (khi 𝑙 → 0 ta được mô hình thực của vết nứt); - Kết quả tính toán được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Kết quả này đồng thời cho phép ta đánh giá khả năng áp dụng của phương pháp PTHH và phương pháp ma trận truyền.
Christides và Bar [17] đã nghiên cứu mô hình vết nứt được mô tả trong Hình 3.1. Mô hình này đã mô tả chính xác hơn hình học của một vết nứt mở. Tại vết nứt tác giả đặt ra giả thiết có mối liên hệ giữa chuyển vị {𝑢, 𝑤, 𝜃} và trạng thái ứng suất biến dạng như sau:
{ 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) = −𝑧𝑤′(𝑥, 𝑡) 𝜀𝑥 = [−𝑧 + 𝑓(𝑥, 𝑧)]. 𝑆(𝑥, 𝑡) 𝜎𝑥 = 𝐸. 𝜀𝑥 = 𝐸[−𝑧 + 𝑓(𝑥, 𝑧)]. 𝑆(𝑥, 𝑡) 𝑓(𝑥, 𝑧) = [𝑧 −𝐼𝑜 𝐼 𝑍. 𝐻(ℎ − |𝑧|)] 𝑒𝑥𝑝{−𝛼|𝑥 − 𝑥𝑐|/𝑑} (3.1)
I0 là mô men quán tính khi không nứt; 𝑥𝑐 là vị trí vết nứt; 𝛼 là hằng số thực nghiệm; 𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑤′′(𝑥, 𝑡) và 𝑓(𝑥, 𝑧) là hàm vết nứt. Mô hình này gọi là mô
ho
l
h
d
hình liên tục của vết nứt. Khi đó họ đã thiết lập được phương trình dao động uốn của dầm ở dạng 𝜌𝐴𝜕2𝑤 𝜕𝑡2 + 𝜕 𝜕𝑥2(𝐸𝐼. 𝑄(𝑥)𝜕2𝑤 𝜕𝑥2) = 0, (3.2) trong đó 𝑄(𝑥) = 1 1+(𝐼0 𝐼−1)𝑒𝑥𝑝{−2𝛼|𝑥−𝑥𝑐|/𝑑}
Nếu không có vết nứt thì 𝑄(𝑥) = 1 hay 𝛼 = 0 và phương trình chuyển động trở về phương trình chuyển động của dầm Euler-Becnulli thông thường. Như vậy, đây là mô hình giải tích đầu tiên mô tả sự thay đổi độ cứng tại mặt cắt chứa vết nứt.
Cademi và Callio đã sử dụng hàm Đi-rắc để mô tả sự thay đổi độ cứng do vết nứt
𝐸𝐼(𝑥) = 𝐸𝐼0[1 − 𝜈𝛿(𝑥 − 𝑥𝑐)]
𝜈 ≅𝐼𝑜−𝐼
𝐼 𝐾(𝑎) mô tả độ sâu vết nứt.