Mô hình trên giúp giải chính xác phương trình dao động của dầm, nhưng phải sử dụng lý thuyết hàm suy rộng để nghiên cứu phương trình vi phân có hệ số chứa hàm xung. Chondros, Dimagrogonas và Yao [15] đã sử dụng mô hình lò xo tương đương có độ cứng được tính từ độ sâu trên cơ sở lý thuyết cơ học phá hủy như sau:
Giả sử 𝑢∗, 𝑤∗, 𝜃∗ là các chuyển vị tăng thêm do vết nứt. Theo nguyên lý của cơ học, 𝜃∗ = 𝜕𝑈𝑇
𝜕𝑀, trong đó 𝑈𝑇là năng lượng biến dạng được giải phóng do vết nứt:
{ 𝑈𝑇 = 𝑏 ∫ 𝐽0𝑎 𝑠𝑑𝑎 𝐽𝑠 = 1 𝐸′{(∑ 𝐾𝑖 𝐼𝑖)2+ (∑ 𝐾𝑖 𝐼𝐼𝑖)2 + (∑ 𝐾𝑖 𝐼𝐼𝐼𝑖)2} M a xc ' M xc- ' xc+
𝐽𝑠: hệ số tập trung ứng suất tổng thể; 𝐸′ = 𝐸
1−𝜈2, các thành phần (∑ 𝐾𝑖 𝐼𝑖)2: sinh ra do uốn; (∑ 𝐾𝑖 𝐼𝐼𝑖)2: sinh ra do trượt và (∑ 𝐾𝑖 𝐼𝐼𝐼𝑖)2 sinh ra do xoắn. Xét trường hợp uốn thuần túy 𝐽𝑠 =𝐾𝐼2
𝐸′ , 𝐾𝐼 tính được theo lý thuyết cơ học phá hủy bằng
𝐾𝐼 = 𝜎0√𝜋𝑎. 𝐹𝐼(𝑎 ℎ) 𝐹𝐼(𝛼) = 1.12 − 1.7𝛼 + 7,33𝛼2 − 13,1𝛼3+ 14𝛼4, 𝜎0 = 6𝑀 𝑏ℎ2 → 𝑈𝑇 =3𝜋(1−𝛾2)ℎ.𝑀2.𝜙𝐼(𝑎/ℎ) 𝐸𝐼 Từ đó ta tính được 𝜃∗ =6𝜋(1−𝛾2)ℎ.𝑀.𝜙𝐼(𝑎/ℎ)
𝐸𝐼 (đây là góc xoay thêm vào do vết nứt)
𝜙𝐼(𝑎
ℎ) = 0,6272𝛼
2 − 1,04533𝛼3 + 4,5948𝛼4− 9,9736𝛼5+ 20,2928𝛼6 −
−33,035𝛼7+ 47,1063𝛼8− 40,7556𝛼9 + 19,6𝛼10. (3.3) Do đó ta có thể tính được độ cứng củalò xo tương đương
𝐾 = 𝑀
𝜃∗ = 𝐸𝐼
ℎ.𝜃(𝑎/ℎ); 𝜃(𝑎/ℎ) = 6𝜋(1 − 𝛾2). 𝜙𝐼(𝑎/ℎ)
Như vậy, tại vết nứt bước nhảy góc xoay do vết nứt bằng
𝜙′(𝑥𝐶+) − 𝜙′(𝑥𝐶−) = 𝜃∗= 𝑀 𝐾 =𝐸𝐼.𝜙′′(𝑥𝐶) 𝐾 hay 𝜙′(𝑥𝐶+) − 𝜙′(𝑥𝐶−) =𝐸𝐼.𝜙′′(𝑥𝐶) 𝐾 = 𝛾. 𝜙′′(𝑥𝐶) với 𝛾 = 𝐸𝐼 𝐾 = 6𝜋(1 − 𝛾2)ℎ. 𝜙𝐼(𝑎/ℎ)
là độ mềm tăng thêm do vết nứt. Đây là mô hình suy giảm độ cứng cục bộ của dầm, không làm thay đổi phương trình chuyển động của dầm có vết nứt. Vết nứt được mô tả bằng điều kiện tương thích của góc xoay tại vết nứt, giống như tại vết nứt có một lò xo xoắn. Chính vì vậy, vết nứt có thể được thay bằng một lò xo tại vị trí vết nứt, có độ cứng tính được từ độ sâu thông qua công thức (3.3).
3.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm đồng nhất có vết nứt
Xét một dầm Euler-Bernoulli chiều dài ℓ chứa 𝑛 vết nứt tại các vị trí 𝑒𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑛 được mô tả bằng các lò xo xoắn tương đương có độ cứng là 𝐾𝑗. Trong mỗi đoạn dầm (𝑒𝑗, 𝑒𝑗+1), 𝑗 = 0, … , 𝑛, 𝑒0 = 0, 𝑒𝑛+1 = ℓ dao động của dầm được mô tả bằng phương trình
𝐸𝐼𝜕4𝑤𝑗(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑥4 +𝜌𝐴𝜕2𝑤𝑗(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 = 0 , 𝑗 = 0, … , 𝑛
cùng với các điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt 𝑒𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑛 [32]
𝑤𝑗−1(𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗(𝑒𝑗, 𝑡); 𝑤𝑗−1′ (𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗′(𝑒𝑗, 𝑡) − 𝛾𝑗𝑤𝑗′′(𝑒𝑗, 𝑡)
𝑤𝑗−1′′ (𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗′′(𝑒𝑗, 𝑡); 𝑤𝑗−1′′′ (𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗′′′(𝑒𝑗, 𝑡); với 𝛾𝑗 = 𝐸𝐼/𝐾𝑗 (3.4)