CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN
2.2. Phương pháp ma trận truyền cổ điển
Xét một dầm Euler-Bernoulli có các tham số vật liệu và hình học như sau: E,
G, ρ lần lượt là mô đun đàn hồi Young, mô đun trượt, mật độ khối và L, A, I là chiều dài, diện tích mặt cắt ngang và mô men quán tích của mặt cắt ngang. Dao động uốn của dầm được mô tả bằng phương trình
𝜌𝐴𝜕2𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 + 𝐸𝐼𝜕4𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥4 = 0. (2.3) Tìm nghiệm phương trình (2.3) ở dạng 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡, khi đó ta nhận được phương trình
𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = 0, 𝜆4 = (𝜔/𝑎)2,𝑎 = √𝐸𝐼/𝜌𝐴 (2.4) Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) có dạng
𝑊(𝑥) = 𝐶1cosh𝜆𝑥 + 𝐶2sinh𝜆𝑥 + 𝐶3cos𝜆𝑥 + 𝐶4sin𝜆𝑥 (2.5)
với các hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4. Trong trường hợp này véc tơ trạng thái tại mặt cắt
x được xác định bằng (độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt)
Do đó, ta có {𝐒(𝑥)} = [𝚽(𝑥)]{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇, (2.6) trong đó ma trận [𝚽(𝑥)] = [ cosh𝜆𝑥 sinh𝜆𝑥 𝜆sinh𝜆𝑥 𝜆cosh𝜆𝑥 cos𝜆𝑥 sin𝜆𝑥 −𝜆sin𝜆𝑥 𝜆cos𝜆𝑥 𝜆2cosh𝜆𝑥 𝜆2sinh𝜆𝑥 𝜆3sinh𝜆𝑥 𝜆3cosh𝜆𝑥 −𝜆2cos𝜆𝑥 −𝜆2sin𝜆𝑥 𝜆3sin𝜆𝑥 −𝜆3cos𝜆𝑥 ] (2.7)
Đưa vào ký hiệu trạng thái tại mặt cắt 𝑥1 là:
{𝐒𝟏} = {𝐒(𝑥1)} = {𝑊(𝑥1), 𝑊′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1)}𝑇
Khi đó ta có
{𝐒𝟏} = [𝚽(𝑥1)]{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇 hay
{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇 = [𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏}
Thay biểu thức cuối này vào (2.6) ta được
{𝐒(𝑥)} = [𝚽(𝑥)] ∙ [𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} (2.8) Do vậy, véc tơ trạng thái ở mặt cắt 𝑥2
{𝐒𝟐} = {𝐒(𝑥2)} = {𝑊(𝑥2), 𝑊′(𝑥2), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥2), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥2)}𝑇 sẽ tính được bằng
{𝐒𝟐} = [𝚽(𝑥2)][𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} = [𝐓]{𝐒𝟏} (2.9) Như vậy, trong trường hợp dao động uốn ma trận truyền được xác định bằng
[𝐓] = [𝚽(𝑥2)][𝚽(𝑥1)]−1, (2.10) trong đó ma trận [𝚽(𝑥)] được xác định bằng công thức (2.7).
Đối với dầm liên tục nhiều nhịp, hay còn gọi là dầm liên tục có gối trung gian, do sự gián đoạn của lực cắt tại các gối, không có điều kiện liên tục của véc tơ trạng thái tại gối, nên không thể thiết lập được mối liên hệ (2.10). Khi đó chúng ta phải tiến hành như sau: Giả sử dầm có gối trung gian tại vị trí 𝑥1và chia dầm thành hai đoạn (𝑥0, 𝑥1), (𝑥1, 𝑥2). Lúc này ta phải phân biệt véc tơ trạng thái ở cuối đoạn dầm thứ nhất (𝑥1−) với véc tơ trạng thái ở đầu đoạn dầm thứ hai (𝑥1+), được ký hiệu lần lượt là:
𝑆1− = {𝑊(𝑥1−), 𝑊′(𝑥1−), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1−), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1−)}𝑇;
𝑆1+ = {𝑊(𝑥1+), 𝑊′(𝑥1+), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1+), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1+)}𝑇 với điều kiện
𝑊(𝑥1−) = 𝑊(𝑥1+) = 𝑊(𝑥1), 𝑊′(𝑥1−) = 𝑊′(𝑥1+) = 𝑊′(𝑥1),
𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1−) = 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1+) = 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1−) + ∆𝑄1 = 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1+), trong đó ∆𝑄1 là phản lực tại gối chưa biết. Như vậy, ta có
{𝑆1+} = {𝑆1−} + ∆𝑄1{𝐼4}; {𝐼4} = {0,0,0,1}𝑇; {𝑆1−} = [𝐓1]{𝑆0+}; {𝑆2−} = [𝐓2]{𝑆1+} và do đó {𝑆2−} = [𝐓2][𝐓1]{𝑆0+} + ∆𝑄1[𝐓2]{𝐼4} = [𝐓]{𝑆0+} + ∆𝑄1{𝐸4(2)} (2.11) với {𝐸4(2)} = {𝑇14(2), 𝑇24(2), 𝑇34(2), 𝑇44(2)}𝑇
là một véc tơ bao gồm các thành phần 𝑇𝑗𝑘(2) là phần tử của ma trận đã biết [𝐓2]. Rõ ràng là bốn hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 của đoạn dầm sau được biểu diễn qua các hằng số này của đoạn trước và tại mỗi gối trung gian xuất hiện thêm một ẩn số là phản lực tại gối. Do vậy, nếu dầm có n gối trung gian thì tổng cộng ta có 𝑛 + 4
ẩn 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, ∆𝑄1, … , ∆𝑄𝑛, chúng được xác định từ 4 điều kiện biên cùng với
n điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối
𝑊(𝑥𝑗) = 0, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛. (2.12)
Như vậy, khi áp dụng phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục số chiều của bài toán tăng lên đúng bằng số lượng gối trung gian. Để giảm số chiều của bài toán về 4 ẩn, người ta phải xây dựng thêm thuật toán xác định các phản lực gối từ các điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối. Dưới đây trình bày một phương pháp xác định phản lực gối từ điều kiện chuyển vị tại các gối bằng 0.
Giải phóng các gối và thay bằng một lực tác dụng để chuyển vị tại các gối bằng 0. Phương trình dao động của dầm liên tục chịu tác dụng các lực tập trung
Δ𝑄𝑗 tại gối 𝑥𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 có dạng
𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = − ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗𝛿(𝑥 − 𝑥𝑗), (2.13) trong đó 𝛿(𝑥) là hàm Đi-rắc thỏa mãn
𝛿(𝑥) = {∞: 𝑥 = 0
0: 𝑥 ≠ 0; ∫−∞+∞𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑠)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑠).
Ký hiệu 𝑊0(𝑥) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
𝑑4𝑊0(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊0(𝑥) = 0, (2.14)
khi đó nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.13) có dạng
𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) − ∫ ℎ(𝑥 − 𝜏)0𝑥 ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗𝛿(𝜏 − 𝑥𝑗)𝑑𝜏 (2.15) với hàm số
ℎ(𝑥) = (sinh 𝜆𝑥 − sin 𝜆𝑥)/𝜆2
là nghiệm của phương trình (2.14) và có tính chất
ℎ(0) = ℎ′(0) = ℎ′′(0) = 0, ℎ′′′(0) = 1
Tính các tích phân trong (2.15) sử dụng tính chất của hàm Đi-rắc ta được
𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) − ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗𝐻(𝑥 − 𝑥𝑗) (2.16) với hàm
𝐻(𝑥) = {ℎ(𝑥): 𝑥 ≥ 0; 0: 𝑥 < 0.
Áp biểu thức (2.16) vào điều kiện độ võng tại gối bằng 0 ta được
𝑊0(𝑥1) = 0;
𝑊0(𝑥2) − Δ𝑄1ℎ(𝑥2− 𝑥1) = 0;
𝑊0(𝑥3) − Δ𝑄1ℎ(𝑥3− 𝑥1) − Δ𝑄2ℎ(𝑥3 − 𝑥2) = 0; ……… ……….
𝑊0(𝑥𝑛) − Δ𝑄1ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥1) − Δ𝑄2ℎ(𝑥𝑛− 𝑥2) − ⋯ − Δ𝑄𝑛−1ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1) = 0; Từ 𝑛 − 1 phương trình cuối ta có thể lần lượt biểu diễn 𝑛 − 1 tham số
Δ𝑄1, … , Δ𝑄𝑛−1 một cách tuyến tính qua các giá trị 𝑊0(𝑥2), … , 𝑊0(𝑥𝑛)
Δ𝑄𝑗 = ∑𝑗𝑘=1𝛼𝑗𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1), 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 − 1, (2.17) trong đó 𝛼𝑗𝑘 là các phần tử của ma trận [𝐀]−1 với
[𝐀] = [ ℎ(𝑥2− 𝑥1) 0 ⋯ 0 0 ℎ(𝑥3− 𝑥1) ⋮ ℎ(𝑥𝑛−1− 𝑥1) ℎ(𝑥3 − 𝑥2) ⋮ ℎ(𝑥𝑛−1 − 𝑥2) ⋯ ⋮ ⋯ 0 ⋮ ℎ(𝑥𝑛−1− 𝑥𝑛−2) 0 ⋮ 0 ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥1) ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥2) ⋯ ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2) ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)] . Vì
𝑊0(𝑥) = 𝐶1cosh 𝜆𝑥 + 𝐶2sinh 𝜆𝑥 + 𝐶3cos 𝜆𝑥 + 𝐶4sin 𝜆𝑥 chứa 4 hằng số chưa biết 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 và hàm số
𝑊(ℓ) = 𝑊0(ℓ) − ∑𝑛−1𝑗=1 Δ𝑄𝑗ℎ(ℓ − 𝑥𝑗)− Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛) có thể viết lại thành
𝑊(ℓ) = 𝑊0(ℓ) − ∑𝑛−1𝑘=1𝛽𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛); (2.18)
𝛽𝑘 = ∑𝑛−1𝑗=1𝛼𝑗𝑘ℎ(ℓ − 𝑥𝑗)
chứa thêm một ẩn số Δ𝑄𝑛, nên tổng cộng ta có 5 ẩn số cần tìm từ 4 điều kiện biên và phương trình 𝑊0(𝑥1) = 0.
Ví dụ, cho dầm gối tựa hai đầu ta có
𝑊(0) = 𝑊′′(0) = 𝑊(ℓ) = 𝑊′′(ℓ) = 0.
Khi đó từ sử dụng biểu thức (2.18) cùng với điều kiên biên tại ℓ ta được
𝑊0(ℓ) − ∑𝑛−1𝑘=1𝛽𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛) = 0 hay Δ𝑄𝑛 = ∑𝑛𝑘=1𝛼𝑛𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1) với 𝛼𝑛𝑘 = − 𝛽𝑘 ℎ(ℓ−𝑥𝑛), 𝑘 = 1, … , 𝑛 − 1; 𝛼𝑛𝑛 = 1 ℎ(ℓ−𝑥𝑛) .
Như vậy, để xác định 4 hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 ta có 4 phương trình
𝑊(0) = 𝐶1+ 𝐶3 = 0; 𝑊′′(0) = 𝐶2 + 𝐶4 = 0. Do đó
𝑊0(𝑥) = 𝐶1𝐿1( 𝜆𝑥) + 𝐶2𝐿2(𝜆𝑥)
𝐿1( 𝜆𝑥) = (cosh 𝜆𝑥 − cos 𝜆𝑥); 𝐿2(𝜆𝑥) = (sinh 𝜆𝑥 − sin 𝜆𝑥) và
Mặt khác, từ điều kiện biên 𝑊′′(ℓ) = 𝑊0′′(ℓ) + ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗ℎ′′(ℓ − 𝑥𝑗) = 𝑊0′′(ℓ) + ∑𝑛𝑗=1𝛿𝑗𝑊0(𝑥𝑗+1)= 0; 𝛿𝑗 = ∑𝑛𝑘=1𝛼𝑘𝑗ℎ′′(ℓ − 𝑥𝑘), ta được 𝑊′′(ℓ) = 𝐶1𝐿̂1( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) + 𝐶2𝐿̂2( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 0, trong đó 𝐿̂1( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 𝐿′′1( 𝜆ℓ) + ∑𝑛𝑗=1𝛿𝑗𝐿1(𝑥𝑗+1); 𝐿̂2( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 𝐿′′2( 𝜆ℓ) + ∑𝑛𝑗=1𝛿𝑗𝐿2(𝑥𝑗+1).
Như vậy, phương trình tần số cho dầm liên tục nhiều nhịp tựa đơn hai đầu là
𝐿1( 𝜆𝑥1) 𝐿̂2( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) − 𝐿2(𝜆𝑥1) 𝐿̂1( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 0. (2.19) Trong công trình [43] một ý tưởng mới đã được đề xuất và phát triển cho dầm liên tục có vết nứt tránh được việc tính phản lực gối. Tuy nhiên, ý tưởng này chỉ được phát triển đầy đủ và chi tiết trong các công bố của Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự.