Ứng dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =======***======= ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm lồi 1.2 Tính chất hàm lồi, hàm lõm 1.3 Bất đẳng thức Jensen Chương 2: ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Chứng minh bất đẳng thức kinh điển 2.2 Áp dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức đại số 21 2.3 Áp dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức hình học 26 2.4 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 33 2.5 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 39 Chương 3: SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC 44 3.1 Phương pháp sử dụng hàm lồi sáng tạo bất đẳng thức 44 3.2 Một số ví dụ 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Trong chương trình giảng dạy học tập mơn tốn nhà trường phổ thơng nay, bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Các tốn bất đẳng thức ln hấp dẫn niềm say mê yêu thích người u Tốn Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức phương pháp , hay hiệu Với lý đam mê thân giúp đỡ tận tình Nguyễn Thị Kiều Nga em xin mạnh dạn thực khóa luận với đề tài: “ Ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức” Nội dung khóa luận chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa tính chất hàm lồi (lõm), bất đẳng thức Jensen ứng dụng bất đẳng thức Jensen việc chứng minh bất đẳng thức khác Chương 2: Ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày ứng dung hàm lồi việc chứng minh bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức tích phân Chương 3: Sáng tạo bất đẳng thức Chương trình bày phương pháp sáng tạo bất đẳng thức dựa vào tính chất hàm lồi Do trình độ kinh nghiệm cịn hạn chế nên khóa luận em chắn cịn nhiều thiếu sót Em mong nhận đóng góp thầy khoa Tốn bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thực Đàm Huệ Thu Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm lồi 1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi hàm số lồi a) Định nghĩa tập hợp lồi với a, b  D ,   Tập hợp D gọi tập lồi ,     a  1    b  D b) Định nghĩa hàm số lồi Giả sử D tập lồi Hàm số f : D  D với x1, x2  D , với số   gọi hàm lồi f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1  ) f ( x2 ) c) Định nghĩa hàm số lõm Giả sử D tập lồi  f ( x) hàm lồi D , f :D gọi hàm lõm D 1.1.2 Ý nghĩa hình học Giả sử x1, x2  I ; M1 M2 hai điểm đường cong y  f ( x) Khi tọa độ M1 , M tương ứng M 1( x1; f ( x1 )); M ( x2 ; f ( x2 )) Phương trình tham số M1M2 x  x1  (x1  x2 )   y  f ( x1 )  ( f ( x1 )  f ( x2 )) (    1;  tham số) Như vậy, hàm số f ( x) lồi I với hai điểm M1, M2 đường cong y  f ( x) , cung M1M2 đường cong nằm bên đoạn M 1M 1.1.3 Ví dụ hàm lồi Hàm số f ( x)  x2 lồi (; ) Thật vậy, với x1, x2  (; ); x1  x2 , ta có +) f ( x1  (1   ) x2 )  ( x1  (1   ) x2 )   2x12  (1  ) x22  2(1  ) x1x2 +)  f ( x1 )  (1  ) f ( x2 )   x12  (1   ) x22 Xét  x12  (1  )2 x22  2 (1  ) x1 x2   x12  (1  ) x22 Hay  (1   ) x12  (1   )( x22  2 x1x2  (1   ) x22 )  Tức (1  ) x12  (1  )( x22  x1x2 )  Tương đương  (1  )( x12  x1 x2  x22 )  Hay  (1   )( x1  x2 )  Suy f ( x1  (1  ) x2 )   f ( x1 )  (1  ) f ( x2 ) Vậy f ( x)  x2 hàm lồi (; ) 1.2 Tính chất hàm lồi, hàm lõm 1.2.1 Tính chất Cho D tập lồi Giả sử f1( x), f ( x), hàm lồi xác định D Cho 1  với i  1, n Khi hàm số 1 f1 ( x)  2 f2 ( x)  x) hàm lồi D Chú ý - Hàm lồi hai biến : Giả sử D tập lồi Hàm số f : D  gọi hàm lồi D với ( x1, y1);( x2, y2 )  D , với số  (0    1) Ta có f ( x1  (1  ) x2;  y1  (1  ) y2 )   f ( x1; y1)  (1  ) f ( x1; y1) - Hàm lồi ba biến : định nghĩa tương tự cho hàm f : D  lồi Kết luận với hàm lồi hai biến ba biến 1.2.2 Tính chất (Điều kiện để hàm số hàm lồi) , với D tập Cho D tập hợp lồi thuộc Hàm f ( x, y) : D  hàm lồi D với ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )  D hàm  ( )  f ( x1  (1   ) x2 ;  y1  (1   ) y2 hàm lồi đoạn  0,1 1.2.3 Tính chất (Mối quan hệ tập hợp lồi hàm lồi) Giả sử f : D  , D hàm lồi epi f  ( x, y)  Đặt  y, x  D (epi f gọi tập hợp đồ thị) Hàm f lồi D epi f tập hợp lồi 1.2.4 Tính chất Cho D tập hợp lồi , hàm f1 ( x) : D  với i  1, n hàm lồi D Xét hàm số sau D f ( x)  max  f1 ( x); f ( x); , x  D Khi f (x) hàm lồi D 1.2.5 Tính chất (Điều kiện đủ cho tính lồi, lõm hàm số) Cho f ( x) hàm số xác dịnh  a, b có đạo hàm cấp hai x  a, b Nếu f ''( x)  với x  a, b f ( x) hàm lồi  a, b Nếu f ''( x)  với x  a, b  f ( x) hàm lõm  a, b 1.2.6 Tính chất Nếu f (x) hàm lồi a, b  f (x) liên tục a, b  1.2.7 Tính chất Với hàm số cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục 1.2.8 Tính chất , f :D Cho D tập hợp lồi hàm số lồi xác định D Gọi D0 tập hợp tất điểm mà f đạt cực tiểu địa phương D Khi D0 tập lồi 1.3 Bất đẳng thức Jensen 1.3.1 Định nghĩa Cho D tập lồi , f ( x) : D  hàm số xác định D Khi f ( x) hàm lồi D với số n nguyên dương, với thuộc D, với số i  0, (i  1,n ) x 1, x , n n i 1 i 1 n  i1 i  ta có f ( i xi )   i f (xi ) (1) Bất đẳng thức (1) có gọi bất đẳng thức Jensen 1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức Jensen Giả sử (1) thỏa mãn Khi đó, ứng với n  , f hàm lồi D (theo định nghĩa) Ngược lại, giả sử f hàm lồi D Ta chứng minh (1) qui nạp +) Với n  1, (1) hiển nhiên +) Với n  , theo định nghĩa hàm lồi (1) Giả sử (1) với n  k  Xét với n  k  thuộc D, i  0, i  1, k  Với x 1, x , k  i1 Ta có k k x  x   x i 1 i i i 1 i i k k  k 1xk 1 k 1 (2) (Rõ ràng ta xét với i  với i  1, k  khơng áp dụng giả thiết qui nạp suy điều phải chứng minh) k 1 Đặt    i i 1 k1 Do i  0, i  1, k  mà  i  , nên    i 1 Ta viết lại (2) dạng sau k 1  k 1 x x i i 1 i Do xk , xk 1  D; i 1 k 1 i i   (1   )( k  k 1 xk 1 ) 1 1  0; k 1 1  (3) 1  k   k 1  1 1 1 1 Mà D tập hợp lồi nên x Vế phải (3) viết lại k 1 xk  k 1 1 x k 1 D k1 x  x  x i 1 i 1 i 2   k 1 xk 1  (1  ) x (4) Để ý 1  2    k1  (1  )    (1  )  1, nên từ (4) từ giả thiết qui nạp ta có f (1 x1  2 x2   k 1 xk 1  (1  )x )  1 f (x1 )  2 f (x2 )   k 1 f (x k 1 )  (1   ) f (x ) (5) Mặt khác, f hàm lồi nên     f (x )  f ( k xk  k1 xk 1 )  k f (xk )  k1 f (xk 1 ) 1  1  1  1  n n i 1 i 1 (6) Kết hợp (3), (4), (5), (6) suy f ( i xi )   i f (xi ) Vậy (1) với n  k  Theo nguyên lý qui nạp, suy (1) với n Đó điều phải chứng minh 1.3.3 Chú ý - Bất đẳng thức Jensen có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu hàm lồi Bất đẳng thức sử dụng rộng rãi việc chứng minh bất đẳng thức khác - Người ta hay sử dụng dạng đặc biệt bất đẳng thức Jensen sau Nếu f ( x) : D  D  Khi với n nguyên dương, với x1, x2 , , xn  D Ta có f( x1  x2   xn n )   f ( xi ) n n i 1 f '( x)   2cos x 2sin2 x  6cos2 x suy f ''( x)  sin x sin x   suy f ''( x)  với x  (0, ) Vậy f(x) lồi (0, ) 2 Mặt khác ABC A B C  , , (0, ) , theo bất đẳng thức Jensen ta 2 2 có  A B C     1 A B A  f  2    f ( )  f ( )  f ( ) 3 2       Do 1 1 )  (   A B C C A B sin sin sin sin 2 2 Hay A sin  Vậy sin A B sin   sin B C sin 2  sin C  sin2   12  12 Điều phải chứng minh Ví dụ Cho    xi   với mọ i  1, n Chứng minh n 1     x x  x x x cos cos cos n cos   xn n Chứng minh Xét hàm số f  x  Ta có f   x    với   x  cos x 2 sin x  sin2 x    suy   với   x  f x   2 cos x cos x 35 Do f ( x) hàm lồi với  x   Theo bất đẳng thức Jensen ta có  x  x   xn   f  f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  n   n Điều tương đương với 1 1        x  x   xn n  cos x1 cos x2 cos xn  cos n Hay n 1     x x  cos x1 cos x2 cos x n cos   xn n Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho     n    i 1 i Chứng minh bất đẳng thức sau n n   tan2  i i n n   tan  i  cos 2 n i Chứng minh Xét hàm số f ( x)  tan x với  x  Ta có f  ( x)   2  4sin x   với x  0,  cos x  2  Suy f ( x) hàm lồi x   0,   2 Theo bất đẳng thức Jensen ta có 36  a  a   a n   f  f (1)  f ( )   f (n )   n   n Do tan 1  2   n n  tan 1  tan 2   tan n n n Tương đương  tan Hay n n n   tan i  n  1 tan 2n n i 1 n  i 1 Tức n   tan i n   tan i   1 2cos2  n 1 i n Do n   tan i n i1 n  tan  i 1  cos 2 n i Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh sin A B C A B C  sin  sin  tan  tan  tan   2 2 2 Chứng minh x x Xét hàm số f ( x)  sin  tan với  x   2 Ta có x sin x f  ( x)  cos  2 2cos x x x sin sin x  x  2 Suy f  ( x )   sin   2  cos   0, x  0,   2cos3 x 4cos3 x  2 2 37 Vậy f ( x) hàm lồi 0,   Theo bất đẳng thức Jensen ta có  A  B C  f    f ( A)  f ( B)  f (C )   A A B B C C   1 Hay f     sin  tan  sin  tan  sin  tan  2 2 2   3 A B C A B C    Hay 3 sin  tan   sin  sin  sin  tan  tan  tan 6 2 2 2   A B C A B C Hay sin  sin  sin  tan  tan  tan   2 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho  x i   với i  1, n , Chứng minh n 1     x x  x x x sin sin sin n sin   xn n Chứng minh Xét hàm số f ( x)  Ta có f  ( x)   với  x   sin x cos x  cos x  Suy ( )   với x  0,   f x sin x sin x Do f ( x) hàm lồi 0,   Theo bất đẳng thức Jensen ta có  x  x   xn   f  f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  n   n n 1 Hay     x  x   xn sin x sin x sin xn sin n Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài tập áp dụng Bài Cho n số nguyên dương 38 Giả sử     với i  1; n Chứng minh i i   2   n sin 1  sin 2  sin n  sin n n Bài Cho n số nguyên dương Giả sử       với i  1; n Chứng minh 2 i cos  cos  cos n       n  c os n n 2.5 Chứng minh bất đẳng thức tích phân a) Cơ sở lý luận Dựa vào tính chất hàm lồi ta chứng minh bất đẳng thức tích phân b) Sau số ví dụ minh họa Ví dụ Giả sử f hàm lồi liên tục đoạn  a, b Chứng minh  a  b    b ( )  f (a)  f (b)  f b a   b a   f x dx   a Chứng minh Với x  a ,b  ,x  x a b x b a Ta có b a b a xa bx  0;  b a b a xa bx  1 ba ba Vì hàm f lồi  a, b nên bx  xa bx xa f ( x)  f  b a  f (b)  f (a ) với x  a, b b a  b a b a  b a Do 39 b  f ( x) dx  a b Vậy f (b) b f ( a) b ( x  a) dx  ( b  x) dx  ba a b  a a  1 f (b)(b  a)  f ( a)(b  a ) 2   b  a  f (b)  f (a )   f ( x) d ( x)  (b  a)( f (b)  f ( a)) a b * Bây ta chứng minh f ( Đặt x  t a b )(b  a )   f (x )d (x ) a a b ba , với x  b  t Khi dx  dt Với x  a t   2 b a Do b a b  f ( x)dx   a  b a ab  a b  f  t dt   f   t dt  b a      b a  ab  f  t  dt (1)   Trong tích phân thứ vế phải đẳng thức (1) ta thực phép biến đổi biến số t  u Khi dt  du  b a  a  b  a  b  f  t  dt    f   u  du  2  b a     b a  a  b  f  t dt   Thay vào (1) ta b  a f ( x) dx  b a   a b   a  b   f   t   f   t  dt      b  a a  b  a  b   a  b  Với t  0, ;   t    t   2   2  Vì f lồi  a, b nên từ suy 40 (2)   a  b  1 a  b   ab  f  t    t   f     2  2 1  a b   f  t   2    a  b   Với t  0, b  a  (3) t  f     Từ (2) (3) suy b  a b a b    a b   f ( x) dx   f  dx f    b a     a Ví dụ (Bất đẳng thức MinCowsky) Giả sử p  , f g hàm số liên tục đoạn  a, b Chứng minh 1 p p p  p  p  p   f ( x)  g ( x) dx     f ( x) dx    g ( x) dx  a  a  a  b b b (1) Chứng minh Hiển nhiên (1) với p  1.Giả sử p  Khi p f (x )  g (x )  f (x )  g (x ) f (x )  g (x ) p  f (x ) f (x )  g (x )  g (x ) f (x )  g (x ) b p p x  a ,b  p 1 p 1 b ( f (x )  g (x ) dx )   f (x ) f (x )  g (x ) dx a a b   g ( x) f ( x )  g (x ) p1 dx (2) a Gọi q số thực dương cho cho hai hàm số f f  g b  a f ( x) f ( x)  g( x) p 1 b p 1   Áp dụng bất đẳng thức Holder p q ta p b dx  (  f ( x) dx) p (  f ( x)  g( x) a a 41 ( p 1) q dx) q b b p p  (  f ( x) dx) p (  f ( x)  g ( x) dx)q a (3) a Tương tự b  g ( x) f ( x )  g ( x) p1 b b p p dx  (  f ( x) dx) p (  f ( x)  g ( x) dx) q a a (4) a Từ (2), (3), (4) suy b b b b f ( x)  g( x) dx  (  f ( x) dx) p  (  g( x) dx) q (  f ( x)  g( x) dx) q (5) p  a p a b *) Nếu  q a p a f ( x)  g( x) dx  bất đẳng thức chứng minh p a b *) Nếu  f ( x)  g( x) dx  chia hai vế bất đẳng thức (5) cho p a b p ( f (x )  g (x ) dx ) q ta bất đẳng thức cần chứng minh a Bài tập áp dụng Bài Cho hàm số f có đạo hàm cấp hai đoạn  0;1 Chứng minh 1  f ( x )d ( x)  f (1)   f ( x)d ( x) Bài Chứng minh bất đẳng thức a b a b e e e e với a, b  a b 42 Chƣơng 3: SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC 3.1 Phƣơng pháp sử dụng hàm lồi sáng tạo bất đẳng thức Theo phương pháp sau ta sáng tạo bất đẳng thức dựa vào hàm lồi Bước 1: Lựa chọn hàm số tập xác định cho hàm số lồi (hoặc lõm) Bước 2: Dựa vào tính chất hàm lồi để xây dựng bất đẳng thức Bước 3: Sáng tạo toán Bước 4: Cho lời giải gợi ý phương pháp khác 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Bước 1: Xét hàm y  n( n  1) xn 2 với x  0, n  N *; n  Hiển nhiên y  , với x  Ta có  n( n  1) xn 2dx  nxn 1  c1 Chọn c1  suy  n( n 1) x  nx Chọn c2  suy n1  nx 2 dx  nxn 1 Mặt khác dx  x n  c2 n 1 dx  x n Vậy ta có f (x )  x n , với n  2, n  N * hàm số lồi (0, ) Bước 2: Theo bất đẳng thức Jensen, ta có Với (a1; a2 ; ; a m)  n  a  a   am   (a1  a   a m ) a1n  a2n   amn  m   m mn 1   Bước 3: Sáng tạo toán Với (a1 , a2 , , am )  Chứng minh 43 n a1n  a 2n   a mn  (a1  a   am ) n m n1 Bước 4: Ta chứng minh toán theo cách khác sau Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có (1    1) (1    1) m  1)( m n  a 2n   amn ) m n  ( a1  a2   am) n n n Suy a1  a2   am  n (a1  a2   am ) mn1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Bước 1: Xét hàm số f ( x)  sin(sin x) (0, ) Ta có f '( x)  cosx.cos(sin x) Suy f ''( x)   sin x cos(sin x)  cos x sin(sin x)  với x  (0, ) Suy f ( x) lõm (0, ) Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho số A, B, C moi x (0,  ) ta sinsin A  sinsin B  sinsin C sin A  sin B  sin C   sin   3   (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Jensen cho số A, B, C với x (0, ) hàm số g ( x)  sin x với x (0, ) ta sin A  sin B  sin C A BC  sin 3 Từ (1) (2) suy sin(sin A)  sin(sin B )  sin(sin C ) A BC   sin sin  3   Dấu xảy A  B  C 44 (2) Bước 3: Sáng tạo toán Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh sin(sin A)  sin(sin B)  sin(sin C)  sin Bước 4: Cách giải khác: Dùng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh sin x  sin y  sin z x yz  sin 3 Dấu xảy x  y  z Lần lượt áp dụng bất đẳng thức cho hai số sin A,sin B,sin C A, B, C ta có điều phải chứng minh Ví dụ Bước 1: Xét hàm số f ( x)  x2 suy f '( x)  2x Do f lồi Chọn x1  1, xi  n x Suy i 1 i 1 với i  2, n (i  1)i 1 1       với n 1.2 2.3 (n  1) n n Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Petrovica ta n n  f ( x )  f (  x )  (n  1) f (0) i 1 i i 1 Suy  i 1 1  2    (2  )2 2 n n n 2 ( 1) Do xi khác đôi nên dấu bất đẳng thức không xảy Vậy  1 1  2    (2  )2 2 2 (n  1) n n Bước 3: Sáng tạo toán Với n chứng tỏ 45 1 1 1     (2  ) 12 22 22 32 ( n  1)2 n2 n Bước 4: Cách giải khác Dùng phương pháp qui nạp dễ dàng giải tốn Ví dụ Bước 1: Xét hàm số f ( x)  x3 (0, ) Ta có f (x) khả vi hai lần f ''( x)  x  với x  (0, ) suy f lồi (0, ) Bước 2: Chọn x1  a, x2  b, x3  c 1  b c a , 2  , 3  a b  c a b  c a b c Theo bất đẳng thức Jensen ta có b c a b   f a b c  f ( a)         c a b c a b c a b c a b    Hay c a f (b )  f (c ) a b c a b c b c a ab  bc  ca  a3  b3  c    a b c a b c a b c  a b c  Hay ( a  b  c) ( ac  cb3  ba )  ( ab  bc  ca) Bước 3: Sáng tạo toán Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có (a  b  c) (ac  cb3  ba3 )  (ab  bc  ca) Bước 4: (Cách giải khác) Ta có (ab  bc  ca )2  ( b ba  c cb  a ac )  (a  b  c)(ba2  cb2  ac2 ) Lại có ba  cb  ac  ( ab ba a  bc cb b  ac ac c ) 46 (1)  (ab  bc  ca)(ba3  cb3  ac3 ) (2) Từ (1) (2) suy (ab  bc  ca)4  (a  b  c)2 ( ab  bc  ca)(ac3  cb3  ba3 ) Hay (a  b  c) (ac  ab  ba )  (ab  bc  ca) Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ x Bước 1: Xét hàm số f (x )  e  ln( x  1) (1; ) x Ta có f khả vi đến cấp hai (1; ) f ''( x)  e   với ( x 1)2 x  (1; ) Vậy f lồi (1; ) Bước 2: Do f lồi nên tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm (0;1) y  Theo tính chất hàm lồi tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) nằm phía đồ thị hàm số y  f ( x) Do ta x x có e  ln( x  1)  hay e  ln( x  1)  Bước 3: Sáng tạo toán Chứng minh e  ln( x  1)  với x  (1; ) x Bước 4: Cách giải khác Ta có e x  x  (1) Suy x   ln( x  1)  (2) Từ (1) (2) suy ex  ln( x  1)  Dấu xảy x  47 KẾT LUẬN Các toán bất đẳng thức phong phú đa dạng, đòi hỏi người giải phải vận dụng kiến thức cách linh hoạt Khóa luận đề cập đến phương pháp ứng dụng hàm lồi vào chứng minh lớp bất đẳng thức Đây phương pháp hay độc đáo lạ bạn học sinh trung học học sinh trung học phổ thơng Hi vọng khóa luận cung cấp cho bạn yêu toán phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Do khuôn khổ khóa luận lực thân cịn hạn chế nên em kính mong thầy giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận em đầy đủ hoàn thiện Một lần em xin chân thành cám ơn cô Nguyễn Thị Kiều Nga tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Khải, Giải tích lồi tốn sơ cấp, NXB Giáo dục Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải , Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 2000 Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội Ngô Thế Phiệt, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức G.H.Hardy-J.E.Littlewood-G.Polya Bất đẳng thức Nhà xuất đại học trung học chun nghiệp Hà nội -1981 Tạp chí tốn học tuổi trẻ 49 ... 2.1 Chứng minh bất đẳng thức kinh điển 2.2 Áp dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức đại số 21 2.3 Áp dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức hình học 26 2.4 Chứng minh bất đẳng thức. .. ứng dụng bất đẳng thức Jensen việc chứng minh bất đẳng thức khác Chương 2: Ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày ứng dung hàm lồi việc chứng minh bất đẳng thức kinh điển, bất. .. phải chứng minh 2.3 Áp dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức hình học a) Cơ sở lý luận Bất đẳng thức hình học phần quan trọng lý thuyết bất đẳng thức Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức