(SKKN 2022) Phân dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận, định hướng giải nhanh phần Nguyên hàm - Tích phân

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng chiếm vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung Ngun hàm – Tích phân ứng dụng trình bày tồn chương giải tích 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng nội dung xuất cấu trúc, ma trận đề thi Tốt nghiệp THPT Đây chủ đề có nhiều khó khăn việc dạy học Ngồi ra, việc trình bày kiến thức SGK, SBT sách tham khảo, hệ thống tập dàn trải học sinh thường thời gian giải tập phần Đã có số đề tài nghiên cứu vận dụng phương pháp dạy học tích cực xác định sai lầm thường gặp học sinh giải tốn Ngun hàm – Tích phân nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Tuy nhiên, đề tài quan tâm nghiên cứu việc phân dạng tập giúp học sinh tiếp cận nhanh xác định nhanh hướng giải Xuất phát từ lý trên, từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm tòi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn internet, tơi lựa chọn đề tài: “Phân dạng tập giúp học sinh tiếp cận, định hướng cách giải nhanh phần Nguyên hàm – Tích phân” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng; - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ bổ sung vào hành trang kiến thức cho HS để bước vào kì thi Tốt nghiệp THPT; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phân dạng tốn Ngun hàm – Tích phân để giải toán liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 lớp 12; - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F '( x) = f ( x) với x ∈ K Định lí 1: Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) K Định lí 2: Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K nguyên hàm f ( x) K có dạng F ( x) + C , với C số 2.1.2 Tính chất nguyên hàm TC1: ∫ f '( x)dx = f ( x) + C TC2: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx TC3: ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx 2.1.3 Bảng nguyên hàm từ định nghĩa: Bảng nguyên hàm: ∫ 0dx = C x ∫ a dx = ∫ 1dx = x + C α ∫ x dx = ∫ cos xdx = sin x + C xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ sin xdx = − cos x + C 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ cos ∫ e dx = e ∫ sin x x ax + C (0 < a ≠ 1) ln a x +C x dx = tan x + C dx = − cot x + C 2.1.4 Bảng nguyên hàm bổ sung: Định lí: Nếu tục ∫ f (u )du = F (u ) + C u = u ( x) hàm số có đạo hàm liên ∫ f (u ( x))u '( x)dx = F (u ( x)) + C Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0) ta có: ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Ví dụ: π π 2 a) ∫ cos(2 x + )dx = sin(2 x + ) + C ∫ c) sin x dx = −2 cot b) ∫ e−2 x dx = − e−2 x + C x +C x 3 x d) ∫ ( + 1)5 dx = ( + 1)6 + C Từ ta có bảng nguyên hàm bổ sung: Bảng nguyên hàm bổ sung: a ≠ α ∫ (ax + b) dx = 1 (ax + b)α +1 +C a α +1 ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ∫e ax + b ∫a dx = mx + n ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C ax +b e +C a ∫ cos a mx + n dx = + C (m ≠ 0, < a ≠ 1) m ln a ∫ sin 2 1 dx = tan(ax + b) + C (ax + b) a 1 dx = − cot(ax + b) + C (ax + b) a Chú ý: Vi phân: u = ϕ ( x) ⇒ du = ϕ '( x)dx Ví dụ: a) 2u = 3x ⇒ 4udu = 3dx b) t = tan c) u = x + ⇒ u = x + ⇒ 2udu = dx x ⇒ dt = dx 2 x cos 2 d) u = x − ⇒ du = − (2 x − 3) dx 2.1.5 Tích phân tính chất Định nghĩa: Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn [ a; b] Giả sử F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn [ a; b] Hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ a; b] hàm số f ( x) b b a a TC1: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b TC2: ∫ [ a TC3: b b a a f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm tốn ngun hàm, tích phân ln xuất hiện, chiếm khoảng 10% đề thi chủ yếu câu thuộc mức độ nhận biết, thông hiểu Đối với đa số học sinh chưa nắm vững, nhận dạng toán gần học sinh nhiều thời gian việc định hướng cách làm q trình làm thường mắc sai sót Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải tốn học sinh Trong u cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân dạng tốn Ngun hàm – Tích phân - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong toán yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: Chia thành dạng nguyên hàm sau: 2.3.1 Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Trong sách giáo viên (Ban bản, trang 114) có nêu bảng nguyên hàm dạng hàm số hợp f(u) với u = u(x) Tuy nhiên, qua thực tế cho thấy học sinh khó nhớ vận dụng vào tập, có dạng giống cơng thức mà xuất thêm hệ số α mà học sinh khơng vận dụng cơng thức Ví dụ: Từ công thức ∫ [ u ( x)] u '( x)dx = [ α Nếu học sinh gặp toán u ( x)] α +1 α +1 ∫ (2 x + C (α ≠ −1) + 1)3 xdx , học sinh nhận thấy (2x2+1)’=4x, học sinh học trung bình – trở lên áp dụng cơng thức Nhưng gặp toán ∫ (2 x + 1)3 xdx em khơng thể vận dụng Từ lý trên, để tạo điều kiện cho học sinh làm tập có hiệu quả, tơi nêu lên số trường hợp đổi biến thông dụng tốn tính ngun hàm phương pháp đổi biến 2.3.1.1.Một số trường hợp đổi biến thông dụng: Dấu hiệu Hàm số có chứa mẫu Hàm số có chứa Hàm số có chứa lũy thừa Cách đặt biến u mẫu u toàn u lượng lũy thừa u = ϕ ( x) ∫ f [ ϕ ( x)] ϕ '( x)dx ∫ Nhân tử mẫu cho x f ( x2 ) dx x Đặt u = x ∫ f( a − x )dx ∫ f( a + x )dx 2 π π ≤t ≤ ) 2 π π x = a tan t (− < t < ) 2 x = a sin t (− ∫ f (a + x )dx 2.3.1.2.Các ví dụ cụ thể cho dấu hiệu: Ở ví dụ ta cho tập từ đơn giản đến phức tạp 2.3.1.2.1 Hàm số có chứa mẫu: A=∫ x2 dx − x3 A = ∫− B = ∫ Đặt u = 1–x3 ⇒ du=-3x2dx ⇒ x2dx= − du Suy du 3u x3 2 ⇒ ⇒ ⇒ Đặt u = 1+x x = u-1 2xdx=du xdx= du dx + x2 Suy B = ∫ u −1 1 du = ∫ (1 − )du 2u u  C = ∫ tan xdx = ∫ sin x dx Đặt u=cosx ⇒ du=-sinxdx ⇒ sinxdx = -du Suy cos x C = ∫ − du u D = ∫ D=∫ x +1 dx Đặt u=x2+2x+3 ⇒ du=2(x+1)dx ⇒ (x+1)dx= du Suy x + 2x + 2 du 2u 2.3.1.2.2 Hàm số có chứa căn:  A = ∫ x + 1dx x3 B = ∫ 4− x dx Đặt u = − x ⇒ u2 =4-x2 ⇒ x2=4-u2 ⇒ xdx=-udu Suy B = ∫ Đặt u = x + ⇒ u2=x+1 ⇒ 2udu=dx Suy A = ∫ 2u du −(4 − u )udu = ∫ (u − 4)du u u3 −1 ⇒  C = ∫ x15 + 3x8 dx = ∫ x8 x + 3x8 dx Đặt u= + 3x8 ⇒ u3=1+3x8 ⇒ x8 = u2 du x7dx= Suy C = ∫ D = ∫ (u − 1)u du = ∫ (u − u )du 24 24 1 dx Đặt u= cot x ⇒ u2=cotx ⇒ -2udu= dx Suy sin x cot x sin x D = ∫− 2u du = ∫ −2du u 2.3.1.2.3 Hàm số có chứa lũy thừa:  A = ∫ x(4 x − 5)100 dx Đặt u = 4x2-5 ⇒ du=8xdx ⇒ xdx= du Suy A = ∫ u100 du  B = ∫ sin x cos xdx Đặt u = sinx ⇒ du =cosxdx Suy B = ∫ u 5du  C = ∫ x 2009 (1 + x 2010 )2 dx Đặt u=1+x2010 ⇒ du=2010x2009dx ⇒ x2009dx = Suy C = ∫ D = ∫ u du 2010 ln x dx Đặt u=lnx ⇒ du= dx Suy D = ∫ u du x x 2.3.1.2.4 ∫ f [ u ( x )] u '( x )dx : du 2010  A = ∫ e3sin x cos xdx B = ∫ Đặt u = 3sinx ⇒ du=cosxdx Suy A = ∫ eu du 1 dx Đặt u = lnx ⇒ du = dx Suy B = ∫ du x cos (ln x) x cos u sin x cos x C = ∫ cos x − sin x 2 dx = ∫ sin x dx cos x Đặt u= cos 2x ⇒ u2 =cos2x ⇒ 2udu=-2sin2xdx ⇒ sin2xdx=-udu Suy C = ∫− D = ∫ 1u du = ∫ − du 2u + 3ln x 1 dx Đặt u=1+3lnx ⇒ du= dx Suy D = ∫ udu x x 2.3.1.2.5 ∫ A=∫ f ( x2 ) dx : x dx x x −1 =∫ xdx x x −1 Đặt u = x − ⇒ u2 =x2 -1 ⇒ x2=u2+1 ⇒ xdx= udu u Suy A = ∫ u (u + 1) du = ∫ + u du 2  B = ∫ + x dx = ∫ x +2 x dx Đặt u = + x ⇒ u2 =x2 +1 ⇒ udu =xdx Suy x B = ∫ x u2 du u2 −1 2.3.1.2.6 ∫ f ( a − x )dx ∫ f( a + x )dx : π π  A = ∫ − x dx Đặt x =2sint ( − ≤ t ≤ ) ⇒ dx =2costdt Suy A = ∫ − 4sin t cos tdt = ∫ cos tdt B = ∫ dx Đặt x = + x2 Suy B = ∫ tant ( − π π < t < ) ⇒ dx= dt 2 cos t dt = ∫ dt 2 2(1 + tan t ) cos t 2.3.2 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: Nguyên hàm hàm số hữu tỉ phức tạp, nghiên cứu sâu vào hàm số khơng phù hợp với yêu cầu sách giáo khoa, tơi nghiên cứu hàm số hữu tỉ có dạng 2.3.2.1.Hằng đẳng thức: P( x) với P(x) đa thức ax + bx + c 1 1 1 =  − ÷ (*) AB A − B  B A  1 1 Ví dụ: a) x − x + = ( x − 1)( x − 4) = ( x − − x − 1) 1 1 b) ( x + 2)( x + 1) = ( x + − x + ) 2.3.2.2.Nguyên hàm hàm số P( x) ax + bx + c 2.3.2.2.1.P(x)=A (hằng số): a) ∆ < : Đưa dạng u' (k số) u + k2 b) ∆ =0 : Đưa dạng u' u2 c) ∆ >0 : Đưa dạng h u' (k số) đưa dạng ( x − x1 )( x − x2 ) k −u 2 áp dụng đẳng thức (*) Ví dụ: Tính:  A=∫ dx = x + x +1 ∫ 2 Đặt x+ = Suy B = ∫  D=∫ dx ( x + )2 + ( )2 2 3 tant ⇒ dx= dt 2 cos t A=∫ 1 dt = ∫ dt 3 (1 + tan t ) cos t 1 1 dx = ∫ dx = − +C x + 12 x + (2 x + 3) (2 x + 3) 1 1 x −1 dx = ∫ dx = ∫ ( − ) dx ln +C 1 = 2x − x −1 x − 1 2( x − 1)( x − ) x− x− 2 2 2.3.2.2.2.P(x)=Ax+B: Ta biến đổi dạng k ( ax + bx + c) ' h + 2 ax + bx + c ax + bx + c Ví dụ: Tính A=∫ 2x + 2x +1 dx = ∫ dx + ∫ dx = A1 + A2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 Để tính A1 ta đặt u=x2+x+1 tính A2 thực phần 2.1 B = ∫ 2x +1 4x + 4x −1 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = B1 + B2 2x − x −1 2x − x −1 2x − x −1 2x − x −1 Để tính B1 ta đặt u=2x2-x-1 tính B2 thực phần 2.1 2.3.2.2.3 P(x) có bậc lớn 1: Ta chia P(x) cho ax2+bx+c để đưa trường hợp nêu Ví dụ: A = ∫ B=∫ x3 dx = ∫ ( x − + ) dx x + x +1 x + x +1 x + 12 x + x dx = ∫ ( x + )dx x + 12 x + x + 12 x + x2 − x + 2x − C=∫ dx == ∫ (1 + + )dx x − 3x + x − 3x + x − 3x + 2.3.3 Nguyên hàm hàm số lượng giác: Nói chung hàm số dấu tích phân hàm số lượng giác, ta cần biến đổi để đưa dạng nêu phần 2.3.2 Tuy nhiên dạng này, nhiều phức tạp, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều Do vậy, đưa vài dạng mà nghĩ học sinh thường hay gặp dx 2.3.3.1 Dạng ∫ R(sin x, cos x) : Phương pháp: Đặt t=tan x biến đổi đưa tích phân hàm số hữu tỉ theo t x x 2dt 2t ⇒ Chú ý: Đặt t=tan dt= cos x dx= (1+tan2 )dx ⇒ dx= sinx= 2 1+ t 1+ t2 2t 1− t2 , cosx= , tanx= 1− t2 1+ t Ví dụ: Tính a) A = ∫ dx 2sin x + cos x 10 x Đặt t=tan ⇒ dx= 2dt 1+ t2 Suy x tan − − 2dt dt t −2− A=∫ = −2 ∫ =− ln +C = − ln +C −t + 4t + (t − 2) − 5 t −2+ 5 tan x − + b) B= ∫ dx dx dx =∫ = 2∫ 2sin x + cos x − 4sin x cos x − cos x + + cos x − 2sin x − cos x − 4sin x 2 Đặt t=tanx ⇒ dx= dt 1+ t2 Suy t −1 − 2dt dt dt + C = ln B=∫ =∫ = ∫ = ln 4t − 8t + 2t − 4t + (t − 1) − 2 t − + 2 2 tan x − − +C tan x − + m n 2.3.3.2 Dạng ∫ sin x cos xdx (m, n∈ Z): Phương pháp: Xét trường hợp: Nếu m lẻ (hoặc n lẻ): Đặt u=cosx (hoặc u=sinx) Nếu m n chẵn có hai số số âm: Đặt t=tanx Nếu m n số dương chẵn: Dùng công thức hạ bậc Ví dụ: Tính: 2 a) A = ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − cos x) cos x sin xdx Đặt u=cosx ⇒ du=-sinxdx ⇒ sinxdx=-du u5 u3 cos5 x cos3 x − +C Suy A = ∫ (1 − u )u (−du ) = ∫ (u − u )du = − + C = 5 b) B = ∫ dx sin xdx =∫ sin x − cos x Đặt u=cosx ⇒ -du=sinxdx Suy B = ∫ du 1 1 u −1 cos x − = ∫( − )du = ln + C = ln +C u −1 u −1 u +1 u +1 cos x + 1 + cos x ) dx = ∫ (1 − cos x)(1 + cos x) dx 16 c) C = ∫ sin x cos4 xdx = ∫ sin 2 x( 11 == 1 1 1 (1 + cos x − cos x − cos x) dx = x + sin x − sin x + C ∫ 16 2 16 64 192 sin x d) D = ∫ dx = ∫ tan x dx cos x cos x Đặt u=tanx ⇒ du= u5 tan x dx D = u du = + C = +C Suy ∫ cos x 5 2.3.3.3.Dạng ∫ sin ax cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, ∫ cos ax cos bxdx : Phương pháp: Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng Ví dụ: Tính a) ∫ sin x cos xdx b) ∫ sin 3x sin xdx c) ∫ cos x cos xdx 2.3.4 Phương pháp tính nguyên hàm phần: Nếu u= u(x), v=v(x) hàm số xác định có đạo hàm liên tục K ∫ udv = uv − ∫ vdu Trong thực tế, việc vận dụng phương pháp tính nguyên hàm phần phải linh hoạt Đơi phải có dự đốn khác thường Do đó, tơi nêu hai dạng mà học sinh thường gặp 2.3.4.1.Dạng 1: Gọi P(x) đa thức ∫ P( x).a mx dx : Đặt u=P(x), dv=amxdx ∫ P( x) sin axdx : Đặt u=P(x), dv=sinaxdx ∫ P( x) cos axdx : Đặt u=P(x), dv=cosaxdx 2.3.4.2 Dạng 2: ∫ P( x) log a xdx : Đặt u=logax, dv=P(x)dx Qua hai dạng ta ý cho học sinh cần nhớ cách đặt dạng cịn dạng ngược lại Ví dụ: Tính a) A = ∫ x ln xdx  du = dx  u = ln x  x ⇒ Đặt   dv = x dx v = x  12 Suy A = x3 x3 x3 ln x − ∫ x dx = ln x − + C 3 x b) B = ∫ ( x − 1)3 dx  du = dx u = x −  ⇒ Đặt  3x x dv = dx v =   ln  Suy B = ( x − 1)3x 3x ( x − 1)3x 3x −∫ dx = − +C ln ln ln ln c) E = ∫ x cos 3xdx du = dx u = x  ⇒ Đặt   dv = cos 3xdx v = sin 3x  3 Suy E = x sin 3x − ∫ sin 3xdx = x sin 3x + cos 3x + C x d) D = ∫ e sin xdx u = e x du = e x dx ⇒ Đặt    dv = sin xdx v = − cos x x x Suy D = −e cos x + ∫ e cos xdx u = e x du = e x dx ⇒ Lại đặt    dv = cos xdx v = sin x x x x Suy ∫ e cos xdx = e sin x − ∫ e sin xdx x e Do đó, D = −e x cos x + e x sin x − D ⇒ 2D=ex(sinx-cosx) ⇒ D = (sin x − cos x) + C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tơi tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh hứng thú học tập mơn tốn, em biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị động, em cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học 13 sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2021 – 2022 áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12C3, không áp dụng cho lớp 12C5 Sau kết thúc kỳ thi thử Tốt nghiệp THPT Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức kết làm cho thấy lớp 12C3 có 95% học sinh giải tốn liên quan đến Nguyên hàm, tích phân lớp 12C5 có 47,12% Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Sau thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp; hệ thống, phân dạng lại tốn Ngun hàm, tích phân ví dụ, cụ thể: • Bảng ngun hàm mở rộng • Một số cơng thức đổi biến số thường gặp • Ngun hàm, tích phân hàm số hữu tỉ • Ngun hàm, tích phân hàm số lượng giác • Phương pháp nguyên hàm phần cách vận dụng Từ việc phân dạng tập phải ý học sinh yếu kém, giáo viên nên coi trọng tính vững kiến thức, kĩ chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức Do việc luyện tập cần đặc biệt ý Khoảng cách tập liên tiếp không nên xa, cao Cần cho học sinh bước theo bậc thang vừa với sức mình, học sinh đỡ bị hẫng, bị hụt, bị ngã, có nhiều khả leo hết nấc thang dành cho họ để chiếm lĩnh kiến thức, kĩ mà chương trình yêu cầu Những nấc thang đầu dù có thấp, bước chuyển bậc dù có ngắn học sinh thành cơng tạo nên yếu tố tâm lí quan trọng: em tin vào thân, tin vào sức mình, từ có đủ nghị lực tâm vượt qua kỳ thi 14 Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn, định hướng cách giải giúp học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng toán ngun hàm tích phân Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngồi sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để chúng tơi áp dụng q trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Nga 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải tốn tích phân, Nxb Hà Nội [3] Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm [4] Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục [5] Trần Phương, Phương pháp giải tốn tích phân, Nxb ĐHQG Hà Nội [6] Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục 16 ... (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải tốn học sinh Trong u cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân dạng tốn Ngun hàm – Tích phân - Tổ chức kiểm... thức học sinh - Trong toán yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: Chia thành dạng nguyên hàm. .. thống, phân dạng lại tốn Ngun hàm, tích phân ví dụ, cụ thể: • Bảng ngun hàm mở rộng • Một số cơng thức đổi biến số thường gặp • Ngun hàm, tích phân hàm số hữu tỉ • Ngun hàm, tích phân hàm số