điêm bằng nhan nên 2 tiếp tuyến ng với lai hoành độ tiếp điêm này trùng nhan... Hiện tại ta không dùng điêu kiện này đề xác định tiếp tuyến nữa, từ đó dẫn đến một sô khó khăn khi giải mộ
Trang 1Phương trình tiếp tuyến
BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG I/ MOT SO SALLAM HOC SINH THUONG MAC PHAI
1) Học sinh thường nghi sai lam la: Ung véi hai tiép diém khác nhau thì lai tiếp tuyến khác nhan
Ta biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm so y = f(x)
Tai diem M(xo; Yo) lady: y =f (Xo0)(K — Xo) + Yo
Tai diém N(x:; y1) la do: y =f'(x1)(K—X1) +1
Vậy néu Xo + X; ma f'(Xp) = f'(X;) Va — Xo.f (Xo) + Yo =—X1-f'(X1) + yy thì dị trùng đ;
Hoc sinh gidi: Goi B(Xo: yo) thuộc (C) là diém can tim va B khong tring A nén diéu kién xo + 1
Tiệp tuyén tai B song song tiép tuyén tai A nén ta có
f(xa) =f(1) ® 4x0 — 4x9 = 0 © 4xo(Xo" — 1) = 0 © xo = 0, Xo =-1, Xo = 1 (loại)
Vay B là điêm B¡(0: 3) hoặc Ba(-1 2)
Thực chất tiếp tuyến tại B;(0; 3) có phương trình là: y = 3, tiếp tuyến tại B:(-1; 2) có phương trình
là:y=2, tiếp tuyến tại 4(1;2) có phương trình là: y = 2 Do đó chọn B(0;3)
Ví dụ 2: Cho hàm SỐ y = f(x) = x* — 2x? + 3 (*) Tìm trên đường thăng y = 2 những điểm mà qua đó ta
kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*)
Học sinh giải: Gọi M(a: 2) là điểm thuộc đường thăng y =2 Phương trình đường thăng d di qua điềm
M có hệ số góc k là y = k(x - a) + 2 Ta có d là tiêp tuyên của (C) © hệ phương trình sau có nghiệm x* —2x? +3=k(x—a)+2 (1)
tre —4x =k (2)
The (2) vao (1) ta duoc phuong trinh: 3x* — 4ax? — 2x? + dax-1=0
*—1=0
g(x) =3x* —4ax+1=0 Qua M(a; 2) kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) ® phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt ©
phương trình ø(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt đêu khác -I và khác l
Kết luận nay sai vi ~=ÏÌ =bèx= I;x=-l thé vao (2) ta được hai gid trik bang nhau, thé vao
hàm số được 2 tung độ tiếp điêm bằng nhan nên 2 tiếp tuyến ng với lai hoành độ tiếp điêm này trùng nhan Do đó không tôn tại điêm 'M trên đường thang | y=2dé qua đó ke được 4 tiếp tuyến
phân biệt với (C)
Vi du 3: Cho hàm số y = xỶ — 3x” + 3 (*) Tìm trên đường thắng y = - 1 những điểm mà qua đó kẻ được
3 tiêp tuyên phân biệt với đồ thị (C) cua ham so (*)
Trang 2
Hoc sinh giai:
Goi M(a; -1) la diem thuộc đường thăng y = -1 Phương trình đường thăng d đi qua điểm M có hệ số góc k là y = k(x - a) — I Ta có d là tiêp tuyên của (C) ® hệ phương trình sau có nghiệm
& (x 2)|2 x*+(1-3a)x+2 |= oe +(1—3a)x+2=0
Qua M(a; 2) ké durge 3 tiép tuyén phan biét voi (C) phương trình (3) có 3 nghiệm phan biét ©
A 2 0 phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phan biét x;, x» déu khac 2 © S| 5
g(2)z0 =<a#2
3 Thiec ra cach ly luận này cinta hoàn chữnh, biết đâu xáy ra k(X¡) = k(x:) hoặc k(x)) = k(2) hoặc k(2)
= k(x») thi sao!
Ta phải lý luận như sau: Qua Mía: 2) kẻ được 3 tiêp tuyên phân biệt với (C) & phwong trinh (3) có 3 nghiệm phân biệt và thẻ vào (2) được 3 giá trị k khác nhau > phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt xị x: đêu khác 2 và k(x¡) £ k(xa) và k(xị) £ k(2) và k(2) £ k(x›)
Goi M(xo: Yo) thuộc (C) & yo= Xo" —3Xo +3
Gọi k là hệ số góc của đường thăng d đi qua điểm M(so: yo) Ta có phương trình đường thăng đ: y = k(X — Xo) + Xo = 3X0° +3
Ta có đ là tiếp tuyến của (C) £ hệ EHWbNp trình sau có nghiệm
oR 3 ; ¬ ox k pis 3 —#
Qua điệm M(xọ: vọ) kẻ đúng một tiêp tuyên voi (C) & xo = — © Xo= 1
Vậy qua điểm M(I: 1) thuộc (C) ta kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)
Thiec ra cach ự ludn nay chiva hoan chinh, ta can kiém tra xem:
Trang 3Phương trình tiếp tuyến
2) Khi viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thăng cho trước học sinh
hay quên kiểm tra tung độ gốc có khác nhau hay không
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đỏ thị hàm số y = f(x) = x? — 3x” +2 biét tiếp tuyến song song với đường thăng d: y = 9x + 7
Học sinh giải: Ta có y` = f(x) = 3x — 6x
Tiếp tuyến tại điểm MŒq: yọ) song song đ nên ta có: f(Xxạ) = 9 ® Xạ”— 2xXạ— 3 =0
© Xo = -l, Xo = 3
+X9=-l >yo=-2 > Phương trình tiếp tuyển tại điểm M(-1: -2) là: y = 9x + 7
+ xo = 3 =>yo =2 > Phương trình tiếp tuyên tại diem nh 2) là: y=9x— 25
Vay co 2 tiép song song voi d la: y = 9x + 7, y= 9x—
Thiec ra chi có một tiép myén song song với đ là y = > — 25
nên ta có #"„(2)=—l<©—————>— =-~Ì © mm“ +3m +2 = Ũ © mm =—],1m =—2
(2-m)ˆ Vậy m = -l, m = -2 là các giả trị cân tim
3m+1
Tiép tuyen véi (Cm) tai A song song duong thang y = x — 10
Thiec ra: +m =-] ta dugc tiép tuyén tai A lay =x + 1 (tring dwéng thang d)
Trang 4+7m = -1⁄5 ta được tiếp tuyến tại 4 là y = x—
TA ] x er * A `
Vay m= -= la gid tri can tim
II/ MOT SO KHO KHAN TRONG TINH TOAN
Trước đây ta dùng điêu kiện có nghiệm kép của phương trình hoành độ giao điểm đề xác định tiếp tuyến Hiện tại ta không dùng điêu kiện này đề xác định tiếp tuyến nữa, từ đó dẫn đến một sô khó khăn khi giải một sô bài toán liên quan đến tiếp tuy én
Giải: Gọi Ma: 2) thuộc đường thăng y=2
Đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x - a) + 2
P37 42=k(x-a)t+2M „
Ta co d la tiếp tuyến của (C) Hệ phương trình ; co nghiem
The (2) vào (1) ta được phương trình : 2x” - (3a + 3)x + 6a=0 (3) hoặc x =0
+ Với x = 0 suy ra k= 0 Ta được tiếp tuyến y=2 không có tiếp tuyến nào vuông góc tiếp tuyến này + Do đó có 2 tiếp tuyến qua M vuông góc nhau Phương trình (3) có 2 nghiệm xạ, xa sao cho
Gọi Mía: 2) thuộc đường thăng y = 2
Đường thang d qua điểm M có hệ số góc k là: y = k(x - a) + 2
Trang 5Phương trình tiếp tuyến
: ; x X° =~ 2X43 6 as eves ‘i i ~ sài ~ #
Vi du 3: Cho ham so y= — co do thi la (C) Tim tap hop nhttng diem M trong mat phang toa
Đường thăng d qua diém M có hệ số góc k là: y = k(x - a) +b
Ta có đ là tiếp tuyến của (C) ©® Hệ phương trình sau có nghiệm
Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc > phương trình (5) có 2 nghiệm ky, ky déu khac ai : và
ba (a—1) +b? =8
k,.kb = -1 => mm atl
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn có phương trình (2): (x— 1L)+ yˆ=§ với x# l và y#x
— 1 Hay tập hợp các điểm M là đường tròn (C): (x— 1)” + y” = § bỏ đi 4 giao điểm của (2) với đường
thang x = 1 (tiệm cận đứng của (C)) và với đường thăng y =x— l (tiệm cận xiên của (C))
„é—]
Ví dụ 4: Cho ham so y= f(x) =x-1+ ; có đỏ thị là (Cm)
Xx
Tìm điêu kiện cân và đủ của m đề trên mặt phăng toa độ ton tai it nhat mot diem sao cho từ đó kê được
2 tiếp tuyên với (Cm) và 2 tiêp tuyền này vuông góc nhau
Trang 6Giả sử (Cm) có một cặp tiếp tuyến vuông góc <> 3x,:x, : ƒ (x¡).ƒ (x;)=—
& k<-lhoac0<k<1Khim>1
Vay với m > l thì trên mặt phẳng tọa độ tôn tai it nhat mot diém (giao cua 2 tiếp tuyến có hệ só góc k và -l/K) sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) va 2 tiếp tuyến này vuông góc nhau III/ MOT SO LUNG TUNG MA HOC SINH GAP PHAI KHI LAM TOAN VE
Phương trình tiếp tuyến (đ) với (C) tại điểm M(Xo: yo) 1a:
y = f'(Xo)(X — Xo) + Yo & X.f (Xo) — y + Yo — Xo.f (Xo)
Ta có (đ) hop voi duong thang 3x — y + 1 = 0 géc 45° khi va chi khi
Trang 7Phương trình tiếp tuyến
Nhận xét: Vì ở lớp 10 học sinh không học công thức tính góc hợp bởi hai đường thăng theo hệ sô
óc | tan(d,.d,) = 2
2 tnt i VifCa = ta không được dùng công thức này, tặc dù dùng công thức này tinh
nhanh hơn Mà nói đến tiếp tuyến thì throng nghi dén hé sé góc , cho nên khi gặp bài này học sinh lũng túng không biết dat van dé dé gidi
Vi du 2: Cho ham sé == (C)
=
Tìm những điểm trên trục “Oy sao cho tir mỗi điểm đó có thể kẻ được 2 tiếp tuy ến với đồ thi (C)
và 2 tiêp điểm của 2 tiếp tuyến đó năm về 2 phía của trục Ox
Ta tim b sao cho phương trinh (*) có 2 2 nghiệm trải dau déu khac 1 & -2 <b #1
Nhận xét: Nếu 2 tiếp điêm năm về 2 phía của trục Qy thì học sinh dé lam, vì hoc sinh thường giải theo hoành độ tiếp điêm, cho nên liên quan đến tung độ hoc sinh sé ling ting khi dat van đê đề giải
Trang 8Từ bảng biến thiên ta có tập giá tri cua ham so (Xo) la T = (-00; 0)U [1; += )
Vay voi k <0 hoac k > 1 thi trén do thi (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thăng y = kx
Nhận xét: Học sinh sẽ gặp khó khăn khi tìm k đề phieong trinh (*) co it nhất một nghiém Xo
Tiếp tuyến với (C) tại điệm M(xXo, f(xo)) có hệ số goc la: f (xo) = 5x0 + 20xo°
Ta cd: f’(xo) = 20xo° + 60Xo°
Trang 9Phương trình tiếp tuyến
MỘT SÓ BÀI TẬP HAY VỀ TIẾP TUYẾN Bai 1:
Cho (Cm):y = „mm Định mì để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ xo = 4 thi
x—=m sonø soiơ với đường phân øiác thứ 2 của óc hỆ trục
Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
Trang 10k= Yor
(x, +1) +(y,+2) =4m
Bai 3:
A on” 2 sar ont ~Z 2 oS ° x + l
Tim toa do giao diém cua cac tiép tuyén cua do thi y = Với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó
vuông cóc với đường thẳng y = x + 2006
Phương trình tiếp tuyến (T) với (€) tại
Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi # (xạ) E 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Trang 11Phương trình tiếp tuyến
Cho ham so y = 3X) —X+ 5 c0 do thi (C) Tìm trên do thi (C) diém ma tai do tiép tuyén cua do thi (C)
vuong 20c Voi duong thang y =— x+ 7
HD:
Goi Al Xe X; —Xo +) là điểm bất kỳ thộc (C)
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc k =Yw) =(X—]) ()
Do (T) vuông góc với đường thẳng y = = += =>k=3
Trang 12Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
P nh =3⁄6-3 |" =(3+6,3V6 —3)
x=3-V6 |y=-3¥6-3 |M, =(-6,-3V6 -3)
Bai 8:
Cho ham so y = mx° —(m—1)x* —(m+2)x+m-—1, (Cm)
L.Tim m dé (Cm) dat cure dai tai x = -1
2.Khi m = 1, tùn trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
Gọi A(0,a) € Oy , (d) 1a du@ng thang qua A dang :y =kx+a
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
1.Qua A(1.0) có thể kẻ được mãẫy tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyên ay
2.CME không có tiếp tuyến nào khác của (C) song sonø với tiếp tuyên gua A của (C) nói trên
Trang 13Phương trình tiếp tuyến
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
1.Gọi (đ) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ xụ = a CMR hoành độ các øíao điểm của
tiếp tuyên (d) với đồ thị là nghiệm của phương trình (x—a)°(X” + 2ax+3a”—6)=0
2.Tìm tất cả các øiá trí của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M Tìm
gũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ
Tiếp tuyển tại M có phương trình y = 2a(a“ — 3)X _= +3a +
Phương trình hoành độ giao điểm của (đ) và (C) là :
_ +2 = 2a(a’ -3)x-Sa4 +3a? +2
<> (x—a)’(x’ + 2ax +3a’ —6) =0
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : x”+2ax+ 3a”—6= 0 có
Cho hàm số y =—x” +2mx”—2m +1 có đò thị là (Cm).Định m để các tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại A và
B điểm cố định vuông óc nhau
Trang 14Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
uép tuyén do bang —
HD:
Goi M(Xo.yo) Ey =X = M(x,.X,) => tiếp tuyến tại M tiếp xtic (C) dang y = k(x—x,)+x, (d)
Phương trinh hoanh do ctia (d) va (C) kx—kx, +X, =— (1)
=| 9 ©œxy=+7= (V7,-V7)
X) +1=8 M(V7,V7)
Bai 15:
Cho Parabol (P): y =2x”+x—3 Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 øóc 45“
HD:
Gọi M(0,m) € Oy Phương trình qua M có hệ số góc klà y=kx+m (đ)
Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
2x?+x—3=kx+m<> 2x” +(I—k)xX-m—3=0 (1)
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép <> A=0
©k”-2k+8m+25=0 (2)
Có k,+k, =2; k,.k; =8m+25
Trang 15Phương trình tiếp tuyến
- x” (Sie ee % isi ge ae ae ee 2b Zeige oF
Cho ham so y = 5Ÿ Loi do thi la (C) 13m trền đường V = 4 tât ca các điêm mà từ môi điểm đó có thê
A=(a—1)°k? —4(a—2)k =0 K| (a—D”—4(a~2) |=0 (2)
Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45? khi phương trình (2) có 2 nghiệm kị,k› (k # l)
Trang 16
Bài 17:
2
oo = PREZ 2 ge: x owing pisses 56 te a? 8 s
Cho ham so y = a Có đồ thị (C) Tìm trên (C) các điêm A dé tiềp tuyên của đồ thị tại 4 vuông
= —
sốc với đường thing di qua A và có tâm đối xứng của đồ thị
HD:
Giả sử al X9.X) +2+ ; | là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận
Xạ—
=> Al =[I-x.l~x — 4 |
XạTL Như vậy AI là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A, có hệ số góc
Goi M(1,m) €x =1.Du@ng thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y =k(x—l)+m
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
Trang 17Phương trình tiếp tuyến
Bài 19:
Cho hàm số y = x`+3x” Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thị (C) trone đó có 2 tiếp tuyến vuông øóc với nhau
HD:
Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : y = k(x—m)
(d) la ti€p tuyén (C) khi ae (1)
3x +6x=k
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi (I) có 3 giá trị k
sao cho 2 trong 3 giá trị đó tích bằng -1
Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì k, = 3xƒ +6x,,k; = 3x? +6x,,k¿ =0
Theo bài toán : k,k, =—l © (3x; +6x,)(3x? +6x,)=—l