200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng có đáp án và lời giải

www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO I NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn  0;1 thỏa mãn 1 f (1) =   f  ( x ) dx =  ( x + 1) e x f ( x ) dx = 0 A I = − e e2 − Tính tích phân I =  f ( x ) dx e C I = B I = e − D I = e −1 Lời giải Chọn B Xét tích phân  ( x + 1) e f ( x ) dx x u = f ( x ) du = f  ( x ) dx  Đặt   x x dv = ( x + 1) e dx v = xe Nên  ( x + 1) e f ( x ) dx = f ( x ) xe x x 0 Do x  xe f  ( x ) dx = − 1 − xe f  ( x ) dx = − xe x f  ( x ) dx x 0 ex −1 Lại có (theo BĐT tích phân) 1 x  x 2  e2 −  − e2 x   x e f x d x  x e d x f x d x  =   ( )   ( )   ( )      xe f ( x ) dx    0  0 Dấu " = " xảy f  ( x ) = k xe x ( ) x Suy  kx e dx = Do − e2  k = −1  f  ( x ) = − xe x  f  ( x )dx =  − xe dx = (1 − x ) e x 1 0 x + C  f (1) = C = x Vậy I =  f ( x ) dx =  (1 − x ) e dx = e − www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 1 Câu 2:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thoả mãn f ( x ) + f   = 3x với x   ;  Tính  x 2  f ( x) 1 x dx A B − C D − Lời giải Chọn A Đặt I =  f ( x) dx x 1 f  f x ( ) +2  x =3 1 1  Với x   ;  , f ( x ) + f   = 3x  x x  x 2  1 2 f   f ( x) x  dx +    dx =  3dx (1) x x 1 2 1 1  dt = − dx  − dt = dx x x t x 1 f   f (t ) x  2 dx =  dt = I x t 1 Đặt t = 2 (1)  3I =  3dx  I = Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần - năm 2018] Cho ò f (x)dx = 2018 Tính tích phân p ò f (sin 2x)cos 2xdx A 2018 B - 1009 C - 2018 D 1009 Lời giải Chọn D Đặt t = sin 2x Þ dt = 2cos 2xdx p Đổi cận: x = Þ t = 0; x = Þ t = p ò f (sin x)cos xdx = 1 f (t)dt = 2018 = 1009 ò 2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Câu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần năm 2018] Biết F ( x ) = ( ax + bx + c ) x + ( a, b, c  ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Tính T = a + b + c A T = 11 B T = 10 20 x + 30 x + 11 khoảng  − ; +  2x +   C T = D T = Lời giải Chọn A 20 x + 30 x + 11 Đặt f ( x) = 2x +  t2 − x = 2x + = t  2x + = t  dx = tdt  2 I =  t2 −  20   + 15 ( t − 3) + 11  f ( x ) dx =   t.dt t =  ( 5t − 15t + 11)dt = t ( t − 5t + 11) + C = x + ( x + x + ) + C  a = 4; b = 2; c =  a + b + c = 11 x + dx = a + b ln + c ln 3 2x + + Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần năm 2018] Biết  2x + (a, b, c  ) Tính T = a + b + c A T = −3 B T = −5 C T = −4 D T = −7 Lời giải Chọn A 2x + 2x + 0 x + x + + dx = 0 x + + x + + d 6 ( ) t2 dt với t = x + t + 5t + 2x + =  4   5t + 1 16 1 16 =  1 − dt −  dt = + ln − ln  dt =  1dt +  t +1 t+4 3 3 ( t + 1)( t + )  2 16 Suy a = 2, b = , c = −  a + b + c = −3 3 Câu 6: [2D3-3] Cho f ( x) hàm số liên tục  thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − 2cos x Tính tích phân I = 3 − A I =  f ( x ) dx B I = C I = www.thuvienhoclieu.com D I = Trang www.thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn C Ta có I = 3 − 3  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx − 3 3  f ( x ) dx Đặt t = − x  dt = −dx ; Đổi cận: x = −  t = ; Xét x =  t = − Suy − 0 3 3 3 0  f ( x ) dx = −  f ( −t ) dt =  f ( −t ) dt =  f ( − x ) dx Theo giả thiết ta có: f ( x ) + f ( − x ) = − 2cos x    3 3 3 0 3  3 0 3 0  ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx =  − 2cos xdx  f ( x ) dx +  f ( − x ) dx =  sin x dx  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = 2 sin x dx −  sin x dx  3 − 3 −  f ( x ) dx = Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f ( x ) liên tục 1;2018 2017  f (2018 − x) = f ( x) x  [1; 2018] , 2017 f ( x)dx = 10 Tính I = A I = 10100 :  x f ( x)dx B I = 20170 C I = 20180 D I = 10090 Lời giải Chọn.D Đặt t = 2018 − x  dt = −dx x =  t = 2017, x = 2017  t = I =−  2017 (2018 − t )f (2018 − t )dt = 2017  (2018 − t )f (t )dt www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 2017 = 2018  f (x )dx − 2017  xf (x )dx  I = 2018.10 − I  I = 10090   Câu 8:[2D3-3] Hàm số f ( x ) liên tục  0;   : f ( − x) = f ( x) x [0;  ] ,  f ( x)dx = Tính  I =  x f ( x)dx A I =  B I = 2 C I =  D I = 2 Lời giải Chọn.D Đặt t =  − x  dt = −dx x = t = , x =  t = 0 I = −  ( − t )f ( − t )dt   =  ( − t )f (t )dt   0 =   f (x )dx −  xf (x )dx  I =   −I  I = 2 Câu 9:[2D3-3] Hàm số f ( x ) liên tục a; b  : f (a + b − x) = f ( x) x [a; b] ; b  f ( x)dx = a + b a b Tính I =  x f ( x)dx a (a + b) I= A B ( a + b) I= C (a + b) I= D ( a + b) I= 2 Lời giải Chọn.D Đặt t = a + b − x  dt = −dx x = a  t = b , x = b  t = a a I = −  (a + b − t )f (a + b − t )dt b b =  (a + b − t )f (t )dt a www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com b b a a = (a + b ) f (x )dx −  xf (x )dx  I = (a + b ).(a + b ) − I  I (a + b ) = 2 y = f ( x) 1; Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần – 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục   f (1) = f ( x ) = x f  ( x ) − x − 3x f ( 2) thỏa mãn Tính giá trị A B 20 C 10 D 15 Lời giải Chọn B f ( x) f ( x) = − 2x − x2 x Cách 1: + x  1; 2 : f ( x ) = x f  ( x ) − x3 − 3x  f ( x) f ( x)   − = 2x +   f ( x )  = 2x + x x x   Vậy f ( x)   f x   ( ) x  dx =  ( x + 3) dx  x = x + 3x + C + Vì f (1) =  C = Do f ( x ) = x3 + 3x  f ( ) = 20 Cách 2: Từ giả thiết f ( x ) = xf  ( x ) − x3 − 3x  xf  ( x ) − f ( x ) = 2x + x2  f ( x )     = x + 3x  x  ( )  f ( x )   dx  f ( ) − f (1) = x + 3x dx = x + x ( )  1 x  1 (   )  f ( ) = 20 Nhận xét: Đặc điểm chung toán từ khai thác đạo hàm thương, tích hàm đạo hàm hàm hợp Ta nêu số dạng tổng quát sau: 1) Cho trước hàm g ( x ) , u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục  a; b , g ( x )  0, x   a; b hàm f ( x) có đạo hàm liên tục  a; b thỏa mãn: f ( x ) g  ( x ) + f  ( x ) g ( x ) = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x ) Khi đó, ( f ( x ) g ( x ) ) = ( u ( x ) v ( x ) )  f ( b ) − f ( a ) = u (b) v (b ) u ( a ) v ( a ) − g (b) g (a) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 2) Cho trước hàm g ( x ) , u ( x ) có đạo hàm liên tục  a; b , g ( x )  0, x   a; b hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục  a; b thỏa mãn: f  ( x ) g ( x ) − f ( x ) g  ( x ) = u ( x ) g ( x )  f ( x )   Khi đó,   f (b ) − f ( a ) = u (b ) g (b ) − u ( a ) g ( a )  g ( x )  = u ( x )   3) Cho trước hàm g ( x ) , u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục  a; b hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục  a; b thỏa mãn: u ( x ) f  ( x ) f ( u ( x ) ) = v ( x ) g  ( x ) g ( v ( x ) ) Khi đó, ( f (u ( x ) )) = ( g ( v ( x ) ))  f (u (b )) − f (u ( a )) = g ( v (b )) − g ( v ( a )) Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) = 7t ( m/s ) Đi ( s ) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 ( m/s ) Tính quãng đường S ( m ) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 87,50 ( m ) B S = 94, 00 ( m ) C S = 95, 70 ( m ) D S = 96, 25 ( m ) Lời giải Chọn D Vận tốc ô tô thời điểm bắt đầu phanh là: v1 ( ) = 35 ( m / s ) Vận tốc chuyển động sau phanh là: v2 ( t ) = −70t + C Do v2 ( ) = 35  C = 35  v2 ( t ) = −70t + 35 Khi xe dừng hẳn tức v2 ( t ) =  −70t + 35 =  t = Quãng đường S ( m ) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn là: S ( m ) =  7t dt +  ( −70t + 35) dt = 96, 25 ( m ) 0 Câu 12: [2D3-2] Giả sử  ( x − 1) ln xdx = a ln + b , ( a; b  ) Tính a+b A B C D Lời giải Chọn D Đặt www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  u = ln x du = dx   x    dv = ( x − 1) dx v = x − x   x2  x2 − x   x − ln x d x = = x − x ln x − d x = ln − ( ) ( )  − x  = ln − nên a = , 1  1  x  1 2 2 b=− Vậy a + b = Câu 13: [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] x3 + 3x Biết  dx = a + b ln + c ln với a, b, c số hữu tỉ , tính S = 2a + b2 + c x + 3x + A S = 515 B S = 164 C S = 436 D S = −9 Lời giải Chọn A 1  x3 + 3x 10 x +  −4 14   Xét : I =  dx =   x − + + dx  dx =   x − + x + 3x + x + x +  ( x + 1)( x + )  0   1 1 x2 1 I= − 3x − ln x + + 14 ln x + = − − ln + 14 ln − 14 ln 2 −5  a =  −5 I= − 18ln + 14 ln  b = −18  S = 2a + b + c = 515 c = 14   Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số f ( x ) liên tục  16  cot x f ( sin x ) dx =   mãn f ( x ) dx = Tính tích phân I = x 1 f ( 4x) dx x A I = thỏa B I = C I = D I = Lời giải Chọn D Đặt t = sin x  dt = 2sin x cos xdx  dt = cot xdx 2t www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com   =  cot x f ( sin x ) dx =  f ( t ) 1 f ( x) dt f ( x ) =  dx   dx = 2t x x 2 2tdt = dx Đặt t = x   x = t 16 1=  f ( x ) dx = x  4 f (t ) f ( x) f ( x) 2td t = d x  dx =   t x x 1 Đặt t = x  dt = 4dx I = 4 f ( 4x) f ( t ) dt f ( x ) f ( x) f (x) dx =  = dx =  dx +  dx = t x x x x 1 2 Phân tích: Dạng dạng tốn tìm tích phân hàm f ( x ) khơng biết, cho thêm điều kiện, điều kiện đoạn cận tích phân cần tìm, u cầu đưa tích phân biết giống dạng chưa biết f ( x ) liên tục Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số e2 thỏa mãn  e   f ( cos x ) tan xdx = Tính  A f ( x) dx x B f ( ln x ) dx = x ln x C D Lời giải Chọn A Đặt t = ln x  dt = dx x e2 1=  e 2 f ( ln x ) f (t ) f ( x) dx =  dt =  dx x ln x t x 1 Đặt t = cos x  dt = − sin xdx  =  f ( cos x ) f (t ) f ( x) sin x dx = −  dt =  dx cos x t x 1 Do www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  2 f ( x) f ( x) f ( x) dx =  dx +  dx = x x x 1  /4  ln(tan x + 1)dx Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần – 2018) Tính tích phân I = ta kết I = a ln + c với với a, b, c  , b  0,(a, b) = Khi P = abc nhận giá b trị A B C D Lời giải Chọn D  Đặt x = − t , ta có      − tan t  I = −  ln  tan( − t ) + 1 dt =  ln  + 1dt    + tan t   0    4   =  ln  dt = ln dt −  0 0 ln ( tan t + 1) dt  + tan t  =  ln − I I =  ln  a = 1, b = 8, c =  P =    có đạo hàm liên tục 0;  f ( ) = , Câu 17:Cho hàm số y = f ( x )   2   f  ( x ) dx =  ,   sin x f ( x ) dx =  Tính I =  f ( x ) dx ? A B D C Lời giải Chọn B  Ta có   0  f  ( x ) dx = 0 f  ( x ) d ( f ( x ) ) =   2 0    sin x f ( x ) dx = − f ( x ) d ( cos x ) = − cos x f ( x ) 02 +  f  ( x ) cos x dx =     + cos x 1 sin x   dx =  x + Mặt khác ta tính được:  cos xdx =   = 2 0 0 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Khi S1 3 + = S2 9 − Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42] Cho (H ) x đường Elip có phương trình hình phẳng giới hạn parabol y = x2 + y = (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) y x -3 -2 -1 -2 A 2 + B 2 C + D 3 Lời giải Chọn A +) Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , đồ b thị y = g ( x ) đường thẳng x = a ; x = b ( a  b ) S =  f ( x ) − g ( x ) dx a +) Cách giải: Phương trình hồnh độ giao điểm parabol Elip cho x2 + x =  3x + x − = suy x = 1 4 Phương trình x2 x2 + y =  y =  − Bài toán đưa tính diện tích hình phẳng giới hạn 4 x2 x , đồ thị hàm số y = − parabol y = đường thẳng: x = −1 ; x = www.thuvienhoclieu.com Trang 107 www.thuvienhoclieu.com Vì parabol Elip đối xứng qua Oy nên3 diện tích hình phẳng ( H ) 1  x2 x2 3x  3x3 , = 2  − −  dx = 2 − d2x −  x 2dx =  − x dx − =I−   4 3 0 0  y 1 S( H ) 1 với I =  -64 − x dx , -8 - -4 O -2 x -1   Đặt x = 2sin t , t  0;  suy ray =d-xx 2= 2cos t dt ; x =  t = ; x =  t = -2 y= - 4-x  2     -3  6  I =  2cos t − 4sin t dt =  cos t dt =  2-4 (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = +  0 0 Do S( H ) =  Câu 187: Cho + 2 + Chọn A = 6 (H ) hình phẳng giới hạn parabol x + y = đường tròn có phương trình x + y = (hình vẽ) Diện tích ( H ) A 4 + B 3 C 2 + D + 3 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm parabol đường cho x4 x + =  x4 + x2 − 36 = suy x =  Phương trình x + y =  y =  − x2 Bài toán đưa tính diện tích hình phẳng giới hạn www.thuvienhoclieu.com Trang 108 www.thuvienhoclieu.com  y = − − x2  x2  y = − đường:  x = −   x = 3 S( H ) =  Vì ( H ) đối xứng qua Oy nên 3  x2 x2  x − − x dx =   − x −  dx =  − x dx −  dx 3  0    2x =  t + sin 2t  −  0 = 4 + Chọn A Câu 188: Tính diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn parabol y = x − x tiếp tuyến với 5  parabol kẻ từ điểm M  ;6  2  9 A B C D Lời giải www.thuvienhoclieu.com Trang 109 www.thuvienhoclieu.com Chọn A Phương trình tiếp tuyến với parabol cho kẻ từ điểm M  ;6  d1 : y = x + 2  d2 : y = −4 x + 16 Chia hình phẳng ( H ) thành hai hình giới hạn  y = 2x +1   y = x − x ( H1 ) :  x =  x =   y = −4 x + 16   y = x − x ( H2 ) :  x =   x = Suy S( H ) = S( H1 ) + S( H ) =  x + − x + x dx +  −4 x + 16 − x + x dx 5 =  ( x − 1) dx +  ( x − ) 2 ( x − 1) dx = ( x − 4) + 3 = Chọn A Câu 189: [Chuyên Lương Văn Chánh, Long An- L2- năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục R đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, b, c, d (hình bên) Chọn khẳng định khẳng định sau www.thuvienhoclieu.com Trang 110 www.thuvienhoclieu.com A f (c)  f (a)  f (b)  f (d ) C f (a)  f (b)  f (c)  f (d ) B f (a)  f (c)  f (d )  f (b) D f (c)  f (a)  f (d )  f (b) Lời giải Chọn A Gọi S1 , S2 , S3 diện tích hình phẳng giới hạn ĐTHS y = f ( x) , trục Ox từ trái sang phải Ta có: b + S1    0 − f ( x)dx   −  f (b) − f (a)    f (a)  f (b),(1) + a b c S1  S2   0 − f ( x)dx    f ( x) − 0dx  f (a) − f (b)  f (c) − f (b)  f (a)  f (c), (2) a b c d b c + S2  S3    f ( x) − 0 dx   0 − f ( x)dx  f (c) − f (b)  f (c) − f (d )  f (d )  f (b), (3) Từ (1),(2),(3) ta có f (c)  f (a)  f (b)  f (d ) Phân tích: Ý tưởng tốn dựa sử dụng ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng www.thuvienhoclieu.com Trang 111 www.thuvienhoclieu.com Câu 190: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục R đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, b, c (hình bên) Chọn khẳng định khẳng định sau A f (c)  f (a)  f (b) B f (c)  f (b)  f (a) C f (a)  f (b)  f (c) D f (b)  f (a)  f (c) Lời giải Chọn A Gọi S1 , S2 diện tích hình phẳng giới hạn ĐTHS y = f ( x) , trục Ox từ trái sang phải Ta có: b + S1    0 − f ( x)dx   −  f (b) − f (a)    f (a)  f (b),(1) + a b c a b S1  S2   0 − f ( x)dx    f ( x) − 0dx  f (a) − f (b)  f (c) − f (b)  f (a)  f (c), (2) Từ (1), (2) ta có f (c)  f (a)  f (b) Câu 191: [Chuyên Thái Bình Lần 4, năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn  −3; 3 đồ thị hàm số y = f  ( x) hình vẽ bên Biết f (1) = g ( x ) = f ( x ) x + 1) ( − Kết luận sau đúng? A Phương trình g ( x) = có hai nghiệm thuộc  −3;3 www.thuvienhoclieu.com Trang 112 www.thuvienhoclieu.com B Phương trình g ( x) = có nghiệm thuộc  −3;3 C Phương trình g ( x) = khơng có nghiệm thuộc  −3;3 D Phương trình g ( x) = có ba nghiệm thuộc  −3;3 Lời giải Chọn B g ( x) = f ( x) − ( x + 1)  g '( x) = f '( x) − ( x + 1) Ta thấy đường thẳng y = x + đường thẳng qua điểm ( −3; −2) , (1;2) , ( 3;4) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ĐTHS y = f ( x) ,đường thẳng y = x + 1, x = −3, x = Gọi S ' diện tích hình phẳng giới hạn ĐTHS y = f ( x) , đường thẳng y = x + 1, x = 1, x = Do f (1) =  g (1) = Ta có: S    g ( x)dx   g (1) − g (−3)   g (−3)  −3 S '   −  g ( x)dx   g (1) − g (3)   g (3)  Từ đồ thị hàm số y = f  ( x) đường thẳng y = x + với kết ta có bảng biến thiên sau: x g ( x) −3 + g ( x) g (3)  g (−3)  Từ bảng biến thiên ta có phương trình g ( x) = có nghiệm thuộc  −3;3 Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường trịn ( ) y = − x2 đường thẳng d qua hai điểm A − 2;0 B (1;1) (phần tô đậm hình vẽ ) www.thuvienhoclieu.com Trang 113 www.thuvienhoclieu.com A  +2 3 + 2 B C  −2 D 3 − 2 Lời giải Chọn D Cách 1: Phương trình đường thẳng AB : y = ( ) −1 x + − Gọi S diện tích cần tính, ta có S=  − ( 2− x − ( ) )  (( − x − + dx =  − x dx − − − ) ) − x + − dx  + Tính S1 = − x dx : −    Đặt x = sin t , t   − ;  Ta có dx = cos tdt  2   Đổi cận x = −  t = − , x =  t = Suy S1 =    4  − − 2sin t cos tdt =  − 2 cos t cos tdt =  −  cos tdt =  (1 + cos 2t ) dt − 2  3  4 =  t + sin 2t  = +   −  (( S2 = −  −1  − x + − dx =  x + − x   − ) ) ( 3 − 2 Cách 2: Sử dụng MTCT ) = 2 +1 Vậy S = S1 − S2 = Phương trình đường thẳng AB : y = ( ) −1 x + − Gọi S diện tích cần tính, ta có S =  − ( − x2 − ( ) ) − x − + dx Sử dụng MTCT, tính S , gán giá trị vào biến A Lấy giá trị A trừ kết đáp án, chọn đáp án có kết phép trừ Đó đáp án D www.thuvienhoclieu.com Trang 114 www.thuvienhoclieu.com Câu 193: Cho ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y = trình y = x nửa đường elip có phương − x ( với −2  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Gọi S diện tích của, biết S = a + b ( với a , b , c  c A P = B P = 12 ) Tính P = a + b + c C P = 15 Lời giải D P = 17 Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm parabol nửa đường elip là: 3x = − x  3x4 + x2 − =  x = 1  3x3 1  1    2   Vậy S =   = + − x d x x d x + − x d x = + S    1     1  0      Trong S1 = − x dx  21 Đặt x = 2sin t  dx = 2cos tdt  Đổi cận x =  t =  x=2t =     2  Vậy S1 =  cos tdt =  (1 + cos2t ) dt =  t + sin 2t  = −     2 6  4 −  4 − = Suy S =   12    Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn  −3;3 Biết diện tích hình phẳng S1 , S giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − x − M ; m www.thuvienhoclieu.com Trang 115 www.thuvienhoclieu.com Tính tích phân  f ( x ) dx : −3 A + m − M B − m − M C M − m + Lời giải D m − M − Chọn D Chia diện tích hình phẳng S1 M = S11 + S12 hình vẽ mơ tả Gọi x0 hoành độ giao điểm đồ thi ( C ) hàm số y = f ( x ) với trục Ox Ta có  −3 f ( x ) dx = x0  −3 f ( x ) dx +  f ( x ) dx = ( SABC − S11 ) −  S12 + S CMQ + ( S MNPQ − m )  x0 = ( − S11 ) −  S12 + + ( − m )  = m − M − Vậy chọn D Nhận xét: Đây toán dựa vào diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cho trước Nếu xác định M , m cho trước g ( x ) ta tính b  f ( x ) dx a www.thuvienhoclieu.com Trang 116 www.thuvienhoclieu.com Câu 195: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục đoạn [- 5;3] Biết diện tích hình phẳng S1 , S , S3 giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = g (x)= ax2 + bx + c ò f ( x)dx m, n, p Tích phân - A m − n + p − 208 45 208 208 208 C −m + n − p − D −m + n − p + 45 45 45 Lời giải B m − n + p + Chọn B Đồ thị hàm y = g ( x ) qua điểm O ( 0;0 ) , A ( −2;0 ) , B ( 3; ) nên   a = 15 c =  4    g ( x ) = x2 + x 4a − 2b =  b = 15 15 9a + 3b =  15  c =   −2 −2 m − n + p =   f ( x ) − g ( x ) dx −   g ( x ) − f ( x ) dx +   f ( x ) − g ( x ) dx =   −5 −5 3 −5 −5  f ( x ) dx −  g ( x ) dx f ( x ) dx = m − n + p +  g ( x ) dx = m − n + p + −5 208 45 y y= g(x) S3 S1 -1 -5 -2 S2 O x y= f(x) a =  Vậy b = −1  P = a + b + c = c =  www.thuvienhoclieu.com Trang 117 www.thuvienhoclieu.com Câu 196: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ( H ) có cạnh nằm trục hồnh có hai đỉnh ( ) đường chéo A ( −1;0 ) C m; m với m  Biết đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích Tìm m A m = B m = C m = D m = Lời giải Phân tích: Ta cần tìm tọa độ điểm B tính diện tích phần mà đường y = x chia hình ( H ) Chọn D Từ giả thiết suy B ( m;0 )  Ox  S ABCD = ( m + 1) m Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x ; x = 0; x = m; y = Suy m S1 =  m 2x x xdx = = 2m m 2m m ( m + 1) m S ABCD  =  m = 3 Theo giả thiết ta có S1 = Câu 197: Trong mặt ( phẳng ) Oxy , cho hình thang vng ABCD có A ( −1;0 ) B ( m;0 ) ; C m; m + ; D ( −1;5 ) với m  −1 Biết đồ thị hàm số y = x + chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích Tìm A m = 12 B m = m C m = Lời giải D m = 10 Phân tích: Trước hết cần vẽ hình xác định phần diện tích cần tính Sau dùng tích phân để tính phần diện tích www.thuvienhoclieu.com Trang 118 www.thuvienhoclieu.com Chọn C S ABCD = 1 ( AD + BC ) AB = 2 ( ) m + + ( m + 1) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + 1; x = −1; x = m; y = Suy m S1 =  −1 ( x + 1) x + x + 1dx = Theo giả thiết ta có S1 = m = −1 ( m + 1) m + ( m + 1) m + 1 1 S ABCD  = 2 ( ) m + + ( m + 1)  m +1 =  m = Câu 198: Trong mặt phẳng Oxy , A ( 0; ) B ( m;0 ) với m  Biết đồ thị hàm số y = chia tam giác OAB thành hai phần Tính diện tích phần giới hạn y = x−2 (C) x −1 x−2 ; y = x −1 đường thẳng AB theo m A 3m − m − ln B m2 − m − ln C m2 + m − ln D m2 − m + ln Lời giải Phân tích: Trước hết cần vẽ hình xác định phần diện tích cần tính Chú ý phần diện tích cần tìm gồm hai phần tam giác vng hình thang cong Chọn B www.thuvienhoclieu.com Trang 119 www.thuvienhoclieu.com x y + =1 y = − x + m m Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) AB : x−2 = − x + (1) ( điều kiện x  ) x −1 m Với điều kiện phương trình (1) tương đương với: x = 2x − ( m + 2) x =   x = m +  Ta có phương trình đường thẳng AB là: Với x =  y =  E ( 0; )  A Với x = m+2 m−2  m+2 m−2 y= F ;  2   Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = S1 = m+2  x−2 ; y = − x + 2; y = Suy x −1 m m+ x−2  m +  m − m2 − m dx + SFHB = ( x − ln x − ) +  m − = − ln  x −1   Câu 199: Gọi H tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy thỏa mãn z − z  số phức z có phần ảo khơng âm Tính diện tích hình H 3 3 A 3 B C D 6 Lời giải Chọn C www.thuvienhoclieu.com Trang 120 www.thuvienhoclieu.com z − z   ( x + yi ) − ( x − yi )   x + ( y )   x2 + y   3− x x2 x2 y 1 − − x2  y  − x2 + 3y2   +   y2  3 3 3 − x2 Mà y không âm nên  y  Diện tích cần tìm S =  − 3 − x dx Đặt x = sin t  dx = cos tdt Cận x = −  t = −    S =  2 = ; x= 3t =  3 2 − 3sin t cos tdt =  2 3cos tdt =  2 (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  − 2 2 −2  −  −  2       3 −−  =     2 Câu 200: Cho hình D giới hạn đường y = x − y = − x Khi diện tích hình D là: A 13 B C 7 D 13 Lời giải Chọn B Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số cho nghiệm phương trình:  x =1 x − = − x  x =1    x = −1 Khi diện tích hình D xác định bởi: 1 −1 −1 S =  x − − x dx =  ( x − x + ).dx +  ( − x − x + ).dx 7  x x3   x x3  =  − + x  +  − − + x  = + = (đvdt)   −1  0 6 www.thuvienhoclieu.com Trang 121 ... thức tích phân có tổng hàm logarit hàm phân thức nên ta tách thành tích phân dạng thường gặp Một tích phân hàm đa thức hàm logarit ta dùng tích phân phần, tích phân hàm phân thức bậc bậc 1 1 ... 1 2 Phân tích: Dạng dạng tốn tìm tích phân hàm f ( x ) khơng biết, cho thêm điều kiện, điều kiện đoạn cận tích phân cần tìm, u cầu đưa tích phân biết giống dạng chưa biết f ( x ) liên tục Câu. .. toán từ khai thác đạo hàm thương, tích hàm đạo hàm hàm hợp Ta nêu số dạng tổng quát sau: 1) Cho trước hàm g ( x ) , u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục  a; b , g ( x )  0, x   a; b hàm