1 ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP 2 (Nhóm Toán cao cấp 2 T Long, dành cho sv NEU) 2 NỘI DUNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Dạng 1 Giới hạn • Định nghĩa Hàm số
ƠN TẬP TỐN CAO CẤP (Nhóm: Tốn cao cấp 2_ T.Long, dành cho sv NEU) NỘI DUNG 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Dạng 1: Giới hạn • Định nghĩa: Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có giới hạn 𝑏 𝑥 → 𝑎 dãy số (𝑥𝑛 ) ⊂ MXĐ mà 𝑥𝑛 → 𝑎 dãy số 𝑓(𝑥𝑛 ) → 𝑏 Ký hiệu: lim 𝑓(𝑥) = b 𝑥→𝑎 𝑥𝑛 → 𝑎 o Để ∄ lim 𝑓(𝑥), ta chọn dãy số (𝑥𝑛 ), (𝑥𝑛′ ) ⊂ MXĐ mà {𝑥 ′ → 𝑎 𝑥→𝑥0 𝑛 ′ lim 𝑓(𝑥𝑛 ) ≠ lim 𝑓(𝑥𝑛 ) o ∃ lim 𝑓(𝑥) ⟺ lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 • lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = ⇒ lim 𝑥→𝑥0 sin 𝑢(𝑥) 𝑢(𝑥)→0 𝑋 𝑢(𝑥) 𝑥→𝑥0 = 1; lim 𝑢(𝑥)→0 • lim (1 + 𝑥) = 𝑒 ⇒ lim (1 + 𝑢(𝑥)) 𝑥→0 lim 𝑢(𝑥)→0 𝑣 tan 𝑢(𝑥) 𝑢(𝑥) 𝑢(𝑥)→0 𝑒 𝑢(𝑥) −1 𝑢(𝑥) • 𝑢 = [( + (𝑢 − 1)) = 1; lim 𝑢−1 = 1; = 𝑒; ln(1+𝑢(𝑥)) 𝑢(𝑥) 𝑢(𝑥)→0 𝑣(𝑢−1) ] 𝑢(𝑥) = 1; ; • Vơ bé: o 𝛼(𝑥) gọi vô bé 𝑥 → 𝑎 lim 𝛼(𝑥) = 𝑥→𝑎 o Cho 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) vô cung bé 𝑥 → 𝑎 lim 𝛼(𝑥) 𝑥→𝑎 𝛽(𝑥) =𝑘 ▪ Nếu 𝑘 = 0, ta nói 𝛼(𝑥) vơ bé bậc cao 𝛽(𝑥) 𝑥 → 𝑎, hiệu 𝛼(𝑥) = 𝑜( 𝛽(𝑥)) ▪ Nếu 𝑘 ≠ 0, ta nói 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) vô bé bậc ▪ Đặc biệt, 𝑘 = 1, ta nói 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) vô bé tương đương, ký hiệu 𝛼(𝑥)~ 𝛽(𝑥) 𝟎 ∞ • Quy tắc lopital: Áp dụng cho giới hạn vô định dạng ; 𝟎 ∞ 𝑢(𝑥) 𝑢′(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑣(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑣′(𝑥) lim o Dạng ∞ tính lim(𝑢 𝑣) Ta biến đổi: lim(𝑢 𝑣) = lim 𝑢 𝟎 ∞ 1/𝑣 (dạng ; 𝟎 ∞ ) o Dạng ∞ − ∞ tính lim(𝑢 − 𝑣) Ta biến đổi: lim(𝑢 − 𝑣) = lim 1 − 𝑣 𝑢 𝑢.𝑣 𝟎 (dạng ) 𝟎 o Dạng 1∞ , ∞0 , 00 tính lim(𝑢𝑣 ) Ta đặt 𝑦 = 𝑢𝑣 : lim(ln 𝑦) = lim(𝑣 ln 𝑢) = 𝑘 ⇒ lim 𝑦 = 𝑒 𝑘 Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: ??? 2) lim (sin √6𝑥 + − sin √6𝑥 + 1) 𝑥→+∞ 3) lim (1 + 𝑥 tan 𝑥) 𝑥 →0 4) lim (cot 2𝑥) lim (𝑥 + 𝑥→0 8) 𝑥→0 +𝑥 14) lim𝜋(tan 𝑥)tan 2𝑥 𝑥→ 𝑥→ lim (5𝑥 + 𝑥)3𝑥 16) lim 2𝑥 −1 9) lim 15) lim𝜋( 𝑥 − sin 3𝑥)cot 3𝑥 𝑥2+ 𝑥3 𝑥 → +∞ 13) lim (𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥)𝑥 𝑒 cos(sin 5𝑥)+1 −1 𝑥 →0 𝑥 → +∞ 𝑥→0 7) lim 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 12) lim (2015𝑥 + 2017)𝑥 𝑥 )𝑥 6) lim+(tan 𝑥)2𝑥 𝑒 𝑥 −𝑒 11) lim (𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥) ln(sin 2017𝑥) 𝑥 → +∞ 𝑥 →0 𝑥−ln(𝑥+1) 𝑥 →0 ln(𝑠𝑖𝑛2018𝑥) 5) lim 10) 𝜋 ln(1+arcsin 𝑥+2 arcsin2 𝑥) 𝑥 →0 𝑥 →0 9𝑥+ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥−2 tan 𝑥 Dạng 2: Hàm liên tục Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục 𝑥0 ∈ 𝑇𝑋Đ vào lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) 𝑥→𝑥0 o Hàm số liên tục 𝑥0 lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 o Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục [𝑎; 𝑏] hàm số nhận giá trị trung gian 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình 2) Tìm điều kiện k để hàm số sau liên tục giá trị thực x: 𝑘𝑥 − 5𝑥 + 4, 𝑥 > 𝑓(𝑥) = { arccot(3 − 4𝑥) + , 𝑥 ≤ 3) Cho 𝑓(𝑥) = {(1 + 2𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 𝑒 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = Xét tính liên tục hàm số 𝑓(𝑥) x = NỘI DUNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ BIẾN Dạng 1: Tính đạo hàm • Định nghĩa: Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm điểm 𝑥0 ∈ TXĐ tồn giới hạn 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓′(𝑥0 ) 𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0 lim • Cơng thức c tgx x x1 , x 1 cot gx sin x a x a x ln a, e x e x arcsin x x log a x , ln x x ln a x 10 arccos x sin x cos x 11 arctgx 1+x cos x sin x 12 arccot gx 1+x cos x 1 x2 1 x2 • Quy tắc: u v u ' v' uv uv uv ku ku u uv uv v2 v ' k số v 0 Đạo hàm hàm hợp: 𝑦𝑥′ = 𝑦𝑢′ 𝑢𝑥′ • Đạo hàm vi phân cấp cao: o Vi phân cấp 1: 𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥 ′ o Đạo hàm cấp cao 𝑦 (𝑛) = (𝑦 (𝑛−1) ) o Vi phân cấp cao: 𝑑 𝑛 𝑦 = 𝑦 (𝑛) (𝑑𝑥)𝑛 Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: ??? 2) Tính đạo hàm hàm số: 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| + 2𝑥|𝑥 − 3| Dạng 2: Tính đạo hàm hàm ngược • Hàm sơ số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hàm ngược với 𝑦0 ∈ MGT phương trình 𝑦0 = 𝑓(𝑥) có nghiệm • Nếu 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm đơn điệu có hàm ngược • Đạo hàm hàm ngược: Giả sử 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hàm ngược Khi đó, 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) Lấy đạo hàm theo biến x ta = (𝑓 −1 )′ (𝑦) 𝑦 ′ 1 ⇒ (𝑓 −1 )′ (𝑦) = = 𝑦′ 𝑓′(𝑥) ⇒ (𝑓 −1 )′ (𝑦0 ) = 𝑓′(𝑥0 ) (với 𝑥0 nghiệm phương trình 𝑦0 = 𝑓(𝑥)) cos 𝜋𝑥 Ví dụ: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) có hàm ngược 𝜋 −1 tính (𝑓 −1 )′( ) 𝜋 Giải Ta có 𝑦 ′ = + sin(𝜋𝑥) > ⇒ hàm số đồng biến 𝑅 Vậy phương trình 𝑦0 = 𝑓(𝑥) có nghiệm với 𝑦0 ∈ 𝑀𝐺𝑇 hay hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hàm ngược Do dó, ta có 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) Đạo hàm vế theo biến x, ta được: (𝑓 −1 )′ (𝑦) = 1 = 𝑦 ′ 𝑓 ′ (𝑥) ⇒ (𝑓 −1 )′ (𝑦0 ) = Vậy 𝑦0 = −1 𝜋 phương trình −1 1 −1 𝜋 = 2𝑥 − cos 𝜋𝑥 𝜋 𝑓′(𝑥0 ) có nghiệm 𝑥 = Ta có (𝑓 −1 )′ ( ) = = = 𝜋 𝑓′(0) 2+sin 𝜋0 Bài tập áp dụng: 1) Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥3 + Chứng minh hàm số có hàm ngược 𝑓 −1 tính (𝑓 −1 )′ 2) Chứng minh hàm số có hàm ngược: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 + tính (𝑓 −1 )′ (2) 3) Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + cos 𝑥 có hàm ngược hàm ngược Tính 𝑓 −1 (𝜋) 4) Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝜋 + cos 𝑥 Chứng minh hàm số f(x) có hàm ngược tính (𝑓 −1 )′(−1) Dạng 3: Khai triển Taylor • Khi triển Maclaurin khải triển Taylor 𝑥0 = Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: 32-35 (trang 349) 2) Khai triển Maclaurin hàm số sau đến lũy thừa bậc với phần dư Peano: 𝑥−2 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 3 3) Khai triển Taylor đến lũy thừa bậc (𝑥 − 1) với phần dư Peano 𝑓(𝑥) = √(𝑥 + 7)2 4) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + √8𝑥 + 1) 5) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑓(𝑥) = cos(sin 5𝑥) 6) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑦 = (3𝑥 − 1) ln √5𝑥 + 7) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 3 𝑥+2 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + ) 8) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 5𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 + 9) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 √2𝑥 − 10) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 8𝑥 + 12) 11) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − ln(1 − 3𝑥) 12) Khai triển Maclarin hàm số sau đến lũy thừa bậc x với phần dư Peano: 𝑓(𝑥) = 13) 𝑥+5 −𝑥 + Khai triển Maclaurin hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 (𝑒 𝑥 + 1) Giải Khai triển Maclarin hàm số 𝑥2 𝑥𝑛 𝑒 = +𝑥 + +⋯+ + 𝑜(𝑥 𝑛 ) 2! 𝑛! 𝑥 𝑥2 𝑥𝑛 ⇒ 𝑒 + = + 𝑥 + + ⋯+ + 𝑜 (𝑥 𝑛 ) 2! 𝑛! 𝑥 ⇒𝑥 (𝑒 𝑥 𝑥2 𝑥𝑛 + 1) = 𝑥 (2 + 𝑥 + + ⋯ + + 𝑜(𝑥 𝑛 )) 2! 𝑛! 𝑥4 𝑥 𝑛+2 = 2𝑥 + 𝑥 + + ⋯ + + 𝑥 𝑜(𝑥 𝑛 ) 2! 𝑛! Nhận xét: lim 𝑥 𝑜(𝑥 𝑛 ) 𝑥→0 𝑥 𝑛+2 = lim 𝑜(𝑥 𝑛 ) 𝑥→0 𝑥 𝑛 = Do 𝑥 𝑜(𝑥 𝑛 ) = 𝑜(𝑥 𝑛+2 ) Ta có 𝑥 (𝑒 𝑥 𝑥4 𝑥 𝑛+2 + 1) = 2𝑥 + 𝑥 + + ⋯ + + 𝑜(𝑥 𝑛+2 ) 2! 𝑛! 𝑥 𝑥𝑛 = 2𝑥 + 𝑥 + + ⋯ + + 𝑜(𝑥 𝑛 ) (𝑛 2! − 2)! Dạng 4: Tìm khoản tăng, giảm cực trị hàm số Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: 39-46 (trang 364,365) 2) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − ln(1 − 3𝑥) 3) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: 𝑦 = 𝑥√3 − 2𝑥 4) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: 𝑦 = (𝑥 − 3𝑥 + 2)𝑒 1−2𝑥 5) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: 𝑥2 𝑥 𝜋 𝑥 𝑥2 𝜋𝑥 (2 𝑦 = (arctan − ) + − 𝑥) arctan + ln ( + 1) + − 𝑥 2 4 Dạng 5: Ứng dụng đạo hàm kinh tế Cho 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm kinh tế: • Giá trị cận biên: 𝑓′(𝑥) hàm 𝑦 - Cận biên ▪ 𝑓′(𝑥0 ) giá trị 𝑦 - Cận biên 𝑥 = 𝑥0 ▪ Ý nghĩa: Tại mức sử dụng yếu tố đầu vào 𝑥0 ta sử dụng thêm đơn vị x đầu y tăng xấp xỉ 𝑓′(𝑥0 ) ▪ Lợi ích cận biên giảm dần: 𝑓 ′′ (𝑥) < • Hệ số co dãn: Hệ số co dãn 𝑦 theo 𝑥 thay đổi 𝑦 tính theo % 𝑥 tăng 1% 𝑥 𝜀 = 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) • Bài tốn tối ưu: Tìm 𝑥 để 𝑦 = 𝑓(𝑥) đặt max(min) Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình:47-60 (trang 375,376) 2) Một doanh nghiệp xác định lượng sản phẩm doanh nghiệp bán là: 𝐷(𝑝) = 8000 𝑒 −0,04𝑝 (đơn vị sản phẩm) giá đơn vị sản phẩm 𝑝 đồng a) Tìm giá 𝑝 mà đố hệ số co dãn cầu −1 b) Chức tỏ mức giá tìm ý doanh nghiệp có doanh thu tối đa 3) Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm thị trường với hàm cầu ngược: 𝑝 = 3120 − 24𝑄 a) Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức giá 𝑝 = 240 nêu ý nghĩa kinh tế kết nhận b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên 𝑀𝐶 = 5𝑄2 + 2𝑄 + 120 chi phí cố định 80 NỘI DUNG 3: ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN Dạng 1: Đạo hàm riêng • Tính đạo hàm định nghĩa: ▪ Đạo hàm riêng cấp hàm số điểm (𝑥0 , 𝑦0 ): ′′ (𝑥 𝑓𝑥𝑦 , 𝑦0 ) 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 + Δ𝑦) − 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim ; Δ𝑦→0 Δ𝑦 ′′ (𝑥 𝑓𝑦𝑥 , 𝑦0 ) 𝑓𝑦′ (𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 • Quy tắc: Đạo hàm theo biến biến cịn lại coi số • Đạo hàm hàm hợp: 𝑊𝑥′ = 𝑊𝑢′1 (𝑢1 )′𝑥 + 𝑊𝑢′2 (𝑢2 )′𝑥 + ⋯ 𝑊𝑢′𝑚 (𝑢𝑚 )′𝑥 • Biểu thức vi phân tồn phần: ▪ Vi phân toàn phần cấp 1: 𝑑𝑤 = 𝑤𝑥′ 𝑑𝑥1 + ⋯ + 𝑤𝑥′ 𝑛 𝑑𝑥𝑛 ▪ Vi phân toàn phần cấp 2: 𝑛 𝑛 𝑑 𝑤 = ∑ ∑ 𝑤𝑥′′𝑖𝑥𝑗 𝑑𝑥1 𝑑𝑥𝑗 𝑖=1 𝑗=1 Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: ??? 2) Viết biểu thức vi phân toàn phần: 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥 + 𝑧 ) tan(𝑥 − 𝑦) 3) Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số sau: 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 )4𝑧 10 NỘI DUNG 5: TÍCH PHÂN Dạng 1: Hàm cận Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: Bài 13,14,15 2) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: 2012 2𝑥 +2𝑥+2 𝑦=( √1 + 𝑡 𝑑𝑡) ∫ 21 Dạng 2: Tích phân suy rộng 22 Bài tập áp dụng: 1) Bài tập giáo trình: Bài 13,14,15 23 24 Dạng 3: Ứng dụng tích phân kinh tế học • Thặng dư nhà sản xuất người tiêu dùng: Giả sử (𝑝0 , 𝑄0 ) điểm cân thị trường Khi ta có đồ thị hàm cầu hàm cung thị trường loại sản phẩm sau: o Thặng dư người tiêu dùng: Tổng số hưởng lợi tất người tiêu dùng diện tích tam giác cong 𝐴𝐸𝑝0 Các nhà kinh tế gội thặng dự người tiêu dùng tính theo cơng thức sau: 25 o Thặng dư nhà sản xuất: Tổng số hưởng lợi tất nhà sản xuất diện tích tam giác công 𝐵𝐸𝑝0 Các nhà kinh tế gọi thặng dư nhà sản xuất tính theo cơng thức sau: Bài tập áp dụng: 26 NỘI DUNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Dạng 1: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Phương pháp nhẩm nghiệm Ví dụ: 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 + 1(*) Giải • Nghiệm tổng quát pt liên kết 𝑦 ′ + 𝑦 = là: 𝑦 = 𝐶𝑒 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝐶𝑒 −𝑥 • 𝑦 = 𝑥 nghiện pt (*) vì… • Kết luận: Vậy nghiệm tổng quát pt (*) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥 27 Ví dụ: (2x + 1)𝑦 ′ = 4𝑥 + 2𝑦 (*) Giải Phương trình tương đương với 𝑦′ − 4𝑥 𝑦= 2𝑥 + 2𝑥 + • Nghiệm tổng quát pt liên kết 𝑦 ′ − 2𝑥+1 𝑦 = là: 𝑦 = 𝐶𝑒 ∫2𝑥+1𝑑𝑥 = 𝐶𝑒 ln |2𝑥+1| = 𝐶(2𝑥 + 1) • Biến thiên số: Tìm nghiệm pt(*) dạng: 𝑦 = 𝐶(𝑥)(2𝑥 + 1)(∗∗) 4𝑥 (𝐶(𝑥)(2𝑥 + 1)) = 2𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 ⇔ 𝐶 ′ (𝑥)(2𝑥 + 1) + 2𝐶(𝑥) − 2𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 4𝑥 ⇔ 𝐶 ′ (𝑥) = (2𝑥 + 1)2 ′ (𝐶 (𝑥)(2𝑥 + 1)) − ⇒ 𝐶(𝑥) = ∫ = ln|2𝑥 + 1| + 4𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫( − )𝑑𝑥 (2𝑥 + 1)2 (2𝑥 + 1)2 (2𝑥 + 1) 2𝑥+1 +𝐶 • Thay vào (**), nghiệm tổng quát phương trình là: 𝑦 = (ln|2𝑥 + 1| + + 𝐶) (2𝑥 + 1) 2𝑥 + = (2𝑥 + 1) ln|2𝑥 + 1| + + 𝐶(2𝑥 + 1) • Phương trình Bernoulli: 28 Ví dụ: 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 𝑦 (*) Giải • 𝑦 = nghiệm phương trình: • Xét 𝑦 ≠ Chia phương trình cho 𝑦 , ta được: 𝑦′ + 2𝑥 = 2𝑥 𝑦3 𝑦2 • Đặt 𝑧 = 𝑦′ 𝑦 𝑦3 Ta có 𝑧 ′ = (−2) 𝑧 ′ − 4𝑥𝑧 = −4𝑥 (1) • Nghiệm tổng quát pt liên kết 𝑧 ′ − 4𝑥𝑧 = 𝑧 = 𝐶𝑒 2𝑥 • Nghiệm riêng (1) 𝑧 = 𝑥 + Nghiệm tổng quát (1) là: 𝑧 = 𝑥 + + 𝐶𝑒 2𝑥 Dạng 2: Phương trình vi phân phân ly biến số cấp 29 Ví dụ: 𝑥𝑦𝑑𝑥 − (𝑥 + 1)dy = Giải • Xét 𝑦(𝑥 + 1) = ⇔ [ 𝑦=0 nghiệm phương trình 𝑥+1=0 • Xét 𝑦(𝑥 + 1) ≠ Chia phương trình cho 𝑦(𝑥 + 1), ta được: 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 + = 𝑥+1 𝑦 Lấy nguyên hàm vế: ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 +∫ =𝐶 𝑥+1 𝑦 ⟺ 𝑥 − ln|𝑥 + 1| + ln|𝑦| = 𝐶 ⟺ − ln 𝑒 𝑥 + ln|𝑥 + 1| + ln 𝑒 𝐶 = ln|𝑦| 𝑒 𝐶 |𝑥 + 1| ⟺ ln( ) = ln|𝑦| 𝑒𝑥 Hay 𝑦 = 𝐶(𝑥+1) 𝑒𝑥 Do nghiệm tổng quát pt là: 𝐶(𝑥 + 1) 𝑒𝑥 𝑥+1=0 • Một số phương trình quy phân ly biến số: [𝑦 = 30 Ví dụ: 𝑦 ′ = 𝑥−𝑦 𝑥−2𝑦 Giải ′ 𝑦 = 𝑥−𝑦 𝑥−2𝑦 = 𝑦 𝑥 2𝑦 1− 𝑥 1− 1 (𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑥)) TXĐ: 𝑥 − 2𝑦 ≠ 𝑦 Đặt 𝑦 = 𝑧𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑧 + 𝑥𝑧′ 𝑧 = Khi đó, ptvp tương đương với 𝑥 𝑧 + 𝑥𝑧 ′ = 1−𝑧 𝑑𝑧 1−𝑧 ⇔𝑧+𝑥 = − 2𝑧 𝑑𝑥 − 2𝑧 (1 − 2𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑧 − 2𝑧 + 2𝑧 𝑑𝑥 ⇔𝑥 = ⇔ − =0 𝑑𝑥 − 2𝑧 − 2𝑧 + 2𝑧 𝑥 ∫ (1 − 2𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑥 − ∫ = 𝐶 ⇔ − ln(1 − 2𝑧 + 2𝑧 ) − ln|x| = C − 2𝑧 + 2𝑧 𝑥 − 2𝑧 + 2𝑧 = 𝑦 𝐶 𝑥2 Thay 𝑧 = ta nghiệm tổng quát pt là:𝑥 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 = 𝐶 𝑥 Ví dụ: (1 + 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = (1 − 3𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑥 Giải 31 • + 𝑥 + 𝑦 = không nghiệm phương tình • Xét + 𝑥 + 𝑦 ≠ Phương trình tương đương với: 𝑑𝑦 − 3(𝑥 + 𝑦) = = 𝑓(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦) Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝑧 ′ = + 𝑦 ′ = + 1−3𝑧 1+𝑧 ⇔ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = −2𝑧+2 𝑧+1 • NX: 𝑧 = nghiệm • Xét 𝑧 ≠ pt tương đương với (𝑧+1)𝑑𝑧 −2𝑧+2 − 𝑑𝑥 = 0, lấy nguyên hàm vế − 𝑧 − ln|𝑧 − 1| − 𝑥 = 𝐶 Từ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦, ta có − (3𝑥 + 𝑦) − ln|𝑥 + 𝑦 − 1| = 𝐶 𝑥 + 𝑦 = Dạng 3: Phương trình vi phân tồn phần cấp Ví dụ: (𝑥 + 𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = Giải Đặt 𝑀 = 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥; 𝑁 = 2𝑥𝑦 Ta có 𝑀𝑦′ = 2𝑦 = 𝑁𝑥′ Vậy pt pt vi phân toàn phần hay vế trái vi phân toàn phần hàm số sau: 𝑦 𝑥 𝜙(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑥 + 𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 2.0 𝑦𝑑𝑦 = Vậy nghiệm tổng quát pt là: 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 = C 32 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 Ví dụ: (𝒙 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 − 𝟐𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎 Giải Không phải pt vi phân toàn phần 𝑀𝑦′ − 𝑁𝑥′ −2 𝑀𝑦′ − 𝑁𝑥′ −2 = 4𝑦 ⇒ = = 𝜑(𝑥) ⇒ 𝑝(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑁 𝑥 𝑥 Nhân với 𝑝(𝑥) = 𝑥2 ta có: 𝑦2 𝑦 ( + ) 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑥 Đặt 𝑀 = ( + 𝑥 𝑦2 𝑦 ); 𝑁 = −2 𝑥 Ta có 𝑥2 𝑀𝑦′ = 2𝑦 = 𝑁𝑥′ 𝑥2 Vậy pt pt vi phân toàn phần hay vế trái vi phân toàn phần hàm số sau: 𝑥 𝑦 −2𝑦 𝑦2 𝜙(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑦 = ln|𝑥| − = 𝐶 𝑥 𝑥 𝑥 33 34 35 ... phẩm sau: o Thặng dư người tiêu dùng: Tổng số hưởng lợi tất người tiêu dùng diện tích tam giác cong