(SKKN 2022) PHƯƠNG PHÁP GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢIBÀI TOÁN THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH Người thực hiện: Nguyễn Thị Sen Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài a) Một số phép toán vectơ không gian b) Một vài dấu hiệu nhận biết số tốn HHKG sử dụng phương pháp tọa độ c) Các bước giải toán HHKG phương phương pháp tọa độ *) Kĩ chọn hệ trục toa độ Oxyz Loại I - HÌNH CHĨP Loại II - HÌNH LĂNG TRỤ: *) Chuyển ngơn ngữ hình học túy sang ngơn ngữ hình học giải tích d) Các tập q trình thực nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị - Kết luận - Kiến nghị Tài liệu tham khảo Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài: Trong chương trình Tốn phổ thơng, hình học khơng gian (HHGK) lớp 12 nội dung quan trọng Các tốn tính khoảng cách tính thể tích khối đa diện đa dạng phong phú, thường có mặt đề thi tốt nghiệp Đại học Đây tập gây khơng khó khăn cho học sinh tư hình vẽ, đặc biệt việc kẻ thêm đường phụ dẫn đến học sinh có tâm lý sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 Bộ trưởng Bộ GD&ĐT nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập học sinh” Trong trình giảng dạy, người thầy cần phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả phát toán từ toán có; cần khơi dậy phát triển tiềm sáng tạo tiềm ẩn học sinh 1.2 Mục đích nghiên cứu  Học sinh thường ngại lúng túng gặp toán toán HHKG túy  Xuất phát từ nhu cầu: có phương pháp hiệu việc giải số tập HHKG tính thể tích tính khoảng cách  Đáp ứng yêu cầu phát triển tư nâng cao trình độ chất lượng học trường THPT  Giải kịp thời yêu cầu giảng dạy học Tốn tình hình Nắm bắt khó khăn em học sinh việc tiếp cận tốn HHGK tính thể tích tính khoảng cách , kinh nghiệm mình, mạnh dạn viết sáng kiến “Phương pháp gắn hệ trục tọa độ để giải tốn thể tích khoảng cách ” Qua SKKN với mong muốn chia sẻ với đồng nghiệp, đồng mơn tìm biện pháp nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường; giúp học sinh cảm thấy thoải mái tiếp thu chủ động giải tốn hình học khơng gian, từ phát huy tính tích cực 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tốn thể tích khoảng cách - Hệ thống toán giúp học sinh phân tích tổng hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu số giáo trình, sách tham khảo phương pháp dạy học toán, tuyển tập đề thi ĐH – CĐ, đề thi học sinh giỏi - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với đồng nghiệp để từ xây dựng hệ thống phương pháp, tập tiếp tuyến - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh Khá, Giỏi trường trung học phổ thông lớp ôn thi ĐH – CĐ năm gần NỘI DUNG ĐỀ TÀI: 2.1.Cơ sở lý luận: “Hình học phần quan trọng toán học nghiên cứu dạng quan hệ dạng không gian Đầu kỷ 17 Descartes người đưa phương pháp tọa độ vào hình học , tạo điều kiện gắn hình học với đại số, điều sở cho đời hình học giải tích, theo hướng hình học khỏi hình học sơ cấp Hình học giải tích nghiên cứu hình phép biến đổi cho phương trình đại số tọa độ vng góc cách sử dụng phương pháp đại số” (Trích Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học – NXB Giáo dục - 2003) Trong thực tế, việc dạy học hình học khơng gian chương trình phổ thơng nhìn chung chưa đạt hiệu cao Qua kinh nghiệm giảng dạy mình, tơi nhận thấy số tốn HHKG tính thể tích tính khoảng cách gây cho học sinh khó khăn sau: *) Những khó khăn học sinh học HHKG: - Vẽ hình chưa trực quan, - Vận dụng định lí quan trọng chưa tốt, - Chưa nắm khái niệm đa diện thường gặp, Đặc biệt tâm lí lo ngại tiếp cận tốn HHKG tính thể tích tính khoảng cách, điều “cản bước” làm cho em khơng tự tin để giải tốn *) Thực trạng việc dạy giáo viên: Có số giáo viên vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo thường dừng lại mức độ nhỏ lẽ khai thác tốn tương tự, tìm giải toán tổng quát *) Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh biết giải tập HHKG tính thể tích tính khoảng cách cách tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp tốn Nhiều học sinh khơng có chút suy nghĩ tìm lời giải gặp tốn Thực tế cho thấy nhiều học sinh không làm toán làm toán hình tọa độ khơng gian Vậy khơng chuyển tốn tính thể tích khối đa diện tính khoảng cách sang tọa độ, điều giúp đơn giản nhiều vấn đề khó Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu kinh nghiệm phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu học tập HHKG cho học sinh lớp 12 2.2 Thực trạng trước thực giải pháp Thuận lợi Khái niệm vectơ không gian đưa vào nội dung chương trình lớp 11 Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc khơng gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu Mặt khác số kiến thức vectơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ không gian chương trình hình học lớp 12, cơng cụ hữu ích để giải nhiều tốn hình học khơng gian Một nhiệm vụ dạy học mơn tốn chương trình phổ thơng, đặc biệt dạy hình học hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa biết vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức toạ độ điểm, toạ độ vectơ cơng thức có liên quan vào giải toán Điều giúp cho việc giải tập hình học khơng gian có thuận lợi là: - Khơng sử dụng q nhiều hình vẽ, thay vào kĩ vận dụng cơng thức cách hợp lí - Đã xây dựng kết quan trọng để học sinh vận dụng vào giải số tốn HHKG tính thể tích tính khoảng cách Khó khăn: Khơng học sinh chưa nhận thức tầm quan trọng việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình định hướng phương pháp giải toán mà em làm cách máy móc, lập luận thiếu cứ, khơng xác, đơi lúc khơng phân biệt đâu giả thiết, đâu phần cần chứng minh Do kết khơng mong đợi Đây nội dung khó học sinh lớp 12 Do chưa tìm phương pháp thích hợp để giải toán nên nhiều vướng mắc, từ thiếu hứng thú học tập Để giúp em mau chóng tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi nỗ lực tâm cao thầy trò 2.3 Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Qua sở thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm mạnh dạn tổng hợp cách khái quát chủ đề gắn hệ trục tọa độ với nội dung sau: a) Một số phép toán vectơ khơng gian: Trong chương III - §1, §3 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) - NXBGD-2008, nêu định nghĩa số tính chất sau: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz a/ Tar định nghĩa: r r r r Cho hệ trục tọa độ Oxyz, véc tơ đơn vị: v = x.i + y j + z.k ⇔ v = ( x; y; z ) uuuu r r r r OM = x.i + y j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) r r b/ Cho a = (a1 ; a2 , a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) z M(x,y,z) ta có : rr r r r r • a.b = a b cos(a, b) k rr O j y • a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 i x r i = ( 1;0; ) r • a = a12 + a22 + a32 r r rr • a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = Tíchr có hướng hai vectơ r • [ a, b ] = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) r r r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0; 0;1) r r r r •  a, b  ⊥ a ;  a, b  ⊥ b r r r r r • a phương với b ⇔ [a, b] = r r r r r r • a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = Vị trí tương đối hai đường thẳng ur uu r d1, d2 có vectơ phương u1 , u2 M ∈ d1 , M ∈ d , ta có: ur uu r ur uuuuuur r • d1 ≡ d ⇔ u1 , u2  = u1 , M 1M  = • • • ur uu r r  u1 , u2  =    d1 / / d ⇔  ur uuuuuur r  u1 , M 1M  ≠ ur uu r r  u1 , u2  ≠    d1 cắt d ⇔  ur uu r uuuuuur r  u1 , u2  M 1M = ur uu r uuuuuur r d1 , d chéo ⇔ u1 , u2  M 1M ≠ b) Một vài dấu hiệu nhận biết số tốn HHKG sử dụng phương pháp tọa độ: • Hình cho có đỉnh tam diện vng • Hình chóp có cạnh bên (mặt bên) vng góc với mặt đáy đáy hình chóp đa giác đặc biệt (như tam giác vng, tam giác đều, hình chữ nhật, hình vng, …) • Hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, … • Một vài hình chưa có sẵn tam diện vng tạo tam diện vng,… c) Các bước giải tốn HHKG phương phương pháp tọa độ: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz Suy tọa độ điểm liên quan (phụ thuộc theo giả thiết độ dài) Bước 2: Chuyển ngơn ngữ (bài tốn) hình học túy sang ngơn ngữ (bài tốn) hình học giải tích *) Kĩ chọn hệ trục toa độ Oxyz: Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc đơi Do đó, hình vẽ chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ Cần nhấn mạnh rằng, việc xây dựng hệ trục tọa độ Oxyz quan trọng, đảm bảo cho việc tính tốn bước đơn giản hay phức tạp Sau số cách đặt hệ trục tọa độ với số hình đặc biệt mà ta thường sử dụng: Loại I - HÌNH CHĨP: 1-Hình chóp tam giác S.ABC Gốc O trùng với trọng tâm G đáy, Oz trùng với đường cao SG hình chóp z Đáy chóp S.ABC: S A x H G C A y G x B C y B 2-Hình chóp tứ giác S.ABCD Cách chọn 1: Cách chọn 2: Gốc O trùng với tâm hình vng ABCD, Gốc O trùng với tâm hình Oz trùng với đường cao hình chóp vng ABCD, Oz trùng với đường z cao hình chóp S z S D C D O x A B C O y y A Đáy chóp S.ABCD: x B Đáy chóp S.ABCD: D D C C y O O A B x A y B x 3-Hình chóp tứ giác S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) ∧ a) Đáy ABCD hình chữ nhật b) Đáy ABCD hình thoi, BAC = 600 Gốc O trùng với đỉnh A hình chữ nhật Gốc O trùng với đỉnh A hình thoi ABCD, Oz trùng với đường cao SA ABCD, Oz trùng với đường cao SA hình chóp hình chóp z z S S D A y A D O B x C x y B C Đáy chóp S.ABCD: Đáy chóp S.ABCD: D A A y 60 x 30 B D C B y x C -Hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) a) Đáy ABC tam giác vuông A b) Đáy ABC tam giác vuông B Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Gốc O trùng với đỉnh A tam giác Oz trùng với đường cao SA hình chóp ABC, Oz trùng với đường cao SA z hình chóp z S S A C B yy A B x x C Đáy chóp S.ABC: A Đáy chóp S.ABC: y B C y B C A x x c) Đáy ABC tam giác d) Đáy ABC tam giác cân ∧ A có BAC = 1200 Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Gốc O trùng với đỉnh A tam giác Oz trùng với đường cao SA hình chóp ABC, Oz trùng với đường cao SA hình chóp z z S S B x A y C A 30 30 C y B x Đáy chóp S.ABC: Đáy chóp S.ABC: A 30 A x 30 B C C B y x y 5- Hình chóp tứ giác S.ABCD có ( SAB) ⊥ ( ABCD) , ∆SAB cân S a) Đáy hình chữ nhật ABCD b) Đáy hình thoi ABCD ∧ có góc BAD = 1200 Gốc O trùng với trung điểm I cạnh AB, Gốc O trùng với trung điểm I Oz trùng với đường cao SI hình chóp cạnh AB, Oz trùng với đường cao SI z hình chóp z S S B C I B y I A A x D x C D y Đáy chóp S.ABCD: Đáy chóp S.ABCD: A B D I y I 60 A C C B x y x D 6- Hình chóp tam giác S.ABC có ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ∆SAB cân S a) Đáy tam giác vuông A b) Đáy tam giác vuông C Gốc O trùng với trung điểm E cạnh AB, Gốc O trùng với trung điểm H Oz trùng với đường cao SE hình chóp cạnh AB, Oz trùng với đường cao SH hình chóp z z S S A C E B y F B A H N M x Đáy chóp S.ABC: y C x Đáy chóp S.ABC: A H B E C N M B F A y x C y x Loại II - HÌNH LĂNG TRỤ: 1.Hình lăng trụ tam giác 2.Hình lăng trụ tứ giác ABC.A’B’C’ ABCD.A’B’C’D’ Gốc O trùng với đỉnh A tam giác Gốc O trùng với đỉnh A hình ABC, Oz trùng với đường cao AA’ hình vng ABCD, Oz trùng với đường lăng trụ cao AA’ hình lăng trụ z A' D' C' B' D A x 10 B C y d) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Hướng dẫn: z A A O C y H O N M B x C K M B (hình vẽ khơng có đường phụ) (hình vẽ có nhiều đường phụ) Cách 1: Phương pháp hình học sơ cấp Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) ⇒ OM // (ABN) ⇒ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)) Dựng OK ⊥ BN , OH ⊥ AK ( K ∈ BN ; H ∈ AK ) AO ⊥ (OBC )  Ta có:  ⇒ AK ⊥ BN OK ⊥ BN  BN ⊥ OK   ⇒ BN ⊥ ( AOK ) ⇒ BN ⊥ OH BN ⊥ AK  OH ⊥ AK   ⇒ OH ⊥ ( ABN ) OH ⊥ BN  suy d (O; ( ABN ) = OH Từ tam giác vng OAK; ONB ta có: 1 1   = + = + + ÷ 2 2 OH OA OK OA  OB ON  1 a 15 = + + = ⇒ OH = 3a a 3a 3a a 15 (đvđd) Vậy, d ( OM , AB ) = OH = 14 Cách 2: Ứng dụng tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho B ∈ Ox; C ∈ Oy , A ∈ Oz Khi đó: O(0;0;0), A(0;0; a 3), B(a;0;0), a a  ; 0÷ C (0; a 3;0), M  ; 2  Ta có: → → a a AB = ( a;0;− a ), OM = ( ; ;0) 2 3a 3a  → →  3a ⇒  AB, OM  = ( ;− ; ) 2   → OB = (a;0;0)   Vì  AB, OM  OB = →  → → 3a ≠0 nên  → →  →  AB, OM  OB a 15 d ( AB, OM ) = → →   AB, OM  (đvđd) Bài tập 2: (Trích đề thi học kì năm 2009) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc (SBC), SB vng góc SC biết SA=3, SB=4, SC=5 Tính khoảng cách từ S đến (ABC) Hướng dẫn: z C C S F S B E y A A x (hình vẽ có nhiều đường phụ) (hình vẽ khơng có đường phụ) Cách 1: Phương pháp hình học sơ cấp Kẻ SE ⊥ AB, SF ⊥ CE ( E ∈ AB, F ∈ EC ) SC ⊥ ( ABC )   ⇒ SC ⊥ CE CE ∈ ( ABC )  Từ tam giác vng SAB; SCE Ta có: 1 1 1 769 = 2+ 2+ = + + = 2 SF SA SB SC 16 25 3600 60 ⇒ SF = 769 Do SF ⊥ CE,SF ⊥ AB nên SF ⊥ (ABC) Vậy: d ( S , ( ABC ) = SF = B Cách 2: Ứng dụng tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ S; A ∈ Ox; B ∈ Oy C ∈ Oz Khi đó: S(0;0;0), A(3;0;0),B(0;4;0),C(0;0;5) Bước 2: Ta có: AB = (− 3;4;0), AC = (− 3;0;5) r vtpt (ABC) n = (20;15;12) pt (ABC): 20x+15y+12z-60=0 Vậy d ( S , ( ABC ) = 60 (đvđd) 769 15 60 (đvđd) 769 Bài tập 3: (Trích SGK hình học 12 nâng cao – Đoàn quỳnh (Tổng chủ biên) – NXB Giáo dục - 2008) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=a, BC=b, CC’=c a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD) b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Hướng dẫn: A' D' z P K B' A' C' c D' B' H a A b D N A B M B C AA ' ⊥ ( ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD(3) Từ (1), (3) ⇒ BD ⊥ ( AA ' M ) ⇒ BD ⊥ AH (4) Từ (2), (4) ⇒ AH ⊥ ( A ' BD) Do d ( A, ( A ' BD)) = AH Từ tam giác vuông AA’M, ONB ta có: 1 1   = + = + + ÷ 2 2 AH AA ' AM AA '  AB AD  1 a 2b + b c + c a = 2+ 2+ = a b c a 2b c abc 2 2 Cách 2: Ứng dụng tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy A’ ∈ Oz Khi đó: A(0;0;0) , A '(0;0; c) , B (a; 0;0) , B '(a;0; c ) C (a; b;0) , C '(a; b; c) , D(0; b; 0) , D '(0; b; c ) a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD) Vectơ pháp tuyến mp(A’BD) là: r uuuuu ruuuur n =  A ' B, A ' D  = (bc; ca; ab) ( A ' BD ) : bcx + cay + ab( z − c ) = ⇔ (bc) x + (ca) y + ( ab) z − abc = Vậy, d ( A;( A ' BD)) = A'C ' = a + b ,C ' D = a + c , A' D = b + c A ' C '+ C ' D + A ' D p= 2 C Do đó, phương trình mp(A’BD) là: a b + b2c + c 2a 2 (đvđd) b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D Ta có 2 y (hình vẽ khơng có đường phụ) Cách 1: Phương pháp hình học sơ cấp a).Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD) Dựng AM ⊥ BD(1) , AH ⊥ A ' M (2) Vậy, d ( A, ( A ' BD)) = D b a x (hình vẽ có nhiều đường phụ) C' c Sử dụng công thức Hê-rông ta tính 16 = −abc a b + b 2c + c a 2 abc a b + b 2c + c a 2 S ∆A'C ' D = b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D Ta có: uuuu r uuuur DA ' = (0; −b; c ), DC ' = (a;0; c) suy ra: p ( p − A' C ' )( p − A' D)( p − DC ' ) a 2b + b c + c a = uuuur uuuur  DA ', DC ' a 2b + b c + c a   d ( A ', C ' D) = = uuuur DC ' a2 + c2 Do d ( A ', C ' D) = 2S ∆A 'C ' D a 2b + b c + c a = C 'D a2 + c2 c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Ta có: uuuu r uuuu r c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Ta có A ' B / /CD ' ⇒ CD '/ /( A ' BC ')(1) BC ' = (0; b; c), CD ' = ( −a;0; c) uuuu r uuuu r  BC ', CD ' = (bc; −ca; ab)   uuur BC = (0; b;0) uuuu r uuuu r uuur Vì  BC ', CD ' BC = −abc ≠ nên uuuu r uuuu r uuur  BC ', CD ' BC   d ( BC ', CD ') = uuuu r uuuu r  BC ', CD '   − abc = a 2b + b 2c + c a abc = 2 a b + b 2c + c a AC / / A ' C '(2) ⇒ AC / /( A ' BC ') (3) Từ ( 1) , ( 3) ⇒ ( ACD ') / /( A ' C ' B ) Dựng BN ⊥ AC(4) , NP / / AA '(5) , ( P ∈ A ' C ') Ta cm BN ⊥ NP(6) , BP ⊥ A ' C '(7) Dựng KN ⊥ BP(8) Từ (1), (4), (7) ⇒ KN ⊥ A ' C '(9) Từ (8), (9) ⇒ NK ⊥ ( BA ' C ') Suy d ( BC ', CD ') = d (( BA ' C '), ( ACD ')) = d ( N , ( BA ' C ')) = NK Ta có:   + + ÷  AB AD  1 a 2b + b c + c a = 2+ 2+ = a b c a 2b c 1 1 = + = 2 NK NP NB AA '2 Vậy, d ( BC ', CD ') = abc a b + b2c + c 2a 2 Nhận xét: Qua ba tập (bài 1, 2, 3) ta nhận thấy, so với phương pháp sơ cấp (tổng hợp) phương pháp tọa độ có ưu điểm, cụ thể là: • Hình vẽ đơn giản, khơng cần kẻ thêm đường phụ (cịn giải theo phương pháp tổng hợp cần có mức độ tư khái quát thật tốt, phải kẻ thêm số đường phụ để xác định khoảng cách yếu tố, điều học sinh làm được) • Trình bày đơn giản, dễ hiểu (phù hợp với đại đa số học sinh) • Học sinh cần nhớ cơng thức vận dụng vào việc tính tốn 17 Bài tập 4: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' Hướng dẫn: Do mặt bên hình lăng trụ hình vng cạnh a nên hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a A' z C' F A' B' H C' B' A A C D x B (hình vẽ có nhiều đường phụ) Cách 1: Phương pháp hình học sơ cấp Gọi D, F trung điểm BC, B’C’ Vì mặt bên lăng trụ hình vng nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ⇒ tam giác ABC, A’B’C’ tam giác Ta có: B ' C ' //BC ⇒ B ' C '//( A ' BC ) Vì d ( A ' B; B ' C ' ) = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) )  BC ⊥ FD  BC ⊥ A' D Ta có:  ( ∆A' BC cân A’ ) ⇒ BC ⊥ ( A' FDA) Dựng FH ⊥ A ' D,( F ∈ A ' D ) , Vì BC ⊥ ( A ' FDA ) ⇒ BC ⊥ FH suy FH ⊥ ( A ' BC ) ∆A' FD vng ta có: 1 = + = 2+ = 2 2 FH A' F FD 3a a 3a y C 30° B (hình vẽ đơn giản) Cách 2: Ứng dụng tọa độ Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ⇒ tam giác ABC, A’B’C’ tam giác Chọn hệ trục Oxyz, với O ≡ A , C ∈ Oy , A ' ∈ Oz Lúc đó: a a  ; ; ÷, C ( 0; a; ) ,  2  a a  A '(0; 0; a ), B '  ; ; a ÷, C ' ( 0; a; a )  2  A(0;0;0), B  Ta có: uuuuu r  − a a  uuuur  a a  B 'C ' =  ; ; ÷, A ' B =  ; ; − a÷  2   2  uuuuu r A ' C ' = ( 0; a;0 ) uuuuu r uuuu r  − a −a −a   B ' C ', A ' B  =     ; ; ÷  → − a3  →  → ≠ nên Vì  B' C ', A' B  A' C ' =   18 a 21 ⇒ FH = Kết luận: d ( A ' B, B ' C ') = FH = a 21 (đvđd) Nhận xét: Ở ta phải xác định khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C tư hình vẽ, điều khơng phải đơn giản  → →  →  B ' C ' , A' B  A' C ' d ( B ' C ' , A' B ) =  → →   B' C ' , A' B  = Kết luận: − a3 a 3a 3a + + 4 = d ( A ' B, B ' C ' ) = a 21 a 21 (đvđd) Nhận xét: Ở ta cần vận dụng công thức tọa độ tính tốn cách xác Bài tập 5: (Đại học khối B – 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a Hướng dẫn: 19 Hướng dẫn tập Gọi I = AC ∩ BD Ta có A ' I ⊥ ( ABCD ) Chọn hệ trục Oxyz cho O ≡ B; A ∈ Ox; C ∈ Oy, tia Oz tia Bz song song hướng với tia IA’ Khi đó: B(0;0;0), A(a;0;0),C(0; a ;0), B' a a ; z ) ( z > 0) 2 A’( ; Ta tìm z: Mặt phẳng (ABCD) r mp(Oxy) nên có vtpt k = (0;0;1) uuur uuur a a AD = (0; a 3;0), AA ' = ( − ; ; z) 2 Suy uuur uuur a2  AD, AA ' = ( a z;0; )   a = (2 z;0; a ) vtpt mp(ADD’A’) r n = (2 z;0; a ) Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 nên ta có rr k n r r = cos 60o = k.n ⇔ Vậy a 4z2 + a2 = a ⇔z= (z > 0) 2 a a a A’( ; ; ) 2 C' A' D' B C a a D(a; a ;0), I( ; ;0 ) 2 A’ có hình chiếu lên (Oxy) I nên z y I A D x *Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: uuur a Từ 3a = A ' I AB.BC = (đvtt Cách 1: Ta có A ' I = A ' I = VABCD A' B 'C ' D ' = A ' I S ABCD ) Cách 2: Ta có: uuur uuur uuur 3a a2 AB = (a;0;0),  AD, AA ' = ( ;0; ) 2 Do đó: uuur uuur uuur 3a (đvtt) VABCD A' B 'C ' D ' =  AD, AA ' AB = *Tính khoảng cách từ B’đến mp(A’BD) Mặt phẳng (A’BD) có VTPT uuur uuur 3a a a2  BA ', BD  = ( − ; ;0) = − (3; − 3;0)   2 ⇒ ( A ' BD) : x − y = ⇔ x − y = uuur uuur a a a Mặt khác BB ' = AA ' ⇒ B '( − ; ; ) 2 Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) d ( B ',( A ' BD )) = a a − 3− 2 = a (đvđd) Nhận xét: Nếu giải toán (bài tập 5) phương pháp sơ cấp phải xác định góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) Tuy không phức tạp gây nhiều khó khăn cho học sinh em phải nhớ cách xác định góc hai mặt phẳng, mặt khác trình 20 xác định góc phải kẻ thiêm số đường phụ Sau ta lấy thêm tập có liên quan đến góc hai mặt phẳng Bài tập 6: (Trích đề thi Đại học khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = AC = 2a hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng chứa SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Hướng dẫn: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAC ) ⊥ ( ABC )  Phân tích:  Như đường cao S.ABC SA *Tính thể tích khối chóp S.BCNM Ta tính được: z → → BS = (2a;0;2 3a ), BN = (a; a;0) S → → BM ( a;0;0), BC (0;2a;0) x A → →  2  BS , BN  = (−2a 3;2a 3;2a ) 1→ →  → 3a VS BMN =  BS , BN  BM = (đvtt) 6  B M N VS BNC C y Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với O ≡ B, A ∈ Ox, C ∈ Oy, tia Oz tia Bz song song hướng với tia AS Khi đó: B (0;0;0), A(2a;0;0), C (0;2a 0;0) M (a;0;0), N (a; a;0) = 3a → →  → (đvtt)  BS , BN  BC = Do đó: VS BCNM = VS BNM + VS BCN = 3a3 (đvtt) * Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a  Gọi: S (2a;0; z ), z >  BA = (2a;0;0) Ta có:  → Ta tìm z: SN (− a; a;−2a ) Mặt phẳng (ABC) mp(Oxy) nên có r → → ⇒  BA, SN  = (0;4 3a ;2a ) vtpt k = (0;0;1) →  uuur uuu r BC = (0; 2a;0), BS = (2a;0; z )  → BS = (2a;0;2a ) → → → uuur uuu r Vì  BA, SN  BS = 4a ≠ nên    BC , BS  = (2az;0; −4a ) = 2a ( z;0; −2a ),   r → → → vtpt mp(SBC) n = ( z; 0; −2a)  BA, SN  BS Góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) d ( SN , AB) = → → 60 nên ta có  BA, SN  Suy 21 rr k n r r = cos 60o = k.n ⇔ 2a z + 4a = = 3a 2a 39 = (đvđd) 13 a 52 ⇔ z = 2a (z > 0) Vậy S ( 2a;0; 2a ) Nhận xét : Trong tập 6, ta tính độ dài đoạn SA sau chọn hệ trục tọa độ Oxyz (vì cách xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) trường hợp tương đối đơn giản) Cách tính độ dài đoạn SA sau:  BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ AB nên góc hai mặt phẳng (SBC)  SB ⊂ ( SAB) ∧ (ABC) góc SBA ⇒ SBA = 600 suy SA = AB tan 600 = 3a ( ) S 2a;0; 2a Vì cần lưu ý rằng, khơng thiết phải vận dụng tồn (việc trình bày tốn) phương pháp tọa độ mà đơi lúc kết hợp với phương pháp hình học sơ cấp để việc trình bày trở nên đơn giản dễ hiểu Ta lấy thêm ví dụ để thấy tính hiệu Bài tập 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn: 22 Gọi O = AC ∩ BD ⇒ z SO ⊥ ( ABCD) SO = SC − OC = a − S a a = 2 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz , với C ∈ Ox; D ∈ Oy S ∈ Oz Khi đó: D A  a 2 S  0;0; ÷, ÷    a  a  A  − ; 0; ÷ C ;0;0  ÷ , ÷  ÷,      a   a  D  0; ;0 ÷ B 0; − ;0÷  , ÷  ÷ 2     y O O(0;0;0) ; C B x b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD): Ta có vtpt mp(SCD) 2 a2 → → a a a SC , SD = ( ; ; ) = (1;1;1)   2 2 Do phương trình mp(SCD) là: a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD: (SCD): x + y + z − 1 a 2 VS ABCD = SO.S ABCD = a 3 a (đvtt) = a =0 Vì vậy: d ( A, ( SCD ) ) = = − a a − 2 a a = (đvđd) d) Các tập trình thực nghiệm: Loại I: CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: (Trích SGK Hình học 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục - 2008) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mp(ABC) Biết AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(BCD) Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC a) Tính cosin thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách MB AC theo a Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB a) Tính cosin thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách BC SD 23 Bài tập 4: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2012) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mp(ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài tập 5: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2013) ˆ = 300 , SBC tam Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mp(SAB) Loại 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài tập 1: (Trích tập Hình học 12 - Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) - NXB Giáo dục - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A =(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 ) Gọi M trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a a) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD a) Tính khoảng cách từ A đến (BCN) b) Tính khoảng cách SB CN Bài tập 5: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với ˆ = 1200 , M trung điểm cạnh BC SMA ˆ = 450 Tính thể tích khối chóp đáy, BAD theo a khoảng cách từ điểm D đến mp(SBC) Loại 3: CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài tập 1: (Trích tập Hình học 12 - Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) NXB Giáo dục - 2008) Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có cạnh Gọi M, N , P trung điểm cạnh BB1 , CD, A1D1 Tính khoảng cách hai đường thẳng MP C1 N Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N trung điểm BB’ AD a) Tính khoảng cách hai đường thẳngv C’D MN b) Tính khoảng cách điểm A mp(C’MN) Bài tập 3: (Trích SGK Hình học 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục - 2008) 24 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b) Mặt phẳng qua A’B’ trọng tâm tam giác ABC, cắt AC BC E F Tính thể tích hình chóp C.A’B’EF Bài tập 4: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2002) Cho hình lập phương ABCD A1B1C1 D1 có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng A1 B B1 D Bài tập 5: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D - 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' đáy tam giác vng có BA=BC=a, cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Một số tốn HHKG tính thể tích tính khoảng nói riêng dạng tốn phức tạp nói chung chương trình THPT, đòi hỏi HS phải tiếp cận nhiều phương pháp sáng tạo giải toán Cách giải phong phú, đa dạng Mặt khác, phương pháp toạ độ phương pháp học sinh có phần trừu tượng Khi vận dụng phương pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ Có tư logic, khéo léo Vận dụng phương pháp giúp học sinh phát triển tư duy, ý thức rèn luyện kiến thức tạo say mê học tập, hứng thú học tập Thơng qua vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy ý nghĩa phương pháp vận dụng vào toán, giúp học sinh phần tự tin ý thức phương pháp toạ độ, mà có ví dụ với phương pháp hình học sơ cấp việc giải phức tạp, việc ứng dụng phương pháp toạ độ lời giải lại đơn giản, ngắn gọn dễ hiểu Sau áp dụng SKKN vào giảng dạy năm học 2011 – 2012, 2012- 2013 trường THPT Đắc lua bước đầu nhận thấy em chủ động hơn, tự tin tiếp xúc với tốn hình học khơng gian, em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập, nâng cao khả giải toán HHKG tính thể tích tính khoảng cách Qua khảo sát, nhìn chung em biết vận dụng linh hoạt, biết nhận biết vấn đề xác định tọa độ điểm liên quan hệ trục tọa độ Cụ thể sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp lớp 12A7, 12A9 (năm học 2021 – 2022) số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết khảo sát sau: Năm học 2021 -2022 Lớp 12A7 12A9 Tổng số 42 45 Điểm trở lên Số lượng 15 12 Tỷ lệ 36 % 27% 25 Điểm từ đến Số Tỷ lệ lượng 20 48% 26 58% Điểm Số lượng 7 Tỷ lệ 16 % 15% Tuy kết qủa chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực tơi bớt băn khoăn học trị bớt ngán ngại gặp tốn HHKG tính thể tích, tính khoảng bước biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải toán HHKG Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận: Sau thời gian nghiên cứu, để vận dụng đổi phương pháp dạy học tiến hành thực nghiệm cụ thể áp dụng phương pháp “Dạy học theo chủ đề” vào chủ đề phương pháp gắn hệ trục tọa độ để giải tốn thể tích khoảng cách, thấy: Đổi phương pháp dạy học cần thiết, có nhiều phương pháp dạy học đem lại hiệu cho mơn học Do cần lựa chọn phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực phù hợp với nội dung học, mơn học Đối với mơn Tốn, tơi nhận thấy việc áp dụng phương pháp dạy học theo chủ đề cần thiết phù hợp với đặc trưng môn Khi đưa phương pháp vào học hiệu liên hệ thực tiễn phát huy tích cực 3.2 Kiến nghị: Tơi ln nghĩ : tiến thành đạt học sinh ln mục đích cao cả, nguồn động viên tích cực người thầy Do vậy, tơi mong ước chia sẻ với quý đồng nghiệp số suy nghĩ sau : Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ bị bỏ rơi; tìm điều tốt em để kịp thời động viên em, tạo điều kiện cho em ngày tiến bộ, bước chủ động, tự tin học tập Hướng dẫn học sinh giải tốn cần có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Vì thực tế dạy tốn dạy hoạt động tốn học cho học sinh, giải tốn hình thức chủ yếu Do vậy, từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho em cách suy nghĩ, cách giải vấn đề đặt ra, nhằm bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo em, từ tạo cho học sinh cảm thấy hứng thú say mê học mơn tốn Những đề xuất với cấp quản lý: • Đối với Tổ chun mơn: - Có nhiều buổi họp mang tính chất trao đổi chuyên mơn (Sinh hoạt chun đề); - Động viên q giáo viên tích cực viết chuyên đề, trao đổi để tiến tới xây dựng ngân hàng tài nguyên Toán THPT Tổ chun mơn; - Mạnh dạn có thử nghiệm, mang mục đích SKKN giáo viên Tổ chuyên môn đến với em học sinh để đánh giá chất 26 lượng SKKN giúp học sinh có thêm tư liệu q giá q trình học tập • Đối với nhà trường: - Hệ thống lại SKKN theo năm học, xếp khoa học thư viện để học sinh dễ dàng tham khảo; - Tổ chức thêm nhiều buổi sinh hoạt chuyên đề Bộ môn, phân mơn mà học sinh cịn yếu Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan sản phẩm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG cá nhân tơi ĐƠN VỊ NGƯỜI THỰC HIỆN Hiệu Trưởng Hồng Văn Huân Nguyễn Thị Sen TÀI LIỆU THAM KHẢO 27      SGK Hình học 11 - Văn Trần Vă Hạo (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục - 2009 SGK Hình học 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục 2008 SGK Hình học nâng cao 12 - Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục - 2008 Phương pháp toạ độ không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội - 2000 Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học – NXB Giáo dục – 2003 28 ... thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh Khá, Giỏi trường trung học phổ thông lớp ôn thi ĐH – CĐ năm gần NỘI DUNG ĐỀ T? ?I: 2.1.Cơ sở lý luận: “Hình học phần quan trọng toán học nghiên... tốn hình thức chủ yếu Do vậy, từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho em cách suy nghĩ, cách giải vấn đề đặt ra, nhằm bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc... phương pháp dạy học toán, tuyển tập đề thi ĐH – CĐ, đề thi học sinh giỏi - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với đồng nghiệp