PHƯƠNG PHÁP GIẢI MIN MAX SỐ PHỨC

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC Kỹ năng: • Phương pháp đại số • Phương pháp hình học • Phương pháp bđt modun • Phương pháp casio Một số tính chất cần nhớ Môđun số phức: ▪ Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b ▪ Tính chất • z = a + b = zz = OM • z  0, z  • z.z ' = z z ' • , z =0z=0 z z = ,( z '  0) • z − z '  z  z '  z + z ' z' z' • kz = k z , k  2  Chú ý: z = a2 − b2 + 2abi = ( a2 − b2 )2 + 4a2 b2 = a2 + b2 = z = z = z.z Lưu ý: • z1 + z2  z1 + z2 dấu xảy  z1 = kz2 ( k  ) • • z1 − z2  z1 + z2 dấu xảy  z1 = kz2 ( k  ) z1 + z2  z1 − z2 dấu xảy  z1 = kz2 ( k  ) • z1 − z2  z1 − z2 dấu xảy  z1 = kz2 ( k  ) • z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 • z = z z = z ( 2 2 ) z  2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax + by + c = (1) (1)Đường thẳng :ax + by + c = z − a − bi = z − c − di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với ( x − a) + ( y − b) ( A ( a, b ) , B ( c , d )) = R2 Đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R  R Hình trịn tâm I ( a; b ) , bán kính R z − a − bi = R ( x − a) + ( y − b) z − a − bi  R r  ( x − a ) + ( y − b )  R2 2 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I ( a; b ) , bán kính Trang ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 r, R r  z − a − bi  R  y = ax + bx + c (c  0)   x = ay + by + c ( x + a) + ( y + c ) 2 Parabol ( 1) = ( 1) b2 d2 z − a1 − b1i + z − a2 − b2 i = 2a ( x + a) − ( y + c ) b2 d2 Elip ( ) Elip 2a  AB , A ( a , b ) , B ( a 1 , b2 ) Đoạn AB 2a = AB Hypebol =1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z Min Khi ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a; b )  1 2  z Min = z0 = a + b ✓  z = a + b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Tìm z Ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A ( a; b ) , B ( c;d ) ✓ z Min = d (O , AB ) = a2 + b2 − c − d 2 (a − c) + (b − d) 2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi z − a − bi = z − c − di  z − a + bi = z − c − di ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi iz − a − bi = iz − c − di  z + −a − bi −c − di = z+  z + b + = z + d + ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 ( ) TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R  z − z = R Tìm z Max , z Min Ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R 2 z  Max = OI + R = a + b + R = z0 + R ✓  2  z Min = OI − R = a + b − R = z0 − R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = R  z + −a − bi R = (Chia hai vế cho i ) i i  z + b + = R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R  z − a + bi = R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( c + di ) z − a − bi = R  z + −ca+−dibi Hay viết gọn z0 z − z1 = R  z − = R R = c + di c + d2 z1 R (Chia hai vế cho z ) = z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − c + z + c = 2a , ( a  c ) Khi ta có ✓ Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z Elip: y2 x2 + =1 a2 a2 − c2 z  Max = a ✓  2   z Min = a − c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − z1 + z − z = 2a Thỏa mãn 2a  z1 − z Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 ( ) Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z − z1 + z − z = 2a , z1 − z  2a z1 ,z  c, ci ) Tìm Max, Min P = z − z  z1 − z = 2c 2  b = a − c Đặt  Nếu z0 − z1 + z =0 PMax = a (dạng tắc)  P = b  Min  z1 + z a  z0 − Nếu  z − z = k ( z − z )   z1 + z +a PMax = z0 −   P = z − z1 + z − a  Min   z1 + z a  z0 − Nếu  z − z = k ( z − z )  Nếu z − z1 = z − z PMax = z0 − z1 + z +a PMin = z0 − z1 + z −b PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp Dạng 3: Tả phí lù Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A z = − 2i B z = − + i 5 − i 5 Hướng dẫn giải D z = −1 + 2i C z = Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z = x + yi ( x , y  ) z + 3i = z + − i  x + ( y + ) i = ( x + ) + ( y − 1) i  x + ( y + ) = ( x + ) + ( y − 1) 2  y + = 4x + − y +  4x − y − =  x − y − =  x = y + GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022  2 z = x + y = ( y + 1) + y = y + y + =  y +  +  5 5  2 Suy z = 2 y = −  x = 5 − i 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z = x + yi ( x , y  ) Vậy z = z + 3i = z + − i  x + ( y + ) i = ( x + ) + ( y − 1) i  x + ( y + ) = ( x + ) + ( y − 1) 2  y + = 4x + − y +  4x − y − =  x − y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + − i đường thẳng d : x − 2y − = Phương án A: z = − 2i có điểm biểu diễn ( 1; − )  d nên loại A  2  − ;   d nên loại B   Phương án D: z = −1 + 2i có điểm biểu diễn ( −1; )  d nên loại B Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn 5 1 2 − i có điểm biểu diễn  ; −   d 5 5 5 (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào kiện ban đầu không nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình  : x − y − = Phương án C: z = Vậy z = d ( O ,  ) = −1 = 5 12 + 2 Cách 4: Cơng thức tính nhanh BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z Tìm z ?  1 2  z Min = z0 = a + b  z = a + b i  2 BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Tìm z ? z Min = Câu 2: a2 + b2 − c − d 2 (a − c) + (b − d) 2 (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M + m A − B + GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC C D + Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Hướng dẫn giải Chọn B Cách : Đại số Gọi z = x + yi với x; y  Ta có = z − + z +  z − + z + = z  z  Do M = max z = Mà z − + z + =  x − + yi + x + + yi =  ( x − 3) + y2 + ( x + 3) + y2 = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có = ( x − 3) + y + ( x + 3) ( ) + y2  (1 ( ) 2 + 12 ( x − ) + y + ( x + ) + y    )   2 x + y + 18  2 x + y + 18  64  x2 + y   x2 + y   z  Do M = z = Vậy M + m = + Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)   F1 ( −3; ) , F2 ( 0, )     x2 y   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip + =  a = =  16    b = a − c = − =     =a=4 z Do  Max  M+m= 4+ z = b =   Min Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z − c + z + c = 2a , ( a  c ) ta ln có ➢ Tập hợp điểm biểu diễn z Elip y2 x2 + =1 a2 a2 − c z  Max = a ➢  2   z Min = a − c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + + i A 13 + B C Hướng dẫn giải D 13 + Chọn D Cách 1: Gọi z = x + yi ta có z − − 3i = x + yi − − 3i = x − + ( y − ) i GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Theo giả thiết ( x − ) + ( y − ) = nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường 2 trịn tâm I ( 2; ) bán kính R = M2 Ta có z + + i = x − yi + + i = x + + ( − y ) i = Gọi M ( x; y ) H ( −1;1) HM = ( x + 1) + ( y − ) ( x + ) + ( y − 1) 2 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M tròn  x = + 3t Phương trình HI :  , giao HI đường tròn ứng với  y = + 2t    ;3+ ;3− 9t + 4t =  t =  nên M  + ,M2− 13 13  13 13   M1 I H giao HI với đường t thỏa mãn:   13  Tính độ dài MH ta lấy kết HM = 13 + Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn w = z + + i ( ) Ta có z − − 3i =  z − + 3i =  z + + i − + 2i =  w − + 2i = (Đường tròn tâm I ( 3, −2 ) , R = ) Vậy w Max = OI + R = 32 + 2 + = + 13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = R  , ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I ( a , b ) , bk = R ) 2 z  Max = OI + R = a + b + R  2  z Min = OI − R = a + b − R  Ngồi ta ln có cơng thức biến đổi z − a − bi = z − a + bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  Đặt A = 2z − i Mệnh đề sau + iz đúng? A A  C A  B A  D A  Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Đặt Có a = a + bi , ( a , b  )a + b  (do z  ) a + ( b + 1) z − i a + ( b − 1) i A= = = 2 + iz − b + ( − b ) + a2 Ta chứng minh a + ( b + 1) 2 ( − b ) + a2 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC  Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Thật ta có 4a2 + ( 2b + 1) ( − b) 2   4a2 + ( 2b + 1)  ( − b ) + a2  a2 + b2  + a2 Dấu “=” xảy a2 + b2 = Vậy A  Cách : Trắc nghiệm z =1 2z − i = 34  A 1 Chọn 1 A = + iz z= 1 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = + C Hướng dẫn giải 5i 5i  1+ = + = Khi z = i  A = Cách 1: Ta có: A = + z z z B A 5i z D  Chọn đáp án C Cách 2: A = + z + 5i 5i = = z + 5i z z Theo z =  z + 5i − 5i =  z + 5i Max = 52 + = Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M = Hướng dẫn giải Ta có: M  z + z + + z + = , z =  M =  M max = Mặt khác: M = − z3 1− z + 1+ z  − z3 + + z3  − z3 + + z3 = 1, z = −1  M =  M =  Chọn đáp án A Câu 7: Cho số phức z thỏa A z 2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P = B C z+i z D Hướng dẫn giải i i 1  Mặt khác: +  −  Ta có P = +  + z | z| z | z| GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Vậy, giá trị nhỏ P , xảy z = −2i; giá trị lớn P xảy 2 Câu 8: z = 2i  Chọn đáp án A Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z − 2i C 26 + 17 D Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x  ; y  )  z − 2i = x + ( y − ) i Ta có: A 26 + 17 B 26 − 17 26 − 17 z − + i =  ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + sin t ; y = −2 + cos t ; t  0;   z − 2i = ( + sin t ) + ( −4 + cos t ) = 26 + ( sin t − cos t ) = 26 + 17 sin ( t +  ) ; (   2 )  26 − 17  z − 2i  26 + 17  z − 2i max = 26 + 17 = + 17  Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z − 2i Ta có z − + 2i =  ( z − 2i ) − + 4i =  z Max = 12 + + = + 17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x  ; y  z =  x + y =  y = − x  x  −  1;1 ( + x ) + y + (1 − x ) + y = (1 + x ) + (1 − x ) ( + x ) + ( − x ) ; x  −  1;1 Hàm số liên tục −  1;1 Ta có: P = + z + − z = Xét hàm số f ( x ) = ) Ta có: D 20 x  ( −1;1) ta có: f  ( x ) = (1 + x ) − 2 với =  x = −  ( −1;1) (1 − x )  4 Ta có: f ( 1) = 2; f ( −1) = 6; f  −  = 20  Pmax = 20  5  Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)  x = sin t Từ z = , đặt z = x + yi   Thay vào P dùng mode đáp án D  y = cos t Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M.m A 13 B 39 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC C 3 D 13 Trang ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ; ( x  ; y  ) Ta có: z =  z.z = Đặt t = z + , ta có = z −  z +  z + =  t  0;  Ta có t = ( + z )( + z ) = + z.z + z + z = + x  x = t2 − ( x − 1) Suy z − z + = z − z + z.z = z z − + z = = 2x − = t − Xét hàm số f ( t ) = t + t − , t  0;  Bằng cách dùng đạo hàm, suy max f ( t ) = 13 13 ; f ( t ) =  M.n = 4  Chọn đáp án A Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau đúng? A −1 +1 z 6 B −  z  + −1 +1 z 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u + v  u + v , ta C −  z  + D 2 z + −4 = z + + −4  z  z − z −   z  + 2 z + z = z + + − z   z + z −   z  − Vậy, z nhỏ − 1, z = −i + i z lớn + 1, z = i + i  Chọn đáp án B Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z A + B 11 + Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x  ; y  C 6+4 D 5+6 Hướng dẫn giải ) Ta có: z − + 2i =  ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + sin t ; y = −2 + cos t ; t  0;  Lúc đó: z = ( + sin t ) + ( −2 + cos t ) = + ( sin t − cos t ) = + + sin ( t +  ) ; (   2 2  z = + sin ( t +  )  z   − + ; +     zmax = + đạt z = + −10 + + i 5  Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z Ta có z − + 2i =  z Max = 12 + 2 + = + = + GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 10 ) ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Chọn C Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i  a − + (b − 4) i = a + (b − 2) i  ( a − ) + ( b − ) = a2 + ( b − ) 2  a − 4a + + b2 − 8b + 16 = a + b2 − 4b +  4a + 4b = 16  a+b = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ( 16 = ( a + b )  12 + 12 )( a ) + b2  z = a2 + b2  z 2 a b  = Dấu = xảy   1  a = b =  z = + 2i  a + b = Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Số phức z có mơ đun bé A C 2 B D Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi ( x , y  ) Khi z − − 4i = z − 2i  x + yi − − 4i = x + yi − 2i  ( x − ) + ( y − ) = x + ( y − )  −4x − y + 16 =  x + y − = 2 Số phức có mơ đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x + y − = GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 40 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 z = d ( O;  ) = =2 Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 là: A 26 B 26 D − C Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2 Từ giả thiết : z1 + z2 =  OM + ON =  OI = với I trung điểm đoạn thẳng MN z1 − z2 =  OM − ON =  MN = Ta OI = có OM + ON MN − MN = 13 P = z1 + z2 = OM + ON  P  12 + 12 OM + ON = 26 Vậy Pmax = 26  OM + ON = 2OI + ( Câu 70: )( ) Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z1 + z2 Khi mơ đun số phức M + m.i : A 76 B 76 C 10 Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2 D 11 Từ giả thiết : z1 + z2 =  OM + ON =  OI = với I trung điểm đoạn thẳng MN z1 − z2 =  OM − ON =  MN = GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 41 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 MN OM + ON MN Ta có OI =  OM + ON = 2OI + − = 20 2 P = z1 + z2 = OM + ON  P  12 + 12 OM + ON 2 ( )( ) = 40 Vậy max P = 10 = M P = z1 + z2 = OM + ON  OM + ON = Vậy P = = m Suy M + m.i = 40 + 36 = 76 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn i.z + = A B.3 Giá trị lớn biểu thức P = 2z + − 4i + z − − 5i là: C D Lời giải Chọn C Ta gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z i.z + =  5  x + ( y − 3) = Suy M ( x; y )  C  I (0;3); R =  2   Khi đó: P = 2z + − 4i + z − − 5i = z + − 2i + z − − 5i = MA + MB ,   với A  − ;  ; B (1;5 )     Ta có: IA =  − ; −1 ; IB = (1; ) suy IB = −2.IA    5 MB =   2MA2 + MB2 = 15 Theo định lý Stewart ta có: 5MA2 +  MI + 2   (Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ 1 MI = MA + AB = MA + AB = MA + MB − MA = MA + MB 3 3 Suy ra: 4 4 MI = MA2 + MB + MA.MB.cos MA, MB = MA2 + MB + MA.MB.cos AMB 9 9 9 2  MA + MB − AB  4 2 2 = MA2 + MB + MA.MB   = MA + MB − AB 9 2.MA.MB    2MA2 + MB2 = 3MI + AB = 15 ) ( ) ( Vậy P = MA + MB = ( ) 2.MA + MB  ( ) )( ) + 12 2MA2 + MB = 45 = 3i 3i + , z2 = − + Gọi z số phức thỏa mãn z − 3i = Đặt 2 2 M , n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T = z + z − z1 + z − z2 Tính modun số Câu 72: Cho hai số phức z1 = GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 42 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 phức w = M + ni 21 Lời giải B 13 A C 3 D  3 Giả sử z = x + yi , ( x , y  R ) Ta có 3z − 3i =  x +  y −  = 1(C )    1 3  3 Gọi K ( x; y ) , A  ; điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 ,B − ;  2   2      Ta tìm Max – Min T = OK + OA + OB Ta có A, B, O thuộc đường trịn (C) ABO  TMin = 2OA = Gọi K thuộc cung OB Ta có KA.OB = OA.BK + AB.OK  KA = KB + OK  T = 2KA  2.2 R = = TMax 4 3 21 w=  + 22 =     Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn z − i = z + − 3i + z − + i Tìm giá trị lớn M z − + 3i ? A M = 10 B M = + 13 C M = D M = Lời giải Chọn D Gọi A ( −1; ) , B ( 1; −1) , C ( 0;1)  C trung điểm AB Suy MC = MA2 + MB2 AB2 −  MA2 + MB2 = MC + 10 Mặt khác z − i = z + − 3i + z − + i  MC = MA + MB  10 MA + MB ( )  25 MC  10 MC + 10  MC  Mà z − + 3i = z − i + ( −2 + 4i )  z − i + −2 + 4i  MC +  Dấu “ = “ xẩy z = −2 + 5i Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i + z − − 2i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức z − 2i P = z − 2i A P = B P = C D Lời giải GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 43 ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Chọn A 2 2 Áp dụng tính chất: z + z1 + z − z1 = z + z1 Ta có: 2 = z + − 2i + z − − 2i   z − 2i + + z − 2i −  = z − 2i +   z − 2i  z − 2i + z − 2i −   P = z − 2i  Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 + i = z1 − z1 − 2i z2 − i − 10 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 ? A 10 + B − 101 + C D 101 − Lời giải Chọn B +) Gọi z1 = a + bi ; ( a , b  ) Nên z1 + i = z1 − z1 − 2i  a + ( b − 1) = ( 2b + ) b= a2 x2 Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol y = +) Gọi z2 = a + bi , ( a , b  ) Khi z2 − i − 10 =  ( a − 10 ) + ( b − 1) = 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) ( x − 10 ) + ( y − 1) = tâm I ( 10;1) 2 bamns kính r = y M N I x z1 − z2 nhỏ MN nhỏ Ta có: MN + IN  IM  MN  IM − IN = IM − Nên MN nhỏ IM nhỏ 2  x2   x2  Ta có: IM = ( x − 10 ) +  −  =  −  + ( x − ) + 45     2 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 44 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022  IM  45 = Do MN  − Vậy z1 − z2 = MN  −  z1 − z2 Câu 76: = − [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + − i = z2 = iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1 − z2 A m = 2 + B m = + D m = C m = 2 Lời giải Chọn A Ta có z1 − z2 = z1 − iz1 = − i z1 = z1 Đặt z1 = a + bi với ( a, b  ) theo đề ta có ( a + 1) + ( b − 1) = (*) Ta cần tìm GTLN 2 m = a2 + b2 Đặt t = a2 + b2 Ta có: (*)  = a + a + + b2 − 2b +  2( a − b) = − t ( )( ) Mà ( a − b )  12 + ( −1)2 a + b2 (**) nên (2 − t)  4( a − b)2  8t  t − 12t +   −  t  + Kết hợp với t = a2 + b2  suy  t  + Suy m = 2t  12 + = 2 + a b  a = −b Kết hợp (*) ta z1 = −1  ( − i ) Dấu "=" xảy (**) xảy = −1 Vậy giá trị lớn m 2 + ( ) Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn z1 − 3i + = iz2 − + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + z2 A 313 + 16 B 313 C 313 + Lời giải D 313 + Chọn A M N I1 I2 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 45 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Ta có z1 − 3i + =  2iz1 + + 10i = Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn (T1 ) có tâm I1 ( −6; −10 ) có bán kính R1 = Mặt khác, iz2 − + 2i =  −3 z2 − − 3i = 12 nên điểm biểu diễn số phức −3 z2 điểm N nằm đường trịn (T2 ) có tâm I ( 6; ) có bán kính R2 = 12 Ta thấy 2iz1 + 3z2 = 2iz1 − ( −3z2 ) = MN T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M , I , I , N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MN = I1 I + R1 + R2 = Câu 78: 313 + 16  z − − 2i  Cho hai số phức z, w thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức w + + i  w − − i  P = z−w A Pmin = −2 C Pmin = B Pmin = + −2 D Pmin = −2 Lời giải Chọn C Cách : Giả sử z = a + bi ( a , b  ) , w = x + yi ( x , y  ) z − − 2i   ( a − ) + ( b − )  (1) 2 w + + i  w − − i  ( x + 1) + ( y + )  ( x − ) + ( y − ) 2 2 Suy x + y = P = z−w = (a − x) + (b − y ) 2 = (a − x) + (b + x) 2 Từ (1) ta có I ( 3; ) , bán kính r = Gọi H hình chiếu I d : y = −x x = + t Đường thẳng HI có PTTS  y = + t M  HI  M ( + t ; + t )  t = M  ( C )  2t =    t = −  GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 46 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022  1  5+ t =  M3+ ;2+  , MH = 2   1  5− t =  M3− ;2−  , MH = 2  Vậy Pmin = −2 Cách : z − − 2i  điều cho thấy M ( z ) nằm hình trịn tâm I ( 3; ) bán kính w + + 2i  w − − i điều cho thấy N ( w ) thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng  trung trực đoạn AB với A ( −1; −2 ) , B ( 2;1)  : x + y = (Minh hoạ hình vẽ) y y M N B x -1 O A I M I x -1 O 3 N -2 -2 Δ P = z − w = MN Pmin = d ( I ,  ) − R = 3+2 −1 = −2 Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1 = a + bi z2 = c + di số phức thỏa mãn: z12 = z1 ( c + d ) = 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T = ac + bd + cd Hãy chọn khẳng định M A M  ( 11;15 ) C M  ( 11;12 ) B M  ( 15;17 ) D Không tồn M Lời giải Chọn A  z12 = a + b2 = Ta có   c + d =  z1 ( c + d ) = 10 Khi đó: GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 47 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 c − f (c) + f (c) (a )( ) − −  + 5 2+ T = ac + bd + cd 25 − + b2 c + d + c(5 − c) = c + ( − c ) + 5c − c Đặt f (c) = 2c − 10c + 25 + 5c − c  − 2c − 10c + 25   c= + − 2c = ( 2c − )  2   2c − 10c + 25 2c − 10c + 25   Bảng biến thiên: 4c − 10 Ta có f  ( c ) = Dựa vào bảng biến thiên ta có M = + 25  13, a = b =  Dấu xảy  c = d =   1 Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z +  M = max z + Khẳng định sau đúng? z z  7 2 A M  ( −1; ) B M   2;   5 C M   1;   2 D M + M   Lời giải Chọn C 3  1  1  1  1 Ta có  z +  = z + +  z +   z + =  z +  −  z +  z z z z z z     GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 48 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 3  1  1  1  1  z + =  z +  − 3 z +    z +  − 3 z +   z z z z z     3  1  1 1  z + z  − 3 z + z   z + z − z + z     Mặt khác: 1 Suy ra: z + − z +  Đặt t = z +  ta được: z z z t − 3t −   ( t − )( t + 1)   t  Vậy M = Câu 81: Cho số phức z = x + yi với x, y số thực không âm thỏa mãn z−3 = biểu thức z − + 2i 2 + i  z − z   z ( − i ) + z ( + i )  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ    P Môđun M + mi A B C D P = z −z 2 Lời giải Chọn B Ta có z−3 =  z − = z − + 2i  x + y = z − + 2i P = z2 − z 2 + i  z − z   z ( − i ) + z ( + i )  = 16 x y − xy( x + y ) = 16 x y − xy    (x + y) Đặt t = xy ta có  t  =  1 Tính giá trị lớn nhỏ P = 16t − 8t , với t  0;  ta Pmax = ; Pmin = −1 Vậy  4 M + mi = Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức z1 = 3 + i , z2 = − + i 2 2 Gọi z số phức thỏa mãn z − 3i = Đặt M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức T = z + z − z1 + z − z2 Tính mơ đun số phức w = M + mi A 21 B 13 C D Lời giải Chọn A Giả sử M , A, B biểu diễn số phức z = x + yi , z1 , z2 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 49 ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 Từ giả thiết z − 3i = ta có: x + ( y − ) = 3   Nên M thuộc đường tròn tâm I  0; ,R = 3  Ta có T = MO + MA + MB Để Tmin M trùng O, A, B nên y M A B I 1   Tmin = 2OA =   +   =     Để Tmax OM max ( MA + MB)max nên OM = 2R M nằm -   cung nhỏ AB M  0;  Do 3  O 1 x 2 Tmax 1   = OM + MA = +2   + − =  3     2   21 Vậy w = M + m =   +2 =  3 2 Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:   iz − 2i −  z −  max w + − 2i , w    Tìm giá trị nhỏ z − w  A B 13  Lời giải C D Chọn B Gọi M , N điểm biểu diễn z , w với M ( x; y ) Ta có iz − 2i −  z −  z − + 2i  z −  ( x − ) + ( y + )  ( x − ) + y  −2 x + y +  2 Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ  : −2x + y + = không chứa O , kể  bờ  Ta có max w + − 2i , w  suy  w + − 2i   NI  , I ( −2; )    w   NO  Do đó, N thuộc phần chung hai hình trịn ( I ; ) (O; ) Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 50 ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 điểm E ( −1; 1) Do đó, N ( −1; 1) Ta thấy z − w = MN nên z − w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N  Ta có d ( N ,  ) = Vậy z − w = −2 ( −1) + 4.1 + ( −2 ) + 42 13 = 13 Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 − 3i + = iz2 − + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + z2 A 313 + 16 B C 313 + Lời giải 313 D 313 + Chọn A Đặt 2iz1 = a + bi , −3z2 = c + di ( a; b; c ; d  Có z1 − 3i + =  ) , gọi A ( a; b ) , B ( c; d ) 2 a + bi − 3i + =  ( a + ) + ( 10 + b ) i =  ( a + ) + ( b + 10 ) = 16 nên 2i A  ( I ) có tâm I ( −6; − 10 ) bán kính R = Có iz2 − + 2i =  i 2 c + di − + 2i =  ( − d ) + ( c − ) i = 12  ( c − ) + ( d − ) = 12 nên −3 B  ( J ) có tâm J ( 6; ) , bán kính R = 12 Có T = 2iz1 + z2 ( a − c ) + (b − d) = ( a − c ) + (b − d) 2 = AB Do A  ( I ) , B  ( J ) , IJ = 313  R + R = 16 nên ABMax = R + R + IJ = 16 + 313 Câu 85: Xét số phức z = a + bi ,(a, b  ) thỏa mãn z − − 2i = Tính a + b biết biểu thức S = z + − 2i + z − − 5i đạt giá trị nhỏ GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 51 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 B + Lời giải: A + C − D Chọn A Giả thiết z − − 2i =  (T ) : ( a − 3)2 + ( b − 2)2 = B Gọi A(−1; 2), B(2; 5), M( a; b) điểm biểu diễn M số phức z1 = −1 + 2i , z2 = + 5i , z3 = a + bi A Bài tốn trở thành: Tìm M  (T ) cho biểu thức J I S = MA + 2MB nhỏ -1 O Ta có MA = ( a + 1)2 + (b − 2)2 = a + b + 2a − 4b + = a + b − a − 4b + = ( a − 2)2 + (b − 2)2 = MC với C(2; 2) Ta có MA + MB = 2( MB + MC)  2BC dấu “=”xảy B, M , C theo thứ tự thẳng hàng Phương trình đường thẳng BC : x = M giao của BC (T )  M(2; + 3)  a + b = + Câu 86: z1 = z2 = z1 − z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn P = z + z − z1 + z − z2 A P = + C P = + B P = + D P = 2+ Lời giải Chọn C A' A 600 M' 6 M O 600 B Chọn A, B, M điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z , Dựa vào điều kiện z1 = z2 = z1 − z2 =  OA = OB = , AB = Suy ta có tam giác OAB vuông cân O Phép quay tâm B góc quay −600 ta có: Q : A A ( B ,−60 ) GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 52 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022 M M Do tam giác  BMM  AM = AM , BM = MM Suy P = z + z − z1 + z − z2 = OM + AM + BM = OM + MM + AM  OA Dấu " = " xảy O, M , M , A thẳng hàng Khi tam giác OBA có OB = , BA = BA = OBA = 1050 Từ suy OA = OB2 + BA2 − 2OB.BA.cos1050 = + Vậy P = + Câu 87: Cho hai số phức z, thỏa mãn z − = z + − 2i ;  = z + m + i với m  tham số Giá trị m để ta ln có   là: m  B   m  −3 m  A  m  C −3  m  D  m  Lời giải Chọn B Đặt z = a + ib , ( a , b  ) có biểu diễn hình học điểm z − = z + − 2i  x − + iy = x + + ( y − ) i  M ( x; y ) ( x − 1) + y2 = ( x + 3) + ( y − ) 2  −2x + = 6x + − y +  2x − y + = Suy biểu diễn số phức z đường thẳng  : 2x − y + = Ta có:    z + m + i   x + m + + ( y + 1) i  ( x + m ) + ( y + 1) Mà ta có MI  d ( I ,  )    MI  với I ( −m; −1) Nên MI   d ( I ,  )   −2m +   −2m +  10 −2m +  10  m  −3    −2m +  −10 m  Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z −1 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + i + z − + i z + 3i B 10 A 20 C 12 D Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi , ( x , y  Ta có ) z −1  z − = z + 3i  = z + 3i GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC ( x − 1) + y = x2 + ( y + ) Trang 53 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2022  x + y − 4x − 6y − = 2 Lại có P = z + i + z − + i = x + ( y + 1) + 2 ( x − 4) + ( y − ) 2 = x + y + + −4 x − y + 72 Mặt khác ( x + y + + −4 x − y + 72 )  5.80  x + y + + −4 x − y + 72  20 Suy P  20 GIẢI TÍCH 12 – MAX-MIN SỐ PHỨC Trang 54 ... =  z + 5i Max = 52 + = Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M =... mãn điều kiện A max z = B max z = C max z = − − 3i z +1 = − 2i D max z = Hướng dẫn giải Ta có − − 3i z + =  − iz + =  − i z + =  z − (− i) = − 2i −i GIẢI TÍCH 12 – MAX -MIN SỐ PHỨC Trang... i ) − = nên max z = r1 + r2 = + = Chọn B Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z (1 + i ) z + − 7i = thỏa mãn điều kiện Tìm max z C max z = B max z = A max z = D max z = Hướng