(SKKN 2022) khai thác bài tập số 7 trang 49, sách giáo khoa hình học 12 chương trình cơ bản để tạo hứng thú học toán và phát triển năng lực cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TẬP SỐ 7, TRANG 49, SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐỂ TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Trang 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung nghiên cứu .2 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Một số cơng thức thường gặp hình phẳng 2.1.2.Một số kiến thức mặt cầu .4 2.1.3 Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ 2.1.4 Một số cơng thức tính thể tích khối đa diện 2.1.5 Khái niệm tứ diện gần 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các biện pháp giải vấn đề 2.3.1 Bài toán mở đầu 2.3.2 Khai thác toán 2.3.2.1 Đặc biệt hóa 2.3.2.2 Khai thác phát triển toán 2.3.2.2.1 Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy 2.3.2.2.2 Hình lăng trụ đứng .14 2.3.2.2.3 Hình tứ diện gần 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 Kết luận, kiến nghị 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………… 20 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Đối với giáo viên, việc khai thác tài liệu để phục vục giảng dạy việc làm thường xuyên nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Trong học liệu phục vụ giảng dạy học tập sách giáo khoa học liệu quan trọng Các tập sách giáo nói chung sách giáo khoa mơn tốn nói riêng thường chọn lọc cô đọng dạng tốn ẩn chứa nhiều nội dung quan trọng mà suy ngẫm thấy hay, khám phá cho ta thêm nhiều vấn đề mới, từ thêm cơng cụ để giải dạng toán liên quan khác cách gọn gàng hơn, tinh tế Bài tập trang 25, sách giáo khoa hình học 12 chương II ví dụ điển hình cho việc khai thác phát triển tốn sách giáo khoa để khơi dậy trí tị mị, khám phá học góp phần nâng cao kiến thức, phát triển lực cho sinh Trong thực tế giảng dạy mơn Hình học lớp 12 ta thấy: Có nhiều tốn xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện tưởng khó phức tạp cở sở vận dụng kiến thức “ khai thác” toán ta nhanh chóng giải tốn “đẹp” cách bất ngờ Đặc biệt kiến thức phù hợp với cách làm dạng toán thi trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018, 2019 hay kì thi Tốt nghiệp THPT năm 2020, 2021 2022 Chính xin trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài : “Khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để tạo hứng thú học toán phát triển lực cho học sinh”, với mục đích giúp học sinh lớp 12 biết cách khai thác, tìm tịi, phát triển toán sách giáo khoa để vận dụng vào giải tốn khó hơn, phức tạp nhằm tạo hứng thú học toán đồng thời phát triển lực cho học sinh Đặc biệt đề tài góp phần giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia trước hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông như kỳ thi đánh giá lực số trường Đại học nước ta 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để giải dạng tốn như: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.Từ rèn luyện cách nhìn đa chiều học sinh tốn, cơng thức hay tính chất tốn học, góp phần nâng cao nhãn quan tốn học cho học sinh Từ góp phần cải thiện, nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường Trung học phổ thông Đồng thời giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi thi tốt nghiệp Trung học phổ thông kỳ thi đánh giá lực số trường Đại học nước ta 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, đối tượng nghiên cứu đề tài là: - Nghiên cứu cách khai thác, phát triển tập sách giáo khoa - Các tập xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện chương trình tốn Trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận phương pháp giảng dạy mơn tốn học tập trung vào phương pháp sau: -Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài -Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung Thể tích khối đa diện -Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học -Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận Theo nghị số 29-NQ/TW, ngày tháng 11 năm 2013- nghị hội nghị trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trường học hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn mạnh quan tâm đặc biệt làm rõ lập trường, quan điểm, tính quán cần thiết phải đổi bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực Vai trò tốn học ngày quan trọng tăng lên khơng ngừng thể tiến nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội, đặc biệt với máy tính điện tử, tốn học thúc đẩy mạnh mẽ q trình tự động hố sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng trở thành công cụ thiết yếu khoa học Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh lớp 12 biết khai thác, phát triển toán sách giáo khoa từ học sinh có thêm kiến thức giải dạng tập: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện; tính thể thích khối đa diện nhằm tạo hứng thú học toán phát triển lực cho học sinh Đặc biệt giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia trước hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông kỳ thi đánh giá lực số trường Đại học nước ta Để khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình học sinh cần nắm vững kiến thức “Các hệ thức lượng tam giác” học cấp mơn Hình học lớp 10; kiến thức chương I, chương II sách giáo khoa Hình học 12 nhà xuất giáo dục Việt Nam năm 2009 sau: 2.1.1 Một số cơng thức thường gặp hình phẳng Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, đường cao AH: AB  AC  BC AH BC  AB AC AC  CH BC AB  BH BC AH  BH HC 1   2 AH AB AC 2 AB  BC.sin Cµ  BC.cos Bµ  AC.tan Cµ  AC.cot Bµ Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c  AB  c, BC  a, CA  b  ma ; mb ; mc độ dài đường trung tuyến tương ứng với BC ; CA; AB ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p 2 + Định lý hàm cosin: a  b  c  2bc cos A ; b  c  a  2ac.cos B ; c  a  b  2ab cos C ; a b c    2R sin A sin B sin C + Định lý hàm sin: + Từ định lý sin suy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính: R a b c   sin A 2sin B sin C a R + Đường tròn ngoại tiếp đa giác n cạnh có bán kính dài đa giác sin  n với a độ b2  c a 2 c2  a b2 a  b2 c m   ; mb   ; mc   4 4 + Độ dài trung tuyến: a Các cơng thức tính diện tích Diện tích tam giác: S 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 ; S 1 µ  ab.sin C µ bc sin µA  ac.sin B 2 ; S abc 4R ; S  pr ; S p  p  a   p  b  p  c  Diện tích hình vng: S  a2 (Cơng thức Hê-rơng) [1] với a độ dài cạnh hình vng Diện tích hình chữ nhật S  ab với a, b độ dài hai cạnh hình chữ nhật Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn đáy nhỏ m, n độ dài đường cao h: S  m  n h 2.1.2 Một số kiến thức mặt cầu a) Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r > 0) gọi mặt cầu tâm O bán kính r Kí hiệu S(O; r) b)  Mặt cầu gọi nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện  Mặt cầu gọi ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu c) Cho mặt cầu S(O; r):  Diện tích mặt cầu: S  4 r V   r3  Thể tích khối cầu: [2] 2.1.3 Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ Phương pháp 1: (Dựa vào định nghĩa) Tìm điểm cách tất đỉnh hình chóp hình lăng trụ Để tìm điểm tất đỉnh khối đa diện, ta vận dụng tính chất kỹ thuật sau:  Tính chất đường trung trực  Tính chất đường trung tuyến  Các đường tương ứng cùa hai tam giác  Tính chất đường chéo hình hộp chữ nhật Phương pháp 2: Phát điểm nhìn đoạn thẳng góc vng Phương pháp 3: (Áp dụng hình chóp) Dựng trục đường trịn đáy hình chóp Bước Xác định tâm O đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Bước Dựng trục  đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy(  qua O vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy) Bước Xác định mặt phẳng ( ) mặt phẳng trung trực cạnh bên (hoặc đường trung trực d cạnh bên) Khi giao điểm I mặt phẳng trung trực ( ) (hoặc đường trung trực d) cạnh bên đường thẳng  tâm mặt cầu ngoại hình chóp [3] 2.1.4 Một số cơng thức tính thể tích khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c V  abc Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy B chiều cao h V  B.h Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h V Bh [2] 2.1.5 Khái niệm tứ diện gần Tứ diện gần ABCD tứ diện có cặp cạnh đối nhau: AB  CD, AC  BD AD  BC [3] 2.2 Thực trạng đề tài Hình học khơng gian nói chung mơn Hình học lớp 12 đa số học sinh thường gặp khó khăn nhiều vấn đề, đặc biệt vấn đề tính thể tích khối đa diện, xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Trước áp dụng đề tài khảo sát lớp mà giảng dạy dạng tốn xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, tác giả thấy học sinh làm kết thấp Cụ thể sau: - Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm lớp 12A3) Kết Kết Trước áp dụng SKKN Tổng số học sinh 41 Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 4.9 19.5 21 51.2 10 24.4 - Năm học 2020 -2021 (kiểm nghiệm lớp 12C2) Kết Kết Trước áp dụng SKKN Tổng số học sinh 43 Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 18.6 20.9 17 39.6 20.9 - Năm học 2021-2022 (kiểm nghiệm lớp 12A12) Kết Kết Trước áp dụng SKKN Tổng số học sinh 44 Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 01 2.2 07 15.9 17 38.6 19 43.3 Qua số liệu bảng thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình yếu cao, tỉ lệ học sinh đạt giỏi thấp, chứng tỏ đa số học sinh cịn gặp khó khăn việc giải dạng toán liên quan đến việc xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 2.3 Các biện pháp giải vấn đề 2.3.1 Bài toán mở đầu Ta xét toán sau: Bài toán (Bài câu a, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình bản, trang 49) Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA '  a, AB  b, AD  C là: Liệu đối tượng hình khác xác định tâm tính bán kính làm tương tự hay không? Sau ta khai thác với ba đối tượng là: Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, hình lăng trụ đứng, hình tứ diện gần 2.3.2.2.1 Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Dấu hiệu khai thác 1: Trong tốn mở đầu hình chóp A’ ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên A’A vng góc với đáy, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’ ABCD mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ từ ta có tốn sau: Bài tốn 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo SA, AB, AD Kết khai thác 1.1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm 1 R  SC  SA2  AB  AD 2 đoạn SC có bán kính Ví dụ ( Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 104) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R 5a B R 17 a C R 13a D R  6a [4] Hướng dẫn: Theo kết khai thác 1.1 ta có Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm đoạn SC có bán kính 1 13a R  SC  SA2  AB  AD  (12a)2  (3a)2  (4a)2  2 2 Do chọn đáp án C Ví dụ (Trích đề tham khảo THPT Quốc gia 2017) Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a, AD  2a, AA '  2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ A R  3a B R 3a C R 3a D R  2a [5] Hướng dẫn: Ta thấy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên theo kết toán mở đầu ta có R 1 3a A 'C  A ' A2  AB  AD  (2a )2  a  (2a )2  2 2 Do chọn đáp án C Dấu hiệu khai thác 2: Trong toán mở đầu, hình chóp A’.ABD có đáy ABD tam giác vng B, cạnh bên A’A vng góc với đáy, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABD mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên ta có tốn sau: Bài tốn 1.2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo SA, AB, BC Kết khai thác 1.2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm 1 R  SC  SA2  AB  BC 2 cạnh SC bán kính Ví dụ (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2019-2020, Sở GD & ĐT Thái Bình) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA  5, AB  3, BC  Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A S  100 B S 100 C S 100 D S  50 [6] Hướng dẫn: Theo kết 1.2 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm cạnh SC bán kính 1 2 R  SC  SA2  AB  BC  3 4  2 2 Diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 5  S  4 R  4     50   Do chọn đáp án D 10 Dấu hiệu khai thác 3:Trong tốn mở đầu, hình chóp A’.ABC có đáy ABC tam giác vng A, cạnh bên A’A vng góc với đáy, mặt cầu hình chóp A’.ABC mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên ta có tốn sau: Bài tốn 1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo SA, AB, AC Kết khai thác 1.3 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính: 1 R  SC  SA2  AB  AC 2 tâm I mặt cầu trung điểm đoạn SD, với D đỉnh hình chữ nhật ABDC Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA  a, AB  b, AC  c Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r 2(a  b  c) A B a  b  c 2 2 2 a b c C D a  b2  c2 Hướng dẫn: Theo kết 1.3 ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1 2 r  SC  SA2  AB  AC  a b c 2 S.ABC Do ta chọn đáp án C Ví dụ (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2016-2017, Sở GD & ĐT Phú Thọ) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, biết cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA  a, OB  a 3, OC  2a A 2a B 6 a C 8 a 32 a D [7] Hướng dẫn: Vì tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc nên theo kết 1.3 ta có bán kính mặt cầu ngoại tứ diện OABC là: r OA2  OB  OC 2 11  a  (a 3)  (2a 3)2  2a Từ ta tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: 4 32 V   r   (2a )3   a 3 Do chọn đáp án D Bình luận Ở ta xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện OABC (xem tứ diện OABC hình chóp đỉnh A đáy tam giác OBC) sau: Bước Xác định tâm J đường trịn ngoại tiếp tam giác vng OBC (J trung điểm cạnh huyền BC) Bước Dựng trục  đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC Bước Xác định mặt phẳng ( ) mặt phẳng trung trực cạnh OA Khi giao điểm I mặt phẳng ( ) đường thẳng  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bán kính mặt cầu: r  IO  IA  IB  IC   JO  JI  (  BC OA ) ( ) 2 OA2  OB  OC  2a 4 32 V   r   (2a )3   a 3 Từ ta tính thể tích khối cầu: Nhận xét: So sánh hai cách giải rõ ràng cách giải sử dụng kết 1.3 kết việc khai thác Bài toán mở đầu ngắn gọn nhiều so với cách giải “truyền thống” ba bước nêu Dấu hiệu khai thác 1.4 Trong toán 1.1 1.2 ta thấy đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn Do ta tổng qt hóa hai toán ta toán sau: Bài toán 1.4 Cho hình chóp S A1 A2 An , có đáy đa giác nội tiếp đường trịn bán kính r cạnh bên SA1 vng góc với đáy Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A1 A2 An 12 Kết khai thác 1.4 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 An Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A1 A2 An có bán kính R SA12  (2r ) 2 , tâm I mặt cầu xác định sau: Bước Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp ngoại tiếp đa giác A1 A2 An Bước Từ O kẻ đường thẳng  song song với SA1 (đường thẳng  gọi trục đường tròn tâm O ngoại tiếp ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An ) Bước Xác định mặt phẳng ( ) với ( ) mặt phẳng trung trực cạnh SA1 Khi giao điểm I mặt phẳng ( ) đường thẳng  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A1 A2 An · Ví dụ Cho hình chóp S ABC có AB  a, AC  2a, BAC  60 cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC) SA  3a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 11 a A a B 55 a C D 10 a Hướng dẫn: Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có: · BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  a  (2a )2  2a.2a.cos 600  3a BC  a Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính: r BC a 2sin A Theo kết khai thác 1.4, ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R SA2  (2r )  a 2 Do ta chọn đáp án B 13 Ví dụ ( Trích đề thi HSG 12 năm học 2017-2018, Sở GD&ĐT Nam Định) Cho hình chóp S ABC có AB  3a, AC  3a, BC  6a Hình chiếu · · · S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thỏa mãn AHB  BHC  CHA  120 Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHB, S.BHC, S.CHA 288 a Thể tích khối chóp S ABC A 3a B 3a C 3a D 12 3a [8] Hướng dẫn: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính r1  AB BC  a r2   2a · 2sin ·AHB 2sin BHC r3  CA  3a · 2sin CHA , , Theo kết Kết khai thác 1.4 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHB có bán kính: R1  1 SH  (2r1 )  SH  (2 a 3)  SH  12 a 2 2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHC có bán kính: R2  1 SH  (2r2 )  SH  (4a 3)  SH  48a 2 Tương tự mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CHA có bán kính: R3  SH  36a Vì tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHB, S.BHC, S.CHA nên ta có: 14 4 R12  4 R22  4 R32  288 a  4( 1 SH  12a )  4( SH  48a )  4( SH  36a )  288a 2 2  3SH  96a  288a  SH  64a  SH  8a 2 Mặt khác AB  3a, AC  3a, BC  6a nên AB  AC  BC , tam giác ABC vng A từ ta có diện tích tam giác ABC là: S ABC  1 AB AC  3a.3 3a  3a 2 2 (đơn vị diện tích) Thể tích khối chóp S ABC là: 1 V  SH S ABC  8a 3a  12 3a 3 (đơn vị thể tích) Ta chọn đáp án D 2.3.2.2.2 Hình lăng trụ đứng Dấu hiệu khai thác 1.5 Trong toán mở đầu, ta thấy mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên ta có tốn: Bài tốn 1.5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A Xác định tâm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ theo AB, AC, AA’ Kết khai thác 1.5 Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có bán kính: R AB  AC  A ' A2 tâm xác định hai cách sau: Cách 1: Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ giao điểm B’C BC’ Cách 2: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm BC B’C’ 15 Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng C, AC  a, BC  a Góc đường chéo AC’ mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy 30o Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ 10 a A 10 a B 10 a D 8 a C [9] Hướng dẫn: Ta xác định góc đường thẳng AC’ mặt phẳng đáy (ABC) · · góc C ' AC  C ' AC  30 Trong tam giác vng C ' AC ta có: CC '  AC.tan 300  a 3 Theo kết khai thác 1.5 ta có bán kính R mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là: R 1 a 30 AC  BC  CC '2  a  (a 2)  (a )  2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là: a 30 10 a S  4 R  4 ( )  ( đơn vị diện tích) Ta chọn đáp án B Dấu hiệu khai thác 1.6 Trong tốn mở đầu, đáy ABCD hình chữ nhật nên AC BD đường kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD, ta thấy AB  AD  BD  AC Trong toán 1.5, tam giác ABC vng A nên BC cạnh huyền đường kính đường trịn ngoại tiếp tam 2 2 2 giác ABC, ta có AB  AC  BC tổng qt tốn mở đầu tốn 1.5 ta có tốn sau: ' ' ' Bài tốn 1.6 Cho hình lăng trụ đứng A1 A2 An A1 A2 An có đáy đa giác nội tiếp đường trịn bán kính r Xác định tâm I bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Kết khai thác 1.6 Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho có bán kính R ' A1 A1  (2r ) 2 , tâm I mặt cầu xác định sau: 16 Bước 1: Xác định tâm H tâm H’ đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 An ' ' ' A1 A2 An (Đường thẳng HH’ trục đường trịn ngoại tiếp ' ' ' đa giác A1 A2 An A1 A2 An ) Bước 2: Xác định trung điểm I đoạn thẳng HH’ Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ 2.3.2.2.3 Hình tứ diện gần Dấu hiệu khai thác 1.7 Ở toán mở đầu, tứ diện A’C’BD ACB’D’ tứ diện gần A ' C '  A ' B  A ' D  2( AB  AD  AA ' ) Do đó, mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện gần A’C’BD ACB’D’ mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên ta có tốn sau: 2 2 2 Bài toán 1.7 Cho tứ diện gần ABCD có AB  CD  a; AC  BD  b; AD  BC  c Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c Kết khai thác 1.7 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần ABCD Bài R a  b2  c tâm I mặt cầu trung điểm tốn 1.7 có bán kính đoạn thẳng nối hai trung điểm cặp cạnh đối AB CD AC BD AD BC Đặc biệt: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh a có bán kính Tứ diện nội tiếp mặt cầu bán kính R có cạnh là: a R a a R Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) qua điểm A(5; 2; 1) Xét điểm B, C , D thuộc ( S ) cho ABCD tứ diện có AB  CD, AC  BD AD  BC Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn bằng: 17 512 A 32 B 512 C 4096 D [10] Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có tứ diện ABCD tứ diện gần Nếu ta đặt a  AB  CD, b  AC  BD c  AD  BC thể tích khối tứ diện gần ABCD tính cơng thức: V ( a  b  c )(b  c  a )(c  a  b ) 12 (*) 2 Mặt cầu ( S ) có bán kính R  IA  (5  1)  (2  2)  (1  3)  Mặt khác theo Kết khai thác 1.7 ta có có bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện gần ABCD a  b2  b2 R a  b2  c   a  b  c  384 Từ ta có: Do mặt tứ diện gần tam giác có ba góc nhọn nên: a  b  c  a  b  c  Tương tự: b  c2  a  c  a  b  2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM- GM cho ba số dương a  b  c , b  c  a c  a  b ta có:  a2  b2  c2  (a  b  c )(b  c  a )(c  a  b )     128   2 2 V 2 2 512 1283  12 Đẳng thức xảy a  b  c  Do từ (*) suy ra: ABCD tứ diện Ta chọn đáp án A Nhận xét: Qua ví dụ kết 1.7 ta rút kết sau để giải nhanh toán trắc nghiệm liên quan: Trong tứ diện gần nội tiếp mặt cầu bán kính R tứ diện tứ diện có thêt tích lớn giá trị lớn V 3 R 27 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến thực từ năm học 2018-2019 tiếp tục bổ sung, hoàn thiện vào năm học 2021- 2022 Kết thu khả quan Sau kết kiểm nghiệm: - Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm lớp 12A3) Kết Kết Tổng số học sinh Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % Trước áp dụng SKKN 41 4.9 19.5 21 51.2 10 24.4 Sau áp dụng SKKN 41 13 31.7 23 56.1 7.3 4.9 - Năm học 2020 -2021 (kiểm nghiệm lớp 12C2) Kết Kết Tổng số học sinh Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % Trước áp dụng SKKN 43 18.6 20.9 17 39.6 20.9 Sau áp dụng SKKN 43 17 39.5 19 44.2 14 2.3 - Năm học 2021-2022 (kiểm nghiệm lớp 12A12) Kết Kết Tổng số học sinh Giỏi SL Khá % SL % Trung bình SL % Yếu, SL % 19 Trước áp dụng SKKN 44 01 2.2 07 15.9 17 38.6 19 43.3 Sau áp dụng SKKN 44 09 20.5 20 45.5 25.5 13.5 Qua bảng thống kê trên, tơi nhận thấy lớp có vận dụng kinh nghiệm nêu sáng kiến, số học sinh đạt điểm khá, giỏi cao hơn, số học sinh điểm trung bình, yếu so với lớp chưa vận dụng kinh nghiệm Điều chứng tỏ sáng kiến : “Khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để tạo hứng thú học tốn phát triển lực cho học sinh” nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thấy đa số học sinh hào hứng với toán mà tơi trình bày Các em cảm thấy tự tin giải tốn hình học không gian liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp đa diện đề thi khảo sát trường Trung học phổ thông Sở giáo dục Đào tạo Sáng kiến kinh nghiệm giáo viên tổ đánh giá cao đồng nghiệp hưởng ứng áp dụng phạm vi tổ Qua đóng góp phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu giáo dục trường THPT Tĩnh Gia 3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Việc khai thác số tập sách giáo khoa để đúc rút phương phải giải nhanh dạng toán việc làm cần thiết người học toán đặc biệt quan trọng giáo viên dạy toán Qua việc khai thác toán tưởng chừng đơn giản sách giáo khoa ta thấy khả sáng tạo tốn học vơ hạn, từ công cụ dường “thô sơ” mà ta vận dụng để giải nhanh “rất đẹp” nhiều tốn phức tạp, ta mở rộng nó, khái qt tốn để giải dạng toán tương tự cho đối tượng khác Nó mang ý nghĩa triết học “Dĩ bất biến ứng vạn biến”, áp dụng kiến thức tảng từ sáng tạo giải nhiều tốn liên quan Qua tập dượt cho học sinh cách tư sáng tạo toán học, từ khơi nguồn cảm hứng bất tận sáng tạo lĩnh vực sống 3.2 Kiến nghị 20 Qua nghiên cứu áp dụng: “Khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để tạo hứng thú học toán phát triển lực cho học sinh” thu hiệu định Tuy cố gắng nhiên tác giả khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế Để việc học tập mơn tốn em có kết cao kiến thức vững Tơi kính mong đồng nghiệp hội đồng khoa học trường THPT Tĩnh Gia hội đồng khoa học Sở Giáo Dục Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài tơi hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh Trong chờ xem xét, nghiên cứu đánh giá Hội đồng khoa học cấp xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đọc báo cáo tác giả Chúc hội đồng khoa học cấp sức khỏe, hạnh phúc, thành đạt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo Hình học 10 Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [2] Trần Văn Hạo Hình học 12 Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [3] Nguyễn Phú Khánh Trọng tâm kiến thức & Phương pháp giải tốn Hình học không gian.TPHCM: Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm, 2013 [4] Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 mã đề 104 [5] Đề thi tham khảo THPT Quốc gia năm 2017 [6] Đề thi HSG lớp 12 năm học 2019-2020, Sở Giáo dục Đào tạo Thái Bình [7] Đề thi HSG lớp 12 năm học 2016-2017, Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ [8] Đề thi HSG 12 năm học 2017-2018, Sở Giáo dục Đào tạo Nam Định [9] Nguyễn Xuân Nam Siêu luyện đề thi 9+ THPT Quốc gia 2021 Toán học Hà Nội: Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2020 [10] Tạp chí tốn học tuổi trẻ số 536 21 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 07 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Vi Thanh Hoàng 22 23 ... : ? ?Khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để tạo hứng thú học toán phát triển lực cho học sinh? ??, với mục đích giúp học sinh lớp 12 biết cách khai thác, tìm tịi, phát. .. Điều chứng tỏ sáng kiến : ? ?Khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để tạo hứng thú học toán phát triển lực cho học sinh? ?? nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Khi... sáng tạo lĩnh vực sống 3.2 Kiến nghị 20 Qua nghiên cứu áp dụng: ? ?Khai thác tập số trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình để tạo hứng thú học toán phát triển lực cho học sinh? ?? thu hiệu