(SKKN 2022) PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÀM ẨN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÀM ẨN Người thực hiện: Trần Thị Hường Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu .1 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .2 2.3 Giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp thực 2.3.2 Nội dung thực 2.4 Hiệu nghiên cứu 19 2.4.1 Về mặt định lượng 19 2.4.2 Về mặt định tính 19 Kết luận, kiến nghị .19 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÀM ẨN” Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên cần phải đặt mục tiêu giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ giải toán mức độ vận dụng, vận dụng cao Năm học 2021 – 2022 năm học thứ sáu áp dụng thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn hình thức trắc nghiệm khách quan Muốn làm tốt tập trắc nghiệm khách quan ngồi khả bao quát kiến thức, học sinh phải rèn luyện, thực hành nhiều Mặc dù vậy, trình giảng dạy tốn trường THPT tơi thấy sách giáo khoa số lượng tập khách quan ít, chưa đáp ứng nhu cầu rèn luyện thực hành em, đặc biệt câu trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao Nên học sinh có khó khăn, lúng túng hay gặp phải sai lầm giải dạng toán Để giúp em giải tốt vấn đề đưa giải pháp dựa vào toán cụ thể đề thi tốt nghiêp THPT đề minh họa Bộ giáo dục Đào tạo, tập từ sách giáo khoa, từ phát triển tập tương tự, cung cấp phương pháp giải cho học sinh tiếp cận thông qua tiết luyện tập học tự chọn, phụ đạo, dạy chuyên đề hay buổi ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia Đó lí chọn đề tài: “Phát triển lực tư cho học sinh khá, giỏi thông qua số tốn tương giao hàm ẩn” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh hình thành tư sáng tạo giải tốn tương giao Qua kích thích học sinh tìm tịi, phát tạo hứng thú q trình học mơn Tốn Học sinh biết cách áp dụng để giải toán tương giao mức độ vận dụng, vận dụng cao đề thi tốt nghiệp THPT đề thi học sinh giỏi Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà nhà trường sở phát động 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Về kiến thức: - Sự tương giao đồ thị (Giải tích 12) - Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (Đại số 10 nâng cao) Ngoài đối tượng khảo sát em học sinh lớp 12A4; 12A5 Trường THPT Lương Đắc Bằng 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp phân tích Nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào giải toán tương giao hàm ẩn đề thi tốt nghiệp THPT Đặc biệt khó khăn học sinh thường gặp với toán vận dụng, vận dụng cao 1.4.2 Phương pháp tổng hợp Sử dụng tài liệu tham khảo với thực tế diễn lớp học, đồng thời với đóng góp ý kiến thầy cô giáo trường THPT Lương Đắc Bằng 1.4.3 Phương pháp thực nghiệm Tổ chức dạy học cho em học sinh lớp 12 sau khảo sát lớp dạy Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đề tài nghiên cứu thực thực tế kinh nghiệm giảng dạy nội dung chủ đề hàm số mà trọng tâm toán tương giao hàm ẩn Khi giải tập học sinh phải trang bị kiến thức bản, kỹ phân tích đề bài, kỹ nhận dạng tốn để từ suy luận mối quan hệ kiến thức cũ kiến thức mới, hình thành phương pháp giải tốn thành thạo sáng tạo Hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả suy luận, khả vận dụng kiến thức cho cách linh hoạt sáng tạo vào tốn cụ thể Từ học sinh có hứng thú tạo động học tập tốt với chủ đề 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy tham khảo ý kiến đồng nghiệp cho thấy nhiều học sinh gặp khó khăn giải toán tương giao hàm ẩn Sự khó khăn xuất phát từ nguyên nhân như: - Chưa có phương pháp cụ thể cho dạng toán - Đa số học sinh chưa chủ động trình học tập tự luyện, em chưa nhận dạng đầy đủ dạng tốn, ngại khó - Điều kiện học tập cịn khó khăn em tập tiếp cận với kiến thức liên quan - Tài liệu thư viện chưa đủ nhiều nên tài liệu tham khảo hạn chế 2.3 Giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp thực Đề tài hình thành dựa vào câu hỏi khoa học sau: - Để học sinh tự lực giải tốn tương giao hàm ẩn phải làm cách nào? - Việc giúp học sinh dễ dàng nhận dạng toán với phương pháp hướng dẫn giáo viên người giáo viên cần phải làm gì? Từ câu hỏi trên, tơi thấy để học sinh làm tốt toán tương giao hàm ẩn cần phải phân dạng toán dạng tập khác để em thấy hứng thú học 2.3.2 Nội dung thực A Nhắc lại số kiến thức Bài toán mở đầu [2] Với giá trị m , đường thẳng y = m cắt đường cong y = x − x − bốn điểm phân biệt? Giải Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong cho nghiệm phương trình x − x − = m , tức x4 − 2x − − m = (1) 2 Đặt X = x , X ≥ , ta X − X − − m = (2) Đường thẳng cắt đường cong cho bốn điểm phân biệt phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Điều xảy phương trình (2) có hai nghiệm dương X , X phân biệt, tức ∆ ' > m + >    X X > ⇔ −3 − m > ⇔ −4 < m < −3 X + X > 2 >   Nhận xét: Trên cách giải dùng cho học sinh lớp 10, với cách ta giải tốn phương trình bậc hai quy bậc hai Để giải đa dạng toán tương giao tương giao hàm hợp ta giải tốn đồ thị sau: Đồ thị hàm số y = x − x − sau Đồ thị hàm số y = m đường thẳng song song trùng với trục hoành Dựa vào đồ thị hai hàm số cho, ta thấy đường thẳng đường cong cho cắt bốn nghiệm phân biệt −4 < m < − Bài toán mở đầu [1] (Ví dụ - sách giáo khoa giải tích 12 bản, trang 42) Từ đồ thị hàm số y = x + 3x − , biện luận theo m số nghiệm phương trình (3) x3 + 3x2 − = m Giải Số nghiệm phương trình (3) số giao điểm đồ thị hàm số y = x + 3x − đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị, ta suy kết biện luận số nghiệm phương trình (3) Với m > : Phương trình (3) có nghiệm Với m = : Phương trình (3) có hai nghiệm Với −2 < m < : Phương trình (3) có ba nghiệm Với m = −2 : Phương trình (3) có hai nghiệm Với m < −2 : Phương trình (3) có nghiệm Lời bình: Rõ ràng toán sách giáo khoa f ( x ) = m , toán mức độ nhận biết thông hiểu nên hầu hết học sinh giải Nhưng thay x hàm hợp u ( x ) , hay hàm f ( x ) thay hàm trị tuyệt đối f ( x ) , f ( x ) học sinh thấy lúng túng, lạ Trước giải dạng toán này, ta cần bổ sung số kiến thức sau đây: Giao điểm hai đồ thị [2] Các đồ thị hai hàm số y = f ( x) y = g ( x) cắt điểm M ( x0 ; y0 ) y0 = f ( x0 ) y0 = g ( x0 ) , tức ( x0; y0 ) nghiệm hệ  y = f ( x ) phương trình   y = g ( x ) Như hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị B Phân dạng tập Dạng 1: Biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Tìm số nghiệm phương trình f ( u ( x) ) = m , bất phương trình f ( u ( x ) ) ≥ m; f ( u ( x ) ) ≤ m; f ( u ( x ) ) > m; f ( u ( x ) ) < m Bài ( Đề thi thức tốt nghiệp THPT năm 2021 – Đợt 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( f ( x ) ) = A C Giải B D  x = x1 ( x1 < −1)  Ta có f ( x ) = ⇔  x =  x = x ∈ ( 1;2 )  suy f ( f ( x ) )  f ( x ) = x1 ( x1 < −1)  = ⇔  f ( x) =  f x = x ∈ 1; ( )  ( ) Xét f ( x ) = x1 ∈ ( −∞; −1) , ta có đường thẳng y = x1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm nên phương trình có nghiệm thực Xét f ( x ) = , ta có đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt Xét f ( x ) = x2 ∈ ( 1; ) , ta có đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt Do nghiệm khơng trùng nên tổng số nghiệm là: + + = Chọn B Bài (Đề minh họa tốt nghiệp THPT 2022 mơn Tốn) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ' ( f ( x ) ) = A Giải B C D  f ( x ) = −1  x = −1 Ta có f ' ( x ) = ⇔  Suy f ' ( f ( x ) ) = ⇔  x =  f ( x ) = Với f ( x ) = −1 phương trình có nghiệm phân biệt Với f ( x ) = phương trình có nghiệm Vì nghiệm khác nên phương trình f ' ( f ( x ) ) = có nghiệm phân biệt Chọn B Bài (Đề thi thức tốt nghiệp THPT năm 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x f ( x ) ) + = A C Giải B D f ( x3 f ( x ) ) + = ⇔ f ( x3 f ( x ) ) = −1  x3 f ( x ) =  ⇔  x3 f ( x ) = a (a > 0)   x f ( x ) = b (b > 0) x =  f ( x) = Xét phương trình x f ( x ) = ⇔  Phương trình f ( x ) = có nghiệm dương Xét phương trình x f ( x ) = a Vì x = khơng nghiệm phương trình nên với x ≠ ta có f ( x ) = a x3 a Với a > ta có mối quan hệ đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) = x sau Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ( x ) = Tương tự phương trình f ( x ) = a có nghiệm phân biệt x3 b có nghiệm phân biệt x3 Vì nghiệm phân biệt khác nên phương trình f ( x3 f ( x ) ) + = có nghiệm phân biệt Chọn C Nhận xét: Trong trường hợp tìm tham số m để phương trình có k nghiệm ta thực bước sau: Bước 1: Xét hàm số y = g ( x ) Tính đạo hàm hàm số Bước 2: Giải phương trình g ' ( x ) = Bước 3: Lập bảng biến thiên Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Bài (Đề thi thử THPT Ngô Quyền – Ba Vì năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số thực m để phương trình f ( f ( x ) ) = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ? A B C D Giải Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) suy g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) Ta có  f '( x) = g '( x ) = ⇔ f '( f ( x ) ) f '( x ) = ⇔   f ' ( f ( x ) ) = x = Với f ' ( x ) = ⇔   x = −1  f ( x) = Với f ' ( f ( x ) ) = ⇔   f ( x ) = −1 x =  Xét f ( x ) = ⇔  x = a ∈ ( −2; −1) ;  x = b ∈ 1; ( )  x = f ( x ) = −1 ⇔   x = −2 Với x = f ( ) = ⇒ f f ( ) = −1 ( ) Với x =b f ( b ) = ⇒ f f ( b ) = −1 ( ) Với x = f ( 1) = −1 ⇒ f f ( 1) = ( ) Với x = −1 f ( −1) = ⇒ g ( −1) = f ( 3) > f ( ) = Với x = f ( ) = ⇒ g ( ) = f ( 3) > f ( ) = Từ ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f ( f ( x ) ) = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ⇔ −1 < m < Vì m số nguyên nên m ∈ { 0;1; 2} Chọn D Bài (Đề minh họa THPT quốc gia mơn Tốn năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hinh vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) A ( −1;3) B [ −1;1) C [ − 1;3) D ( −1;1) Giải Đặt g ( x ) = f ( sin x ) suy g ' ( x ) = cos x f ' ( sin x )   x = kπ  x = kπ   cos x = sin x = −1 ⇔  x = − π + k 2π g ' x = ⇔ ⇔ Ta có ( )     f ' ( sin x ) = sin x =  π  x = + k 2π  π Với x ∈ ( 0; π ) g '( x) = ⇔ x = Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: để phương trình có nghiệm thỏa mãn tốn m ∈ [ −1;1) Chọn B Bài (Đề thi tốt nghiệp THPT 2020 - Đợt 2) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số thực m để phương trình f ( x − x ) = m có nghiệm phân biệt thuộc ( 0; +∞ ) ? A 24 B 21 C 25 D 20 Giải 2 Đặt g ( x ) = f ( x − x ) suy g ' ( x ) = ( x − ) f ' ( x − x ) x =  2 x − =  x − x = −4 ⇔ Ta có g ' ( x ) = ⇔    f ' ( x − x ) =  x − x = −2  x − x = x =  x =2± Từ g ' ( x ) = ⇔ ( x − ) ( x − x + ) x ( x − ) = ⇔  x =   x = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy: để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc m ≤ ⇔ −15 < m ≤ 10 Vì m nguyên nên m ∈ { −14; −13; ;10} Do có 25 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C ( 0; +∞ ) −3 < Bài (Đề thi thử TN THPT 2022 - Đợt Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2022; 2022] để phương trình ( f ( x) + x ) − ( m 2 2 + 2m + 14 ) ( f ( x ) + x ) + ( m + 1) + 36 = có nghiệm thực phân biệt? A B 4043 Giải C 4044 D Ta có ( f ( x ) + x ) − ( m2 + 2m + 14 ) ( f ( x ) + x ) + ( m + 1) + 36 = 2  f ( x ) + x2 = (1) ⇔ 2  f ( x ) + x = m + 2m + (2) Giải (1): Vì f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ nên f ( x ) = − x Từ bảng biến thiên ta vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) đồ thị y = − x sau Do (1) có nghiệm phân biệt Mặt khác m + 2m + 10 = ( m + 1) + > 4, ∀m Nên để phương trình cho có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm 2 Hơn g ( x ) = f ( x ) + x hàm số chẵn nên x0 nghiệm (2) − x0 nghiệm (2) Do (2) nhận x = làm nghiệm 2 Khi f ( ) + = m + 2m + 10 ⇔ m = −1 Thử lại, với m = −1 ( ) ⇔ f ( x ) = − x ⇔ f ( x ) = − x 10 Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy phương trình (2) có nghiệm phân biệt Do m = −1 khơng thỏa mãn toán Chọn A Đối với toán bất phương trình chứa tham số (đề thường yêu cầu tìm điều kiện m để bất phương trình có nghiệm có nghiệm với x ∈¡ ) Cơ lập tham số m biến đổi dạng f ( x, m ) ≥ 0, ∀x ∈ K ⇔ h ( m ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ K ⇔ h ( m ) ≤ Min g ( x ) K f ( x, m ) ≤ 0, ∀x ∈ K ⇔ h ( m ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ K ⇔ h ( m ) ≥ Max g ( x ) K f ( x, m ) ≥ có nghiệm K ⇔ h ( m) ≤ g ( x) có nghiệm K ⇔ h ( m) ≥ g ( x) có nghiệm K ⇔ h ( m ) ≤ Max g ( x ) f ( x, m ) ≤ K có nghiệm K ⇔ h ( m ) ≥ Min g ( x ) K Chú ý: Đối với bất phương trình f ( x, m ) > 0, f ( x, m ) < làm tương tự, g ( x ) , Min g ( x ) đạt x0 ∉ K ta kết luận dấu nhiên bước cuối Max K K ≥, ≤ Nếu Max g ( x ) , Min g ( x ) đạt x0 ∈ K ta kết luận dấu >, < K K Bài (Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Bắc Ninh) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( −2 ) = −2; f ( ) = có bảng biến thiên hình bên Có số tự nhiên m để bất phương trình f ( − f ( x ) ) ≥ m có nghiệm [ −1;1] A Giải B C D Xét hàm số y = f ( − f ( x ) ) [ −1;1] có y ' = − f ' ( x ) f ' ( − f ( x ) ) 11  f ' ( x ) = ⇔ x = ±1 y' = ⇔   f ' ( − f ( x ) ) =  f ( x) =1 f '( − f ( x ) ) = ⇔   f ( x ) = −1  x = x1 < −1( L)  x = x4 < −1( L)   Với f ( x ) = ⇔  x = x2 ∈ ( −1;1) ; f ( x ) = −1 ⇔  x = x5 ∈ ( −1;1) ( x5 > x2 )  x = x3 > 1( L)  x = x6 > 1( L)   Với f − f ( −1) = −2 x = −1 ( ) Với x = x f ( − f ( x ) ) = 2 Với x = x f − f ( x ) = −2 ( 5 ) Với x = f − f ( 1) = ( ) Từ bảng biến thiên ta thấy bất phương trình f ( − f ( x ) ) ≥ m có nghiệm đoạn [ −1;1] ⇔ −2 ≤ m ≤ Vì m số tự nhiên nên m ∈ { 0;1;2} Chọn C Bài (Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Thái Bình) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hinh vẽ bên Tổng tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 9.6 f ( x) + ( − f ( x ) ) f ( x) ≤ ( −m + 5m ) f ( x) nghiệm với x ∈¡ A B C D 10 Giải f ( x) f ( x) f ( x) 2 Ta có 9.6 + ( − f ( x ) ) ≤ ( −m + 5m ) 12 f ( x) 3 ⇔ 9. ÷ 2 f ( x ) 3 + ( − f ( x ) )  ÷ 2 f ( x) 3 Đặt g ( x ) =  ÷ 2 ≤ −m + 5m ( 1) f ( x )  3 + ( − f ( x ) )  ÷  2    f ( x) 9  ÷ ≤   2 , ∀x ∈ ¡ Từ đồ thị suy f ( x ) ≤ −2, ∀x ∈ ¡ ⇒  f ( x)    ( − f ( x ) )  ÷ ≤    Suy Max g ( x ) = (1) nghiệm ∀x ∈ ¡ ⇔ −m + 5m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Vì m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 1;2;3;4} Vậy + + + = 10 Chọn D Dạng 2: Biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Tìm số ( ) nghiệm phương trình f ( x ) = m; f ( x ) = m; f ( u ( x ) ) = m; f u ( x ) = m Bài 10 (Đề thi thức THPT quốc gia năm 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x − 3x ) = A C Giải B D  f ( x3 − 3x ) =  f ( x − 3x ) = ⇔   f ( x3 − 3x ) = −   x − 3x = a1 ( −2 < a1 < )  f ( x − x ) = ⇔  x − x = a2 ( < a < )   x − 3x = a3 ( a3 > ) f x − x = − ⇔ x − x = a ( a4 < − ) ( ) 13 Dựa vào đồ thị ta thấy f ( x − x ) = a1 có nghiệm phân biệt f ( x − x ) = a2 có nghiệm phân biệt f ( x − x ) = a3 có nghiệm f ( x − x ) = a4 có nghiệm Vì nghiệm phân biệt nên phương trình f ( x3 − 3x ) = có nghiệm phân biệt Chọn D Bài 11 (Đề thi thử Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Có tất giá trị nguyên tham m ∈ ( −5;5 ) số để phương trình f ( x ) − ( m − ) f ( x ) + 2m + = có nghiệm phân biệt A Giải B C D Ta có f ( x ) − ( m − ) f ( x ) + 2m + = ⇔ ( f ( x ) − ) ( f ( x ) − − m ) =  f ( x) − =  f ( x) = ⇔ ⇔  f ( x ) − − m =  f ( x ) = + m Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) sau: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) suy phương trình f ( x ) = (1) có nghiệm phân biệt Suy để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình f ( x ) = + m có nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình (1) 2 + m =  m = −2  Do đó, u cầu tốn tương đương  2 + m > ⇔  m >   2 + m ≠ Vì m ∈ ( −5;5 ) ; m ∈ ¢ nên m ∈ { −2;3; 4} Chọn C Bài 12 (Đề thi thử THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2019) 14 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f ( ) = f ' ( x ) cho hình vẽ bên Phương trình f ( x ) = m (với m tham số) có nhiều nghiệm? A B C D Giải Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Từ suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Do ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Dựa vào bảng biến thiên: phương trình f ( x ) = m có nhiều nghiệm phân biệt Chọn B Bài 13 (Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh lần - năm 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có bảng biến thiên hình bên 15 Xác định số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x − 3x ) = f ( −4 ) = B A Giải Phương trình f ( x − 3x ) C 10 biết D 11  f ( x3 − x ) =  = ⇔  f ( x3 − x ) = −  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: f ( x − 3x ) f ( x − 3x )  x3 − 3x = m (m < −4) = ⇔ 2  x − 3x = n (n > 2)  x3 − 3x  x − 3x  =− ⇔ x − 3x   x − x = a (−4 < a < −2) = b (−2 < b < 0) = c (0 < c < 2) = d (d > 2) Xét đồ thị hàm số y = x − 3x giao điểm với đường thẳng Dựa vào đồ thị ta thấy: số nghiệm thực phương trình f ( x − 3x ) = 10 Chọn C Bài 14 (Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh lần - năm 2022) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên a để phương trình ( ) f x − x − = a có khơng 10 nghiệm thực phân biệt? A C Giải B D 16 x2 − 4x ( x − ) Đặt g ( x ) = x − x − Ta có g ' ( x ) = x − 4x  x − x = ⇔ x = 0; x = g '( x ) = ⇔  2 x − = ⇔ x = Với g ( x ) < −3 vơ nghiệm x Với g ( x ) = −3 có nghiệm x Với g ( x ) ∈ ( −3;1) có nghiệm x Với g ( x ) = có nghiệm x Với g ( x ) > có nghiệm x Khi ta có phương trình f ( g ( x ) ) = a (1) Từ đồ thị hàm số f ( x ) ta có Nếu a < −2 (1) có nghiệm phân biệt g ( x ) > vơ nghiệm Suy phương trình cho có số nghiệm không lớn (loại) Nếu a = −2 (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm g ( x ) ∈ ( −3;0 ) có nghiệm g ( x ) > Suy phương trình cho có nghiệm (loại) Nếu a ∈ ( −2;0 ) (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm g ( x ) ∈ ( −3;0 ) nghiệm g ( x ) > Suy phương trình cho có 12 nghiệm (thỏa mãn) Nếu a = (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm g ( x ) ∈ ( −3;0 ) ; nghiệm g ( x ) > g ( x ) = −3; g ( x ) = Suy phương trình cho có 11 nghiệm (thỏa mãn) Nếu a > 2; a ∈ ¢ (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm g ( x ) < −3 nghiệm g ( x ) > Suy phương trình cho có nghiệm (loại) Vậy với −2 < a ≤ phương trình cho có khơng 10 nghiệm thực phân biệt Chọn A C Bài tập tham khảo Bài (Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 Sở GD&ĐT Bắc Giang) 17 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị tham số m để phương trình 4m3 + m 2f ( x) + = f ( x ) + có nghiệm thực phân biệt? A B C D Bài (Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 Sở GD&ĐT Phú Thọ) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Tổng tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( cos x ) = m có nghiệm π   ; π ÷ 2  A −1 B C D −2 Bài (Đề thi thử Sở GD&ĐT Hà Nội năm 2019) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x + m ) = m có nghiệm phân biệt A C B Vô số D Bài (Đề thi thử Chuyên đại học Vinh – năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Có số ngun m để phương trình f ( x3 − 3x ) = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1;2] A C B D Bài (Đề thi thử THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa năm 2019) Có số nguyên m để phương trình x ( x − 3) + − m2 ( m − 3) = có nghiệm phân biệt A B 12 C Bài (Đề thi thử Sở GD&ĐT Hà Nam – năm 2019) D 18 Cho hàm số f ( x ) = x − x + Có số nguyên m để phương trình f ( x ) − ( m − ) f ( x ) − m + = có nghiệm thực phân biệt? A B C Bài (Đề thi thử Sở GD&ĐT Hà Tĩnh – năm 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( cos x ) ) = m có nghiệm  π 3π thuộc khoảng  ; 2 A C D  ÷?  B D Bài (Đề thi thử Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – lần năm 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ) có đồ thị hình bên Gọi S tập hợp giá trị nguyên m thuộc [ −10;10] cho phương trình  f ( x + 1)  − ( 2m + 1) f ( x + 1) + m ( m + 1) = có nghiệm   số nghiệm thực phân biệt số chẵn Số phần tử S A 19 B 10 C 11 D 12 2.4 Hiệu nghiên cứu Đề tài thực giảng dạy lớp 12A4 năm học 2021-2022 Trường THPT Lương Đắc Bằng Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức, nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung này, thi học kỳ, thi thử tốt nghiệp THPT, tơi nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt Cụ thể sau: 2.4.1 Về mặt định lượng Lớp thực nghiệm 12A4: 45 học sinh - học sinh đạt 10 điểm - 12 học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm 19 - 18 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - học sinh đạt từ điểm đến điểm - học sinh điểm Lớp chưa thực nghiệm 12A5: 45 học sinh - học sinh đạt 10 điểm - học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - 15 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - 22 học sinh đạt từ điểm đến điểm - học sinh điểm 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dò ý kiến học sinh giáo viên dự sau tiết giảng thực nghiệm sau: - Các em học sinh hỏi ý kiến cho biết giảng vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ tỏ hứng thú học tập Ngồi ra, cịn rèn luyện cho em kỹ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng, có ứng dụng việc ôn thi tốt nghiệp THPT cho em học sinh lớp 12 Đặc biệt, chuyên đề quan trọng để dạy học cho em học sinh đạt điểm trở lên Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài “Phát triển lực tư cho học sinh khá, giỏi thông qua số tốn tương giao hàm ẩn” nhằm mục đích xây dựng dạng tập tương giao đồ thị đưa hệ thống tập tương ứng mức độ vận dụng giúp em học sinh có phương pháp làm tập hiệu thời gian ngắn Đề tài tác giả áp dụng dạy lớp 12A4 thấy kết khả quan, học sinh hứng thú, tiếp thu nhanh vận dụng có hiệu Đồng thời với cách định hướng phương pháp giúp cho thân dễ dàng tiếp xúc định hướng cho học sinh giải toán tương giao hàm ẩn Bài viết đồng tình ủng hộ cao giáo viên tổ chun mơn triển khai trình bày tổ Trong tương lai, tác giả tiếp tục nghiên cứu phương pháp phát triển theo hướng giải toán tương giao hàm ẩn dạng bất phương trình Nếu làm tốt cơng việc này, giúp cơng việc học tốn học sinh trở nên nhẹ nhàng giúp em có kết tốt kỳ thi: học kỳ, tốt nghiệp THPT hay kỳ thi học sinh giỏi 20 Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song khơng tránh thiếu sót, hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị - Đới với Sở GD&ĐT: Duy trì thường xun tổ chức hội thảo, chuyên đề phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, học tập học sinh - Đới với nhà trường: Nên có nhiều sách tham khảo cho giáo viên học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Hường TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), sách giáo khoa “Giải tích 12 bản” Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), sách giáo khoa “Giải tích 12 nâng cao” Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [3] Các đề thi TN THPT năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 [4] Các đề thi thử TN THPT trường năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 [5] Các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 năm 2018, 2019, 2020, 2021 [6] Các Website: violet.vn; toanmath.com; toanhocbactrungnam.vn,… 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Thị Hường Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Lương Đắc Bằng TT Tên đề tài SKKN Phương pháp sử dụng điểm Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2015-2016 đặc biệt tốn tính khoảng cách 22 Một số kỹ thuật giúp học sinh Cấp tỉnh C 2018-2019 C 2019-2020 giải nhanh toán góc khơng gian Kinh nghiệm giúp học sinh Cấp tỉnh lớp 12 giải toán tỉ số thể tích khối đa diện 23 ... tài ? ?Phát triển lực tư cho học sinh khá, giỏi thơng qua số tốn tư? ?ng giao hàm ẩn? ?? nhằm mục đích xây dựng dạng tập tư? ?ng giao đồ thị đưa hệ thống tập tư? ?ng ứng mức độ vận dụng giúp em học sinh. .. thông qua số toán tư? ?ng giao hàm ẩn? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh hình thành tư sáng tạo giải toán tư? ?ng giao Qua kích thích học sinh tìm tịi, phát tạo hứng thú q trình học mơn Tốn Học sinh. .. KINH NGHIỆM “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THƠNG QUA MỘT SỐ BÀI TỐN TƯƠNG GIAO HÀM ẨN? ?? Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng