Các dạng toán liên quan đến góc nội tiếp của đường tròn

Các dạng toán liên quan đến đường tròn, góc của đường tròn, góc nội tiếp, góc ở tâm ,....

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Dạng toán chứng minh về góc với đờng tròn qua nhiều cách giải 1 bài toán Bài toán 1: Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đờng cao AH, bán kính OA. Chứng minh ã OAH = ã ACB - ã ABC . Cách giải 1: Hình 1. Gợi ý: - Kẻ OI AC cắt AH ở M - áp dụng kiến thức về góc ngoài tam giác. - Góc nội tiếp,góc ở tâm. Lời giải: Ta có: ã OMH = ã ACB (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) ã AOM = ã ABC (cùng bằng 1 2 sđ ằ AC ) Trong OAM thì: ã OMH = ã AOM + ã OAH (Góc ngoài tam giác) Hay ã ã ã ACB = ABC + OAH Vậy: ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 2: Hình 2. Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến với đờng tròn tại A cắt BC ở D . Lời giải: Ta có: ã ã ABC = CAD (1) (Cùng chắn ằ AC ) ã ã OAH = ADC (2) (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) Cộng từng vế của (1) và (2) Ta đợc: ã ã ã ã ABC + OAH = CAD + ADC Mà ã ã ã CAD + ADC = ACB (góc ngoài tam giác) ã ã ã ABC + OAH = ACB Vậy: ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 3: Hình 3. Gợi ý: - Kẻ đờng kính AOD - Kẻ DK BC Lời giải: Ta cóDK // AH ã ã OAH = ODK (1) (so le trong) ã ã ABC = ADC (2) (góc nội tiếp cùng chắn ằ AC ) Cộng từng vế của (1) và (2) Ta đợc ã ã ã ã ã OAH + ABC = ODK + ADC = KDC Mà: ã ã KDC = ACB (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) ã ã ã OAH + ABC = ACB Vậy ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 4: Hình 4 Gợi ý: - Kẻ đờng kính AOD - Kẻ CK AD Lời giải: Ta có: ã ã OAH = KCB (1) (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) ã ã ABC = ADC (2) (góc nội tiếp cùng chắn ằ AC ) Cộng từng vế của (1) và (2) Ta đợc: ã ã ã ã OAH + ABC = KCB + ADC Mà: ã ã ADC = KCA (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) ã ã ã ẳ ã OAH + ABC = KCB + KCA = ACB Vậy: ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 5: Hình 5. Gợi ý: - Kẻ đờng kính AOD - Gọi M là giao điểm của AH và DC Lời giải: Ta có: ã ã AMC = ACB (1) (góc có cạnh các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) ã ã ADM = ABC (2) (góc nội tiếp cùng chắn ằ AC ) Trừ từng vế của (1) và (2) Ta đợc: ã ã ã ã AMC - ADM = ACB - ABC Mà: ã ã ã AMC - ADM = OAH (góc ngoài tam giác) Vậy ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 6: Hình 6 Gợi ý: Kẻ OI BC và OK AB Lời giải: Ta có: ã à 2 OAH = O (1) (so le trong) ã à 1 ABC = O (2) (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) Cộng từng vế của (1) và (2) Ta đợc ã ã à à 1 2 OAH + ABC = O + O Mà à à ã 1 2 O + O = ACB (Cùng bằng 2 1 sđ ằ AB ) ã ã ã OAH + ABC = ACB Vậy ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 7: Hình 7 Gợi ý: Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đờng thẳng Ay // BC Lời giải: Ta có: ã ã OAH = xAy (1) (góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc) ã ã ABC = BAy (2) (so le trong) Cộng từng vế của (1) và (2) . Ta đợc: ã ã ã ã ã OAH + ABC = xAy + BAy = xAB Mà: ã ã xAB = ACB (góc nội tiếp cùng chắn ằ AB ) ã ã ã OAH + ABC = ACB Vậy ã ã ã OAH = ACB - ABC (Đpcm) Đây là một bài toán có nhiều cách giải khác nhau nhng ở bài toán này việc sử dụng yếu tố vẽ thêm đờng phụ là một vấn đề quan trong cho việc tìm ra các lời giải và là vấn đề khó đối với học sinh ở bài toán trên giáo viên cần cho học sinh chỉ ra kiến thức đã vận dụng vào giải bài toán. - Kiến thức về hai đờng thẳng song song, hai đờng thẳng vuông góc. - Góc nội tiếp, góc ở tâm, góc ngoài tam giác. Dạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau,đờng thẳng song song,đồng quy Bài toán 2: Trong hình vuông ABCD và nữa đờng tròn đờng kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đờng tròn đờng kính AD ở K. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB. Cách giải 1: Hình 1 Gợi ý : - Kẻ PI AB - Xét hai tam giác APK và API. Lời giải: Kẻ PI AB. Xét APK và tam giác API APK vuông tại K ( Vì góc AKD = 90 0 góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn đờng kính AD) ADP cân tại D, AD = DP $ ã 2 P = DAP Mặt khác. $ ã 1 P = DAP ( So le trong vì AD // PI ) Do đó: ^ P 1 = ^ P 2 APK = API ( Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau ) PK = PI Cách giải 2: Hình 2 Gợi ý: - Ngoài cách chứng minh hai tam giác APK và API bằng nhau cách 1 ta chứng minh ^ P 1 = ^ P 2 . Ta chứng minh ^ A 1 = ^ A 2 - Gọi F là giao điểm của AP với đờng tròn đờng kính AD Lời giải: Ta có: ã AFD = 90 0 ( Góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn) Tam giác ADP cân tại D có DF là đờng cao nên DF cũng là phân giác suy ra: ^ D 1 = ^ D 2 mà ^ A 1 = ^ D 2 ; ^ D 1 = ^ A 2 Vì đều là góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc Suy ra: ^ A 1 = ^ A 2 APK = API ( Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau ) PK = PI Cách giải 3: Hình 2. Gợi ý: - Cách giải này chúng ta cũng đi chứng minh à à 1 2 A = A nhng việc chứng minh đ- ợc áp dụng bằng kiến thức khác. - Chú ý rằng AB là tiếp tuyến của đờng tròn tâm D nên ta có: Lời giải: Ta có ã ã IAK = ADK ( Có số đo bằng 1 2 sđ ằ AK ) Mặt khác góc ã IAP là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đờng tròn tâm D nên góc ã IAP bằng 1 2 số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là góc ã ADP ^ ã IAP = ã ã 1 1 ADP = IAK 2 2 Suy ra: ^ A 1 = ^ A 2 APK = API ( Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau ) PK = PI Cách giải 4: Hình 3 Gợi ý: - Kéo dài K cắt đờng tròn tâm D tại E - áp dụng định lí của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung Lời giải: DK AE nên ằ ằ AP = PE . Góc ã BAE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ằ AE )Vì AP lại đi qua điểm chính giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của góc ã BAE Suy ra: ^ A 1 = ^ A 2 APK = API ( Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau ) PK = PI Đối với bài toán trên để chứng minh hai đoạn thẳng PK và PI bằng nhau ta đi chứng minh APK = API vấn đề giáo viên cần cho học sinh t duy và vận dụng sáng tạo kiến thức về : - Trờng hợp bằng nhau trong tam giác vuông - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. - Góc nội tiếp Dạng bài có quan hệ liên kết nhau khi phát triển một bài đơn giản đến phức tạp Bài toán 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều ABF; ACD; BCE. Chứng minh rằng AE; BD; CF đồng quy. Bài giải: Gọi O là giao điểm của BD và CF. Ta cần chứng minh A; O; E thẳng hàng. Ta có DAB = CAF (bài toán 1) B 1 = F 1 AOBF nội tiếp O 1 = B 2 = 60 0 O 2 = A 1 = 60 0 AOB = 120 0 (1) Tơng tự: AOC = 120 0 BOC = 120 0 Mà BFC = 60 0 BOCE nội tiếp O 3 = C 1 = 60 0 (2) Từ (1) và (2) AOF = 180 0 A; O; E thẳng hàng Hay AE; BD; CF đồng quy. 1 2 1 1 1 1 2 3 B C A D E F O Qua bài trên ta nhận thấy các góc AOB; BOC; COA có số đo là 120 0 . Từ đây ta xây dựng bài toán dựng hình khá quen thuộc sau : Bài toán 4: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABF; ACD vuông cân tại A. Chứng minh rằng CF = BD; CF BD. H ớng dẫn giải: + CF = BD (tơng tự nh bài toán 1) + CF BD: Do Tứ giác AOBF nội tiếp BOF = BAF = 90 0 B C A D F O Tiếp tục bài toán trên. Gọi M; N; I lần lợt là trung điểm của BF; CD; BC, ta có: IM là đờng TB của tam giác BCF nên: IM // = 2 1 CF (1) Tơng tự ta có: IN // = 2 1 BD (2) Mà: CF = BD (3) Từ (1); (2) và (3) suy ra: IM IN IM = IN Hay MIN vuông cân tại I B C A D F O N M I Nhận xét rằng AMB và ANC vuông cân tại M và N. Từ đây ta có bài toán tiếp. Bài toán 5: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N. Gọi I là trung điểm của BC. IMN là tam giác gì? Nếu học sinh lần đầu gặp bài toán này mà cha gặp dạng thì hơi khó giải đối với các em. B C A N M I Bài toán trên có thể diển đạt cách khác làm cho học sinh dễ chứng minh hơn bằng cách thay các tam giác vuông cân ABM, CAN bằng các hình vuông ABDE và ACHF thì ta đợc bài toán đơn giản hơn.Ta có bài toán tiếp sau : Bài toán 6: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF. a.Chứng minh rằng: BF = CE và BF CE b.Gọi I, J lần lợt là tâm của hai hình vuông đó. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MIJ là tam giác vuông cân. B C A H F E D I J M Bài toán 7: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đờng tròn (O). M ; N ; P lần lợt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ ằ AB ; ằ ằ BC ; CA . MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Cách giải 1: Hình 1. Gợi ý: Đây là một bài toán hình tơng đối khó đối với học sinh nếu không có t duy tốt trong hình học. Khi đa ra bài toán này ngay cả việc vẽ hình cũng là một vấn đề khó và các em đã không tìm ra đợc lời giải. Dới sự hớng dẫn của thầy. Ta có AN; BP và AN là các tia phân giác của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đờng phân giác. Khi đó ta có I chính là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Để chứng minh cho RS // BC và I RS ta đi chứng minh IR // BC ; IS // BC rồi sử dụng tiên đề về đờng thẳng song song để suy ra điều phải chứng minh. Sau một thời gian ngắn một học sinh đã tìm ra đợc lời giải cho bài toán này. Và cũng là lời giải ngắn mà thầy đã tìm ra. Lời giải: Xét NBI ta có: ã à à 2 3 IBN = B + B mà à ằ 2 CP B = 2 à ã 3 B = NAC (Góc nội tiếp chắn cung ằ NC ) ã NAC = ã BAC 2 do đó ã à à A B IBN = 2 + ; ã à à 1 1 BIN = A + B = à à A B 2 + ( Góc ngoài của tam giác ABI ) Suy ra : ã IBN = ã BIN NBI cân tại N N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI Ta chứng minh đờng trung trực của đoạn thẳng này chính là RN. Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có ã BHN = 1 2 sđ ằ ẳ ằ ( ) BN + AM + AP = 1 2 ằ ằ ằ sđBC + sđAB + sđAC 2 Vì ã BHN là góc có đỉnh nằm bên trong đờng tròn và ằ ằ BC BN = 2 ; ẳ ằ AB AM = 2 ; ằ ằ AC AP = 2 ã BHN = 1 4 360 0 = 90 0 RN là trung trực của đoạn thẳng BI BR = RI RBI cân tại R à ã à à 1 1 2 B = RIB B = Bmà à ã 2 B = RIB IR // BC ( Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau ) Cũng chứng minh tơng tự ta đợc IS // BC, từ điểm I ở ngoài đờng thẳng BC ta chỉ có thể kẻ đ- ợc một đờng thẳng song song với BC R ; I ; S thẳng hàng. Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm) Cách giải 2: Hình 2 Gợi ý: Trong cách giải này yêu cầu học sinh phải nắm lại kiến thức cũ về Tính chất đờng phân giác trong tam giác đây là tính chất quan trọng mà các em đã đợc học ở lớp 8 đa số học sinh ít thậm trí là không hay để ý đến tính chất này. Lời giải: Theo giả thiết ta có ẳ ẳ MA = MB do đó MN là phân giác của góc ã ANB áp dụng tính chất đờng phân giác trong tam giác ABN ta có: RA NA = RB NB ( 1) Tơng tự: NP là phân giác của tam giác ACN SA NA = SC NC (2) vì ằ ằ BN = CN nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta đợc RA SA = RB SC RS // BC Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có: AI RA = ID RB mà NA RA NB RB = suy ra AI NA = ID NB Hai tam giác BND và tam giác ANB đồng dạng (vì có góc ã BNA chung và ã ã BAN NBD= ) nên NA AB NB BD = Vậy AI AB = ID BD Suy ra BI là phân giác của góc ã ABC ở trên ta có I thuộc phân giác AN của góc ã BAC ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác ã ABC nên I là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . ( Đpcm) Bài toán 8: T ừ một điểm trên đờng tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đờng vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đờng tròn. Chứng minh rằng chân của ba đờng vuông góc đó thẳng hàng (Đờng thẳng này gọi là đờng thẳng Simson) Cách giải 1: Vì à à 0 D = E = 90 suy ra tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp ã ã BED = BPD (*) ( Góc nội tiếp cùng chắn một cung ) và $ à 0 F = E = 90 suy ra tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp suy ra ã ã FEC = FPC (**) ( Góc nội tiếp cùng chắn một cung ) Vì tứ giác ABPC nội tiếp đờng tròn ã à BPC = - A (1) PD AB PF AC ã à DPF = - A (2) Từ (1) và (2) ã BPC = ã DPF ã ã BPD = FPC (***) Từ (*) ; (**) và (***) ã BED = ã FEC D ; E ; F thẳng hàng Cách giải 2: PE EC PF FC Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp ã ã 0 FEP + PCF = 180 (1) Vì tứ giác ABPC nội tiếp đờng tròn ã ã 0 ABP + FCP = 180 Mà ã ã 0 ABP + BDP = 180 ã ã FCP = DBP (2) PD BD PE BC Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp ã DBP = ã DEP ( 3) Từ (1) ; (2) và (3) ta có : ã ã 0 PEF + DEP = 180 Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng Đối với bài toán trên là một bài toán khó yêu cầu học sinh phải huy động nhiều kiến thức có liên quan vì vậy ngay cả việc tìm ra lời giải đã khó việc tìm ra các cách giải khác nhau là một vấn đề quá khó, với bài này bản thân học sinh của tôi không làm đợc sau khi giáo viên gợi ý học sinh đã dần t duy sáng tạo và tìm đợc hớng đi của bài toán. Đơn vị kiến thức đợc áp dụng để giải bài toán.Nh để chứng minh ba điểm thẳng hàng cần chứng minh hai góc kề có tổng số đo bằng 180 0 . - Tứ giác nội tiếp đờng tròn. - Góc nội tiếp trong đờng tròn. Bài toán 9: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh rằng: BH = QC và BH QC Bài giải: Gọi O là giao điểm của BH và QC. Theo BT 9, ta có: ABC = FQA, nên: BC = QA Và ACB = FAQ BCH = QAC. Xét hai tam giác: BCH và QAC, có: BC = QA BCH = QAC CH = AC (gt) BCH = QAC (c.g.c) BH = QC (1) Và CBH = AQC Mà AQC + QCP = 90 0 CBH + QCP = 90 0 Hay BOC = 90 0 Hay BH QC (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. A C B P M D E F H Q N O Tơng tự nh trên ta cũng có CD QB. Ta nhận thấy QP, BH, CD là ba đờng cao của tam giác QBC. Và từ dây ta xây dựng đợc bài toán mới đợc phát biểu ở dạng khác. Bài toán 10: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh rằng QP, BH và CD đồng quy. (ta thấy QP, BH và CD là ba đ- ờng cao của tam giác QBC, nên chúng đồng quy) B C A P H F E D Q Dạng chứng minh đờng thẳng song song và tam giác đồng dạng Bài toán 11: Đờng tròn (O;R 1 ) và (O';R 2 ) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R 1 ) tại A và (O';R 2 ) tại B. Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R 1 ) tại C và (O';R 2 ) tại D. Chứng minh : OA//O'B ; OC//O'D ; AC//BD các tam giác PAC và PBD đồng dạng. Sau khi đọc bài toán này giáo viên cần cho học sinh nhắc lại kiến thức về hai đờng tròn tiếp xúc với nhau. Và từ đó cần yêu cầu học sinh để giải bài toán trên chung ta phải đi xét hai trờng hợp sảy ra. Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài và hai đờng tròn tiếp xúc trong.ở đây tôi chỉ trình bày về hai đ- ờng tròn tiếp xúc ngoài còn trờng hợp hai đờng tròn tiếp xúc ngoài chúng ta chứng minh tơng tự Cách giải 1: Hình 1 Gợi ý: - Tính chất của hai đờng tròn tiếp xúc nhau - áp dụng trờng hợp đồng dạng thứ hai Lời giải: Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O' Suy ra: ã ã OAP = OPA và ã ã O'PB = O'BP mà ã ã OPA = O'PB ( Hai góc đối đỉnh) Suy ra tiếp các góc ở vị trí so le trong bằng nhau OA//O'B ; OC//O'D ; AC//BD Và ã ã OAP = PBO' hai tam giác OAP và O'BP đồng dạng 1 2 RPA PO = PB PO' R = (1) Tơng tự ta cũng có : ã ã OCP = OPC và ã ã O'PD = O'DP mà ã ã OPC = O'PD ( Hai góc đối đỉnh) ã ã OCP = PDO' hai tam giác OCP và O'DP đồng dạng 1 2 RPC PO = PD PO' R = (2) Từ (1) và (2) ta có: PA = PB 1 2 RPC PD R = lại có ã ã CPA = BPD [...]... đồng dạng Cách giải 2: Hình 2 Gợi ý: - Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đờng tròn - áp dụng trờng hợp đồng dạng thứ ba - áp dụng định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Lời giải: Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đờng tròn ã ã ã ã Ta có CAP = CPy = xPD = PBD ( áp dụng tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) ã ã Mặt khác APC = BPD (hai góc. .. giác AOHC nội tiếp đợc A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn Cách giải 4: à B ã * Đối với (Hình 1) ta có AHC = 900 + Góc ngoài trong tam giác 2 à B 0 ã (Vì O là tâm của đờng tròn nội tiếp ) AOC = 90 + 2 ã ã AHC = AOC Tứ giác AOHC nội tiếp đợc A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn * Đối với ( Hình 2) à B ã Xét trong tam giác IBH ta có AHC = 900 - 2 à B 0 ã ã ã (Vì O là tâm của đờng tròn nội tiếp )... AP của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF Khái quát hoá bài toán Sau khi đã tìm ra các cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá bài toán bằng cách trả lời đợc một số câu hỏi cụ thế sau : 1) Trong các cách chứng minh những kiến nào đã đợc vận dụng ? 2) Có những cách chứng minh nào tơng tự nhau?Khái quát đờng lối chung của các cách... Mặt khác APC = BPD (hai góc đối đỉnh) Suy ra : PA1B1 và PA2B2 đồng dạng Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn, hình vuông Bài toán 12: Cho tam giác đờng phân giác BN và tâm O của đờng tròn nội tiếp trong tam giác Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đờng tròn Đối với bài toán này xảy ra hai trờng hợp đối với hình vẽ Trờng hợp 1: H và O... vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn (O) tại E Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân Bài toán 4:Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF; ACMN; BCPQ Chứng minh các đờng cao của các tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy Bài toán 5: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF Chứng minh rằng đờng trung tuyến AN của. .. AKOI là tứ giác nội tiếp IKO = OAH I à Tứ giác AOHC nội tiếp đợc A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn Cách giải 2: ã ã ã ã Ta có BN là đờng trung trực của AH BHO = BAO mà BAO = OAC nên ã ã BHO = OAC Tứ giác AOHC nội tiếp đợc A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn Cách giải 3: ã ã ABI là tam giác vuông nên IBA + BAI = 1800 hay à à B A ã ã ã ã ã ã = 900 OAI bằng (hoặc bù) với góc OCH + IBA +... còn có các câu liên quan 5) Việc khái quát hoá bài toán là một vấn đề quan trọng Khái quát hóa bài toán là thể hiện năng lực t duy, sáng tạo của học sinh Để bồi dỡng cho các em năng lực khái quát hoá đúng đắn phải bồi dỡng năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm ra cách giải quyết vấn đề trong các trờng hợp 6)Việc tìm ra nhiều lời giải cho một bài toán là một vấn... 2 Tứ giác AOHC nội tiếp đợc A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn Cách giải 5: à à A+B ã Ta có AON = ( Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB ) 2 ã à à ã ã AOH = A + B AOH + ACH = 1800 ( Hình 1) ã ã à + B à hoặc AOH = ACH = A ( Hình 2) Suy ra Tứ giác AOHC nội tiếp đợc A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn Bài toán 13 : Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành, dựng các tam giác ABM... minh đợc đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đờng cao của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF Đối với bài toán này việc vẽ đờng phụ là quan trọng Học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã đợc học ở lớp 7 vào giải bài toán Hai cách giải trên tơng tự giống... trong cách chứng minh trên kiến thức nào đã vận dụng và kiến thức đó đợc học ở lớp mấy, và có thể hỏi cụ thể chơng nào tiết nào để kiểm tra sự nắm vững kiến thức của học sinh 4) Cần cho học sinh phân tích đợc cái hay của từng cách và có thể trong từng trờng hợp cụ thể ta nên áp dụng cách nào để đơn giản nhất và có thể áp dụng để giải các câu liên quan vì một bài hình không chỉ có một câu mà còn có các . kiến kinh nghiệm Dạng toán chứng minh về góc với đờng tròn qua nhiều cách giải 1 bài toán Bài toán 1: Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O, với AB. vuông - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. - Góc nội tiếp Dạng bài có quan hệ liên kết nhau khi phát triển một bài đơn giản đến phức tạp Bài toán 3: