Sử Dụng Bản Đồ Tư Duy Giúp Học Sinh Nắm Vững Kiến Thức Trong Việc Giải Bài Toán Về Quan Hệ Vuông Góc Hình Học Không Gian 11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN  - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƢ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 Giảng viên hướng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Trần Nguyễn Nhật Uyên Lớp : 17ST Đà Nẵng, tháng 11 năm 2020 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy Khoa Tốn – Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thiện khóa luận Đặc biệt, em xin cảm ơn Ngơ Thị Bích Thủy chia sẻ kinh nghiệm, chỉnh sửa, định hƣớng cho em trình thực đề tài Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận em khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế thiếu sót cần đƣợc góp ý sửa chữa, em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp quý báu thầy giáo để hồn thiện đề tài Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 11 năm 2020 Sinh viên Trần Nguyễn Nhật Un Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Một số kiến thức đồ tƣ 1.1.1 Bản đồ tƣ gì? 1.1.2 Lợi ích sử dụng đồ tƣ dạy học 1.1.3 Quy trình tạo nên đồ tƣ 1.1.4 Những lƣu ý vẽ đồ tƣ 1.2 Một số kiến thức quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 1.2.1 Hai đƣờng thẳng vng góc 1.2.2 Đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng 1.2.3 Hai mặt phẳng vng góc 1.2.4 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc 10 1.2.5 Khoảng cách 12 CHƢƠNG II: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƢ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TỐN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 14 2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc 14 2.2 Dạng 2: Chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng 20 2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 25 2.4 Dạng 4: Liên hệ quan hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc 29 2.5: Dạng 5: Khoảng cách 34 2.6 Dạng 6: Bài tốn tính thể tích 39 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học khơng gian chƣơng trình Tốn lớp 11 mảng kiến thức trừu tƣợng, địi hỏi ngƣời học có khả tƣ tốt Học sinh phải biết phân tích tốn để tìm cho, cần tìm, cần chứng minh Qua đó, học sinh tổng hợp lại kiến thức cách logic để nâng cao lực giải toán thân Thực tế, q trình dạy học, học sinh gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải; số giáo viên vất vả việc truyền thụ kiến thức cho học sinh khả tƣ em hạn chế, cách học thụ động Việc đổi phƣơng pháp dạy học nhằm nâng cao lực dạy học hình học khơng gian lớp 11 vơ cần thiết Trong đó, việc sử dụng đồ tƣ giúp học sinh biết cách phân tích tốn, rèn lực tƣ tốn để nhanh chóng tìm lời giải đƣợc giáo viên ƣu tiên sử dụng Là sinh viên sƣ phạm trƣờng, với mong muốn nâng cao lực thân việc dạy học hình học khơng gian thơng qua sử dụng đồ tƣ duy, chọn đề tài “Sử dụng đồ tư giúp học sinh nắm vững kiến thức việc giải tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian 11” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đƣa dạng tốn quan hệ vng góc chƣơng trình Hình học khơng gian lớp 11 Từ đó, sử dụng đồ tƣ để rèn học sinh cách phân tích tìm lời giải tốn Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu chƣơng trình hình học khơng gian lớp 11 hành -Tìm hiểu đồ tƣ vận dụng vào việc phân tích tìm lời giải dạng tốn quan hệ vng góc Phƣơng pháp nghiên cứu -Nghiên cứu số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phần hình học khơng gian lớp 11 hành Đối tƣợng nghiên cứu -Những nội dung kiến thức thuộc phần quan hệ vuông góc hình học khơng gian lớp 11 -Cách sử dụng đồ tƣ giúp học sinh nắm vững kiến thức việc tìm lời giải tốn GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Un Phạm vi nghiên cứu -Kiến thức hình học khơng gian thuộc chƣơng , SGK lớp 11 Bố cục luận văn Luận văn gồm có hai chƣơng sau: CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Một số kiến thức đồ tƣ 1.2 Một số kiến thức quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 CHƢƠNG 2: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƢ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc 2.2 Dạng 2: Chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng 2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 2.4 Dạng 4: Liên hệ quan hệ quan hệ song song quan hệ vng góc 2.5: Dạng 5: Khoảng cách 2.6: Dạng 6: Bài tốn tính thể tích GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Uyên CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Một số kiến thức đồ tƣ 1.1.1 Bản đồ tư gì? Bản đồ tƣ hay cịn gọi sơ đồ tƣ duy, lƣợc đồ tƣ duy, hình thức ghi chép sử dụng màu sắc hình ảnh, để mở rộng đào sâu ý tƣởng Ở đồ ý tƣởng hay hình ảnh trung tâm Ý tƣởng hay hình ảnh trung tâm đƣợc phát triển nhánh tƣợng trƣng cho ý đƣợc nối với ý trung tâm.1 Bản đồ tƣ công cụ tổ chức tƣ hoạt động thông qua nguyên tắc Tƣởng tƣợng liên kết não để tăng tối đa sức sáng tạo Cách vẽ đơn giản cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đƣờng nét, màu sắc, chữ viết phù hợp cịn nhiều tiện ích khác khiến cho Bản đồ tƣ ngày trở nên phổ biến tồn cầu 1.1.2 Lợi ích sử dụng đồ tư dạy học  Sử dụng đồ tƣ việc giảng dạy giúp giáo viên: - Giúp học sinh tập trung hứng thú chủ đề - Dễ dạy, dễ ôn tập lại kiến thức cũ - Dễ dàng hệ thống kiến thức học cách ngắn gọn, dễ hiểu - Tạo điều kiện cho học sinh động não, sáng tạo  Sử dụng đồ tƣ việc học giúp học sinh: - Kích thích hứng thú học tập - Tăng khả sáng tạo - Tiết kiệm thời gian - Phát huy tối đa khả ghi nhớ vận dụng não - Hình thành tƣ logic - Nắm bắt kiến thức cách dễ dàng hệ thống Sách “ Bản đồ tư công việc” – Tony Buzan Sách “Lập đồ tư duy” – Tony Buzan GVHD: Ngô Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Un 1.1.3 Quy trình tạo nên đồ tư Trƣớc tạo nên đồ tƣ duy, ta cần chuẩn bị: giấy, bút màu,…Sau tiến hành theo bƣớc sau - Bƣớc 1: Vẽ chủ đề trung tâm Xác định nội dung kiến thức trọng tâm Bắt đầu từ TRUNG TÂM tờ giấy trắng, vẽ hình tƣợng trƣng cho ý - Bƣớc 2: Vẽ nhánh cấp Từ chủ đề trung tâm, vẽ nhánh Các nhánh cấp nội dung chủ đề - Bƣớc 3: Vẽ nhánh cấp 2, cấp 3,… Các nhánh cấp nội dung bổ trợ cho nhánh cấp Nhánh cấp nội dung bổ trợ cho nhánh cấp 2,… - Bƣớc 4: Hoàn thiện đồ tƣ 1.1.4 Những lưu ý vẽ đồ tư - Sử dụng nhiều màu sắc - Sử dụng hình ảnh minh họa có - Các nhánh có màu sắc khác nhau, nhánh màu chữ viết nhánh màu Càng gần trung tâm đƣờng kẻ đƣợc tô đậm - Nên dùng đƣờng cong nhiều đƣờng thẳng - Tránh ghi nguyên đoạn văn dài dòng, ghi chép nhiều ý 1.2 Một số kiến thức quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 1.2.1 Hai đường thẳng vng góc a Góc hai đƣờng thẳng Góc hai đƣờng thẳng khơng gian góc hai đƣờng thẳng a b qua điểm lần lƣợt song song với Sách “ Lập đồ tư duy”-Tony Buzan GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Uyên b Định nghĩa Hai đƣờng thẳng đƣợc gọi vng góc với góc chúng c Nhận xét - Nếu u v lần lƣợt vectơ phƣơng hai đƣờng thẳng : a  b  u.v  - Cho hai đƣờng thẳng song song Nếu đƣờng thẳng vng góc với đƣờng thẳng vng góc với đƣờng thẳng - Hai đƣờng thẳng vng góc với cắt chéo 1.2.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng a Định nghĩa Đƣờng thẳng đƣợc gọi vng góc với mặt phẳng ( ) vng góc với đƣờng thẳng nằm mặt phẳng ( ) GVHD: Ngô Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Uyên b Định lí Nếu đƣờng thẳng vng góc với hai đƣờng thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng c Tính chất - Có mặt phẳng qua điểm cho trƣớc vng góc với đƣờng thẳng cho trƣớc - Có đƣởng thẳng qua điểm cho trƣớc vng góc với mặt phẳng cho trƣớc 1.2.3 Hai mặt phẳng vng góc a Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đƣờng thẳng lần lƣợt vng góc với hai mặt phẳng Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy b Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng c Định lí Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 1.2.4 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc a + Cho hai đƣờng thẳng song song Mặt phẳng vuông góc với đƣờng thẳng vng góc với đƣờng thẳng a b  ( )  b  (  )  a  + Hai đƣờng thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với a  ( )  b  ( )  a a  b  b 10 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy *Sơ đồ tƣ duy: Ta có: AH  SB (đƣờng cao tam giác SAB), SC  AK (đƣờng cao tam giác SAC), BM  AC (đƣờng cao tam giác ABC) *Lời giải: + Chứng minh: SC  ( AHK )  SA  ( ABC ) Ta có:   SA  BC  BC  (ABC) Vì ABC vuông B nên BC  AB Mà SA  AB  A SA, AB  (SAB) Suy BC  (SAB)  BC  (SAB) Ta có:   AH  BC AH  (SAB)  (1) 32 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Xét SAB có đƣờng cao AH  AH  SB Mà SB  SC  B (3) SB, SC  (SBC ) (2) Từ (1), (2), (3) suy ra: AH  (SBC ) (4)  SC  AH Xét SAC có đƣờng cao AK  SC  AK (5) Mà AH  AK  A (6) AH , AK  ( AHK ) Từ (4), (5), (6) suy ra: SC  ( AHK ) +Chứng minh: BM  SC Ta có: BM  SA (vì SA  ( ABC ) , BM  ( ABC ) ) (7) Xét ABC có đƣờng cao BM  BM  AC (8) SA  AC  A Mà (9) SA, AC  ( SAC ) Từ (7),(8),(9) suy BM  (SAC ) Lại có SC  (SAC )  BM  SC +Chứng minh: BM ( AHK ) Ta có: SC  ( AHK ) BM  SC BM  ( AHK ) Suy ra: BM ( AHK ) 2.4.3 Bài tập Bài 1: (Bài SGK/105) Cho hình chóp có đáy hình thoi có cạnh vng góc với mặt phẳng ( ) Gọi hai điểm lần SI SK  lƣợt lấy hai cạnh cho Chứng minh: SB SD a) vng góc với b) vng góc với mặt phẳng ( ) 33 Trần Nguyễn Nhật Uyên GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy 2.5: Dạng 5: Khoảng cách 2.5.1 Phương pháp  Để tính đƣợc khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta thực nhƣ sau: + Tìm mặt phẳng (Q) chứa M vng góc với (P ) + Xác định giao tuyến d + Dựng MH Vậy MH d (P ) (Q)  MH  ( P) d(M ,(P ))  Để tính đƣợc khoảng cách hai đƣờng thẳng vừa chéo vừa vng góc với nhau, ta thực nhƣ sau: + Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' vng góc với I + Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ ' J Khi IJ đoạn vng góc chung ' d( , ') IJ 34 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy 2.5.2 Các ví dụ đáy ABCD hình chữ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có nhật Biết AD = 2a, SA = a Tính khoảng cách từ A đến (SCD) *Phƣơng pháp giải: + Áp dụng cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng *Hình vẽ: S H A *Sơ đồ tƣ duy: B D C Kẻ AH  SD H 35 Trần Nguyễn Nhật Uyên GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy ABCD hình chữ nhật *Lời giải: Kẻ AH  SD H Vì hình chữ nhật nên AD  CD D Ta có: CD  AD CD  SA (Do SA  ( ABCD) ) AD  SA  A AD, SA  (SAD)  CD  (SAD) Ta có: CD  (SAD) AH  (SAD)  AH  CD Lại có: AH  SD SC  SD  S SC, SD  (SCD)  AH  (SCD) Do d ( A,(SCD))  AH Xét tam giác vng có đƣờng cao : 36 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy 1   AH SA2 AD 1   2 4a a (2a) d ( A,( SCD))  AH  2a 5 Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) bằng: 2a 5 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách AD SB *Phƣơng pháp giải: +Áp dụng cách tính khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo *Hình vẽ: 37 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy *Sơ đồ tƣ duy: ABCD hình vng *Lời giải: Kẻ AH  SB H Vì hai mặt bên ( ) ( ) vng góc với mặt phẳng đáy nên SA  ( ABCD)  AD  SA Vì hình vng  AD  AB Ta có: AD  SA AD  AB SA  AB  A SA, SB  (SAB) Suy AD  (SAB) Mà AH  (SAB)  AH  AD Ta có: AH  AD AH  SB  d ( AD; SB)  AH AH  AS AB AS  AB  Vậy khoảng cách a a 38 Trần Nguyễn Nhật Uyên GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy 2.5.3 Bài tập Bài 1: (Bài 4, SGK/119) Cho hình chữ nhật ABCD ABCD có CC  c a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACCA) b) Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BB AC Bài 2: (Bài 5, SGK/119) Cho hình lập phƣơng ABCD ABCD cạnh a a)Chứng minh BD vng góc với mặt phẳng ( BAC) b)Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( BAC) ( ACD) c)Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BC CD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đƣờng thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách từ M đến (SAB) Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách SM BC 2.6 Dạng 6: Bài tốn tính thể tích 2.6.1.Phương pháp  Để tính đƣợc thể tích khối đa diện, ta phải xác định đƣợc đƣờng cao diện tích đáy Ta dùng kiến thức quan hệ vng góc để xác định đƣờng cao tìm diện tích đáy cơng thức quen thuộc 2.6.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vng cân B, Hai mặt phẳng phẳng vng góc với mặt Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng Tính thể tích khối chóp *Phƣơng pháp giải: + Dùng phƣơng pháp chứng minh đƣờng thẳng vng góc mặt phẳng 39 GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Un +Áp dụng cơng thức tính thể tích khối chóp *Hình vẽ: *Sơ đồ tƣ duy: (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) SA đƣờng cao hình chóp S.BCNM Góc hai mặt phẳng(SBC) (ABC) 40 Trần Nguyễn Nhật Uyên GVHD: Ngô Thị Bích Thủy *Lời giải: Ta có: ( ) (  SA  ( ABC ) ) vuông góc với mặt phẳng ( ) Lại có: MN  ( ABC )  SA  (MNCB) Vậy đƣờng cao hình chóp Ta có: BC  AB BC  SA  BC  (SBA) Mà SA  ( ABC ) nên góc hai mặt phẳng (SBC ),( ABC ) ̂ Ta có: SA  tan 60 AB  2a Từ giả thiết ta có mặt phẳng qua MN BC trung điểm song song với , cắt 3 1 1 3a 2 S BCNM  ( MN  BC ).MB  ( BC  BC ) AB  AB  (2a)  2 2 8 Thể tích khối chóp : 1 3a VS BCNM  S BCNM SA  2a  a3 3 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC BCD tam gác cạnh a, góc AD mặt phẳng (ABC) 45 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a *Phƣơng pháp giải: + Dùng phƣơng pháp chứng minh đƣờng thẳng vng góc mặt phẳng +Áp dụng cơng thức tính thể tích khối chóp 41 GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Uyên *Hình vẽ: *Sơ đồ tƣ duy: Gọi trung điểm vuông cân H vuông cân K DH đường cao 42 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy *Lời giải: Gọi trung điểm Theo giả thiết ta có: ABC có trung điểm  DH  BC BCD có trung điểm Ta có: AH  BC DH  BC  BC  ( AHD)  AH  BC Kẻ DK  AH Ta có: BC  ( AHD) DK  ( AHD)  DK  BC Lại có: DK  AH  DK  ( ABC ) (1) Theo giả thiết ta có góc mặt phẳng ( ) 45 ̂ 45 ⇒̂ ⇒ DAK vuông cân K; DAH vuông cân H  H  K (2) Từ (1) (2) suy DH  ( ABC ) Diện tích tam giác a2 là: S ABC  AB AC.sin 60  Vì ABC BCD tam giác cạnh a nên AH  DH  Thể tích khối tứ diện VABCD a là: 1 a a2 a3  DH S ABC   3 43 GVHD: Ngô Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Uyên 2.6.3.Bài tập Bài 1: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh có góc ̂ , hai mặt phẳng ( ) ( ) vng góc với đáy, góc hai mặt phẳng ( ) ( ) 30 Tính thể tích khối chóp Bài 2: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân , Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng ( ) trùng với trung điểm , mặt phẳng ( ) tạo với đáy ( ) góc 60 Tính thể tích hình chóp 44 Trần Nguyễn Nhật Un GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu đề tài, tơi làm đƣợc số việc sau: Khái quát đƣợc kiến thức liên quan đến phần quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 Khái qt đƣợc kiến thức sơ đồ tƣ Đƣa dạng toán Đƣa ví dụ minh họa cách sử dụng đồ tƣ ứng với dạng toán Do thời gian nghiên cứu hạn chế nên tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý q thầy bạn đọc để khóa luận đƣợc hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 45 GVHD: Ngơ Thị Bích Thủy Trần Nguyễn Nhật Un TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2009), Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục [2] Tony Buzan (2018 ) , Bản đồ tư công việc, Nhà xuất Lao độngXã hội [3] Tony Buzan ( 2018), Lập đồ tư duy, Nhà xuất Lao động- Xã hội [4] TS Nguyễn Cam (Chủ biên), Th.S Nguyễn Văn Phƣớc, Th.S Nguyễn Hồng Ngun (2007), Tuyển chọn 400 tập hình học tự luận trắc nghiệm 11, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Tài Chung, Lý thuyết tập quan hệ vng góc có lời giải [6] Các trang Website Internet: https://toanmath.com; 46 ... SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƢ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 Để nâng cao lực cho học sinh q trình giải tốn quan hệ vng góc. .. lực thân việc dạy học hình học khơng gian thơng qua sử dụng đồ tƣ duy, chọn đề tài ? ?Sử dụng đồ tư giúp học sinh nắm vững kiến thức việc giải toán quan hệ vng góc hình học khơng gian 11? ?? để nghiên... quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 CHƢƠNG 2: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƢ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TỐN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 2.1 Dạng 1: