Một thuật toán giải bài toán khẩu phần thức ăn khách du lịch với dữ liệu ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.2 Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch nguyên 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên 1.2.2 Một số tính chất tốn quy hoạch tuyến tính ngun 1.2.3 Các phương pháp tiếp cận giải 1.3 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 11 1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên 11 1.3.2 Cách tiếp cận giải 14 Chương Mơ hình ngẫu nhiên tốn phần thức ăn thuật toán giải 15 2.1 Bài toán phần thức ăn 15 2.1.1 Bài toán tất định 15 2.1.2 Các giả thiết ban đầu 17 2.2 Kỹ thuật bổ trợ 19 2.2.1 Kỹ thuật cắt D2 19 2.2.2 Cơ sở lý luận việc phân nhánh tính cận 21 2.3 Thuật toán nhánh cận kết hợp cắt D2 27 2.3.1 Thuật toán 27 2.3.2 Ví dụ số 29 2.3.3 Tính hữu hạn thuật toán D2 − CBAC 37 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Trong trình học tập làm việc, trang bị kiến thức thực tế sống Chúng tự suy nghĩ: Những điều học đem lại lợi ích cho sống? Câu hỏi giúp tơi tìm hiểu, học tập suy nghĩ Được học Lý thuyết xác suất thống kê tốn học, chúng tơi hiểu thêm hầu hết tượng xẩy sống ngẫu nhiên Và biết thêm Lý thuyết tối ưu, hiểu toán sống cần tính tốn tối ưu Như vậy, từ kết hợp xác suất thống kê với tối ưu ta hy vọng đem lại nhiều lợi ích cho sống Tiếp cận với báo khoa học Thuật toán nhánh cắt giải toán quy hoạch biến nhị phân hỗn hợp, với biến giai đoạn liên tục, tác giả L Ntaimo cộng [4], công bố năm 2006, chúng tơi nghĩ tới "bài tốn phần thức ăn" chương trình phục vụ khách du lịch Bài tốn phần thức ăn, với thơng tin ổn định, nghiên cứu lớp tốn quy hoạch tuyến tính [3] Tuy nhiên, thực tế sản xuất, thông tin liệu thường biến động ngẫu nhiên Trong trường hợp vậy, ta có tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Ngày nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu lớp tốn đời mơn quy hoạch ngẫu nhiên (Stochastic Linear Programming) song song với phát triển Lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Một thuật toán giải toán phần thức ăn cho khách du lịch với liệu ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở xác suất, toán quy hoạch nguyên, số phương pháp truyền thống giải toán quy hoạch nguyên, toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương xem phần kiến thức chuẩn bị để thuận lợi cho việc trình bày chương hai Chương Mơ hình ngẫu nhiên tốn phần thức ăn thuật toán giải Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày mơ hình thực tế tốn phần thức ăn giành cho khách du lịch, với liệu ngẫu nhiên Từ khái qt hố, thiết lập dạng toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hỗn hợp có ràng buộc ngẫu nhiên tuyến tính Trên sở chúng tơi xem xét tính chất đưa thuật toán nhánh cận giải toán đặt Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh Nhân dịp này, cho phép xin gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo giảng dạy, thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, khoa Tốn, Phịng Sau Đại học, trường Đại học Vinh Đặc biệt nhận hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xn Sinh Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm suốt thời gian học tập nghiên cứu Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác trường Cao đẳng nghề Du lịch - Thương mại Nghệ An Cũng này, cho phép tơi gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện để thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề sở Lý thuyết xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 Không gian đo độ đo xác suất Cho Ω tập tuỳ ý khác rỗng, F σ-đại số tập Ω, cặp (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F −→ R gọi độ đo xác suất F nếu: A1) P(A) ≥ 0, với A ∈ F A2) P(Ω) = A3) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j ∞ ∞ An = P n=1 P(An ) n=1 1.1.1.2 Không gian xác suất Giả sử Ω tập khác rỗng, F σ - đại số tập Ω, P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ - đại số F gọi σ-đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố 1.1.1.3 Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất; G σ-đại số σ-đại số F; B σ-đại số Borel đường thẳng thực R Khi ánh xạ X : Ω −→ R gọi đại lượng ngẫu nhiên G-đo được, với ∀B ∈ B, ta có X −1 (B) := {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G Trong trường hợp đặc biệt, X đại lượng ngẫu nhiên F-đo được, X gọi cách đơn giản đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1.4 Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu có) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = XdP Ω 1.1.1.5 Phương sai đại lượng ngẫu nhiên Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên Khi đó, số DX = E(X − EX)2 , (nếu tồn tại) gọi phương sai X 1.1.2 Các tính chất 1.1.2.1 Tính chất kỳ vọng Giả sử X, Y đại lượng ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi tồn EX, EY Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C, với C số Nếu tồn EX với số λ, ta có E(λX) = λEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY   k xk pk , X rời rạc, P(X = xk ) = pk , EX =  +∞ xp(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) −∞ (Định lý P Levy hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) tồn n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞) EXn ↑ EX (tương ứng EXn ↓ EX) (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y, ∀n ≥ EY > −∞ ElimXn ≤ limEXn , Nếu Xn ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≥ limEXn , Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn (Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX, n → ∞ Nếu ϕ hàm lồi, X ϕ(X) khả tích E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX) 10 Nếu X Y độc lập E(XY ) = EX.EY 1.1.2.2 Tính chất phương sai Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên Khi ta có DX = EX − (EX)2 DX ≥ DX = X = EX = số h.c.c D(cX) = c2 DX, c ∈ R Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY Nếu DX tồn có cơng thức:   k (xk − EX) pk , X rời rạc, P(X = xk ) = pk , DX =  +∞ (x − EX)2 p(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) −∞ 1.2 Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch nguyên 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngun Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun có dạng n g(x) = cj xj j=1 với điều kiện       n j=1 aij xj ≤ (≥, =) bi , i = 1, 2, , m xj ≥ 0, j = 1, 2, , n      xj ∈ Dj ⊂ Z, (1.1) j = 1, 2, , k, k ≤ n Nếu k = n ta có tốn quy hoạch nguyên toàn phần Trong trường hợp ngược lại (k < n), ta có tốn quy hoạch ngun hỗn hợp Hàm g(x) gọi hàm mục tiêu Các điều kiện toán gọi điều kiện buộc Điểm x = (xj ) ∈ Z thoả mãn điều kiện toán gọi phương án, ký hiệu tập phương án M Phương án x đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu (hoặc nghiệm) toán 1.2.2 Một số tính chất tốn quy hoạch tuyến tính nguyên Nếu lấy bao lồi điểm nguyên, ký hiệu coM , tốn min{g(x) : x ∈ coM } tốn quy hoạch tuyến tính, có phương án cực biên điểm nguyên Từ cho thấy: + Nếu tốn quy hoạch tuyến tính ngun có phương án tối ưu tồn phương án cực biên (đỉnh) tối ưu + Tập phương án tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng tập lồi đa diện có hữu hạn điểm cực biên (hữu hạn đỉnh) + Phương án x = (xj ) cực biên tương ứng với xj > 0, hệ vectơ cột Aj = a1j , a2j , , amj , ma trận A = (aij ), độc lập tuyến tính 1.2.3 Các phương pháp tiếp cận giải 1.2.3.1 Phân rã Benders ý tưởng phương pháp phân rã Benders chia toán quy hoạch nguyên hỗn hợp thành hai tốn Trong tốn biến ngun tốn cịn lại biến liên tục Việc phân rã phải đảm bảo giải tốn tổng hợp lại nghiệm toán cho Chẳng hạn: xét tốn quy hoạch tuyến tính ngun hỗn hợp min{cx + dy : x ∈ H; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S}, c ∈ Rp , d ∈ Rq , x ∈ Zp ; H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp }; S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C} Benders phân rã toán cho thành toán nhỏ Bài toán (I) xét với biến y liên tục thuộc E ⊆ Rq+ Bài toán (II) xét với biến nguyên x ∈ Zp Để giải tốn (I) sử dụng phương pháp lý thuyết quy hoạch tuyến tính (chẳng hạn phương pháp đơn hình) Để giải tốn (II) - tốn quy hoạch ngun tồn phần - giải phương pháp lý thuyết quy hoạch nguyên (chẳng hạn phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, ) 1.2.3.2 Phương pháp cắt giải toán quy hoạch ngun Để giải tốn quy hoạch nói chung quy hoạch tuyến tính ngun nói riêng, người ta sử dụng phương pháp cắt việc tạo nhát cắt hợp cách Nội dung phương pháp cắt giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun là: Bỏ qua điều kiện nguyên, giải toán quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương án tối ưu x(0) Nếu x0j nguyên (j = 1, , n) x(0) phương án tối ưu cần tìm Nếu ngược lại, bổ sung vào toán quy hoạch tuyến tính điều kiện n dj xj ≤ α L(x) = (1.2) j=1 L(x) phải thoả mãn hai tính chất: + x(0) không thoả mãn (1.2) + Mọi phương án nguyên thoả mãn (1.2) Điều kiện (1.2) gọi nhát cắt hợp cách 1.2.3.3 Phương pháp nhánh cận ý tưởng phương pháp thực phân nhánh để chia tập phương án M thành phần nhỏ 10 dần Trên phần nhỏ tập M , xác định cận hàm mục tiêu Từ loại bỏ dần phần khơng có khả chứa nghiệm Như vậy, cơng việc phương pháp tìm cách phân nhánh, tính cận lựa chọn loại bỏ cho sau hữu hạn bước lặp có câu trả lời tốn Nhiệm vụ phương pháp nhánh cận thực "phân nhánh", "tính cận" "loại bỏ" cho q trình hội tụ nghiệm cần tìm a) Phân nhánh Việc phân nhánh thực cách chia tập phương án M thành tập M1 , M2 , , Mk cho k Mi , Mi ∩ Mj = ∅, (i = j) M= i=1 b) Tính cận Hàm số γ(A) gọi cận hàm g(x) A γ(A) thoả mãn hai điều kiện: +) γ(A) ≤ g(x), ∀x ∈ A +) γ(A1 ) ≥ γ(A2 ) A1 ⊂ A2 ⊂ M Từ ta có γ(Mi ) ≥ γ(M ), ∀i = 1, 2, , k Đồng thời g(x ) = min{g(x) : x ∈ M } ≥ γ(Mi ) = γ(Ms ) i Do g(x ) = γ(Ms ) x phương án tối ưu cần tìm c) Lựa chọn loại bỏ + Lựa chọn: Giả sử k M= Mi i=1 Mi ∩ Mj = Ø, i = j 11 Khi γ(Ms ) = γ(Mi ), i = 1, 2, , k, tức γ(Ms ) ≤ γ(Mi ), ∀i = 1, 2, , k, nên γ(Ms ) ≤ min{g(x) : ∀x ∈ M } Ta hy vọng Ms chứa phương án tối ưu Vì chọn Ms để phân nhánh + Loại bỏ: Việc loại bỏ nhằm thu gọn toán, giảm bớt nhớ Tiêu chuẩn để loại bỏ là: Giả sử bước k, biết phương án x mà g(x) ≤ g(x), với phương án x biết Lúc ta nói x phương án kỷ lục, g(x) giá trị kỷ lục Nếu có Mj mà γ(Mj ) ≥ g(x) Mj bị loại bỏ (chú ý Mj = ∅ Mj bị loại bỏ) 1.3 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Trong mục 1.2, nói tới tốn quy hoạch ngun tất định Trong mục này, xét tới tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên hai giai đoạn 1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên (Stochastic Integer Linear Progamming - viết tắt (SILP ) xét tới sau: Cho toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên cT x : Ax = b, T x = h, x = (xj ) ≥ 0, xj ∈ Z , (SILP ) c = (cj )n×1 , x = (xj )n×1 ; b = (bi )m×1 ; A = (aij )m×n ; h ma trận cỡ p × T ma trận cỡ p × n, phần tử ma trận h T biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất biết 25 nhánh thứ nhánh cận Trong trường hợp này, đỉnh r không thực phân nhánh quay trở lại đỉnh trước Giả sử hoán đổi vế phải điều kiện phân nhánh cắt D2 Từ việc phân nhánh thực nhát cắt D2 vế phải πck (x, ω) phải định dạng lại Ta có kết quả: 2.2.2.2 Mệnh đề Giả sử (ω, K) xác định (2.10) Xét nhát cắt D2 mà (ω, K) xác định Khi vế phải πck (x, ω) nhát cắt D2 , bất đẳng thức γ kr(0) (ω)T x ≥ ν kr(0) (ω) thay π0k (x, ω) = ν k1 (ω) − γ k1 (ω)T x bất đẳng thức γ kr(1) (ω)T x ≥ ν kr(1) (ω) thay π0k (x, ω) = ν k0 (ω) − γ k0 (ω)T x Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.2.1 bất đẳng thức phân nhánh γ kr(0) (ω)T x ≥ ν kr(0) (ω), vế phải phân nhánh nhát cắt D2 phải đạt nhỏ hai hàm affine xác định π0k (x, ω) Từ suy π0k (x, ω) = ν k1 (ω) − γ k1 (ω)T x Tương tự cho nhánh khác D2 Mệnh đề chứng minh xong Các hình 2.2, 2.3 2.4 thể việc phân nhánh cắt 26 Bài toán (2.16) bước lặp kr cho ta nghiệm giai đoạn thứ xkr toán LP nới lỏng ω ∈ Ω đỉnh r ∈ Q có dạng fckr (xkr , ω) = min{q T y} (2.17) 27 với điều kiện    W y ≥ r(ω) − T (ω)xkr ,       (π k )T y ≥ π k (xkr , ω), k ∈ k(τ ) \ K(τ ), τ ∈ Br , c   (π k )T y ≥ π0k ((xkr , ω), k ∈ K(τ ), τ ∈ Br ,       y ≥ Điều kiện (π k )T y ≥ πck (xkr , ω), k ∈ k(τ )\K(τ ), τ ∈ Br nhát cắt D2 tạo đỉnh kéo dài từ gốc tới đỉnh r mà vế phải chưa định dạng Còn điều kiện (π k )T y ≥ π0k ((xkr , ω), k ∈ K(τ ), τ ∈ Br vế phải định dạng nhờ phân nhánh Do vậy, từ trở xem toán (2.16)-(2.17) "bài toán điểm" Pr đỉnh r Ký hiệu vr Vr theo thứ tự cận cận "bài toán điểm" phương pháp D2 Trước trình bày thuật tốn cách thức, cần nhát cắt D2 tạo đỉnh r ∈ Q có hiệu lực với tất đỉnh sau r Tuy nhiên, thơng thường chúng khơng có hiệu lực với tất đỉnh cịn lại Q định dạng nhát cắt thực sau phân nhánh theo Mệnh đề 2.2.2.2 nêu 2.3 Thuật toán nhánh cận kết hợp cắt D2 Để giải toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên (SM IP ) cho, mục chúng tơi trình bày thuật tốn hữu hạn, phối hợp phương pháp D2 với thuật toán nhánh cắt liên tiếp, viết tắt D2 − CBAC (D2 - Continuous Branch and Cut) [6] 2.3.1 Thuật toán Chúng ta ký hiệu L tập hợp "bài toán điểm" mở ra; v cận giá trị tối ưu; V cận giá trị tối ưu; vr cận giá trị tối ưu toán đỉnh r; 28 Vr cận giá trị tối ưu toán đỉnh r; k số bước lặp "bài toán điểm"; kr số bước lặp "bài toán điểm" r; x∗ phương án tối ưu (nghiệm) Bước (Bắt đầu) Giả sử ε > x(1) ∈ M cho k = 0, 1, , V = ∞, v = −∞ toán điểm gốc (2.12)(2.13) tập L toán đỉnh mở Bước (Kết thúc) Nếu L = ∅, kết thúc với nghiệm x∗ Ngược lại, chọn toán điểm Pr từ tập hợp L toán mở đặt L := L \ Pr Gán k := k + Bước (Sử dụng phương pháp D2 cho toán điểm) Sử dụng bước lặp phương pháp D2 cho toán điểm Pr Lưu nhân tử {λk0,1 , λk0,2 } {λk1,1 , λk1,2 } Những nhân tử xác định (ν k0 (ω), γ k0 (ω)), (ν k1 (ω), γ k1 (ω)), tương ứng π0k (x, ω) πck (x, ω) k ω ∈ Ω Các bước lặp phương pháp D2 kết thúc điều kiện sau phải thực hiện: (i) Bài tốn đỉnh (2.16) trở nên khơng thoả mãn; (ii) Vkr − vkr < ε; (iii) Vkr − vkr ≥ ε Nếu điều kiện (i) Bỏ qua đỉnh Trở lại bước 1; Ngược lại, điều kiện (ii) Định dạng lại: Nếu Vkr < V Gán V := Vkr ; v := vkr ; x∗ := xkr ; Chấp nhận đỉnh tối ưu ứng với D2 ; Thiết lập lại danh sách toán L việc loại bỏ 29 tốn có vr ≥ V , nghĩa gán L := L \ {Pr | vr ≥ V }; Ngược lại, xác định cận toán điểm Trở lại bước 1; Ngược lại, (iii) Chuyển sang bước Bước (Phân nhánh) Sử dụng Mệnh đề 2.2.2.1 thực phân nhánh để tạo hai toán điểm Pr(0) , Pr(1) toán (2.16)-(2.17) Kết nạp vào toán mở, nghĩa L := L ∪ {Pr(0) , Pr(1) } Vì mục đích lựa chọn đỉnh để phân nhánh với việc ghi nhận vr(0) vr(1) cận giá trị hàm mục tiêu toán điểm (2.16) tương ứng sau phân nhánh Trở lại bước 2.3.2 Ví dụ số Chúng ta xét toán (SM IP ) đơn giản sau [6]: min{−2x − 2y1 − 2y2 } với điều kiện    −x       −5x − 6y1       −5x − 6y2   −y1        −y2      x ≥ 0, y , y ∈ {0, 1} ≥ −2 ≥ −10 ≥ −12 ≥ −1 ≥ −1 Phân tích tốn giai đoạn SMIP ta có − 2x + E[f (x, ω)] với điều kiện −x ≥ −2 x ≥ 0, 30 f (x, ω) = min{−4y} với điều kiện −6y ≥ r(ω) + 5x y ∈ {0, 1} Giai đoạn hai có khả năng, khả xảy với xác suất p = 0, 5, với ω = ω1 có r(ω1 ) = −10 với ω = ω2 có r(ω2 ) = −12 Để ý toán thoả mãn giả thiết (A1 − A3) Trong ví dụ có số liệu sau: c = −2, A = [−1], b = [−2], q = [−4], W = [−6], T (ω1 ) = T (ω2 ) = [−5], r(ω1 ) = −10, r(ω2 ) = −12 Chú ý cận giá trị kỳ vọng tốn giai đoạn hai L = 0, × (−4) + 0, × (−4) = −4 Bây áp dụng thuật tốn D2 − CBAC sau Vòng lặp (k = 1) Bước Xuất phát: Thuật toán bắt đầu với đỉnh gốc s = O, L = ∅ Khi toán điểm P0 min{−2x + η} với điều kiện −x ≥ −2 x, η ≥ Đặt W = W, T (ω) = T (ω), r1 (ω) = T (ω) cho tình bắt đầu giải toán mở L := L ∪ {P0 } Cận cận V = ∞, v = −∞ Bước Kết thúc: Tập L = ∅, nên ta có tốn điểm mở đầu Bài tốn điểm mở đầu có x1 = 2, η = Cận cận theo thứ tự V0 = ∞, v0 = −∞ Bước Sử dụng phương pháp D2 cho toán điểm: Phương pháp D2 thực theo bước lặp: 31 2.1 Ta sử dụng x1 = giải toán nới lỏng LP toán giai đoạn hai theo ω1 , ω2 , mà ký hiệu toán LP1 LP2 f1 (2, ω1 ) = min{−4y} với điều kiện    −6y    −y      y (LP1 ) ≥0 ≥1 ≥ f1 (2, ω2 ) = min{−4y} với điều kiện    −6y    −y      y (LP2 ) ≥ −2 ≥ −1 ≥ Nghiệm toán LP1 y(ω1 ) = tốn LP2 y(ω2 ) = 0, 3333 2.2 Vì y(ω2 ) không thỏa mãn điều kiện nguyên, ta chọn y "biến tuyển" tạo phép tuyển (nhát cắt) −y ≥ y ≥ cho toán LP2 Ta thiết lập dạng C -LP (xem [7]) để tạo vectơ π cho định dạng W nhân tử λ tạo nên toán RHS-LP Giải toán C -LP (xem [7]) ta π = −1, λT0,1 = [0; 0], λ0,2 = 1, λT1,1 = [0, 25; 0], λ1,2 = 0, xem nghiệm Đặt W việc thêm π vào W , ta có W = [W −1] T Từ nghiệm C -LP có ν 10 (ω1 ) = 0, ν 11 (ω1 ) = −2, ν 10 (ω1 )T = [0], ν 11 (ω1 )T = [−1, 25] 32 ν 10 (ω2 ) = 0, ν 11 (ω2 ) = −2, 5, ν 10 (ω2 )T = [0], ν 11 (ω2 )T = [−1, 25] Để giữ π0k (x, ω) ≥ 0, tịnh tiến ν 10 (ω) ν 11 (ω) lên theo thứ tự +2 +2,5 Ta π01 (x, ω1 ) = min{2 − 0x; + 1, 25x} π01 (x, ω2 ) = min{2, − 0x; + 1, 25x} Sử dụng liệu trên, xác định toán RHS-LP (xem [7]) hai ω1 ω2 Nghiệm toán RHS-LP (xem [7]) xét với ω1 δ(ω1 ) = 0; σ0 (ω1 ) = 0, 55556; σ(ω1 ) = −0, 555556 với ω2 δ(ω2 ) = 0; σ0 (ω2 ) = 0, 5; σ(ω2 ) = −0, 625 Do ta có η (ω1 ) = 0; η (ω1 ) = 1; η (ω2 ) = 0; η (ω1 ) = 1, 25 Tịnh tiến trở lại ta πc1 (x, ω1 ) = −2 + x πc1 (x, ω2 ) = −2, + 1, 25x Chú ý x1 = 2, x2 ∈ vert(M ) (đỉnh M ) Ta có π01 (2, ω1 ) = πc1 (2, ω1 ) = π01 (2, ω2 ) = πc1 (2, ω2 ) = 2, Dựa nghiệm RHSLP thu r2 (ω1 ) = [r1 (ω1 )] − T ; T (ω1 ) = [T (ω1 )] − T Tương tự ta nhận r2 (ω2 ) = [r1 (ω2 )] − 2, T ; T (ω2 ) = [T (ω2 )] − 1, 25 T Hồn thành bước thuật tốn 2.3 Việc tái tối ưu toán nhận y(ω1 ) = với f1 (2, ω1 ) = y(ω2 ) = với f2 (2, ω2 ) = Chú ý nghiệm không nguyên (dạng phân số) ω2 ) cắt phương pháp D2 Những 33 nghiệm đối ngẫu z T (ω1 ) = z T (ω2 ) = [0; 0; 4] Vì hai trình thoả mãn địi hỏi tính nhị ngun y(y ∈ {0; 1}), ta có nghiệm thành phần x = nhận cận V0 := min{V0 ; −2 × + 0, × (0) + 0, × (0) + 4} = 2.4 Sử dụng nghiệm đối ngẫu cho toán (LP ) từ bước 2.3, thực cắt tối ưu kiểu Benders (xem [7]), nhát cắt −4x + θ(ω1 ) ≥ −8 −5x + θ(ω2 ) ≥ −10 Do hai nhát cắt hợp lý nhau, giá trị kỳ vọng liên quan đến hệ số cắt tạo −4, 5x + θ ≥ −9 Từ chỗ giả sử η ≥ 0, sử dụng phép tịnh tiến η = θ + dẫn đến −4, 5x + η ≥ −5 nhát cắt tối ưu để bổ sung vào toán điểm sau min{−4x + η} với điều kiện    −x    −4, 5x + η      x, η ≥ −2 ≥ −5 ≥ Giải toán điểm ta x2 = 1, 111; η = giá trị hàm mục tiêu -2,222 Do cận v0 = −2, 222 Hồn tất phép lặp thuật tốn D2 Vì V0 > v0 , ta trở lại thuật toán D2 − CBAC với k := Ta ý x2 ∈ / vert(M ) (đỉnh M ) việc phân nhánh cần thiết Bước Phân nhánh: Bây ta cần áp dụng Mệnh đề 2.3.1 với x2 = 1, 111 (sử dụng hàm tịnh tiến π01 (x, ω) πc1 (x, ω)) 34 Theo ω1 , có π01 (1, 111; ω1 ) = min{2 − × 1, 5; + 1, 25 × 1, 111} = min{2; 1, 389} = 1, 389, πc1 (1, 111; ω1 ) = + × 1, 111 = 1, 111 Vì pω (π01 (1, 111; ω1 ) − πc1 (1, 111; ω1 ) = 0, × (1, 389 − 1, 111) = 0, 1389 Với ω2 , có π01 (1, 111; ω2 ) = min{2, − × 1, 111; + 1, 25 × 1, 111} = min{2, 5; 1, 389} = 1, 389, πc1 (1, 111; ω2 ) = + 1, 25 × 1, 111 = 1, 389 Vì pω (π01 (1, 111; ω2 ) − πc1 (1, 111; ω2 ) = 0, × (1, 389 − 1, 389) = Trong trường hợp này, 0,1389 > 0, chọn (ω, k) = (ω1 , 1) Bởi vậy, ràng buộc phân nhánh ν 10 (ω1 ) − γ 10 (ω1 )x ≥ ν 11 (ω1 ) − γ 11 (ω1 )x, thay vào ta có − 0x ≥ + 1, 25x, −x ≥ −1, 35 Từ ta có nhánh thứ với điều kiện −x ≥ −1, Giải toán điểm nhánh theo hệ số cắt D2 ta nhận π y ≥ ν 11 (ω1 ) − γ 11 (ω1 )x Từ suy −1y ≥ −2 + 1, 25x Cịn nhánh thứ hai, có x ≥ 1, 6, với phép cắt hệ số D2 ta nhận π y ≥ ν 11 (ω1 ) − γ 11 (ω1 )x Từ suy −1y ≥ − 0x −y ≥ Chú ý phân nhánh theo y đặt O Bây ta tạo toán điểm (P1 P2 ) với toán điểm sau min{−2x + η} với điều kiện    −x       −4, 5x + η   −x       x, η (P1 ) ≥ −2 ≥ −5 ≥ −1, ≥ 0, Nghiệm x2 = 1, 111; η = giá trị hàm mục tiêu -2,222; cận v1 = −2, 222 min{−2x + η} với điều kiện    −x       −4, 5x + η   x       x, η (P2 ) ≥ −2 ≥ −5 ≥ 1, ≥ 0, Nghiệm x2 = 1, 6; η = 2, giá trị hàm mục tiêu -1; cận v2 = −1 36 Gán L := L ∪ {P1 , P2 } Quay trở lại bước 1, với toán L mở (chưa giải) Bước Kết thúc: Tập L = ∅ Từ v1 < v2 , chọn P1 gán L := L \ {P1 } Bước Sử dụng phương pháp D2 cho toán điểm: Chúng ta bắt đầu với x2 = 1, 111 Thực thuật toán D2 − CBAC, có kết sơ đồ (Hình 2.5) Trong sơ đồ cho thấy thuật toán sử dụng đỉnh (gồm đỉnh 0, 1, 2, 3, 4) Trong đỉnh tìm phương án tối ưu Đỉnh bị loại bỏ cận Sau đỉnh, ta có L = ∅ nên thuật tốn kết thúc với phương án tối ưu cần tìm x = 0, 8; y(ω1 ) = 1; y(ω2 ) = 1; giá trị tối ưu hàm mục tiêu f (x, ω) = −5, 37 2.3.3 Tính hữu hạn thuật toán D2 − CBAC Bây thuật toán D2 − CBAC hội tụ hữu hạn 2.3.3.1 Bổ đề Tồn số T hữu hạn cho sau T lần chia tập M, phép phân nhánh cận mục 2.2.2 tìm đỉnh để thực thuật tốn Chứng minh Một đỉnh r thực thuật toán Vr − vr < ε tốn điểm khơng khả thi Đặt Y (x) = {y | W y ≥ r(ω) − T (ω)x, y ≥ 0, −yj ≥ −1, j ∈ J2 } giả sử Ir tập số xác định phép tuyển biến cho Br Vì ta có vế phải π0k (x, ω) với k ∈ K(τ ), τ ∈ Br , lát cắt sử dụng giai đoạn hai mặt Y (x) ∩ ({yj ≤ 0)} ∪ {yj ≥ 1})j∈Ir Từ tập phương án giai đoạn hai mơ tả tập hợp tuyển mặt Do trình lồi liên tiếp sinh bao lồi tập hợp đó, nên qua nhiều lần (hữu hạn) phân hoạch T q trình phân nhánh tính cận tìm đỉnh r thoả mãn Vr − vr < ε tốn điểm khơng khả thi dạng (2.16) Điều chứng minh kết luận Bổ đề 2.3.3.2 Định lý Với giả thiết (A1 − A3) thực hiện, thuật tốn D2 − CBAC nêu, sau hữu hạn bước lặp tìm phương án tối ưu toán (2.5)(2.6) Chứng minh Trong thuật toán D2 − CBAC làm với thời gian nhiều lần hữu hạn Kết có nhiều phép chia hữu hạn tập phương án giai đoạn liên tục xem xét Vì theo Bổ đề 2.3.2.1, đỉnh r xét tới q trình thuật tốn Tính tối ưu phương án tính hiệu lực q trình cận cận sử dụng Định lý chứng minh xong 38 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày số vấn đề đại lượng ngẫu nhiên, toán quy hoạch nguyên hỗn hợp phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch nguyên, toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hai giai đoạn Xây dựng toán thực tế cho lớp tốn cần nghiên cứu Trình bày tính chất bản, đặc trưng cho toán, nhằm xây dựng thuật toán giải Xây dựng thuật toán nhánh cận kết hợp cắt, giải lớp tốn nêu Đưa ví dụ số để minh hoạ cho thuật toán Chứng minh tính hữu hạn thuật tốn Do thời gian trình độ có hạn nên số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Tìm thêm ví dụ áp dụng vào thực tế - Xây dựng phần mềm giải toán thực tế tìm 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho học viên Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] L Ntaimo and S Sen (2006), A Branch-and-Cut Algorithm for TwoStage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Variables, Department of Industrial and Systems Engineering, Taxas A&M University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA [5] S Sen and J.L Higle (2005), The C theorem and a D2 Algorithm for Large Scale Stochastic Mixed-Integer Programs with Continuous FirstStage Variables, J Math Programming, No 106(2), - 20 [6] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczy´ nski (2010), Lectures on Stochastic Programming Modeling and Theory, Mathematical Programming Society Philadelphia [7] Tran Vu Thieu and Tran Xuan Sinh (1997), A new bounding technique in branch-and-bound algorithms for mixed integer programming, J Acta Mathematica Vietnamica, Vol.22, No.1, 357-366 ... tài: "Một thuật toán giải toán phần thức ăn cho khách du lịch với liệu ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức. .. Chương Mơ hình ngẫu nhiên tốn phần thức ăn thuật toán giải Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày mơ hình thực tế tốn phần thức ăn giành cho khách du lịch, với liệu ngẫu nhiên Từ khái... trình bày mơ hình tốn phần thức ăn với liệu ngẫu nhiên Từ khái qt hố dạng tổng qt cần nghiên cứu 2.1.1 Bài toán tất định 2.1.1.1 Bài toán Một phần thức ăn dùng cho khách du lịch có khối lượng P