Ứng dụng tính chất số học trong giải phương trình hàm ôn thi VMO năm 2022

3 Ví dụ 1 (BMO 2017) Tìm tất cả các hàm f Z Z  thỏa mãn ( ) ( ) ( )n f m f n nf m  với mọi cặp số nguyên dương ,m n Lời giải Ta có  2( ) ( ) ( ) ( )f n nf m f n n n f m n     nên từ giả thiết ta có 2( ) ( ) , ,n f m f n n m n     (1) Từ đó tồn tại 0n Z  sao cho 20 0( )f n n Thay 0m n n  vào tính chất (1) ta được 2 0 0 0 0 ( ) ( )n f n f n n  ( mâu thuẫn do 20 0 0 0( ) ( ) 0n f n f n n    ) Do đó 2( ) ,f n n n Z    Dễ thấy 2( ) ,f n n n Z    là một nghiệm của[.]