ia’ THU VIEN TOAN Cau | a) Cho ba số x, yz đôi một khác nhau và thoả mãn điều kiện x+ y+ z=0 Tinh gia trị của biểu thức _—_ “U18(x—-y)(y- Z)(z- x) _ 2xy2+2yz?+2zx2+3xyz` b) Giải phương trình Vx2+2x+ V2x-l= V 3x2 +4x +1 Cau 2 a) Tim m dé phuong trinh x* —2(m—-1)x+ m*-3m=0C0 hai nghiém x); x2 sao cho T=xXƒ+x2— (m— 1)(xị + xạ) + mˆ — 3m đạt giá trị nhỏ nhat
b) Cho a,b,c là các sô thực dương Chứng minh răng
qÌD b°c ca a“ be bˆca cˆab + + > + + 3a+b 3b+c 3cta 2a+b+c 2b+ct+a 2c+(+Db
Cau 3 Tim tat ca các sô nguyên tô p sao cho 2!! —2 chia hét cho 11p
Câu 4 Cho tam giac ABC vuong cân tại A Gọi M là trung điểm BC,G là điểm trên cạnh A5 sao cho GB = 26A Các đường thăng GM và CA cắt nhau tại D Đương thăng qua M vuông góc với CG tại E và cắt AC tại K Gọi P là giao điểm của DE và GK Chứng minh rang:
a) DE= BC b) PG= PE
Câu 5 Một con chôn đang ổ điểm (0,0) trên mat phẳng tọa độ Do là chôn nên nó di
chuyển khá chậm, và trong mỗi bước di chuyển nó chỉ có thể di chuyển từ điểm (+, y)
đến 1 trong 4 điểm (x+ 1,7), (x,y+ 1),(x~ 1, y), (x, y— )
a) Hồi con chôn cần di chuyển ít nhất bao nhiêu bước để có thể di chuyển được đên điểm (35,88)?
Trang 23ó
HƯỚNG DÂN GIẢI
Câu Hướng dân Điểm
Trang 337
Câu Hướng dân Điểm
2a | Phương trình có hai nghiệm xị,x¿ © A’ = b? - ac = (m-1)* - (m?-3m) = | 0.25d m+120em2-l Theo hệ thức Viète, ta có: 0.25đ Rte HS =2(m-1) a Cc 2 5 XIX2 = — = I“—3m a Biến đổi, ta có, 0.25đ T=x‡ +32 — (m— 1) (xị + xa) + mẦ— 3m = (ãị + x¿)Ê—2Xị Xa — (m— 1) (Xị + x;) + mẦ— 3m b € 5 Thay xị + xa = <= 2(m—1),xịxạ = s=m —3m, ta được 0.25đ T = (2(m-1))*-2(m?-3m) -2(m- 1)? +m? -3m =4m?-8m+4-2m? +6m-2m? +4m-2+m? -3m Rut gon va danh gia, ta dudc 0.25d 2 T= m= m+2= [m2] +Ó m meR 2 4 4 a re AL 2 s 2 1 1
Nhu vay, gia tri nho nhat cua T la i, đạt được khi m2 =Ue©m= 5 (TMĐK) | 0.25d
2b | Theo bat đẳng thức AM-GM: 0.25d
a@b + cab x @b cab — 2a°bc
3a+b 2c+a+b \|3a+b 2c+a+b V(a+P)@c+a+b) 0.25đ + 2a°bc_ _ 2a°bc — 3a+b+2c+a+b ` 2q+bp+c” 2 Chứng minh tương tự: 0.25đ
bc + abe 2b?ca ca + bˆca - 2c?ab
3b+c 2a+b+c 2b+c+da3c+a 2b+c+a 2c+at+b
Cộng ba bắt đẳng thức trên theo về ta được điều cần chứng minh 0.25đ
Trang 4
Câu Hướng dân Điểm
3 | Giả sử p là sô cân tìm, ta có 0.25đ 2''P=2 (mod p) (3) Theo định lý Fermat nhỏ, 0.25đ 2!!?=2!! (mod p) (4) Từ (3) và (4) suy ra p là ước số của 2!!~ 2 = 2046 = 2.3.11.31 0.25đ Xét các trường hợp: 0.25đ »® p=2,tacó 2” = 2(mod11) > 2”) =1(mod11) Theo định lý Fermat nhỏ,
2! =1(mod11) =2”? =1(mod11) >2”! =2(mod11), mâu thuẫn với trên z : _ Tae 0.25d » Chứng minh tương tự, ta cũng loại đi trường hợp p = 3 0.25đ * p=1l, taco gee = 2321 _ 9 = 2(29 + 1)(239 + 1) (28 + 1) (25 — 1) (219 — 2° + 1) (209 +25 4+ DD
Trong cách phân tích như trén, chi c6 2° + 1 chia hét cho 11 nhung lai
không chia hêt cho 121, trong khi các nhân tử còn lại không chia hêt cho 11 Vậy trường hợp này bị loại
0.25đ
5 Với p=31, ta kiểm tra xem
234° = 1(mod341)
có đúng hay không Điều này đúng theo định lý Fermat nhỏ
Vậy số nguyên tố cần tim 1a p = 31 0.25đ
Trang 539
Cau Hướng dân Điểm
4a_ | Gọi Q là điểm đôi xứng với G qua M 0.25đ € J Z| WN , | Ụ ƒ D TS , ses ® š x 5 1 x
Tứ giác BQCG là hình bình hành nên CQ || AB, ma AG= 5 GB= sọc nén AG | 0.25d
là đường trung bình của ADQC Do đó 4 là trung điểm CD và G là trọng
tâm của ABCD
Goi sla diém déi xứng của B qua A thi BCJD 1a hình vuông Duong thang | 0.25d
CG cắt BD tại F và cắt đường thăng JD tai T Dé thay F là trung diém BD,
từ đó suy ra BC = DT = DJ
Mặt khác, AJMC = ACFB, suy ra M7 L FC Do đó M,E, J thang hàng 0.25đ
Vậy ATEJ vuông ở E có D là trung điểm 77 nên TD = DJ = DE Suy ra | 0.25đ
DE= BC
4b | Klà trọng tâm ABC7 nên AK = 2KC: Vay GK || BC || TJ 0.25d
Trang 640
1 Con chỗn lây thức ăn tai A trước, tại B sau Khi này, con chồn phải di chuyển từ O đến A trước, rồi di chuyển từ A đến 5, và cuối cùng từ B
quay trổ về O Theo các tính toán nêu trên, ta dễ suy ra số bước con
chén can di chuyến ít nhất là 37 +44 + 45 = 126
2 Con chỗn lấy thức ăn tại A trước, tại B sau Tương tự như trên, ta
cũng suy ra tổng số bước con chồn cần di chuyển ít nhất là 126(=
d(O, A) + đ(A, B) + d(O, B))
Từ đây, ta suy ra con chén cần di chuyển ít nhất 126 bước Lời giải hoàn tất
Câu Hướng dân Điểm
5a_ | Ta gọi bước di chuyển từ điểm (x, y) đên các điểm (x + 1, y),(x- 1,y),(x,y+ | 0.25đ
1),(z, y— 1) lần lượt là bước đi loại 1,2,3,4
Giả sử con chồn đã di chuyển được từ điểm (35,88) Gọi xạ, x2, yì, y2 lần lượt | 0.25đ
là sô lần con chỗn thực hiện bước đi loại 1,2,3, 4 Suy ra
ni = Xo =35-0=35,y1 — 2 =88
> >35, yị > 88 = Xị + X2 + Yi + V2 2354+0+88+02 123
Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi xị = 35, yị = 88, x2 = yp = 0 Vay con ch6n cần | 0.25đ di chuyển ít nhât 123 bước
5b | Với hai điểm nguyên (X,Y) bât kì trên mặt phẳng tọa độ, ta gọi đ(X, Y) | 0.25đ là sô bước di ít nhất con chồn cần thực hiện để đi từ X đên Y Dê thây
d(X, Y) = d(Y,X) Dat A= (25, -12) va B = (6,-38) Ta can tinh d(O, A), d(A, B) va d(B, 0)
j fad a ah „ „| 0.25đ
« Tính đ (O,A): Gia su con chon dén được điểm A Goi xị, xa, yì, y lần
lượt là sô bước đi loại 1,2,3,4 mà con chồn thực hiện Suy ra
#I — Xa = 25, J2 T— ÿ\ = 2> xị >25, J› > 12 >2 xi +Xa+¡ +}ÿ2>25+0+0+12 =37
Dau bang xay ra khi va chi khi x; = 25, y2 = 12, x2 = y; = 0 Vay d(O, A) =
3%
» Tính đ(O, B): Tương tự như trên, ta suy ra đ(O, B) = |6—0|+|—38~0| = 44
« Tính đ(A,B): Giả sử con chỗn đi được từ điểm A đên điểm B Gọi xị,