Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2014 môn: toán; khối a­khối a1 ­khối b đề thi thử lần 2 thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề40919

TR www.VNMATH.com NG THPT CHUYÊN N C  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­   THI TH  L N 2   THI TH   I H C VÀ CAO   NG N M 2014  Mơn: TỐN; Kh i A­Kh i A1­Kh i B  Th i gian làm bài: 180 phút, khơng k  phát đ   I.  PH N CHUNG CHO T T C  CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)  Câu 1: (2,0  đi m)   Cho hàm s   y = x − 2mx 2  + 2  (1)  1)  Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  c a hàm s  (1) khi m = 1.  2)  Tìm t t c  giá tr  th c c a m đ  đ  th  c a hàm s  (1) có 3 c c tr  t o thành m t tam giác có đ ngo i ti p đi qua đi m  D  ;     5   Câu 2: (1,0 đi m)  Gi i ph ng trình l Câu 3: (1,0 đi m)  Gi i h  ph ng tròn  ng giác :  cos x + 3cos 2 x + cos 2  x + cos x = 2  4 + 9.3x2 − y = + x2 −2 y 7 2 y − x 2 + 2   ng trình :    x  + = x + y − x + 4  ( )  π 2  Câu 4: (1,0 đi m)  Tính tích phân :  I = ∫ sin x + cos x dx  + sin 2x π 4  Câu 5: (1,0 đi m)  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ (ABCD),  SA = a  Di n tích tam  2  giác SBC b ng  a  2  2   Tính th  tích kh i chóp S.ABCD theo  a  G i I, J l n l t là trung đi m các c nh SB và  SD. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AI và CJ.  Câu 6: (1,0 đi m)  Cho các s  th c không âm  a, b, c  th a  a + b + c = 3   Tìm giá tr  l n nh t c a bi u th c : ( P = a − ab + b )( b − bc + c )( c − ca + a 2  )  II.  PH N RIÊNG (3,0 đi m) Thí sinh ch  đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B).  A. Theo ch ng trình Chu n.  Câu 7a: (1,0 đi m)  Trong m t ph ng to  đ  Oxy, cho hai đ ng th ng  d1  : x + y + = 0 ;  d 2  : x − y − = 0 . L p  uuur uuur r  ph ng trình đ ng th ng qua đi m  M (1; − 1)  c t  d1 , d 2  t ng  ng t i A và B sao cho  2MA + MB = 0  x − y − z − 3  ;  Câu  8a:  (1,0 đi m)  Trong  không  gian  t a  đ   Oxyz , cho  hai  đ ng  th ng  c t  nhau  d1  :  = =  2 1  x − y − z − 2  , g i I  là giao đi m  c a chúng. Tìm t a đ  các đi m  A, B  l n  l = =  2  41  tam giác IAB cân t i I và có di n tích b ng  42  d 2  :  Câu 9a: (1,0 đi m)  Cho s  ph c z th a mãn  t thu c  d1 ; d 2  sao cho  z + 2 − i  = 2 . Tìm giá tr  nh  nh t và giá tr  l n nh t c a  z  z + 1 − i B. Theo ch ng trình Nâng cao.  Câu 7b. (1,0 đi m)  Trong m t ph ng to  đ  Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình đ ng cao AH : x = 3 3 ,  và  l n l t là  x − y = 0  và  x + y − = 0 . Bán kính  hai ph ng trình đ ng phân giác trong góc  đ ng  trịn  n i  ti p  tam  giác  b ng  3.  Vi t  ph ng  trình  các  c nh  c a  tam  giác  ABC,  bi t  đ nh  A  có  tung  đ   d ng.  Câu 8b. (1,0 đi m)  Trong không gian t a đ   Oxyz , cho ba đi m A(0;1;1) ; B(2;­1;1) ; C(4;1;1) và m t ph ng  uuur uuur uuuur  ( P ) : x + y + z − = 0   Tìm m M trên m t ph ng (P) sao cho  MA + 2 MB + MC đ t giá tr  nh  nh t.  n  Câu 9b. (1,0 đi m)  Tìm s  h ng khơng ch a x trong khai tri n c a nh  th c   1 3  + x 2   bi t r ng :  x   n  20  C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1  = − 1 .  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­H T­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Thí sinh khơng đ c s  d ng tài li u  Cán b  coi thi khơng gi i thích gì thêm  DeThiMau.vn www.VNMATH.com ÁP ÁN   THI TH   I  H C L N II KH I A­A1­B  N M  2014  Câu  N i dung  2  Câu  Cho hàm s   y = x − 2mx + 2  (1)  1  1) Kh o sát s  bi n thiên và v  đ th  c a hàm s (1) khi m = 1.  Khi m = 1 ta có  y = x − x 2  + 2  y = +∞  ;  lim  y = +∞ •  TX  : D = R ;  x lim  →+∞ x →−∞ i m  (2 đi m)  0.25   x = ⇒ y = 2   x = ±1 ⇒ y = 1  0.25  •  y ' = x3 − x = x( x 2  − 1) = 0 ⇔  •  B ng bi n thiên:  –∞ x  +∞ ­  y ′  0  − 1 0  +  0  +∞  +∞  y 1  ­  0  1  0.25  +  1  Hàm s   B trên các kho ng  (−1; 0),(1; +∞ ) , NB trên các kho ng  (−∞; − 1),(0;1) Hàm s  đ t c c đ i : yC   = 2 t i xC   = 0. Hàm s  đ t c c ti u  yCT  = 1  t i  xCT  = ± 1  •   th   2) Tìm t t c  giá tr  th c c a m đ  đ th  c a hàm s (1) có 3 c c tr  t o thành  3 9 ng tròn ngo i ti p đi qua đi m  D  ;     5   2  y ' = x − 4mx = x( x − m) .  i u ki n có 3 c c tr  là m > 0  m t tam giác có đ Khi đó 3 c c tr  là A ( 0; ) ; B A  Tâm I c a đ ( ) (  0.25  0.25  )  m ; − m + ;C − m ; − m 2  + 2  Tam giác ABC cân t i  0.25  ng tròn (ABC) n m trên tr c tung  ⇒  I (0; y)  Ta có  IA = IB ⇒ I  0; 2 − m 2  − 0.25  1    2 m   3 9 0.25  1 1  2     2  ng tròn (ABC) qua  D  ;  ⇔ ID = IA ⇔   +  − m −  =  m  +  2m   2 m   5 5  5   2  1  − 1  m + − = ⇔ m = 1  ho c  m =  (do m > 0)  2 m 2  Gi i ph ng trình l ng giác :  cos x + 3cos 2 x + cos 2  x + cos x = 2  Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i :  cos x + cos x + cos x + = 0  ⇔ Câu  2  DeThiMau.vn (1 đi m)  0.25  0.25+0.25 www.VNMATH.com t = −1 ng trình :  2t + 3t  − = 0 ⇔  ⇔ t =  t  t = cox 2x ta có ph Ph ng trình đã cho có nghi m :  x = Câu  Gi i h  ph 3  2  π ( 2  + kπ ;  x = ± )  π 6  cos x = −1   1   cos 2 x =   2  + kπ  + 9.3x − y = + x − y y − x 2 + 2   (1)  ng trình :   4 x  + = x + y − x +             (2)  k :  x − y + ≥ 0    0.25  (1 đi m)  t  t = x 2  − 2 y ( )  (1) ⇔ + 3t + = + 9 t 7 2 − t ⇔ x + 3t + + 3 2 t  = ⇔ f (t + 2) =  f (2t )  7t + 7 2 t  0.25  x  + x  3  Trong đó  f ( x) = x  = 4   +   là hàm s  gi m trên R     7   Do đó ta có :  t + = 2t ⇔ t = ⇔ x 2  − y = 2  T  đó  (1) ⇔ y = x 2  − 2  thay vào ph ng trình (2) ta có :  0.25  x + = x + x − x + ⇔ x −1 = x − + ( x − 1) 2  + 1  t  u = x − 1  khi đó  (2) ⇔ 4u  = u + u 2  + 1  ( )( )  M t khác ta có u + u + −u + u 2  + = 1  và  4−u  = −u + u 2  + 1  Nên ta có ph ng trình :  4u − 4− u  − 2u = 0  (3)  Xét hàm s  :  g (u ) = 4u − 4− u  − 2u   ;  ∀u ∈ ℝ  ta có :  0.25  g '(u ) = (4u + 4− u ) ln − > 0  ;  ∀u ∈ ℝ  Nên hs g(u) ln đ ng bi n trên R, ngồi ra ta có : g(0) = 0 nên pt (3) có nghi m  1  2  duy nh t u = 0. Khi đó ta có :  x = 1 ⇒ y = −  0.25  ng trình đã cho có m t nghi m :  ( x; y) = 1; − 1  V y h  ph  Câu  Tính tích phân : I = sin x + cos x dx 4  ∫ 2   π π I = π ∫ π sin x + cos x + sin 2x  dx = π ∫ π + sin 2x  sin x + cos x − (1 − sin 2x)  dx 0.25  t t = sinx – cosx ⇒  dt =  (cosx + sinx)dx  .  i c n :  x = π ⇒  t = 1 ;  x = π ⇒  t = 0 ⇒  I = ∫ dt − t 2 (1 đi m)  0.25  ,   t t = 2sinu ;  u ∈  0; π  ⇒  dt = cosu du   2  0.25  i c n :  t = 0 ⇒ u = 0 , t = 1 ⇒ u = π ⇒ I = π ∫ cos udu π cos u du = u =∫ 2 2 cos u − sin u  π π = Câu  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Di n  2  5  tích tam giác SBC b ng  a  2  2  Tính th  tích kh i chóp S.ABCD theo a.  G i x là đ  dài c nh hình vng ABCD. Tam giác SBC vng t i B có  DeThiMau.vn 0.25  (1đi m) www.VNMATH.com S SBC  = 0.25  2  1 a  2  SB.BC = x.  a + x 2  = ⇔ x = a 2 2  1  V y :  VS  ABCD = S ABCD . SA =  a 3  (đvtt)  3  0.25  G i I, J l n l t là trung đi m các c nh SB và SD. Tính kho ng cách gi a hai  đ ng th ng AI và CJ.  D ng h  tr c Axyz nh  hình v  ta có : A(0;0;0); C(a;a;0); I  a ;0; a  ; J  0; a ; a  2    2   2 uur uuur uuur  AI , CJ  AC    d ( AI , CJ ) = uur uuur   AI , CJ    uur uuur    0.25  S 3 a a 2   ;− ; −  4    3  a  2  =  2 a  11a 2  11  4  V i   AI , CJ  =  a d ( AI , CJ ) = z  uuur  J  ;  AC = ( a; a; 0)  a  I  D  y  A  B  0.25  C  x  Câu  Cho các s  th c không âm a, b, c th a  a + b + c = 3   Tìm giá tr  l n nh t c a bi u  6  th c : ( P = a − ab + b )( b − bc + c )( c − ca + a 2  (1 đi m)  )  Khơng m t tính t ng qt, ta gi  s  :  ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3   a (a − b ) ≤ 0  a − ab + b ≤ b 2  ⇔ 2 2   a (a − c ) ≤ 0   a − ac + c ≤ c Suy ra   0.25  Do đó P ≤ b c ( b − bc + c ) = b c ( (b + c) − 3 bc )  2 2 2 2  a + b + c = 3  T    ta có  b + c ≤ a + b + c = 3   0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3  0.25  Do đó :  bc ≤ b + c ≤ ⇔ 0 ≤ bc ≤  9  4  T  đó : P ≤ b c ( − 3bc ) = 9b c − 3b c = 9t − 3 t v i  t = bc ;  0 ≤ t ≤  9  4  2 2 3 L p BBT hs :  f (t ) = 9t − 3 t 3  v i  ≤ t ≤  9  ta đ 3  2  A ∈ d1 ⇒ A(t1 ; −1 − t1 )  ;  B ∈ d ⇒ B(t2 ; −1 + 2t2 )  uuur uuur r   2(t1 − 1) + (t 2  − 1) = 0  ⇔ t1 = t 2  = 1  MA + MB = ⇔  2(−1 − t1 + 1) + (−1 + t 2 + 1) = 0  Ph ng trình đ 0.25  c  f (t ) ≤ 12 ⇒ P ≤ 12  V y : Max P = 12 đ t đ c t i  ( a; b; c ) = (0;1; 2)  và các hoán v  c a chúng  Câu  Cho hai đ ng th ng  d1  : x + y + = 0 ;  d 2  : x − y − = 0 . L p ph ng trình đ ng  uuur r  7a  th ng qua đi m  M (1; − 1)  c t  d , d  t ng ng t i A và B sao cho  2uuur MA + MB = 0  0.25  ng th ng qua AB c n tìm là : x = 1.  x − y − z − 3  x − y − z − 2  Câu  Cho  , g i I là giao đi m c a chúng.  ;  d 2  :  d1  :  = =  = =  8a  2 1  2  Tìm t a đ  các đi m A, B l n l t ∈ d1 ; d 2  sao cho D IAB cân t i I và có di n tích  b ng  41  (1 đi m)  0.25  0.25+0.25  0.25  (1 đi m)  0.25  42  Giao đi m I(1; 1; 2)  ur  uur  d 1  có VTCP  u1  = (2; 2;1)  ;  d 2  có VTCP  u2  = (6;3; 2)  DeThiMau.vn www.VNMATH.com G i ϕ  là góc gi S IAB  = ur uur u1  u 2  a  d1 ; d 2 , ta có :  cos ϕ = ur uur  = 20 ⇒ sin ϕ = 41  21  u1  u2  21 0.25  41  IA.IB.sin ϕ = ⇒ IA = IB = 1  42  A ∈ d1  ⇒ A(3 + 2t ;3 + 2t ;3 + t )  ;  4  IA = ⇔ (2 + t) + (2 + t) + (1 + t) 2  = 1 ⇔ t = − ∨ t = −  3  2  4  V i  t = −  ta đ c  A  ; ; 7  , v i  t = −  ta đ c  A  ; ; 5  3  3   3 3    3 3   T ng t , ta tìm đ c  B  13 ; 10 ; 16  và  B  ; ; 12   7 7     7 7    V y tìm đ c 4 c p đi m A, B nh  sau :   5 7   13 10 16  A  ; ;   và  B  ; ;    3 3    7 7     1 5  13 10 16  A  ; ;   và  B  ; ;   3 3      7 7    5 7  0.25  0.25  12  ;  A  ; ;   và  B  ; ;    3 3    7 7    ;  A  ; ; 5  và  B  ; ; 12   3 3    7 7    (1 đi m)  Câu  z + 2 − i  Cho s  ph c z th a mãn  = 2 . Tìm giá tr  nh  nh t và giá tr  l n nh t c a  9a  z + 1 − i z  Gi  s   z = x +  yi  T  gt  0.25  z + 2 − i  = 2  ⇔ x + + ( y − 1)i = x + − ( y + 1) i z + 1 − i ⇔ ( x + 2)2 + ( y − 1) = ( ( x + 1) + ( y + 1)2 ) ⇔ x + ( y + 3)2  = 10  T p h p bi u di n c a z là đ ng trịn tâm I(0;­3) bán kính  R =  10   G i M là  m bi u di n c a z. Ta có :  IM − IO ≤ OM ≤ IM + IO ⇔ 10 − ≤ OM ≤ 10 + 3  0.25  0.25  0.25  z min  ⇔ OM min  = 10 − 3  ;  z max  ⇔ OM max  = 10 + 3  (1 đi m)  Câu  Tam giác ABC, đ ng cao AH: x = 3 3 , ph ng trình đ ng phân giác trong góc  7b và  l n l t là  x − y = 0  và  x + y − = 0 . Bán kính đ ng trịn n i  ti p tam giác b ng 3. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC, bi t đ nh A có  tung đ  d ng.  0.25  •  Ch ng minh tam giác ABC đ u •  Do đ ng cao AH :  x = 3 3  nên đt BC song song ho c trùng v i tr c hồnh  0.25  Ox. Tâm đ ng trịn n i ti p  I (3 3;3) , bán kính b ng 3 ⇒  pt BC : y = 0 ho c  y = 6 0.25  •  N u pt BC : y = 6 thì tung đ  c a A b ng ­3 (lo i) ⇒  pt BC : y = 0. T a đ  các  0.25  m B(0; 0);  C(6 3; 0) •  ng th ng AB có h  s  góc  k =  3 , đ ng th ng AC có h  s  góc  k ' = −  3 .  Ph ng trình l n l t là  y =  3 x và  y = − x + 18  (1 đi m)  Câu  Cho ba đi m A(0;1;1) ; B(2;­1;1) ; C(4;1;1) và m t ph ng  ( P ) : x + y + z − = 0    uuur uuur uuuu r   8b  Tìm m M trên m t ph ng (P) sao cho  MA + 2 MB + MC đ t giá tr  nh  nh t.  G i I, J, K l n l t là trung đi m AB, BC, IJ, ta có I(1;0;1) ; J(3;0;1) ; K(2;0;1)  uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur  Khi đó  T = MA + MB + MC = ( MA + MB ) + ( MB + MC ) = MI + MJ = 4  MK 0.25  Nh  v y : T đ t GTNN khi M là hình chi u c a K trên (P)  0.25  DeThiMau.vn 0.25  0.25 www.VNMATH.com  x = 2 + t  Ta có pt đt qua K và vng góc (P) là d :  y = t  Giao c a d và (P) là M(3;1;2)   z = 1 + t   Câu  Tìm s  h ng khơng ch a x trong khai tri n c a nh  th c   1  + x 2  n  bi t r ng :   3   x   9b  (1 đi m)  C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + + C2n n +1  = 220  − 1  Theo tính ch t c a  C n k  ta có :  C21n +1 = C22nn+1 ;   C22n +1 = C22nn+−11  ;     C2nn +1 = C2n n ++1 1  Do đó :  (C21n+1 + C22n +1 + + C2nn +1 ) + (C2nn++11 + C2nn++21 + + C22n n +1 ) = 2(220  − 1)  (1)  M t khác ta có  C20n +1 = C 22n n ++1 1  = 1  nên  (1) ⇔ C20n +1 + C21 n +1 + C22n +1 + + C22nn+1 + C22n n ++1 1 = 2 21  ⇔ 2 n +1 = 21  ⇔ n = 10  0.25  0.25  10  10 10  1  Khai tri n   3  + x  = ∑ C10k ( x −3 )10− k ( x ) k = ∑ C10 k x 5k −30  x  k =0 k = 0  Cho  5k − 30 = ⇔ k = 6 . V y s  h ng không ch a x là s  h ng th  7 và  6  T7 = C10  = 210  DeThiMau.vn 0.25  0.25