TR www.VNMATH.com NG THPT CHUYÊN N C THI TH L N 2 THI TH I H C VÀ CAO NG N M 2014 Mơn: TỐN; Kh i AKh i A1Kh i B Th i gian làm bài: 180 phút, khơng k phát đ I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m) Câu 1: (2,0 đi m) Cho hàm s y = x − 2mx 2 + 2 (1) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. 2) Tìm t t c giá tr th c c a m đ đ th c a hàm s (1) có 3 c c tr t o thành m t tam giác có đ ngo i ti p đi qua đi m D ; 5 Câu 2: (1,0 đi m) Gi i ph ng trình l Câu 3: (1,0 đi m) Gi i h ph ng tròn ng giác : cos x + 3cos 2 x + cos 2 x + cos x = 2 4 + 9.3x2 − y = + x2 −2 y 7 2 y − x 2 + 2 ng trình : x + = x + y − x + 4 ( ) π 2 Câu 4: (1,0 đi m) Tính tích phân : I = ∫ sin x + cos x dx + sin 2x π 4 Câu 5: (1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ (ABCD), SA = a Di n tích tam 2 giác SBC b ng a 2 2 Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a G i I, J l n l t là trung đi m các c nh SB và SD. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AI và CJ. Câu 6: (1,0 đi m) Cho các s th c không âm a, b, c th a a + b + c = 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ( P = a − ab + b )( b − bc + c )( c − ca + a 2 ) II. PH N RIÊNG (3,0 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B). A. Theo ch ng trình Chu n. Câu 7a: (1,0 đi m) Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hai đ ng th ng d1 : x + y + = 0 ; d 2 : x − y − = 0 . L p uuur uuur r ph ng trình đ ng th ng qua đi m M (1; − 1) c t d1 , d 2 t ng ng t i A và B sao cho 2MA + MB = 0 x − y − z − 3 ; Câu 8a: (1,0 đi m) Trong không gian t a đ Oxyz , cho hai đ ng th ng c t nhau d1 : = = 2 1 x − y − z − 2 , g i I là giao đi m c a chúng. Tìm t a đ các đi m A, B l n l = = 2 41 tam giác IAB cân t i I và có di n tích b ng 42 d 2 : Câu 9a: (1,0 đi m) Cho s ph c z th a mãn t thu c d1 ; d 2 sao cho z + 2 − i = 2 . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a z z + 1 − i B. Theo ch ng trình Nâng cao. Câu 7b. (1,0 đi m) Trong m t ph ng to đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình đ ng cao AH : x = 3 3 , và l n l t là x − y = 0 và x + y − = 0 . Bán kính hai ph ng trình đ ng phân giác trong góc đ ng trịn n i ti p tam giác b ng 3. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC, bi t đ nh A có tung đ d ng. Câu 8b. (1,0 đi m) Trong không gian t a đ Oxyz , cho ba đi m A(0;1;1) ; B(2;1;1) ; C(4;1;1) và m t ph ng uuur uuur uuuur ( P ) : x + y + z − = 0 Tìm m M trên m t ph ng (P) sao cho MA + 2 MB + MC đ t giá tr nh nh t. n Câu 9b. (1,0 đi m) Tìm s h ng khơng ch a x trong khai tri n c a nh th c 1 3 + x 2 bi t r ng : x n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − 1 . H T Thí sinh khơng đ c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm DeThiMau.vn www.VNMATH.com ÁP ÁN THI TH I H C L N II KH I AA1B N M 2014 Câu N i dung 2 Câu Cho hàm s y = x − 2mx + 2 (1) 1 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. Khi m = 1 ta có y = x − x 2 + 2 y = +∞ ; lim y = +∞ • TX : D = R ; x lim →+∞ x →−∞ i m (2 đi m) 0.25 x = ⇒ y = 2 x = ±1 ⇒ y = 1 0.25 • y ' = x3 − x = x( x 2 − 1) = 0 ⇔ • B ng bi n thiên: –∞ x +∞ y ′ 0 − 1 0 + 0 +∞ +∞ y 1 0 1 0.25 + 1 Hàm s B trên các kho ng (−1; 0),(1; +∞ ) , NB trên các kho ng (−∞; − 1),(0;1) Hàm s đ t c c đ i : yC = 2 t i xC = 0. Hàm s đ t c c ti u yCT = 1 t i xCT = ± 1 • th 2) Tìm t t c giá tr th c c a m đ đ th c a hàm s (1) có 3 c c tr t o thành 3 9 ng tròn ngo i ti p đi qua đi m D ; 5 2 y ' = x − 4mx = x( x − m) . i u ki n có 3 c c tr là m > 0 m t tam giác có đ Khi đó 3 c c tr là A ( 0; ) ; B A Tâm I c a đ ( ) ( 0.25 0.25 ) m ; − m + ;C − m ; − m 2 + 2 Tam giác ABC cân t i 0.25 ng tròn (ABC) n m trên tr c tung ⇒ I (0; y) Ta có IA = IB ⇒ I 0; 2 − m 2 − 0.25 1 2 m 3 9 0.25 1 1 2 2 ng tròn (ABC) qua D ; ⇔ ID = IA ⇔ + − m − = m + 2m 2 m 5 5 5 2 1 − 1 m + − = ⇔ m = 1 ho c m = (do m > 0) 2 m 2 Gi i ph ng trình l ng giác : cos x + 3cos 2 x + cos 2 x + cos x = 2 Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i : cos x + cos x + cos x + = 0 ⇔ Câu 2 DeThiMau.vn (1 đi m) 0.25 0.25+0.25 www.VNMATH.com t = −1 ng trình : 2t + 3t − = 0 ⇔ ⇔ t = t t = cox 2x ta có ph Ph ng trình đã cho có nghi m : x = Câu Gi i h ph 3 2 π ( 2 + kπ ; x = ± ) π 6 cos x = −1 1 cos 2 x = 2 + kπ + 9.3x − y = + x − y y − x 2 + 2 (1) ng trình : 4 x + = x + y − x + (2) k : x − y + ≥ 0 0.25 (1 đi m) t t = x 2 − 2 y ( ) (1) ⇔ + 3t + = + 9 t 7 2 − t ⇔ x + 3t + + 3 2 t = ⇔ f (t + 2) = f (2t ) 7t + 7 2 t 0.25 x + x 3 Trong đó f ( x) = x = 4 + là hàm s gi m trên R 7 Do đó ta có : t + = 2t ⇔ t = ⇔ x 2 − y = 2 T đó (1) ⇔ y = x 2 − 2 thay vào ph ng trình (2) ta có : 0.25 x + = x + x − x + ⇔ x −1 = x − + ( x − 1) 2 + 1 t u = x − 1 khi đó (2) ⇔ 4u = u + u 2 + 1 ( )( ) M t khác ta có u + u + −u + u 2 + = 1 và 4−u = −u + u 2 + 1 Nên ta có ph ng trình : 4u − 4− u − 2u = 0 (3) Xét hàm s : g (u ) = 4u − 4− u − 2u ; ∀u ∈ ℝ ta có : 0.25 g '(u ) = (4u + 4− u ) ln − > 0 ; ∀u ∈ ℝ Nên hs g(u) ln đ ng bi n trên R, ngồi ra ta có : g(0) = 0 nên pt (3) có nghi m 1 2 duy nh t u = 0. Khi đó ta có : x = 1 ⇒ y = − 0.25 ng trình đã cho có m t nghi m : ( x; y) = 1; − 1 V y h ph Câu Tính tích phân : I = sin x + cos x dx 4 ∫ 2 π π I = π ∫ π sin x + cos x + sin 2x dx = π ∫ π + sin 2x sin x + cos x − (1 − sin 2x) dx 0.25 t t = sinx – cosx ⇒ dt = (cosx + sinx)dx . i c n : x = π ⇒ t = 1 ; x = π ⇒ t = 0 ⇒ I = ∫ dt − t 2 (1 đi m) 0.25 , t t = 2sinu ; u ∈ 0; π ⇒ dt = cosu du 2 0.25 i c n : t = 0 ⇒ u = 0 , t = 1 ⇒ u = π ⇒ I = π ∫ cos udu π cos u du = u =∫ 2 2 cos u − sin u π π = Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Di n 2 5 tích tam giác SBC b ng a 2 2 Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. G i x là đ dài c nh hình vng ABCD. Tam giác SBC vng t i B có DeThiMau.vn 0.25 (1đi m) www.VNMATH.com S SBC = 0.25 2 1 a 2 SB.BC = x. a + x 2 = ⇔ x = a 2 2 1 V y : VS ABCD = S ABCD . SA = a 3 (đvtt) 3 0.25 G i I, J l n l t là trung đi m các c nh SB và SD. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AI và CJ. D ng h tr c Axyz nh hình v ta có : A(0;0;0); C(a;a;0); I a ;0; a ; J 0; a ; a 2 2 2 uur uuur uuur AI , CJ AC d ( AI , CJ ) = uur uuur AI , CJ uur uuur 0.25 S 3 a a 2 ;− ; − 4 3 a 2 = 2 a 11a 2 11 4 V i AI , CJ = a d ( AI , CJ ) = z uuur J ; AC = ( a; a; 0) a I D y A B 0.25 C x Câu Cho các s th c không âm a, b, c th a a + b + c = 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u 6 th c : ( P = a − ab + b )( b − bc + c )( c − ca + a 2 (1 đi m) ) Khơng m t tính t ng qt, ta gi s : ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3 a (a − b ) ≤ 0 a − ab + b ≤ b 2 ⇔ 2 2 a (a − c ) ≤ 0 a − ac + c ≤ c Suy ra 0.25 Do đó P ≤ b c ( b − bc + c ) = b c ( (b + c) − 3 bc ) 2 2 2 2 a + b + c = 3 T ta có b + c ≤ a + b + c = 3 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3 0.25 Do đó : bc ≤ b + c ≤ ⇔ 0 ≤ bc ≤ 9 4 T đó : P ≤ b c ( − 3bc ) = 9b c − 3b c = 9t − 3 t v i t = bc ; 0 ≤ t ≤ 9 4 2 2 3 L p BBT hs : f (t ) = 9t − 3 t 3 v i ≤ t ≤ 9 ta đ 3 2 A ∈ d1 ⇒ A(t1 ; −1 − t1 ) ; B ∈ d ⇒ B(t2 ; −1 + 2t2 ) uuur uuur r 2(t1 − 1) + (t 2 − 1) = 0 ⇔ t1 = t 2 = 1 MA + MB = ⇔ 2(−1 − t1 + 1) + (−1 + t 2 + 1) = 0 Ph ng trình đ 0.25 c f (t ) ≤ 12 ⇒ P ≤ 12 V y : Max P = 12 đ t đ c t i ( a; b; c ) = (0;1; 2) và các hoán v c a chúng Câu Cho hai đ ng th ng d1 : x + y + = 0 ; d 2 : x − y − = 0 . L p ph ng trình đ ng uuur r 7a th ng qua đi m M (1; − 1) c t d , d t ng ng t i A và B sao cho 2uuur MA + MB = 0 0.25 ng th ng qua AB c n tìm là : x = 1. x − y − z − 3 x − y − z − 2 Câu Cho , g i I là giao đi m c a chúng. ; d 2 : d1 : = = = = 8a 2 1 2 Tìm t a đ các đi m A, B l n l t ∈ d1 ; d 2 sao cho D IAB cân t i I và có di n tích b ng 41 (1 đi m) 0.25 0.25+0.25 0.25 (1 đi m) 0.25 42 Giao đi m I(1; 1; 2) ur uur d 1 có VTCP u1 = (2; 2;1) ; d 2 có VTCP u2 = (6;3; 2) DeThiMau.vn www.VNMATH.com G i ϕ là góc gi S IAB = ur uur u1 u 2 a d1 ; d 2 , ta có : cos ϕ = ur uur = 20 ⇒ sin ϕ = 41 21 u1 u2 21 0.25 41 IA.IB.sin ϕ = ⇒ IA = IB = 1 42 A ∈ d1 ⇒ A(3 + 2t ;3 + 2t ;3 + t ) ; 4 IA = ⇔ (2 + t) + (2 + t) + (1 + t) 2 = 1 ⇔ t = − ∨ t = − 3 2 4 V i t = − ta đ c A ; ; 7 , v i t = − ta đ c A ; ; 5 3 3 3 3 3 3 T ng t , ta tìm đ c B 13 ; 10 ; 16 và B ; ; 12 7 7 7 7 V y tìm đ c 4 c p đi m A, B nh sau : 5 7 13 10 16 A ; ; và B ; ; 3 3 7 7 1 5 13 10 16 A ; ; và B ; ; 3 3 7 7 5 7 0.25 0.25 12 ; A ; ; và B ; ; 3 3 7 7 ; A ; ; 5 và B ; ; 12 3 3 7 7 (1 đi m) Câu z + 2 − i Cho s ph c z th a mãn = 2 . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a 9a z + 1 − i z Gi s z = x + yi T gt 0.25 z + 2 − i = 2 ⇔ x + + ( y − 1)i = x + − ( y + 1) i z + 1 − i ⇔ ( x + 2)2 + ( y − 1) = ( ( x + 1) + ( y + 1)2 ) ⇔ x + ( y + 3)2 = 10 T p h p bi u di n c a z là đ ng trịn tâm I(0;3) bán kính R = 10 G i M là m bi u di n c a z. Ta có : IM − IO ≤ OM ≤ IM + IO ⇔ 10 − ≤ OM ≤ 10 + 3 0.25 0.25 0.25 z min ⇔ OM min = 10 − 3 ; z max ⇔ OM max = 10 + 3 (1 đi m) Câu Tam giác ABC, đ ng cao AH: x = 3 3 , ph ng trình đ ng phân giác trong góc 7b và l n l t là x − y = 0 và x + y − = 0 . Bán kính đ ng trịn n i ti p tam giác b ng 3. Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC, bi t đ nh A có tung đ d ng. 0.25 • Ch ng minh tam giác ABC đ u • Do đ ng cao AH : x = 3 3 nên đt BC song song ho c trùng v i tr c hồnh 0.25 Ox. Tâm đ ng trịn n i ti p I (3 3;3) , bán kính b ng 3 ⇒ pt BC : y = 0 ho c y = 6 0.25 • N u pt BC : y = 6 thì tung đ c a A b ng 3 (lo i) ⇒ pt BC : y = 0. T a đ các 0.25 m B(0; 0); C(6 3; 0) • ng th ng AB có h s góc k = 3 , đ ng th ng AC có h s góc k ' = − 3 . Ph ng trình l n l t là y = 3 x và y = − x + 18 (1 đi m) Câu Cho ba đi m A(0;1;1) ; B(2;1;1) ; C(4;1;1) và m t ph ng ( P ) : x + y + z − = 0 uuur uuur uuuu r 8b Tìm m M trên m t ph ng (P) sao cho MA + 2 MB + MC đ t giá tr nh nh t. G i I, J, K l n l t là trung đi m AB, BC, IJ, ta có I(1;0;1) ; J(3;0;1) ; K(2;0;1) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur Khi đó T = MA + MB + MC = ( MA + MB ) + ( MB + MC ) = MI + MJ = 4 MK 0.25 Nh v y : T đ t GTNN khi M là hình chi u c a K trên (P) 0.25 DeThiMau.vn 0.25 0.25 www.VNMATH.com x = 2 + t Ta có pt đt qua K và vng góc (P) là d : y = t Giao c a d và (P) là M(3;1;2) z = 1 + t Câu Tìm s h ng khơng ch a x trong khai tri n c a nh th c 1 + x 2 n bi t r ng : 3 x 9b (1 đi m) C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + + C2n n +1 = 220 − 1 Theo tính ch t c a C n k ta có : C21n +1 = C22nn+1 ; C22n +1 = C22nn+−11 ; C2nn +1 = C2n n ++1 1 Do đó : (C21n+1 + C22n +1 + + C2nn +1 ) + (C2nn++11 + C2nn++21 + + C22n n +1 ) = 2(220 − 1) (1) M t khác ta có C20n +1 = C 22n n ++1 1 = 1 nên (1) ⇔ C20n +1 + C21 n +1 + C22n +1 + + C22nn+1 + C22n n ++1 1 = 2 21 ⇔ 2 n +1 = 21 ⇔ n = 10 0.25 0.25 10 10 10 1 Khai tri n 3 + x = ∑ C10k ( x −3 )10− k ( x ) k = ∑ C10 k x 5k −30 x k =0 k = 0 Cho 5k − 30 = ⇔ k = 6 . V y s h ng không ch a x là s h ng th 7 và 6 T7 = C10 = 210 DeThiMau.vn 0.25 0.25