PHẦN B Tailieumontoan com Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 TẬP 2 Sưu Tầm Website tailieumontoan com HÌNH HỌC – TẬP 2 CHUYÊN ĐỀ 3 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 4 CHỦ ĐỀ 1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT 4 Dạng 1 Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng 4 Dạng 2 Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng 5 Dạng 3 Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước 6 CHỦ ĐỀ 2 ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊN[.]
Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và các tính chất của tỉ lệ thức
1A Trên tia Ax lấy các điểm B, C, D theo thứ tự đó sao cho: AB 2cm,BC 4cm= = và CD 8cm= a) Tính các tỉ số AB
CD b) Chứng minh BC 2 CD
1B Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho AB 3
CD = 6 a) Tính tỉ số AB
CD b) Cho biết AD 28cm= Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD
2A Cho tam giác ABC và các điểm D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho AD AE
AB = AC a) Chứng minh AD AE
BD = EC b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm= = và AE 4cm= Tính AC
AB = AC a) Chứng minh AD AE
AB = AC b) Cho biết AD,m, BDm và
Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:
Bước 1 Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét
Bước 2 Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tính
Trong tam giác ACE, với AC dài 11cm, đặt điểm B trên cạnh AC sao cho BC bằng 6cm Tiếp theo, chọn điểm D trên cạnh AE sao cho DB vuông góc với EC Giả sử tổng độ dài AE và ED là 25,5cm, hãy tính tỉ số DE.
AE; b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD
Trong tam giác ABC, với độ dài cạnh AB là 11cm, ta đặt điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 4cm Tiếp theo, điểm E được lấy trên cạnh AC với điều kiện DE song song với BC Giả sử độ dài EC - AE = 1,5cm, cần tính tỉ số AE.
EC; b) Độ dài các đoạn thẳng AE,EC và AC
4A Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho BD 3
BC = 4, điểm E trên đoạn AD sao cho AE 1
AD =3 Gọi K là giao điểm của BE và AC Tính tỉ số AK
4B Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho 1
= 4 Gọi E là giao điểm của AG và BD Tính tỉ số DE
Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét
Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh được hệ thức đề bài yêu cầu
5A Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Một đường thẳng song song với AB cắt các cạnh bên
AD, BC theo thứ tự ở E và F Chứng minh ED BF
Trong hình thang ABCD với hai đáy AB và CD, các đường chéo cắt nhau tại O, ta cần chứng minh rằng OA.OD = OB.OC Trong tam giác ABC, với AM là trung tuyến và E thuộc đoạn thẳng MC, ta tiến hành vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại D và AM tại K, đồng thời vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F, từ đó chứng minh CF = DK Đối với tam giác nhọn ABC, với M là trung điểm của BC và H là trực tâm, ta xét đường thẳng qua H vuông góc với MH, cắt AB tại I và AC tại K Vẽ đường thẳng song song với IK qua C, cắt AH và AB tại N và D, từ đó chứng minh rằng NC/ND = HI/HK.
7 Cho đoạn thẳng AB 42cm= và điểm C thuộc đoạn thẳng đó sao cho CA 2
CB = 5 Tính độ dài các đoạn
CA, CB và khoảng cách từ C đến trung điểm O của AB
Cho tam giác ABC với điểm M bất kỳ trên cạnh AB Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N Biết rằng AM = 11cm, MB = 8cm và AC = 38cm, cần tính độ dài các đoạn AN và NC.
Cho xAy, trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho FD // EG Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax tại H Cần chứng minh rằng AE = 2.AH.
Trong hình bình hành ABCD, chọn điểm E bất kỳ trên cạnh AB Từ E, vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC tại điểm F, và vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại điểm H Đường thẳng đi qua F sẽ song song với đường thẳng còn lại trong hình.
BD cắt CD ở G Chứng minh AH.CD AD.CG. HƯỚNG DẪN
CD b) Ta có BC 2 = AB CD cm 2
CD b) Ta tính được AB=6cm BC, cm và CDcm
2A a) Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có: AD AE
⇒ = (ĐPCM) b) Ta có AD AE
BD = EC Thay số ta tính được EC=2cm
Từ đó tìm được AC=6cm
2B Tương tự 2A a) HS tự làm b) Tìm được 4
3A a) Theo định lý Ta-lét trong ∆ACE, ta có:
AE = AC ⇒ AE = b) Cách 1 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
+ Từ đó tính được AE, 5cm DE; =9cm và AD=7, 5cm
Cách 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Cách 3 Thay DE%, 5−AE vào 6
AE 3B Tương tự 3A HS tự làm Đáp số: AE=2cm EC; =3, 5cm và AC=5, 5cm
4A Kẻ DM / / BK M ( ∈ AC ) Áp dụng định lý Ta-lét trong ∆CBK, ta có:
Tương tự với ∆ ADM , ta có: 1
KC 4B Chú ý DC= AB nên 1 1
AB = EB = ⇒ DB 5A Ta có: ED FC
AD = BC nên ED BF FC BF 1
AD+BC = BC+BC 5B Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có: OA OB
Từ đó suy ra ĐPCM
6A Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó:
Kẻ MG//AC (G ∈ AB), ta được G là trung điểm của AB Áp dụng định lý Ta-lét trong ∆ABC, ta có: CF AC
EF = AB (2) Tương tự với ∆AGM và ∆ABC, ta có:
Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK
6B a) Chứng minh được M là trực tâm ∆HNCnên:
Trong bài toán này, từ giả thiết MN ⊥ HC, ta có thể suy ra rằng MN // AB và MN // DB Theo tính chất của đường trung bình, điểm N là trung điểm của đoạn thẳng CD Ngoài ra, với IH // DN và HK // NC, chúng ta có thể tiến hành chứng minh các mối quan hệ hình học liên quan.
DN = NC Từ đó suy ra HI = HK
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7 Tính được CAcm CB, 0cm CO, =9cm
8 Tương tự 2A Tính được AN = 22cm, NC = 16cm
Từ đó suy ra ĐPCM
10 Áp dụng định lý Ta-lét trong các
Từ đó ⇒AH CD =AD CG
CHỦ ĐỀ 2 ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET
Định lý Ta – lét đảo khẳng định rằng, nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trên hai cạnh này, thì đường thẳng đó sẽ song song với cạnh còn lại của tam giác.
Định lý Ta – lét cho biết rằng khi một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại, nó sẽ tạo ra một tam giác mới Tam giác này có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác ban đầu.
Hệ quả trên cũng áp dụng khi đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại, cụ thể là các đoạn AD, AE và DE.
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta – let để chứng minh các đoạn thẳng song song
1A Cho hình thang ABCD ( AB CD ) Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD là M và N Chứng minh: MN, AB và CD song song với nhau
1B Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC 4CM.= Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho
AN = 3 Chứng minh MN song song với AB.
Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:
Để giải quyết bài toán, đầu tiên, chúng ta xét một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và sử dụng hệ quả để thiết lập các đoạn thẳng tỉ lệ Tiếp theo, bằng cách áp dụng các tỉ số đã có cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, chúng ta có thể tính toán độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Trong tam giác ABC với cạnh BC = m, ta đặt các điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB Từ các điểm D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC tại các điểm M và N Bài toán yêu cầu tính độ dài các đoạn thẳng DM và EN theo giá trị của m.
Trong hình thang ABCD với AB // CD và AB < CD, gọi M là trung điểm của đường chéo BD Kẻ đường thẳng qua M song song với DC, cắt AC tại điểm N Cần chứng minh rằng N là trung điểm của AC và CD > AB.
Trong tam giác ABC, điểm I nằm bên trong, với các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F Kẻ đường thẳng qua A song song với BC, cắt tia CI tại H và tia BI tại K Cần chứng minh rằng AK = HA.
BD = DC; b) AF AE AI
Trong tứ giác ABCD có góc B bằng 90 độ, hãy xem xét điểm M bất kỳ trên đường chéo AC Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC và AD Cần chứng minh rằng MN bằng MP.
Dạng 3 Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
Phương pháp giải bài toán này là xem xét các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong tam giác nhằm chứng minh sự song song của các đường thẳng Có thể áp dụng định lý Ta-lét thuận cùng với các hệ quả của nó để tìm ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
Cho tam giác ABC với điểm I trên cạnh AB và điểm K trên cạnh AC Kẻ đoạn thẳng IM song song với BK (M thuộc AC) và đoạn KN song song với CI (N thuộc AB) Cần chứng minh rằng MN song song với BC.
Trong tam giác ABC, với đường trung tuyến AM và điểm I nằm trên AM, hãy gọi E là giao điểm của BI và AC, cùng với F là giao điểm của CI và AB Cần chứng minh rằng đoạn EF song song với BC.
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Cho tam giác AOB có AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm.= = = Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho
OD 3cm= Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO ở C Gọi F là giao điểm của AD và BC Tính: a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số FD
6 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, M là trung điểm của AB, O là giao điểm của AD và BC
OM cắt CD tại N Chứng minh N là trung điểm của CD
Trong tam giác nhọn ABC với hai đường cao BD và CE, ta có thể kẻ DF vuông góc với AB tại điểm F và EG vuông góc với AC tại điểm E Cần chứng minh rằng: AD.AE = AB.AG = AC.AF Bên cạnh đó, trong hình thang ABCD với hai đáy AB và CD, M là trung điểm của CD và E là giao điểm của MA.
Trong hình học, BD và F là giao điểm của MB và AC Để chứng minh EF song song với AB, ta cần phân tích các tính chất của các đoạn thẳng liên quan Khi đường thẳng EF cắt AD và BC tại các điểm H và N, ta có thể chứng minh rằng HE = EF = FN, từ đó khẳng định tính chất đồng dạng của các đoạn thẳng này.
Trong tam giác ABC, nếu trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt chọn ba điểm P, Q, R và đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy, thì ta có thể chứng minh rằng PB, QC và RA cũng đồng quy.
PC QA RB HƯỚNG DẪN
1A Gọi P là trung điểm của AD Ta chứng minh được NP và
MP lần lượt là đường trung bình của ∆ABD và ∆ADC nên suy ra NP//AB và MP//DC Mặt khác AB//CD nên ta có P,
N, M thẳng hàng ⇒MN/ /AB/ /DC
BC CM BM CM CM
= ⇒ = ⇒ BM Kết hợp với giả thiết ta có CM CN / /
2A.Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:
BC = AB ⇒ 2B a) Gợi ý: Gọi Q là giao điểm của MN với BC Q ( ∈ BC )
Chứng minh được Q là trung điểm của BC và NQ//AB suy ra ĐPCM b) Ta có 1 1
BD = DC b) Ta có: AK AH AK AH HK AI (1)
BD DC BD DC BC ID
Từ (1), (2), (3) ta có AE AF AI
3B.Ta chứng minh được MN//AB, áp dụng hệ quả định lý
4A Từ IM//BK và KN//IC ta suy ra AI AM
4B Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF tại
H và cắt tia BE tại K Áp dụng kết quả ý a) 3A và MB = MC ta chứng minh được AH = AK
Lại có AH AF AK; AE
BC = FB BC = EC nên AF AE
Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ được chứng minh ở bài 9 phần BTVN) Do AM, BE, CF đồng quy tại I
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let từ đoạn DC//AB, ta có thể chứng minh rằng OC = 4cm và DC là một đoạn thẳng Bên cạnh đó, việc áp dụng hệ quả của định lý Ta-let cho tam giác ∆ cũng cho phép tính toán được các thông số cần thiết.
FA = AB 6 Gợi ý: Chứng minh AM MB OM
⇒ DN = NC ⇒ N là trung điểm CD
8 a) Từ AB//DM và AB//MC chứng minh được AE BF
⇒ = ⇒ Tương tự EF = FN (2) Từ (1) và (2) ⇒ HE = EF = FN
DM = AM ; Từ đó tính được 10
HE= 3 cm suy ra HN 10cm
9 Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR lần lượt tại N và M
Ta chứng minh được: QC BC (1);
Từ (1), (2), (3) suy ra PB QC RA 1
CHỦ ĐỀ 3 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC
• Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
∆ABC, AD là tia phân giác của
• Chú ý: Định lý trên vẫn đúng đối với tia phân giác ngoài của tam giác: D'B AB
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1 Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:
Bước 1:Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ;
Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết
1A Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 21cm,AC 28cm.= = Kẻ phân giác trong AD của BAC (với
2B Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ phân giác trong AD của BAC (với D BC∈ ), biết
DB 15cm,DC 20cm.= = Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC
Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác giúp tính toán tỉ số các đoạn thẳng, đồng thời chứng minh các hệ thức và các đoạn thẳng bằng nhau Ngoài ra, việc áp dụng tính chất này cũng hỗ trợ trong việc xác định các đường thẳng song song, từ đó nâng cao khả năng giải quyết bài toán hình học một cách hiệu quả.
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ;
Bước 2: Áp dụng các tỉ số đã biết và tính chất của tỉ lệ thức, cùng với các tỉ số trung gian (nếu cần thiết) và định lý đảo của định lý Ta-lét, để tính toán tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức Qua đó, có thể suy ra rằng các đoạn thẳng là bằng nhau hoặc các đường thẳng là song song.
2A Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DB EC FA
DC EA FB = b) Khi tam giác ABC cân tại A, chứng minh EF song song với BC c) Biết AB 2
AC = 3, tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
2B Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF giao nhau tại I Chứng minh: a) DI BC
3A Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD của BAC (với D BC∈ ) Từ trung điểm M của
BC, kẻ một đường thẳng song song với AD, cắt AC tại F và cắt tia đối của tia AB tại E Chứng minh BE CF
3B Cho hình bình hành ABCD Phân giác của A và D cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N Chứng minh: MN song song với AD
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
4 Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF Biết BC 36cm,= CA 30cm,= AB 18cm Tính độ dài các đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB
5 Cho tam giác ABC, BC 10cm,CA 6cm,AB 8cm.= = = Đường phân giác của B và C cắt cạnh AC và
AB lần lượt tại D và E a) Tính độ dài các đoạn thẳng AE, EB, AD, DC b) Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho 40
= 7 Chứng minh ba đường thẳng AK, BD, CE đồng quy
Trong tam giác ABC, với trung tuyến AM, phân giác của góc AMB cắt AB tại điểm D và phân giác của góc AMC cắt AC tại điểm E Cần chứng minh rằng DE song song với BC Gọi I là giao điểm của DE với AM, và chứng minh rằng I là trung điểm của DE.
