Các chuyên đề Hình học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Trần Văn Tấn

CAC CHUYEN DE HÌNH HỌC www.toankho.com _ TRẦN VĂN TẤN VÀ NHĨM GIÁO VIÊN CHUN TỐN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI oe ‘e Ww > ren DE Nyy BOI DUONG O n HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ (Túi lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Chuyén déI CAC BAI TOAN SU DUNG DINH Li TA-LET (THALES) VA TAM GIAC DONG DANG Định lí Ta-lét tính chất tam giác đồng dạng cho phép ta biến đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng diện tích hai tam giác thành tÍ số Trong tốn sử dụng định lí Ta-lét tính chất tam giác đồng dạng ta cần lưu ý điểm sau : ® Định lí Ta-lét tính chất tam giác đồng dạng đề cập tới tỉ số hai đối tượng loại (cùng độ dài hai đoạn thẳng diện tích hai tam giác) , với A, B, C, D DIA ® Đối với toán cần thực phép toán B + loại, cần chuyển hai tỉ số thành tỉ số có mẫu số Tuy nhiên khác với đại số, hình học ta thực phép nhân chéo quy ˆ ¡; đồng thành A.D+BC ` BD ` ` chất tam giác đồng dạng để biến đổi AL M Khi A + c _M B D +M' N ae ce han ti Trong hình hoc ta thường dùng định lí Ta-lét tính MƠ B N c.M D ® Đối với toán cần thực phép toán = = cho N = N N' với A, B, C, D 1a loại, A M C M' A C M ho N=M' Vay tat cần biếnbiến đổi đổi —B = —: N° DEN? cho Ys—.—=— DN + = = e với A, B, C loại, ta cần tìm M, N, P loại với A, B, C cho M=N =P Nn ` ® Đối với tốn cần chứng minh đăng thức có dạng Khi đẳng thức cần chứng minh tương đương với m + = — Bay gid ta cé C thể dùng định lí Ta-lét tính chất tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thức này, ( _Vi du Cho tam gidc ABC can tai A Trén canh BC kéo dai vé phia C, lay điểm M Một đường thẳng A qua điểm M cắt cạnh CA, AB N P Chứng minh BM _ CM BP CN Lời giải (h1) — không đổi, M A thay đổi TS lv daw Qua A kẻ đường thẳng song song với A cất BC Q Theo định lí Ta-lét, ta có BM _ BQBA BP CM_CQ z CN CA ⁄ hay BM_CM BP / _|BQ_ cọ| CN |BA | B Cc CA MN Q Hình Mat khác tam giác ABC cân A nên BQ _ CQ_ BQ~€Q_ BC jong asi BA CA BA BA Vi du 2, Cho điểm A', B', C' nằm cạnh BC, CA, AB taín giác ABC, cho BC 'GC B' Chứng CA O A'B B_ minh hai tam giác ABC A'BC có trọng tâm Lời giải (h.2) Do nên A'B_ BC CA ——=——=—— A'C BA CB A'C BA CB ——=——=——=k BC CA AB (với số k nao or Tit ah lc # ost _ Kẻ“ưa CN //AC (N € BC),>6 tacé TC2BN = C'B_A'C AE ds BN=A'C AB = BC ⁄ Vậy BC NA' có trung điểm M Gọi P trung điểm A'C' G CN AC giao AM -CB_BA AB AC GB' =-1 = GM GA ta có - suy [CN = BA Mặt khác, PM song song va bang zon Vậy —— GP BP, nén PM song song va bang SAB Do G trọng tâm chung hai tam giác ABC A'BC Ví dụ Cho bốn đường thẳng theo thứ tự m¡, mạ, mạ, mạ đồng quy O theo chiều quay kim đồng hồ Các điểm Aj, A>, A3, Ag lan luot mị, My, M3, M4 cho AIA2 /J mạ, A2Aa // mị; A3A4 // mạ Đường thẳng qua Aa song song với ma cắt mị As Chứng minh Lời giải (h.3) Gọi M 1a giao cua A,A3 va my, N giao cla m, va A3A4 Ta có tứ giác OA¡A¿M, ONAaA; hình bình hành Theo định lí Ta-lét ta có OAs _ — AsAg _ MAq \ONy Do A3N Hinh OM (ON ON _ AgA3_ OAg OM \oA, } AM A.M OAs _ MAg OA, < (Mas OAs) Li MO} 4(MO MO MO OA, ab < eo)a fed (¢ Dang thức xảy MA¿ = OA¿ © A3A2 = A3M Co nghia 1a mj, mạ, mạ, mạ vị trí cho đường thẳng song song với bốn đường bị ba đường lại chắn hai đoạn thẳng Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF Một điểm M thuộc đoạn FD, N điểm thuộc tia DE cho MAN = BAC Chứng minh A 1a tam đường trịn bàng tiếp góc D tam giác DMN Lời giải (h.4) Lấy P thuộc BF cho MP // BD Dễ dàng chứng minh AD phân giác góc NDF Nên để giải tốn ta cần chứng minh thêm MA giác góc nhọn FMN Ta có phân AAPM œ AAEN (g.g), Hình Mặt khác ta có AAFD dođó AAPE œ AAMN (c.g.c) Suy AMN œ AEFEB (g.g) mà PB PF = APE =MD ME AME = EPF = APE Từ (1) (2) suy AMN ta có điều phải chứng minh = AME (1) nén (2) hay MA phân giác góc FMN, dé Ví dụ Về phía ngồi tam giác ABC, dựng tam giác cân AMB, BNC, CPA có góc đỉnh cân 14 AMB = 0, BNC =, CPA = y thoả mãn œ + + y = 360” Chứng minh tam giác MNP có số đo ba góc a By lan luot Š "2°20 Loi gidi (h.5) Goi K điểm cho AMBK œ ANCB, K A nằm hai phía BM Khi AMAK œ APAC suy =A SAKA PAC= KAM MA Dodé PAM = PAC+CAM - KAM + CAM - CAK N p Vay APAM w ACAK (g.g), nén AMP = AKC ˆ Tương tự chứng minh ° BMN = BKM Vậy AMP + BMN = AKB Mat khác M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKB (do MA = MK = MB) nên K Hình |1——~ I1 AKB = -AMB = >(AMP + BMN + PMN) = 2(AKB + PMN), oon Do PMN xe lưng = AKB = AMB = Chứng minh tương tự cho MNP = so NPM = > Ta có điều phải chứng minh Bai tap Cho tam giác ABC Biết tồn điểm M N cạnh AB, BC cho 2, BM AM _ BN CN va BNM = ANC Chứng minh tam giác ABC vuông Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; r), M trung điểm BC Giao điểm OM đường cao AH E Chứng minh AE = r Cho tam giác ABC vuông C, đường cao CH Đường tròn ([l ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, AB P, Q Giao điểm CH PQ N Gọi K trung điểm BC, KI cắt AC M Chứng minh CM=CN Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho MAB = NAC Chứng minh MB.NB _ AB ( ) MC.NC \AC/ — Cho tam giác ABC, AD 1a phan giác góc A Trên AD lay M, N cho MBA = NBD Chứng minh MCA = NCD Cho tam giác ABC có I, O tâm đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp AD đường cao kẻ từ A Chứng minh ba điểm I, D, O thẳng hàng đường tròn ngoại tiếp đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC có bán kính Giả sử D điểm nằm tam giác nhọn ADB = ACB + 90° va AC.BD = AD.BC Chting minh rang ABC AB.CD _ cho AC.BD - Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M nằm tam giác Các đường thắng AM, BM, CM cắt (O) điểm thứ hai A', B, C' Ha MA,, MB,, MC, vng góc với BC, CA, AB Chứng minh tam giác A'EC' đồng dang vdi tam gidc A,B,C) Cho AB, CD 1a hai duéng kinh vuéng géc véi cla dudng tron (O) Đường thẳng A vng góc với CD cắt tia đối tia DC Một tiếp tuyến m thay đổi (O) cắt AB K cắt A M Gọi E, F giao điểm CK, DK với A Chứng minh ME.ME không đổi tiếp tuyến m thay đổi 10 Cho tam giác ABC vng C có đường cao CH trung tuyến AD Đường tròn (O) qua D tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A, cất BC điểm thứ hai E Chứng minh AE qua trung điểm CH 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Ha DA, L BC, DB, L AC Goi P, Q trung điểm AB, A¡B¡ Chứng minh tam giác PDQ có dạng khơng đổi (ln đồng dạng với nó) B, C, Ð cố định A thay đổi 10 12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm I nằm tam giác ABC Các tia AI, BI, CI cat đường tròn (O) điểm thứ hai A', B, C' Chứng minh tam giác A'B'C' 1 IA: IB: IC= — : — :— BC CA" “AB 13 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi M, N trung điểm AB, CD Các tam giác OAD, H, K Chứng minh HK vng góc với MN OBC có trực tâm 14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) có hai đường chéo cắt IL Hạ IP vng góc với AD, IQ vng góc với BC Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh PQ vng góc với MN 15 Cho tứ giác ABCD hai đường chéo AC, BD có độ dài Về phía ngồi tứ giác dung tam giác cân đồng dạng AMB, CND (can tai M, N) Gọi P, Q trung điểm AD, BC Chứng minh MN góc với PQ vng Chun đề BÀI TỐN CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THANG CAC DUGNG THANG DONG QUY HANG, Để giải toán chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy, ta thường sử dụng phương pháp sau : 1) Sử dụng mối quan hệ góc (hai góc nhau, tổng hai góc 180° ) 2) Sử dụng tiên đề thứ OClit, tiên đề phát biểu sau : Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng cho 3) Sử dụng tính chất đồng quy ba đường cao ; ba đường trung tuyến ; ba đường phân giác ; ba đường trung trực tam giác 4) Dùng phương pháp diện tích 5) Chuyển toán chứng minh đường chứng minh điểm thẳng hàng thẳng đồng quy toán 11 6) Chuyển toán chứng minh điểm thang hang toán đường thẳng đồng quy Vi du 1, Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN -téi đường tròn đường kính BC Chứng minh tằng ba điểm M,H,N thẳng hàng (ch ) Lời giải (h.6) Gọi AA', BB, CC đường cao tam giác ABC, đường tròn (O©) có đường kính BC Tacó suy AM =AB.AC'= AH.AA' AAHM œ AAMA' AMH = AA'M Mat khac AMA'N tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên Hinh AMH = AA'M ee = MNA = AMN Vay AMH = AMN ma H va N nim vé nửa mặt phẳng bờ AM nên M, H, N thẳng hàng Ví dụ Goi A’, B', C' điểm cung BC, CA, AB không chứa đỉnh A, B, C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Các cạnh BC, CA, AB cắt cặp đoạn thẳng CA, AB; AB,BC BC, CA' cặp điểm M,N; P, Q R, S Chứng minh đường chéo MQ, NR, PS lục giác MNPQRS đồng quy điểm Lời giải (h.7) Goi I tâm đường ABC Khi BB’, CC Ta có < I nằm ane trịn nội tiếp tam giác đường thẳng AA’, iz, +~—C ,lalrm = ỊCA' A'IC =—A 2 Suy tam giác A'IC cân A' Tương tự tam giác BIC cân B Vậy A'B' trung trực đoạn IC Do tam giác PIC cân P Suy PIC = PCI = ICB IP // BC 12 Hình ..._ TRẦN VĂN TẤN VÀ NHĨM GIÁO VIÊN CHUN TỐN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI oe ‘e Ww > ren DE Nyy BOI DUONG O n HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ (Túi lần thứ nhất) NHÀ XUẤT... Scrip 1 1 = Sune NDC ~- —Swnb ZSNBD ~-? ??Snac 5SNAC -? ??Satc ~ SAIC ~-? ??S ScBD 1 = Spc ~ ŸNAB ~ ABD — ABC 1 ~3 Sane ~ Sapic) ~5Scep = SABCD ~ (Sapp + Sgcp) +7 Sapcp ~2(SAnc + Sapc) - =—Š ABCD Tuong ty... số, hình học ta thực phép nhân chéo quy ˆ ¡; đồng thành A.D+BC ` BD ` ` chất tam giác đồng dạng để biến đổi AL M Khi A + c _M B D +M'' N ae ce han ti Trong hình hoc ta thường dùng định lí Ta-lét