Đang tải... (xem toàn văn)
So 123 124 Full re pdf
F Le, TRUNG HOC CO SO NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO Children’s Fun Maths Journal CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam: NGUT NGO TRAN Al ce) ` Tong bién tap kiém Pho Ting Giam dic NXBGD Vidt Nam: TS NGUYEN QUY THAO NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP: TRONG SO NAY Tổng biên tập: ThS VŨ KIM THỦY Thư kí tòa soạn: NGUYEN XUAN MAI Uy viên: @ Compa vui tinh NGND VŨ HỮU BÌNH Tam giac gi? TS TRẤN ĐÌNH CHÂU @ Hoc sao? TS GIANG KHẮC BÌNH TS VŨ ĐÌNH CHUẨN TS NGUYEN MINH DUC ThS NGUYEN ANH DUNG TS NGUYEN MINH HA PGS TS LE QUOC HAN HOANG TRONG HAO PGS TSKH VU DINH HOA TS NGUYEN DUC HOANG ThS NGUYÊN VŨ LOAN NGUYEN ĐỨC TẤN PGS TS TÔN THÂN TRƯƠNG CÔNG THÀNH PHAM VAN TRONG ThS HO QUANG VINH TOA SOAN: Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh, quận Thanh Xuân, Hà Nội Điện thoại (Tel): 04.35682701 Pham Tuấn Khải Sử dụng đồng dư thức để tìm số dư chia lũy thừa cho số nguyên tố Nguyễn Ngọc Hân @ Do tri thong minh Hinh nao dung? Đỗ Quang Huy ® Sai đâu? Sửa cho Bạn có băn khoăn khơng? Nguyễn Thị Nhung ® Giải tốn nào? Một số phương pháp giải phương nghiệm nguyên (Tiếp theo hết) ® Nhìn giới Đáp án Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn 2011 (Junior Section) (Website): http://www.toantuoitho.vn DAI DIEN TAI MIEN NAM: TRAN CHi HIEU Giám đốc Cơng ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 Trưởng phịng Trị sự: TRỊNH ĐÌNH TÀI Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG Trị - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN Mĩ thuật: TÚ ÂN trình Nguyễn Duy Liên Điện (Fax): 04.35682702 Trang mang Binh Nam Olympic Toan Singapore (SMO) Ha 10 ® Hướng dẫn giải đề kì trước Đề thi chọn học sinh giỏi toán Vĩnh Phúc năm học 2011 lớp tỉnh - 2012 18 ® Đề thi học sinh giỏi toán lớp huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc năm ® Đề thi chọn học 2012 - 2013 học sinh giỏi toán lớp tỉnh Bắc Giang năm học 2011-2012 ® Hanoi Open 19 Mathematics 20 Competition 2013 (Junior Section) 21 ® Kết thi Giải tốn qua thu 22 ® thi Danh sách học sinh đoạt giải ® Thách đấu! Thách đấu đây! Giải toán qua thư năm học Trận đấu thứ trăm linh bảy 2012 - 2013 26 ® Kết Đố vui Chào Xuân Quý Ty 27 Nguyễn Văn Linh 44 ® Cuộc thi Vui he 2013 46 ® Những đường cong tốn học ® Phá án thám tử Sêlôccôc Đường cong Plateau Mảnh giấy khó hiểu Trương Cơng Thành Đặng Thị Tường Vy 28 ® Bạn có biết? ® Đến với tiếng Hán Giải Bài 41 Cô cao P Steele Nguyễn Vũ Loan 30 48 thưởng Abel, giải thưởng Hoàng Ngun Linh ® Học tốn tiếng Anh ® Cuộc thi vui Bài Cách viết chứng minh Du lịch đồng sông Hồng Vũ Kim Thủy 31 Vũ Kim Thủy, Đặng Tốn Ma phương kì ảo huyền thoại ® Bong 32 ® Kì thi Pisa Ngun Ba Dang Bạn muốn du học Hoa Kỳ? Nguyễn Đông 36 Cuốn sách Một tốn ơn tập hình học Nguyễn Phương Linh 38 Cười vườn Anh Một số phương pháp giải tốn hình Minh Hà học hữu hạn ® Trường Olympic 40 ® Cuộc thi dành cho thầy cô giáo 61 2013 năm du lịch đồng sơng Hồng Bính Nam Hà tốn - Thi đề kiểm tra, để thi toán Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - lớp 42 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - lớp 43 60 ® Vào thăm vườn Anh ® Dành cho nhà tốn học nhỏ Lê Quốc Hán, Nguyễn Lê Gia 59 ® Trị chuyện ® Ơn tập bạn Thái Nhật Phượng 57 ® Giờ chơi Ơ chữ Thiên nhiên Thành 56 Địa danh nhầm! ® Bạn muốn du học? Vũ Thanh 52 bóng chìm Phương Mai 34 49 ® Trang thơ ® Lịch sử Toán học Võ Thủ Phương Leroy Ảnh bìa 1: Phan Ngọc Quang 2) 62 © Ki Tam giac gi? ` ` ~ a | Cho góc vng xOy có Oz tia đối tia phân giác Gọi A, B, C điểm tia Ox, Oy, Oz thoa man OA = 1, OB = va OC = 42 X A Zz PHAM TUAN KHAI (Ha N6éi) ) @ Két qua Số phương (TTT2 số 121) Vậy khơng tồn số tự nhiên n để dãy n + 9, 2n +9, 3n + 9, không chứa số phương Nhận xét Các bạn giải thưởng kì này: Nguyễn Văn Cao, 7A, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Phan Đức Nhật Minh, 9A, THCS Thị trấn Sông Thao, Cẩm Khê, Phú Thọ: Ngơ Thị Huế, 7B, THCS n Dỗn Phong, Quyết, n 8B, Vinh, Nghệ An; Trong dãy n + 9, 2n + 9, 3n + 9, có số (n + 6)n + (n + 3)2, số phương Phong, THCS Phú Thọ; Đặng Thai Nguyễn Mai, TP Quản Đức Bình, 8A2, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ 3) ANH COM PA a sU' DUNG DONG ot THUC ĐỂ TÌM $6 DU NGUYEN NGOC HAN Trong viết này, chúng tơi nói đến phương pháp tìm số dư chia lũy thừa cho số nguyên tố Kiến thức cần phạm vi lớp cần biết thêm kiến thức đồng dư thức Dinh nghia Cho a, b € Z; me a =b (mod m) a -b N* thi : m Tính chất Cho a, b, c, d,ec Z;m,n,ke Đ' thỏa mãn a = b (mod m), c =d (mod m) thi a+c=b+d (mod m) a+e=b+e(mod m) an = bn (mod mn) ~x|P có 32015 Ta có 42011 g) Ta có _ g1012 = (mod 7) (mod m) với k = (a, b) (m, k) = = (mod 7) h) Ta có Trong tốn tìm số dư chia lũy thừa a"' cho số nguyên tố p điều quan phải tìm số tu nhiên k nhỏ (mod p) hoac ak ~1 (mod p) Để làm điều ta tính nhẩm n sử dụng máy tính bỏ túi Một số trường hợp ta sử dụng định lí Fermat Định lí Fermat Cho p số nguyên tố a số nguyên, nguyên tố với p P-1 = (mod p) Bài tốn Tìm số dư chia a) 22012 cho c) 42911 cho e) 6792 cho g) 91912 cho ¡) 333323° cho (33/871 32 = (-1 y871 = = (mod 7) c) (mod >) với k | (a, b, m) cho ak= — 24022 _ (23) 1340 92 = 41340 22 f) Ta có 820” = 120” =1 (mod 7) a" = b" (mod m) ~x~|D Ta d) Ta có 52017 - (53)6725 = (—1)872.5 = (mod 7) e) Ta có 6202 = (—1)202 = (mod 7) ae = be (mod m) ~x|® b) = (mod 7) ac = bd (mod m) x|o Giải a) Ta c6 22012 — (23)8/0 92 — 46704 = (mod 7) b) 32015 cho d) 52°17 cho Ð 8” cho h) 11623 cho = 21012 = (233372 446234= 4234_ 2468_ ¡) Ta có 33372345= 52345_ = 4337 (23)196 = 1196 (53/51 52= (- 1)/8 =-4 =3 (mod 7) Bài tốn Tìm số dư chia 201 a)2““' cho 13 205 b)3“** cho 13 c) 4201 cho 13 e) 62°21 cho 13 g) 82001 cho 13 i) 111234 cho 13 Giải a) Ta có 2201~ (283,23 = b) Ta có 3205- (33)88,3 d) 5217 cho 13 f) 72°91 cho 13 h) 9123 cho 13 j) 33332949 cho 13 (—1)33,8=—8 =5 (mod 13) = 188,3 = (mod 13) c) Ta c6 4°01= 2408= (295ƒ= (1) = = 12 (mod 13) d) Ta có 5217 = (521085 = (—1)1085 = (mod 13) e) Ta có = (62)3 = (-3)3 = —27 =—1 (mod 13) Suy 62021 = (68)336,65 = (-1)3969 = (mod 13) “p* f) Ta có 72001 ~ (72y10007 — (_3)10007 123789" = 6789" (mod 13) = [(-3)7}993 (-3).7 = (-1)983.(-3).7 = 21 =8 (mod 13) g) Ta có 82001 — (g2)1000g = (11009g = (mod 13) h) Ta có 91234 Ma 6® = -1 (mod 13) Mat khac 789 = (mod 6) — 32468 _ (33)822 32 _ 4822g Suy = (mod 13) = 3114 i) Ta cO 111254 = 7234 — (72117 = (_g) "17 739496 = 3456 = (32)°/ = s5 = _ (32)5.3 (32)114 = (32)12.3 423/899 _ g789?!° _ e6k+3 _ (68.63 Bài tốn Tìm số dư chia =(-1)*.8 = (mod 13) a) 20112012 cho 19 b) 3456/89 cho 23 c) 43211234 cho 73 Giải c) Theo định lí Fermat ta có 12919 = Ta lai c6 = 204 = Dat 34°67 a) Theo định lí Fermat ta có 2011! = (mod 19) Suy 201127012 = (201118)'11 201114 = 1.(—3)1“ = 314 = (34)3 32 = 59.9 = 11.9 = (mod 19) (mod 34°°” (mod = 10k 11) = (342)289 34 = 6283 34 = 6.34 10) + (k € N) Do 1293“ =12ag10k+4 _ 42g10)k 4994 = 18.1294 =129% =(-3)“ =81 =4 (mod 11) b) Theo định lí Fermat ta có Bài tập tự luyện 345622 = (mod 23) Suy 3456/89 = (345622)2°.345613 = 135,613 = 61 = (63Š.6 = 986 = (92.6 = 12.6 = 3.6 Bài Tìm số dư chia = 18 (mod 23) c) Theo định lí Fermat ta có 1472 = (mod 73) Suy 43211232 = 14123 — (147217 1410 = 1171419 - 1419 - (143)3.14 = 433.14 = 10.14 = 140 = 67 (mod 73) Bài toán Tìm số dư chia a) 20122013" cho b) 123789” cho 13 c) 12932”” cho 11 a) 2372 cho c) 42015 cho e) 64532 cho b) 328 cho d) 52°Š7 cho f) 8200" cho g) 9°42 cho h) 1234878 cho i) 88882468 cho Bài Tìm số dư chia a) 220099 cho 13 b) 349695 cho 13 c) 428494 cho 13 d) 53'° cho 13 e) 6872† cho 13 f) 7/89" cho 13 g) 8°49 cho 13 h) 9128434 cho 13 i) 111129496 cho 13 sj): 55555294987 cho 13 Bài Tìm số dư chia Giải a) Ta cé 20122013" = 32013" (mod 7) Mà 3Š = —1 (mod 7) 20132014 : Dat 20132014 = 3k (k e Đ, k số lẻ) Do b) Ta có = 328 = Do =5 (mod 13) = (—1)* = -1=6 (mod 7) 3228 Đặt 789238 = 6k + (k e Ñ, k số chẵn) k) Ta 06 33332345 = 52345 = (52)11725 = (_1)11725 = 4201375" = =3!.3= (32)/.3 = 3.3 = = 3Ý = 32 = (mod 6) = [(-3)9]89 = (-1)99 = -1 = 12 (mod 13) 901220137" (32)228 = 33k = (33) a) b) c) d) e) f) g) h) 2013201 cho 31 345689123789 cho 43 5432112345 cho 67 3489/89 cho 37 541135 cho 97 213201564 cho 17 68978 cho 41 432123! cho 29 ai) 349™™ 34089 cho 11 ®) (Xem tiếp trang 20) @ Ki HINH NAO DUNG? Bạn chọn năm phương án để điền vào dấu hỏi chấm cho hợp ldgic YVOOOOW G)))G))G) i 000006 âââ(@âđ_ QUANG HUY (su tm) @ Két qua CHON sé DUNG Nhận xét Đề kì tương đối dễ có nhiều cách giải, số bạn tham gia giải đông chọn đáp án phương án C Một số bạn đưa quy luật không rõ ràng Quy luật Đặt tên đỉnh tam giác hình inh vévẽ: A LS, LS, Thao, Thị Thu Phú Uyên, Thọ; Chu 9B, THCS Thị Hạnh, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Thị Ngọc Thúy Hằng, 7B; Nguyễn Hạnh THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Các bạn sau có lời giải tốt dương: Lê Thị Trang, 6E1, THCS Vĩnh Tường; Nguyễn Quang Minh, 7B; Mẫn Phong, Yên Trâm, Phan Nhung, 8B, Hà Tĩnh tuyên Vĩnh Tường, 6A1, THCS Đồng Cương, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đào Quốc Khanh, Cách (A+C)xB+2=D Từ (5 + 7) x + = 74 Chọn C Nghé Cách A2 + Cˆ = D Xin trao thưởng Lâm (TTT2 sé 121) cho bạn sau có hai cách giải tốt: Quản Thị Thu Huyền, 6A2, THCS 6D, An; THCS Dang Nguyén Kỳ, Thai Tuấn Quách Xuân Nguyễn Trần San, 6A, THCS Đức Thọ, Hà Tĩnh 6) Bố Mai, Minh, TP Vinh, 6D, THCS Quang Binh; Hoàng Xuân Hãn, Trạch, - NGUYEN XUAN BINH © Kindy Ban cb bitn khaš khơuug ? Trong sách bồi dưỡng (Tốn 7) có đề sau: Bài tốn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= |x + 1] + [x + 2] + |x + 3] + [x + 4] Một bạn học sinh giải sau: Ta có A=f{-x- {| + |x+ 2l) + (_-‹ - 3| + |x + 4|) > |—x- +x+ 2| + | ‹- 3+x+ 4| = Vậy giá trị nhỏ A Bạn có băn khoăn với lời giải không? NGUYỄN THỊ NHŨNG (GV THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hà Tĩnh) @ Két qua Nhận BAI xét Bài tương đối khó nên TOAN khơng có bạn giải Bài tốn đảo chưa xác chỗ: Tiếp tuyến A (O) với BD cắt song song Lời giải Xét trường hợp: Trường hợp Tiếp tuyến A (O) giao với BD, Làm trường hợp xét Trường hợp Tiếp tuyến A (O) song song với BD DAO (TTT2 số121) Từ kết ta có A, E, O, C thẳng hàng nên CB = CD Do tiếp tuyến C song song với BD Trong trường hợp này, tứ giác ABCD có đường chéo AC đường trung trực BD Như vậy, ta thay kết luận toán đảo sau: Chứng minh hai tiếp tuyến A C (O) BD đồng quy song song với Hoặc giữ nguyên kết luận thêm vào A giả thiết tốn đảo: Tứ giác ABCD có đường chéo AC không đường trung trực BD Chú ý Ta giải trường hợp phản chứng sau: Gia sử tiếp tuyến C (O) cắt BD M Làm trường hợp ta tiếp tuyến A (O) qua M, trái giả thiết eO ANH C Ta thấy AABD cân tai A Ma AE phan giác BAD nên AE L BD Suy A, E, O thẳng hàng Từ AB = AD nên CA phân giác BCD Theo giả thiết CE phân giác BCD đường thẳng CE trùng CA nên Œ) KÍNH LÚP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GLẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIÊM NGUYÊN NGUYỄN DUY LIÊN (GV THPT chuyên Vĩnh Phúc) Tiếp theo hết Dùng chia hết chia có dư Ví dụ 20 Giải phương trình nghiệm ngun xt +X3 + + XỔ = 1992 Giải Nếu x : xf : 16 Mà aP~ † + pP~1 = a®K+ + p#K†2 : a2 + bˆ nên Nếu x khơng chia hết cho x4 — = (x2 — 1)(x? + 1) = (K — 1)(x+ 1)(x? + 1): 16 (vi (x2 + 1): 2vax-1,x+ 11a hai s6 chan liên tiếp, hai số có số chia hết cho 4) nên xf chia 16 dư Suy xt + X2 + a: pvàb : p Chứng minh Nếu a b không chia hết cho p hai số a b khơng chia hết cho p Theo định lí Fermat aP ~ Í - : p,bP~†—1:bp + X? chia cho 16 có số dư r thỏa mãn p= 2, vơ lí p Tinh chất Nếu a, b số (a2 + b2) : p, với p số nguyên 1: p có dạng 4k + nguyên thỏa mãn tố có dạng 4k + Thay vào (1) ta 9xỷ -y? -3zÿ =0 (2) Suy ray, : Dat y, = 3y, Thay vao (2) ta 3x? - Oy? —z? =0 (3) Suy Z, : Đặt Z¿ = 3z Thay vào (3) ta x? ~ 3y? -9Z =0 Như ba E Với x > 5, ta có ; 3) nghiệm (1) Cứ tiếp tục suy Yo 3⁄4 3k 78x +1 hay A số phương để phương trình bậc hai có nghiệm ngun Ví dụ 25 Tìm nghiệm nguyên phương trình 7(x? + xy + y2) = 39(x + y) Giải Từ (1) suy (x + y) : (1) Dat x + y = 7a (a e Z) Suy x2 + xy + y2 = 39a Thay y = 7a — x ta X2 + x(7a - x) + (7a - x)2 = 39a hay x? - 7ax + 49a2 - 39a = Biệt thức A = (7a)2 - 4(49a2 - 39a) = -147a2 + 156a > Dùng bất đẳng thức Giải Điều kiện x > (do x e Z) Cách = ac {0; 1} Với a = x = > y =0 Với a = x2 —- 7x + 10 = 0, ta (X; y)= (2; 5), (5; 2) Ví dụ 24 Giải phương trình nghiệm ngun x? +8 =7V8x +1 @0