So 123 124 Full re pdf
Trang 2Children’s Fun Maths Journal ce) ` NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP: Tổng biên tập: ThS VŨ KIM THỦY
Thư kí tòa soạn:
NGUYEN XUAN MAI Uy viên: NGND VŨ HỮU BÌNH TS GIANG KHẮC BÌNH TS TRẤN ĐÌNH CHÂU TS VŨ ĐÌNH CHUẨN TS NGUYEN MINH DUC ThS NGUYEN ANH DUNG TS NGUYEN MINH HA PGS TS LE QUOC HAN HOANG TRONG HAO PGS TSKH VU DINH HOA TS NGUYEN DUC HOANG ThS NGUYÊN VŨ LOAN NGUYEN ĐỨC TẤN PGS TS TÔN THÂN TRƯƠNG CÔNG THÀNH PHAM VAN TRONG ThS HO QUANG VINH TOA SOAN:
Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,
quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại (Tel): 04.35682701 Điện sao (Fax): 04.35682702 Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn
Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn
DAI DIEN TAI MIEN NAM: TRAN CHi HIEU Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 Trưởng phòng Trị sự: TRỊNH ĐÌNH TÀI
Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH
Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN
Mĩ thuật: TÚ ÂN
CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN
Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam:
NGUT NGO TRAN Al
Tong bién tap kiém Pho Ting Giam dic NXBGD Vidt Nam:
TS NGUYEN QUY THAO
TRONG SO NAY
@ Compa vui tinh Tam giac gi?
Pham Tuấn Khải 3
@ Hoc ra sao?
Sử dụng đồng dư thức để tìm số dư khi
chia một lũy thừa cho một số nguyên tố
Nguyễn Ngọc Hân 4
@ Do tri thong minh Hinh nao dung?
Đỗ Quang Huy 6 ® Sai ở đâu? Sửa cho đúng
Bạn có băn khoăn gì khơng?
Nguyễn Thị Nhung 7
® Giải toán thế nào?
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (Tiếp theo và hết)
Nguyễn Duy Liên 8
® Nhìn ra thế giới
Đáp án Olympic Toan Singapore (SMO) 2011 (Junior Section)
Binh Nam Ha 10
® Hướng dẫn giải đề kì trước
Trang 3
® Danh sách học sinh đoạt giải
thi Giải toán qua thư năm học 2012 - 2013 26 ® Kết quả Đố vui Chào Xuân Quý Ty 27 ® Phá án cùng thám tử Sêlôccôc Mảnh giấy khó hiểu Đặng Thị Tường Vy 28 ® Đến với tiếng Hán Bài 41 Cô ấy cao hơn tôi Nguyễn Vũ Loan 30 ® Học toán bằng tiếng Anh
Bài 3 Cách viết một chứng minh Vũ Kim Thủy 31 ® Lịch sử Toán học Ma phương kì ảo và huyền thoại Võ Thủ Phương 32 ® Kì thi Pisa Nguyén Ba Dang 34 ® Bạn muốn du học? Bạn muốn du học Hoa Kỳ? Vũ Thanh Thành 36 ® Ơn tập cùng bạn Một bài toán ôn tập hình học 9 Thái Nhật Phượng 38 ® Dành cho các nhà toán học nhỏ Một số phương pháp giải toán trong hình học hữu hạn
Lê Quốc Hán, Nguyễn Lê Gia 40 ® Cuộc thi dành cho các thầy cô giáo
toán - Thi ra đề kiểm tra, để thi toán
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - lớp 7 42 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - lớp 8 43
® Thách đấu! Thách đấu đây!
Trận đấu thứ một trăm linh bảy
Nguyễn Văn Linh 44
® Cuộc thi Vui he 2013 46
® Những đường cong toán học
Đường cong Plateau
Trương Cơng Thành 48
® Bạn có biết?
Giải thưởng Abel, giải thưởng Leroy
P Steele
Hoàng Nguyên Linh 49
® Cuộc thi vui Du lịch đồng bằng sông Hồng 52 ® Trang thơ Vũ Kim Thủy, Đặng Tốn 56 ® Bong bóng thì chìm Địa danh nhầm! Phương Mai 57 ® Giờ ra chơi Ô chữ Thiên nhiên Nguyễn Đơng 59 ® Trị chuyện Cuốn sách
Nguyễn Phương Linh 60
Trang 4Zz ~ ` ` | a
© Ki nay Tam giac gi?
Cho góc vuông xOy có Oz là tia đối của tia phân giác Gọi A, B, C lần lượt
là các điểm trên tia Ox, Oy, Oz thoa man OA = 1, OB = 2 va OC = 42 X A PHAM TUAN KHAI (Ha N6éi) ) @ Két qua Số chính phương (TTT2 số 121)
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để dãy n + 9,
2n +9, 3n + 9, không chứa số chính phương
nào
Nhận xét Các bạn giải đúng và được thưởng
kì này: Nguyễn Văn Cao, 7A, THCS Nguyễn
Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Phan Đức
Nhật Minh, 9A, THCS Thị trấn Sông Thao,
Cẩm Khê, Phú Thọ: Ngô Thị Huế, 7B, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Phú Thọ; Nguyễn
Doãn Quyết, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP
Vinh, Nghệ An; Quản Đức Bình, 8A2, THCS Trong dãy n + 9, 2n + 9, 3n + 9, có số Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
(n + 6)n + 9 bằng (n + 3)2, là số chính phương ANH COM PA
Trang 5Dinh nghia Cho a, b € Z; me N* thi a =b (mod m) a -b : m
Tính chất Cho a, b, c, d,ec Z;m,n,ke Ñ' thỏa
mãn a = b (mod m), c =d (mod m) thi a+c=b+d (mod m) a+e=b+e(mod m) ac = bd (mod m) ae = be (mod m) a" = b" (mod m) an = bn (mod mn) (mod >) với k | (a, b, m) x|o ~x|® ~x~|D ~x|P
(mod m) với k = (a, b) và (m, k) = 1 Trong các bài toán tìm số dư khi chia một lũy thừa
a"' cho một số nguyên tố p thì điều quan trong
nhất là phải tìm được số tu nhiên k nhỏ nhất sao
cho ak = 1 (mod p) hoac ak
điều đó ta có thể tính nhẩm n hoặc sử dụng máy tính bỏ túi
Một số trường hợp ta có thể sử dụng định lí Fermat Định lí Fermat Cho p là số nguyên tố và a là một số nguyên, nguyên tố cùng nhau với p thì P-1 = 4 (mod p) Bài toán 1 Tìm số dư khi chia a) 22012 cho 7 c) 42911 cho 7 e) 6792 cho 7 g) 91912 cho 7 ¡) 333323° cho 7
sU' DUNG DONG ot THUC ĐỂ TÌM $6 DU
NGUYEN NGOC HAN
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nói đến một phương pháp tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số
Trang 7@ Ki nay
ldgic
HINH NAO DUNG?
Bạn hãy chọn một trong năm phương án để điền vào dấu hỏi chấm cho hợp
000006 YVOOOOW âââ(@âđ_ G)))G))G)
i
QUANG HUY (sưu tầm)
@ Két qua CHON sé DUNG (TTT2 sé 121)
Nhận xét Đề ra kì này tương đối dễ và có nhiều
cách giải, số bạn tham gia giải rất đông và đều
chọn đáp án đúng là phương án C Một số bạn đưa ra quy luật không rõ ràng
Quy luật Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình vẽ: inh vé A 5 LS, LS, Cách 1 (A+C)xB+2=D Từ đó (5 + 7) x 6 + 2 = 74 Chọn C Cách 2 A2 + Cˆ = D
Xin trao thưởng cho các bạn sau đây có hai
cách giải tốt: Quản Thị Thu Huyền, 6A2, THCS
Lâm Thao, Phú Thọ; Chu Thị Hạnh, 7B; Mẫn Thị Thu Uyên, 9B, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh; Lê Thị Ngọc Trâm, Phan Thúy Hằng, 7B; Nguyễn Hạnh Nhung, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh Các bạn sau có lời giải tốt cũng được tuyên dương: Lê Thị Trang, 6E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường; Nguyễn Quang Minh, 6A1, THCS
Đồng Cương, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đào Quốc
Khanh, 6D, THCS Dang Thai Mai, TP Vinh,
Nghé An; Nguyén Tuấn Minh, 6D, THCS
Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quang Binh;
Nguyễn Trần San, 6A, THCS Hoàng Xuân Hãn,
Đức Thọ, Hà Tĩnh -
NGUYEN XUAN BINH
Trang 8Ta có
© Kindy Ban cb bitn khaš gì khôuug ?
Trong một cuốn sách bồi dưỡng (Toán 7) có đề bài như sau:
Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= |x + 1] + [x + 2] + |x + 3] + [x + 4]
Một bạn học sinh đã giải như sau:
A=f{-x- {| + |x+ 2l) + (_-‹ - 3| + |x + 4|) > |—x- 1 +x+ 2| + | ‹- 3+x+ 4| = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2
Bạn có băn khoăn gì với lời giải trên không?
NGUYỄN THỊ NHŨNG (GV THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)
@ Két qua BAI TOAN DAO (TTT2 số 121) Nhận xét Bài ra tương đối khó nên không có
bạn nào giải được Bài toán đảo chưa chính xác
ở chỗ: Tiếp tuyến tại A của (O) với BD có thể cắt
nhau cũng có thể song song
Lời giải đúng Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1 Tiếp tuyến tại A của (O) giao với BD, Làm như trường hợp đã xét Trường hợp 2 Tiếp tuyến tại A của (O) song song với BD A eO C Ta thấy AABD cân tai A Ma AE là phan giác của BAD nên AE L BD Suy ra A, E, O thẳng hàng
Từ AB = AD nên CA là phân giác của BCD
Theo giả thiết CE là phân giác của BCD nên
đường thẳng CE trùng CA
Từ các kết quả trên ta có A, E, O, C thẳng hàng
nên CB = CD
Do đó tiếp tuyến tại C cũng song song với BD Trong trường hợp này, tứ giác ABCD có đường chéo AC là đường trung trực của BD
Như vậy, ta có thể thay kết luận của bài toán đảo như sau: Chứng minh hai tiếp tuyến tại A và C
của (O) và BD hoặc đồng quy hoặc song song với nhau Hoặc giữ nguyên kết luận và thêm vào
giả thiết của bài toán đảo: Tứ giác ABCD có đường chéo AC không là đường trung trực của
BD
Chú ý Ta có thể giải trường hợp 2 bằng phản
chứng như sau: Gia sử tiếp tuyến tại C của (O)
cắt BD tại M Làm như trường hợp 1 ta được tiếp
tuyến tại A của (O) cũng đi qua M, trái giả thiết
ANH KÍNH LÚP
Trang 9
5 Dùng chia hết và chia có dư
Ví dụ 20 Giải phương trình nghiệm nguyên
xt +X3 + + XỔ = 1992
Giải Nếu x : 2 thì xf : 16
Nếu x không chia hết cho 2 thì
x4 — 1 = (x2 — 1)(x? + 1) = (K — 1)(x + 1)(x? + 1):
16 (vi (x2 + 1): 2vax-1,x + 11a hai s6 chan
liên tiếp, trong hai số có một số chia hết cho 4)
nên xf chia 16 dư 1
Suy ra xt + X2 + + X? chia cho 16 có số dư r thỏa mãn 0 <r< 7 Mà 1992 chia 16 dư 8 nên phương trình vô nghiệm 6 Sử dụng tính chất nguyên tố Tính chất 1 Với mọi số nguyên a thì a2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3 (k c Z) Chứng minh Giả sử a2 + 1 có một ước nguyên tố là p = 4k + 3 (ke Z4) Khi đó aP~Í + 1=a2*+2+ 1= a22k* 1) + 4: a2 + 1 nên aP ~Í + 1 : p Theo định lí Fermat thì aP ~Í — 1: p Suy ra 2 : p—> p= 2, vô lí vì p có dạng 4k + 3 Tinh chất 2 Nếu a, b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2) : p, với p là số nguyên tố có dạng 4k + 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GLẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIÊM NGUYÊN NGUYỄN DUY LIÊN (GV THPT chuyên Vĩnh Phúc) Tiếp theo và hết thì a: pvàb : p
Chứng minh Nếu a hoặc b không chia hết cho p thì cả hai số a và b đều không chia hết cho p Theo định lí Fermat thì aP ~ Í - 1 : p,bP~†—1:bp Mà aP~ † + pP~1 = a®K+ 2 + p#K† 2 : a2 + bˆ nên aP~1+pP~†:p, Suy ra 2 : p: vô lí Vậy a : p và b : p Ví dụ 21 Giải phương trình nghiệm nguyên x? + 2x + 4y2 = 1899 (1) Giải Ta có (1) © (x + 1)? + (2y)? = 1900 Số 1900 có một ước nguyên tố là 19 có dạng 4k + 3 Suy ra (x + 1) : 19, (2y) : 19 Do đó (x + 1)2 + (2y)2 : 192: vô lí Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
7 Phương pháp xuống thang
Ví dụ 22 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x? — 3y3 — 973 = 0 (1)
Giai Gia su (x, ; y„ ; Z,) là một nghiệm nguyên cla (2) Ta thay x, : 3 Dat x, = 3x,
Thay vào (1) ta được 9xỷ -y? -3zÿ =0 (2) Suy ray, : 3 Dat y, = 3y, Thay vao (2) ta được
3x? - Oy? —z? =0 (3)
Suy ra Z, : 3 Đặt Z¿ = 3z Thay vào (3) ta được
Trang 10Như vậy bộ ba E 2 ; 3) cũng là nghiệm của (1)
Cứ tiếp tục như vậy suy ra Yo 3 là các
3⁄4 3k 3
số nguyên với mọi k c Ñ Do đó XS =Yo=Z¿ = Ô Vậy nghiệm nguyên của (1) là (0; 0; 0)
Ví dụ 23 Cho n c Ñ Tìm a, b, c, dc Ñ biết rằng
a2+b2+c2+d2= 7.4", (1)
(Junior Balkan Mathematical Olympiads 2003)
Giải Với n = 0 thì a2 + bˆ + c2 + d2 =7
Suy ra (a; b;c; d) = (2; 1; 1; 1) và các hoán vị
Với n > 0 thì a2 + bˆ + c2 + d2: 4 nên tổng này sẽ
chia hết cho 8 hoặc chia 8 dư 4
Mà mỗi số a2, b, c2, d2 chia 8 dư 0 hoặc 1 nên cả 4 số a, b, c, d có cùng tính chất chắn lẻ + Xét a, b, c, d cùng lẻ Thay vào (1) ta được a2+b2+c2+d2—-4=4(7.4n~?~— 4), (2) Vì vế trái của (2) chia hết cho 8 nên (2) chỉ có nghiệm khi n = 1 Từ đó a2 + b2 + c2 + d2 = 28 Ta được (a; b; c; d) = (1; 3; 3; 3), (5; 1; 1; 1) và các hoán vị - + Xét a, b, c, d cùng chắn Đặt a = 2a,, b = 2b,, c = 2c,, d = 2d, Thay vào (1) ta được aƒ +bƒ +c{ +dƒ =7.4"-1,
Cứ tiếp tục lập luận như vậy, sau n - 1 bước ta được phương trình ac, + bo, + ce + dể ¿ = 28
Từ đó nghiệm tự nhiên của phương trình (1) là (2n+1 2n 2n 2m (4,2n 4,2n 4 2n 2m (g,2n 2n 2": 2" và các hoán vị 8 Dùng bất đẳng thức Ví dụ 24 Giải phương trình nghiệm nguyên x? +8 =7V8x +1 (1) Giải Điều kiện x > 0 (do x e Z) Cách 1 Thử x = 0, x = 1,x= 2, x = 4 đều không thỏa mãn (1) và x = 3 thỏa mãn (1) Với x > 5, ta có 78x +1 <7V8x +x =21Vx <21x <x? <x? 48 Suy ra (1) vô nghiệm
Vậy (1) có nghiệm nguyên duy nhất x = 3
Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có 2.5/8x + 1< 25 +8x+1= 26 + 8x Kết hợp với (1) suy ra 5(x3 +8)< 7(13 + 4x) = 5xỞ - 28x — 51 < 0 => (x — 3)(5x2 — 15x + 17) <0 = x —3 <0 (vi 5x? - 15x + 17 > 0) hay x <3 Từ đó thử x e {0; 1; 2; 3} ta được x = 3 9 Sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm A= Ễ.« ZZZ A Ä > , 1S J ee
Một số phương trình có thể đưa về phương trình
bậc hai một ẩn số, ta có thể sử dụng điều kiện để
phương trình có nghiệm là A > 0 hay A là số chính
phương để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên Ví dụ 25 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7(x? + xy + y2) = 39(x + y) (1) Giải Từ (1) suy ra (x + y) : 7 Dat x + y = 7a (a e Z) Suy ra x2 + xy + y2 = 39a Thay y = 7a — x ta được
X2 + x(7a - x) + (7a - x)2 = 39a
hay x? - 7ax + 49a2 - 39a = 0
Biệt thức A = (7a)2 - 4(49a2 - 39a) = -147a2 +
156a > 0 @0<m<—— = ac {0; 1} Với a = 0 thì x = 0 > y =0
Với a = 1 thì x2 —- 7x + 10 = 0, ta được (X; y) = (2; 5), (5; 2)
Bai tap tu luyén
Bai 25 Giải các phương trình nghiệm nguyên:
(Xem tiếp trang 17)
Trang 11
DAP AN OLYMPIC TOAN SINGAPORE (SMO) 2011 JUNIOR SECTION BINH NAM HA Cau hoi lua chon 1 (D) Chu y rang —~ gn 12,3, ,10 (2 3| |3 4),(/4 9|, ,[11 12) 2 12 _ 503 2 (C)
Đặt các nghiệm là n¿ < n„ < n„ < n„ < n;, Đa thức có thể phân tích thành
Œ& - n¡)(X - n.)& - nạ)(X - nr)X — nz) = x? — (n, +n, +Ng +n, + Ne) XA 4K n;n.nanạn; So sánh các hệ số: n; +n- + nạ + n¿ + ny = =3 và n;n.nnạn; = 20112
Thin, = -2011, ng = ng= ny, = 1, ng = 2011
3 (C)
Néu z = 2 thi (x,y) = (1,1)
Néu z = 3 thi (x,y) = (1,2), (2,1) Néu z = 4 thi (x,y) = (1,3), (2,2), (3,1) Néu z = 5 thi (x,y) = (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) Néu z = 6 thi (x,y) = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
Trang 125 (B) Đặt K =N, + + N.o;o Nhu vay X = (Ny + K)(K + Noo44) va Y = (N, + K + Noo44)K 2 X — Y= (NK + K2 + NyNooay + KNogaq) — (N4K + Ky + Nogy,K) = NyNoo4y > 0 6 (A) 2 H2) 1-5-4, 2 — J2 Diện tích của mảnh EDF là = “(3-2
Diện tích giới hạn béi AD, DE va AE là
Nên diện tích hình quả trứng là: piteanl 5-1} (5 v2 =(3-/2)n-1 7 (B) Hình bên trái có 3 màu là không đủ Hình bên phải dùng 4 màu 8 (E) Vì 5| (22 - 1), 7| (38 - 1), 11| (B19 - 1), 13 | (712 — 1) nên n chia hết cho 5, 7, 11 và 13 9 (C) Chúng ta xem xét vị trí của quân Mã đen Số vị trí có thể tấn công của quân Mã trắng có thể đếm cụ thể Ta có: 16 x 8 + 16 x 6 + 20 x 4 + 8 x 3 + 4 x 2 = 336 trường hợp Từ đó tổng số trường hợp mà 2 quân mã không thể tấn công lẫn nhau là 64 x 63 — 336 = 3696 40 (E)
Trang 1342 Đáp số: 5 13 _ 134-.3) - (4+-/3)2 (4-A3)4+2J3) Nên (x - 4)2 = 3 Hay x2 - 8x + 15 = 2 Chú ý rằng x = xÝ-6x)-2x2+18x+23 › 38 — 20x Suy ra 5 =X +2x-1t=———— x*~ —8x+15 x* —8x +15 = x2 4 2x — 1 4 382 20K _ 2 _ gy 18-2435 13 Đáp số: 3 va X3 —4 av19X—_4 Đặt f(x) = v3x-1 Như vậy ff&)) =_—X‡+3 — - 3x-3-x-V3 _x-V3 x+/3 V3x-1, 5 V3 x -14+V3x +3 V3x +1 x+ 73 V3 x -1 X3X — 43 V3 ffđệ)) = —X+LV3— — -Ý3x-1-ý3x-3 Í Nạn ff(ffŒŒGx))) = J 3x1, 3x —J3 +x + V3 X x+/3 Vi 2010 = 6 x 335 nên ao; = F(F(F f(F(3)) )) = 3 ye 2010lần 14 Đáp số: 129 Xét hình sau, trong đó ⁄AOB = ⁄BOC -= ⁄COA -= 1200, A OA =a, OB =b va OC =c Ta có |BC| =5; |CA| = 7 và |AB| = 8 Diện tích tam giác ABC = 2/10(10 -5)(10 —7)(10 —8) =10-/3 O Nên TỔ (a ¿be + ca) = 10/3, 2 2 B C Từ đó ab + bc + ca = 40 2(a + b + c)2 = (a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2) + (c2 + ca + a2) + 3(ab + bc + ca) = 2B8 Nhu vay (a + b + c)? = 129 15 Dap số: 0
Đặt Q(x) = (1 + x)P(x) - x Như vậy Q(x) là đa thức bậc 201
Vì Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(2010) = 0, chúng ta có thể viết Q(x) = Ax(x — 1)(x — 2) (x — 2010) với
A là hằng số
1 = Q(-1) = A(—1)(-2)(-3) (_2011) = -A.2014!
Trang 14
Q(2012) + 2010 _
Như vậy Q(2012) = A.2012! = -2012 và P(2012) = 2013 16 Đáp số: 9241
Dat n= [x], {‡x}= x—n Phương trình trở thành (n+{x} ={x} =|(n+‡x}Ÿ |
Như vay 3n{x (n+ {x}) = [an fx fn +{x)+ iy |
Vế phải là một số nguyên Kết quả trên xảy ra nếu và chỉ nếu 3n{x (n+ {x là một số nguyên Chú ý rằng 0 < 3n{x Wn + {x ) < 3n(n + 1) Có đúng 3n(n + 1) nghiệm trong [n, n+ 1], n = 1, 2 Nên trên [1,20 |, tổng số nghiệm là: 3(1 x 2 + 2 x 3 + 20 x 21) + 1 = (23 - 13) + (33 - 23) + + (213 - 203) - 20 + 1 = 213 - 20 = 9241 17 Đáp số: 224
Với số n nhỏ nhất có thể ta cần có số 9 như là chữ số trong n nhiều nhất có thể Nên n là số nguyên mà chữ số đầu tiên là 2011 - 223 x 9 = 4 và 223 chữ số 9 tiếp sau 18 Đáp số: 1001 3 n+2011 - nˆ—10n+ 100 + 1011 n+10 n+10: Đây là một số nguyên nếu và chỉ nếu (n + 10) | 1011 Giá trị lớn nhất của n là 1011 —- 10 = 1001 19 Đáp số: 16 (-1, 2) Viết lại (a + 1)2 + (b - 2)2 = 1 và (c - 2)? + (d + 2)2 = 22
Mỗi phương trình biểu diễn một đường tròn
Khoảng cách giữa hai tâm là: \@ ~(-1))? +(-2-2)? =5
Trang 1521 Đáp số: 101 Nếu n > 102 thì M(n) = n - 10 > 92 M(91) = M(M(102)) = M(92) = M(M(103)) = M(93) = = M(101) = 91 Với mỗi k = 1, ., 10, M(80 + k) = M(M(91 + k)) = M(91) = 91 và do đó M(70 + k) = M(M(81 + k) = M(91) = 91 M(k) = M(M(11 + k) = M(91) = 91 Từ đó, tất cả các số nguyên từ 1 đến 101 là nghiệm của M(n) = 91 22 Đáp số: 19 11)" 20 +11-| — Ant 1 20774447 ey A, +1 207414" 41) (n+ 1)}| 1+) — 20 NénA,,, <A, néun>10+——2 _- vaA,.,>A, nếu n< 10+” —, 11YỶ 11Ỷ 1+|— 1+|— 20 20 Chú ý rằng 10+————<10+9=19, Nên n > 19 suy raA_>A_.a- 9 —- 1+ al 20 TYdon< 18 suy raA, <A, , Nếu 10 < n < 18 thì n < 10 + 8< 10+ 9 n 1+ 1 20 23 Đáp số: 169 Đặt a, là số cách có thể lát hình 1 x n Nếu n < 10 thì n < 10+
Như vậy a, =a,_ ¡+ a„_› + a _ „ với điều kiện ban đầu a; = 1, a„ = 2, aa = 3 và a¿ = 6
Như vậy a, = a¿ + aa + a; = 10, ao = a; + a¿ + a; = †18, a; = 8a + ay + aa = 31, ae = 8; † đe + ¿ = 55, 8o = 8g † a; + a = 96, a¡o = 8o + aa + ae = 169
24 Đáp án: 288
Xem hình sau Giả sử hình vuông 2 x 2 trên cùng bên trái điền các số 1, 2, 3, 4 Nếu x, y, z, w tất cả phân biệt thì không có số nào khác để đặt vào a; nếu {x, y} = {z, w} thì x', y', z, w là tất cả phân biệt và không có số khác cho a'
Chú ý rằng {x, x’} = {1, 2}, {y, y'} = {3, 4}, {z, z’} = (2, 4} va {w, w} = (1, 3} Cé 2 = 16 kha nang Trong đó 4 trường hợp là không thỏa mãn: {x, y} = {z, w} = {1, 4} hoặc {2, 3}, {x, y} = (1, 4} va {z, w} = {2, 3},
{x, y} = {2, 3} va {z, w} = {1, 4}
Với mỗi trong 12 trường hợp thỏa mãn thì x', y’, z’, w’ la xac dinh duy nhất nên các hình vuông 2 x 2
Trang 1625 Đáp số: 14
Nếu ngày 13 của tháng giêng là một ngày cụ thể biểu diễn bằng số 0 thì ngày 13 của tháng hai rơi
vào 3 ngày sau, biểu diễn bằng 0 + 31 = 3 (mod 7)
Truong hop 1 Hai năm liên tiếp không nhuận
lê | Mười [ Mười
Giêng | Hai Ba Tư Năm | Sáu một hai
0 3 3 6 1 4 3 5 1 4 4 0 2 5 4 6
Trường hợp 2 Hai năm đầu là năm nhuận
ié i x Mười | Mười
Giêng | Hai Ba Tư Năm một hai
0 3 4 0 2 4 6 2 5 5 1 3 5 0 Trường hợp 3 Năm thứ hai là năm nhuận
Giêng | Hai | Ba | Tư nàn ai 0 3 3 6 5 1 4 5 1 0
Từ bảng này chúng ta thấy câu trả lời là 14 Khoảng thời gian xảy ra dài nhất khi thứ sáu ngày 13 rơi
vào tháng bảy của năm đầu và tháng chín của năm thứ hai, trong đó năm thứ hai không phải năm nhuận 26 Đáp số: 350 Bằng cách xét số táo trong các túi, có 3 trường hợp: fx6x5xÁÃ - 1 (4, 1, 1, 1) Cƒ =—————=35 4x3x2x1 2 (3, 2, 1, 1) 03.02 = 8x9 4x3 _ 519, 3x2x1 2x1 3 (2, 2, 2, 1) 4 62.02.02 = 1 RO Ox4 SX? _ 495, 3] 6 2x1 2x1 2x1 Nên tổng số cách là 35 + 210 + 105 = 350 27 Đáp số: 19 Chú ý rằng 8 + 12=20,5+8+8=21,5+5+12=22,5+5+5+8=23,8+8+8=24 Nếu n > 25, ta viết n = 5k + m ở đó 20 < m < 24 và k là một số nguyên dương Nên số bất kì > 25 có thể được trả bằng cách dùng vé Tuy nhiên 19 không thể được trả đúng nếu chỉ dùng 3 kiểu vé này 28 Đáp số: 10301
Mỗi đoạn của đường gấp khúc được dựng sử dụng, coi là Ð với chiều dài 2, 4, 6, ., 200 Ð cuối cùng
Trang 17
=X+ 2x2 + 2x3 + x4,
P(x) =x (1+ x)(1+x+x
Q() =x (1+ X)(1+x+ Xx2)(1T—x + X2) =x + XỔ + Xf + x9 + XỔ + xổ,
Nên các con số của con xúc xắc đầu tiên là 1, 2, 2, 3, 3, 4 và con thứ hai là 1, 3, 4, 5, 6, 8 Như vậy a; + a + + a=1+2+2+3+3+4=15
30 Đáp số: 109
2-PA+3-PB+5-PC-=2(PA + PC) + 3(PB + PC) >2 -AC+3-BC=2- 17+3-25= 109
Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu P = C
31 Đáp số: 4
Cho tam giác đều PQR Gọi C, là đường tròn ngoại tiếp và C là đường tròn nội tiếp của nó Giả sử QR, RP, PQ là các tiếp tuyến đến C, tại các tiếp điểm P’, Q’, R' tương ứng Diện tích tam giác PQR
bang 4 lần diện tích tam giác P'Q' nên diện tích C cũng bằng 4 lần diện tích C
yy YZ
2)
32 Đáp số: 98 P
Vi y = x2 và y = —x — 4 không cắt nhau nên A và B phải nằm trên đường thẳng song song với y = -x — 4 gọi là y = —x + c Khoảng cách từ (0, -4) đến y = —x + c là 84/2 = |@ +2 -c| +4) =e]
V1+1
Nên C = 12 hoặc C = -20 (loại)
Thay y = -x + 12 vào parabol ta được x? = -x + 12 nén x = 3, -4 Vay A la (3, 9) va B la (-4, 16) Vay |ABÍ =(3—(-4))2 +(9—16)2 = 98 33 Đáp số: 30 Vé BF LCE, F nam trén CE Néu AB = 1 thi BF -~2 va BE = V2 Vay Ê = 30° E A B F D C 34 Đáp số: 4022 Đặt DP = GP = a, IP = FP = b, EP = HP = c Như vậy DE + FG + HI = (a + c) + (a + b) + (b + c) = 2 (a + b+ c) =2 x 2011 = 4022 35 Đáp số: 10
Từ giả thiết, BD + 2 + AE = BD + DC Nên 2 + AE = DC Chú ý rằng ABZ + BEZ =AE2 và BD? + BC2 = DCˆ Do d6 (2 + BD)? + 34 = AE’, BD? + 72 = (AE + 2), 4 (AE + BD) = 32 Vay AE + BA = = +2=10
Trang 18
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP (Tiếp theo trang 9) a) 4xy - X— y = 22 b) 4xy + 4x — y - 2 = 9x2 c) X2 = yŠ + 16 d) 19x2 + 28y2 = 729 ©) X + ÿˆ + Xy = 2X + V f) xÊ+yˆ+ xy=X + g) X2 + 3y2 — 3xy = 3y h) x2 + 5y2 - 2xy = 1 + y ) 5(x2 + y2 + xy) = 7(x + 2y) j x2 + 2yˆ + 2z2 - 2xy - 2yz - 2z = 4 k) x2 + y2 + z2 = xy + 3y + 2z - 4 l) x3 + 2y3 - 6xy + 8z = 0 m) ⁄x+.w-1+xz-2 =s(X+y+Z) n) x2 + y2 + z2 + tˆ = 2xyzt O) x? + y2 +z2= x2y2 p) x? + 2y3 = 4z q) 8x4 + 4y* + 2z = r)(xX+y)(V+Z)(+Xx)+ 2Xx+y+ z)3 = 2(1 - xyz) s) x° +8 =7V8x+1 t) x2 — xy + y? = 2x -y u) X2 - x2V2 + xy + y2 = 0 v) x? - y? =7 Bài 26 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình x? +13y? =z? 13x? 4+ y2 = t? Bài 27 Tìm tất cả cac s6 nguyén duong x, y, Z Xx+y22z x? +y -2zˆ =8
(Junior Balkan Mathematical Olympiads 2000) Bài 28 Giải phương trình nghiệm nguyên X(x + 1)(x + 2) + (x+ 1)(x + 2)( x + 3) + x(x + 1)(x
+3) + x(x + 2)(x+3)=y?
Bài 29 Chứng minh rằng các phương trình sau
không có nghiệm nguyên: a) x° — 5x? + 4x = 24(5y + 1) b) 33x) - x + 6x2 — 15x = 2001 Bài 30 Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn p - q° = (p + q)? Bài 31 Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất mà p viết được thành 10 tổng có dạng thỏa mãn điều kiện
Trang 19Bé THI CHON HOC SIH GIO! TOAN LGP 9 TINH Vink PHOC Nam hoc 2011 - 2012 %* *%x %x x * x %x x*x *x* *%x *x kx *x*x *x x*x x*x* Câu 1 1 Ta có x? x? 1-3x 43x? ˆ x? +(—x)# Với x + y = 1, ta có f(y) = f(1 - x) — (1w _(—x)Š+xŠ 2A =f a +f 2011 +f 2 + f 2010 + 2012 2012 2012 2012 “(oa { Jezotts 0-2 f(x) = => f(x) + fly) = 1 Tir dé 2012] | 2012 2.p-_XX†2 piểu kiện: x > 0, x # 1 X+AX+† Ta thấy P > 0 và Px + (P—1)Vx +P-2=0 (1) Coi
đây là phương trình bậc hai ẩn 4x
Điều kiện để phương trình có nghiệm là A > 0 hay
-3P2 + 6P + 1>0 ©(P-1)2 “sẽ
Do P nguyên nên (P - 1)2 bằng 0 hoặc 1 Từ đó P bằng 1 hoặc 2
Thay P = 1 vào (1) ta được x = 1: loại Thay P = 2 vào (1) ta được x = 0: loại
Vậy không tồn tại giá trị của x để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 (x + y)Ÿ = (x — y - 6)Ê (1) Trước hết ta nhận xét nằng nếu X, Y, m, n là các số nguyên dương thoa man X™ = Y", X > 1 va m >n thì X < Y (2) Nếu x > y + 6 thì x - y - 6> 0 Mà x + y > 1 nên x-y-6>1
Tur (2) suy rax + y< X—y — 6 nén 2y + 6 < 0: phương trình vô nghiệm
Do đó x < y + 6
Từ (2) suy ra X + y < y +6—x nên x< 3
Với x = 1, thay vào (1) ta được
(y + 1) =(y + 5)? © yŸ + 2y? - 7y - 24 =0 © (y - 3)(yˆ + 5y + 8) =0 © y= 3 Với x = 2, thay vào (1) ta được (y + 2)3 = (y + 4)2 © y + Sy? + 4y - 8 = 0: vô nghiệm (vì y > 1) Vay (x; y ) = (1; 3) Câu 3 Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 > 2xy, từ giả thiết ta có
2012 = (abc + bcd + cda + dab - a - b— c— d)2 =
[(ab — 1)(c + d) + (cd — 1)(a + b)]? = [(ab — 1)(c + d)]2 + 2(ab — 1)(c + d)(cd — 1)(a + b) + [(cd — 1)(a + b)]? < (ab — 1)(c + d)É + (ab — 1)2(cd — 1)ˆ + (a + b}2(c + d)^ + [(cd — 1)(a + b)]2 = [(ab — 1)? + (a + b)][(cd — 1)? + (c + d)2| = (a2b^ + a2 + b^+ 1)(c7d2 + c2 + d2 + 1) = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) Suy ra đpcm Câu 4 S
1 Vì AI là tiếp tuyến của (O,) và (O.) nên
AM,.AN, = Al? = AM AN Suy ra tứ giác
M;N,N.M; nội tiếp
Ta có ANN = ẤMM; = —ÃOM,
Mà AOM,M, cân tại O nên OAM, + SAOM; = 909
Do dé ANiNo + OAM, = 90° hay OA L N,N
2 Gọi S là giao điểm của PM, và QM
Trang 20BE THICHON HOC SINH GIO! TOANLOP 9 HUYEN YENLAC UNH PHOC
Năm học 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
KRRREKKRARRENRRKREKRKRER ERE
Câu 1 a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x?— 2y? = 2013
b) Chứng minh rằng tổng bình phương của p số nguyên liên tiếp (p là số nguyên tố, p > 3) chia hết cho p Câu 2 a) Trên mặt phẳng, xét lưới các ô vuông 1 x 1 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác đều có đỉnh là các mút của lưới b) Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn điều kiện aŠc + bỔa + c?b = abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b Cc a P= + + a* +ab b2 +bc c2 + ca Vie Vix? | ets 08 -v-x) 2+J1~x? |
Cau 3 a) Rut gon biểu thức: M =
b) Giai phuong trinh x? + 2x? — 4x = Ta:
Câu 4 Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M Tính tỉ số AM AO y* =(5x + 4)(4-x) Câu 5 a) Giải hệ phương trình: y? -5x2 — 4xy + 16x - 8y + 16 =0 b) Cho tam giác nhọn ABC
Chứng minh rằng: sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC) IS Vì PQ 1 AI, AI L O,O, nén PQ // 0,0 Suy ra Í[OsM› =POM¿ Mà tam giac O,|M, can tai O,, tam giac OPM, can tai O nên ÓzMạl = OMạP Do đó M,, I, P thẳng hàng Ma PM2Q = 90° nên PM, L QM, hay PI SQ Tương tự QI L SP Do dé | la truc tam tam giac SPQ nén SI L PQ Ma Al | AQ nén §, I, A thang hàng a:
Vậy AI, PM; và QM, đồng quy B
Trang 21Be THI CHON HOC SIH GIOI TOAN LOP 9 Tink Bic GIANG
Nam hoc 2011 - 2012 * Ngay thi: 01/4/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) KREREKKKRRRK KR RRR KR ERK
Cau 1 (5,0 diém)
1+4x + 1—4x , biết x- 12
1+41+4x 1-v1-4x 9
2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (m + 1)x? — (2m + 1)x + m- 1 =0 có hai nghiệm
1) Tính giá trị của biểu thức: A =
phân biệt xạ, x„ thỏa mãn xƒ + xổ -2009x¡x; = 2012 Câu 2 (4,0 điểm) 4) Giải phương trình: (2/x +2 - 4x +1)(2x+3+ V4x? +9x +2) =7 X+y-2=44z-2 2) Giải hệ phương trình 4 y +Z—2 = 4/x—2 Z+x-2=4/y-2 Cau 3 (4,0 diém)
1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x biết x và y là hai số thỏa mãn đẳng thức: y2 = 3(xy + y — x—
2) Tìm các số nguyên k để biểu thức k“ - 8k + 23k2 — 26k + 10 là số chính phương
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H bất kì không trùng với A và O, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa
điểm A) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của CM, CN với đường thẳng AB
1) Chứng minh HC là tia phân giác của MHN
2) Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại | Chứng minh I là trung điểm của PQ
3) Chứng minh rằng ba đường thẳng PN, QM và CH đồng quy Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y và z thỏa mãn x + y + z = 6 Chứng minh rằng: Xổ + y2 + z2 — xy— yZ — Zx + xyz> 8 2) GU DUNG DONG DU THUG „ ceo son 5 ' 1357
i) 5841277 cho 23 e) 1489” cho 7 f) 102103”” cho 13
k) 1357214 cho 59 ) 45° cho 13 h) 234789" cho 7
1) 35691789 cho 83 g _ a
m) 5432112345 cho 67 ¡) 345590 cho 13 j) 102113” cho 7
n) 89345/°°°° cho 73 k) 12345589'” cho 43 I) 34789”” cho 7
o) 54107359 cho 89 8g287®7 2269337
p) 123456789°98/654321 cho 2011 m) 349 cho13 n) 1114 cho 7
q) 987654321 123458789 cho 2011, o) 123559” cho 13 p) 4'°” cho 11
Bài 4 Tìm số dư khi chia q) ag927” cho 11 r) 42a4222”° cho 11
Trang 22HANO! OPEN MATHEMATICS COMPETITION cOl3 JUNIOR SECTION Sunday, March 24, 2013 * 14h00-17h00 KRRAERKRKERKRKRREKRERNREKRERERA Important Answer all 15 questions
Enter your ansewer on the ansewer sheet provided For the multiple choice questions, enter only the letters (A, B, C, D or E) corresponding to the correct answers in the answer sheet No calculators are allowed
Multiple Choice Questions
Question 1 Write 2013 as a sum of m prime numbers The smallest value of m is:
(A): 2; (B): 3; (C): 4;
(E): None of the above
Question 2 How many natural numbers n are there so that n2 + 2014 is a perfect square
(A): 1; (B): 2; (C): 3; (D): 4;
(E) None of the above
Question 3 The largest integer not exceeding [(n+1)œ] — [na], where n is a natural number,
42013 , iS:
42014
(A): 1; (B): 2;
(E) None of the above
Question 4 Let A be an even number but not
divisible by 10 The last two digits of A2° are:
(A): 46; (B): 56; (C): 66; (D): 76; (E): None of the above
Question 5 The number of integer solutions x of the equation below (12x - 1)(6x - 1)(4x — 1)(3x - 1) = 330 is: (D): 1; (C): 3; (D): 4; (A): 0; (B): 1; (C): 2; (D): 3; (E): None of the above Short Questions
Question 6 Let ABC be a triangle with area 1 (cm?) Points D, E and F lie on the sides AB, BC and CA, respectively Prove that min {Area of AADF, Area of ABED; Area of ACEF} < : (cm2) Question 7 Let ABC be a triangle with A= 90°,
B = 60° and BC = 1 cm Draw outside of AABC
three equilateral triangles ABD, ACE and BCF Determine the area of ADEF
Question 8 Let ABCDE be a convex pentagon
Given that
area of AABC = area of ABCD = area of ACDE =
area of ADEA = area of AEAB = 2 cm Find the area of the pentagon
Question 9 Solve the following system in posi- tive numbers
x+y<1
2
XY x^+y^
Question 10 Consider the set of all rectangles with a given perimeter p Find the largest value of =10 = —————_., where S is denoted the area of 25+p+2 the rectangle
Question 11 The positive numbers a, b, c, d, e are such that the following identity hold for all real number x:
3
(x + a)(x + b)(x + c) = xỶ + 3dx2 + 3x + e
Find the smallest value of d
Question 12 If f(x) = ax? + bx + c safisfies the condition lf(x)] < 1, Vx € [-1; 1] Prove that the equation f(x) = 2x? — 1 has two real roots Question 13 Solve the system of equations 1 + 1 1 x y 6 3.2 5 x y 6 Question 14 Solve the system of equations x? + y= x2 +1 2y +Z= 2y? +1 3z3+x=3z2 +1
Question 15 Denote by Q and Ñ the set of all rational and positive integer numbers, respec-
ax+b
Trang 23Bài 1(121) Giả sử A là một số nguyên dương và B là một số nguyên dương có được do đổi vị trí các chữ số của A Tìm giá trị nhỏ nhất của hiệu C = A - B, biết rằng C là một số nguyên dương có tất cả các chữ số đều bằng 8 Lời giải Giả sử C = 88 8 gồm n chữ số 8, n > 1 C có giá trị nhỏ nhất khi n nhỏ nhất Vì A, B có tổng các chữ số bằng nhau nên A, B có cùng số dư khi chia cho 9 Do đó C =A - B là số chia hết cho 9 Suy ra tổng các chữ số của C bằng 8n là số chia hết cho 9 Mà (8, 9) = 1 nên n là số nguyên dương chia hết cho 9, suy ra n > 9 Với n = 9, ta chọn được A= 9012345678, B = 8123456790 thi C - 888888888, thỏa mãn bài toán
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 888888888
Nhận xét Hầu hết các bạn khi tìm được n > 9 đã
kết luận giá trị nhỏ nhất của C là 888888888 (có
9 chữ số 8) mà không chỉ ra được một thí dụ về hai
số A, B thỏa mãn bài toán Làm như vậy là không chặt chẽ
Bạn Lê Ngọc Sáng, 6E, trường phổ thông chuyên
Hà Nội - Amsterdam, đã đưa ra thí dụ: A = 987654320, B = 098765432 Bạn lưu ý rằng khi nói một số tự nhiên thì ta hiểu chữ số đứng đầu của số đó phải khác 0 Các bạn tìm thêm các thí dụ khác về A, B thỏa mãn bài toán nhé NGUYỄN ANH DŨNG
Bài 2(121) Cho tam giác ABC có số đo các góc
B và C tương ứng la 70°, 40° Các đường cao BD
và CE cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm AH, M là giao điểm của tia phân giác góc EID với BC Tính s6 do géc IMD Lời giải (Theo cách giải của đa số các ban) B M C
Giả sử M' là trung điểm BC
Tam giác AEH vuông tại E có El là đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền nên AH = 2IE
Trang 24Nhận xét Mấu chốt của bài toán này là tính chất
hình học: IM là tia phân giác của góc EID và MI là
tia phân giác của góc DME
Các bạn sau có lời giải tốt: Phạm Hoàng Ly, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Lê Quang Trung, 7A4, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Lưu Thị Hồng, 8C, THCS Cao Xuân
Huy, Diễn Châu; Dương Thị Linh Chi, 7B, THCS
Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nghiêm Thị Ngọc Ánh, Trần Thị Hương Ly, 7B, THCS Hoàng Xuan Han, Dtic Tho, Ha Tinh HO QUANG VINH Bài 3(121) Giải hệ phương trình x3 — y? = 35 4x + y` -2y? = -4 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với x? =y? +35 (1) yŠ +2y2 -4(y2 + 2y) + (8y + 16) + 4x = 12 (2) (2) © (y + 2)(yˆ - 4y + 8) = 12 - 4x c© (y+2)y- 2)2 + 4| = 12 - 4x (3) * Nếu y > -2 từ (1) suy ra XỔ = y3 + 35 > (_2)3 + 35 — x >3 (4) Mặt khác với y > -2 thì từ (3) suy ra 12 - 4x = (y + 2)[w - 2)2 + 4]> 0 = X< 3 (mâu thuẫn với (4)) * Nếu y < -2 từ (1) suy ra x? = y3 + 35 < (-2)3 + 35 >x <3 (5) Mặt khác với y < -2 thì từ (3) suy ra 12 - 4x = (y + 2)[(y - 2)2 + 4]< 0
= x > 3 (mâu thuẫn với (5))
* Nếu y = -2 thay vào (1) ta được x = 3 Thử lại thấy đúng
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là (3, -2) Nhận xét Các bạn sau có lời giải ngắn gọn:
Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Hữu
Nghĩa, Nguyễn Chí Trung, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong; Lê Huy Cường, 9A2, THCS Từ Sơn,
TX Từ Sơn, Bắc Ninh; Đỗ Thị Như Quỳnh, 9A,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Pham Hoang Anh, 8B, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Mạnh Khang, 8A,
THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
NGUYEN VAN MINH
Bai 4(121) Giả sử x và y là hai số nguyên dương
thỏa mãn A = x2 + y2 chia hết cho 2013 Tìm giá
trị nhỏ nhất của A
Lời giải Ta có 2013 = 3.11.61
Suy ra A chia hết cho 3, 11, 61
Nếu a là số nguyên không chia hết cho 3 thì số dư
của a2 trong phép chia cho 3 bằng 1
Trang 25Mà A = x2 + yŸ : 3 nên x: 3 và y : 3 (1)
Lại có, nếu a là số nguyên không chia hết cho 11
thì số dư của a2 trong phép chia cho 11 thuộc tập hợp {1; 3; 4; 5; 9) Mà A = x2 + y2 : 11 nên x : 11 và y : 11 (2) Từ (1) và (2) suy ra x : 33 và y : 33 Đặt x = 33a, y = 33b, với a, b là những số nguyên dương Từ đó A = 1089(a2 + b) Vì A: 61 mà (61, 1089) = 1 nên a2 + bề : 61 Suy ra a2 + b2> 61 Ta có a2 + bˆ = 61, chẳng hạn khi a = 5, b = 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 66429
Nhận xét Đây là một bài toán hay và thú vị Có
nhiều bạn tham gia giải Bài toán trên chỉ cần vận
dụng tính chất chia hết của tổng các số chính
phương cho các số 3, 11, 61 để đi đến kết quả
Một số bạn đã dùng định lí Fermat để giải bài toán
trên
Các bạn sau đây có lời giải tốt và gọn hơn cả: Tạ
Lê Ngọc Sáng, 6E, trường phổ thông chuyên Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Nguyễn Phùng Thái
Cường, 8B, THCS Hòa Hiếu Il, TX Thai Hoa;
Phạm Quang Toàn, 8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Chí Trung, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Đức Thuận, 8A3: Phạm Anh Quân, Nguyễn Thanh Bình, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Dương Minh Đức, 8A, THCS Kim Đồng, Tân Lạc, Hòa Bình CAO VĂN DŨNG Bài 5(121) Cho X = {a, b} và Y = {1, 2, 3 }, với a #zb Tìm n là số các hàm số: i) Tu X vào Y ii) Từ Y vào X Lời giải i) Với mỗi phần tử thuộc X, có ba cách chọn phần tử tương ứng thuộc Y Vậy có n = 3.3 = 9 hàm số từ X vào Y ii) Với mỗi phần tử thuộc Y, có hai cách chọn phần tử tương ứng thuộc X Vậy có n = 2.2.2 = 8 hàm số từ Y vào X
Nhận xét Ngoài cách lập luận theo hướng tổng
quát ở trên, ta có thể liệt kê cụ thể các hàm số
Chẳng hạn từ X vào Y ta chọn f(a) = 1, f(b) = 2
Có ít bạn giải đúng bài toán này Sau đây là các
bạn giải đúng: Nguyễn Chí Trung, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc HOÀNG TRỌNG HẢO £ Ca W \\ \\ \
Bài 6(121) Cho tứ giac ABCD c6 DA= DB = DC =a
va AB + BC = 2a Gọi I là giao điểm của AC với BD Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và BCD bằng tỉ số chu vi của hai tam
Trang 26Lời giải Trong lời giải này các kí hiệu P(.) và S(.)
theo thứ tự chỉ chu vi và diện tích của tam giác
Không mất tính tổng quát giả sử AB > BC
Gọi Bx là tia phân giác của góc CBD; d là đường thẳng đi qua D vuông góc với AC; E là giao điểm của Bx với đường thẳng đi qua D song song với
AC; P là giao điểm của Bx với AC; F là điểm đối
xứng với E qua D; Q là giao điểm của BF với AC;
Mà điểm thuộc tia BI sao cho BM = BC; N là điểm
thuộc tia BI sao cho BN = BA
Vi DA= DC vad LAC nénA, C déi xttng véi nhau qua d
Vì F, E đối xứng với nhau qua D, d L AC và AC // FE nên E, F đối xứng với nhau qua d Vậy AF = CE Vì BN + BM = AB + BC = 2a = 2BD nên ND = BN - BD = BD - BM = MD Kết hợp với FD = ED, suy ra tứ giác NFME là hình bình hành Vậy NF = ME Vì CBE =MBE và BC = BM nên CE = ME Tém lai AF = NF
Két hop véi BA = BN, ta cé ABF = NBF
Chu y rang QP // FE va FD = ED, suy ra IQ = IP
Trang 27DANH SACH CA NHAN YA TAP THE BOAT GIAl THI GIAI TOAN QUA THU
Nam hoc 2012 - 2013
Căn cứ vào số lượng bài tham dự của các bạn, Tạp chí Tốn Tuổi thơ cơng bố danh sách đoạt giải
Cuộc thi Giải toán qua thư năm học 2012 - 2013 trên tạp chí TTT2 Ngày 8.6.2013, Tạp chí sẽ tổ chức trao giải tại Lễ khai mạc Olympic Toán Tuổi thơ 2013, tổ chức tại Vĩnh Phúc Thư mời sẽ được gửi tới
các bạn Các bạn có thể đến nhận giải xin vui lòng gọi điện về Tòa soạn để xác nhận Các bạn không dự được, BTC sẽ gửi đến phần thưởng đến theo địa chỉ Các bạn vui lòng gửi thư hoặc gọi điện thông
báo địa chỉ mới nhất cho Tạp chí
Sau đây là danh sách đoạt giải:
1 |Nguyễn Đức Thuận 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ Giải Vàng
2 |Nguyén Ngoc Linh 9B, THCS Nguyén Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội Giải Vàng
3_ |Đỗ Nguyễn Vĩnh Huy TH li lo thông chuyên Trần Đại Nghĩa, Giải Bạc 4_ |Hồ Xuân Hùng 9C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An Giải Bạc 5 |Nguyén Thanh Tam 7B, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vinh Phúc Giải Bạc 6 |Nguyễn Trường Phong 9A1, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng Giải Bạc 7 |Tạ Lê Ngọc Sáng Hà Nor phổ thông chuyên Hà Nội - Amsterdam, Giải Bạc
8 | Trịnh Huy Vũ 9A10, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội Giải Bạc
9 |Đào Xuân Hiệp 9C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc Giải Đồng 10 | Chu Mai Anh 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc Giải Đồng 11 | Chu Văn Trang 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Giải Đồng 12 |Hoàng Thị Ngọc Thúy 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh Giải Đồng 13 | Mẫn Bá Tuấn 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Giải Đồng
14 |Nguyễn Bảo Châm 9E, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc Giải Đồng
15 _ | Nguyễn Quốc Nghiên 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc Giải Đồng
16 | Nguyễn Thanh Lan 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội | Giải Đồng
17 |Nguyễn Thị Thanh Hương | 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Giải Đồng
Trang 28© Xét qué DO VUL Chao Kuen , TY (TTT2 số 120) Bài 1 Chia hình Bài 6 Tam giác số 672 674 1926 192 0|8 7 (667) 6 8 93/1945 668 (670) Bài 2 Điển số chào năm mới (671) 673 669 Bai 7 Ngdi sao nam canh Bài 3 Vẽ thêm nét =o Bài 4 Những vòng tròn kì diệu
Nhận xét Các bạn sau có lời giải của nhiều câu
đúng nhất được thưởng: Bửi Thị Mỹ Duyên, 6A3,
THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đỗ Minh Gia An, 8A9, THCS Kim Hồng, TP Cao Lãnh, Đồng Tháp; Nguyễn Hương Ly, 6/2, Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh; Nguyễn Hạnh Nhung, 8B, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh
TTT khen các bạn sau cũng có lời giải tốt: Tạ
| Khắc Thắng, 6A4, THCS Yên Phong, Yên Phong, — — — Bắc Ninh; Nguyễn Minh Nguyệt, 6B; Nguyễn
| | | | | Xuân Duc, 6C, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ,
| | | | Ha Tinh
—— — TTT
Trang 29IMUINH Gilly KHÓ HIỂU ĐĂNG THỊ TƯỜNG VY ® :
(68 Phạm Văn Đồng, TP Pleiku, Gia Lai)
hám tử Sêlôccôc đang có chuyến công tác nước ngoài Mặc dù rất
bận rộn nhưng ông vẫn dành thời
gian đến thăm mấy người bạn Hôm đó, khi mới tới chơi nhà bà Lily thì thám tử có điện thoại của ông Harison:
- Xin chào ông bạn cũ của tôi! Biết ông
đang ở thành phố này, tôi có việc cần, muốn nhờ ông giúp đây!
- Sẵn sàng thôi! Ta gặp nhau chứ?
- Bây giờ tơi sẽ đón ơng Ơng cho địa chỉ
di!
Nửa tiếng sau, thám tử Sêlôccôc đã ngồi
trên xe của ông Harison Ông Harison đưa bạn cũ của mình vào một quán cà phê nhỏ
và kể:
- Chiều nay, ông Mac - Phó Giám đốc
công ty của tôi bỗng nhiên mất tích Chúng
tôi đã báo cảnh sát nhưng đến giờ vẫn chưa có manh mối nào Chỉ lo nhỡ có chuyện gì
không may
- Còn thông tin nào nữa khơng? Ơng kể
cu thé di!
- Chiều nay, công ty có cuộc họp lúc 15
Trang 30Gọi tới nhà thì không có người nghe máy Vì
ông Harison sống một mình nên thấy vậy,
chúng tôi vội vã tới nhà ông ta
- Ông có chìa khóa nhà ông Harison à?
- Đúng, ông Harison là người can than, lai
hay đau ốm, nên luôn gửi chìa khóa dự
phòng cho tôi
- Tại nhà ông ấy, các ông có phát hiện
được điều gì không?
- Sau khi xem xét hiện trường, cảnh sát
nghỉ ông Harison đã bị bắt cóc Mà kể cũng
có lí, ông ấy vốn là một nhà khoa học tài
giỏi, có nhiều công trình giá trị Hiện tôi đang giữ mảnh giấy mà tôi tìm được trên bàn phím
máy tính ở nhà ông Harison Đọc chẳng
hiểu gì nên tôi muốn nhờ ông giải mã đây Nói rồi ông Harison đưa cho thám tử Sêlôccôc mảnh giấy nhỏ với những chữ cái và số được đánh máy vi tính: Q AAG 1D 8 1 SL BUWNOAGNEO Bên dưới là dòng chữ: A SNAKE IS CREEPING
Thám tử chăm chú xem đi xem lại Một lúc sau ông nói với bạn mình:
- Đây là mật mã ông Harison kịp để lại cho chúng ta đấy Tôi đã giải mã được rồi Rất có thể đó là nơi có liên quan mật thiết tới vụ bắt cóc này
Nghe thám tử nói vậy, ông Harison mừng lắm mặc dù vẫn chưa hiểu bản mật mã nói gì Các thám tử Tuổi Hồng hãy giải thích giúp nhé!
© Kéi qua ALLA KE KHA NGHI oressizy
Có lẽ vì mèo là vật nuôi quen thuộc trong nhà nên bạn nào cũng biết rõ loài vật này
rất sợ nước Chính vì thế, bạn nào cũng
nhanh chóng phát hiện sơ hở trong lời kể
của anh Pip, khi anh ta nói là đi xem tiết
mục mèo thi bơi
Phần thưởng được gửi tới: Bùi Thị Mỹ
Duyên, 6A3, THCS Lâm Thao, Lam Thao,
Phú Thọ; Tập thể lớp 7B, THCS Thị trấn
Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang; Nguyễn
Quang Minh, 6A1, THCS Đồng Cương,
Đồng Cương, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Hoàng
Ngọc Hải Linh, 7A, THCS Đoàn Thị Điểm,
Yên Mỹ, Hưng Yên; Đính Thị Hồng Nhung, fA1, THCS Lê Danh Phương, Hưng Hà, Thái Bình; Lê Anh Nhật, 6A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh
Thám tử Sêlôccôc
Trang 31
Hen vdi tigng Han
ThS NGUYEN VU LOAN
Bai 41 wee Xã Cô ấy cao hơn tôi
Từ mới
& gao: [cao] cao, lon 2>#£jinnián: [kim niên] năm nay EL bi: [ti] so sanh, so voi (At BF A cao hơn B)
Z duõ: [đa] bao nhiêu (# bao nhiêu tuổi, Z ïŠ cao bao nhiêu )
3 shuõ: [thuyết] nói # 7 YIngyũ: [anh ngữ] tiếng Anh #;®yìshù: [nghệ thuật] nghệ thuật 3 £Hàny: [hán ngữ] tiếng Hán
Mẫu câu và hội thoại
1 A:#£#Z%? (Niduõ dà?) Bạn bao nhiêu tuôi?
B:RA4+ AF (Wodjinnidn shiwi sui.) Mình năm nay mười lăm tuổi A: #RAY DEAR (Nide Hànyũ hšn ho.) Tiếng Hán của bạn rất tốt B:MWHBĂ 1⁄2 #†T£NB ? (Xièxie Nihuì shuö Yïngyũ ma?)
Cảm ơn Bạn biết nói tiếng Anh khơng?
A:#41i#†E (Wð h shũư YTngyũ.) Mình có biết nói tiếng Anh 2 A:1h;E:1 ? (Tãshì shuí?) Cô ấy là ai?
B: fhe Bee AAA, PMY NZ, MRK, i MEK, eR eR
(Ta shi w6 hao péngyou Ta jiao XiaoHong, ta bi w6 da, yé bi w6 gao Ta xihuan yishu, ta
xiăng zuò huảjiã.) Cô ấy là bạn thân của mình, cô ấy tên là Tiêu Hồng Cô ấy lớn hơn mình,
cũng cao hơn mình Cô ay thích nghệ thuật, cô ay muốn làm họa sĩ Tập đọc và dịch
1 FM Mary, KReSE, KROSTOS
(W6 Jiao Mary, wo shi xuésheng, w6 jinnian shisi sui.)
2 ?%ï5, tri Xi, fUSMX2
(Wð huì shuö Y1ngyũ, yš hưì shuö Hànyũ, wð yš xIhuan yìshù.)
3 TomE_tMikefl, Mikektk Tom72., (TombiMike gão, Mike bĩ Tom đà.)
Trang 32GĂNG r„ ` & 0 AZ ©- Aim = < Caney Put Let be We have We denote If then We will show that Hence We write Since But
Clearly, from we have Similarly, we can prove that From (1) and (2) we get Therefore It follows Note that Choose x = 2 so that However Thus, If Conclusion We deduce that Putting t= 3 By the hypothesis Because So Then Consider On the other hand Method 1 Case 1 Drop Draw Given Suppose
Bai 3 CACH VIET
MOT CHUNG MINH VŨ KIM THỦY Đặt Đặt là Ta có Ta kí hiệu Nếu thì Ta sẽ chứng tỏ rằng (Từ ngay kết quả trên) ta có Chúng ta viết (lại) Vì Nhưng Rõ ràng từ ta có Tương tự có thể chứng minh rằng Từ (1) và (2) ta có Do đó (để kết thúc một ý chứng minh) Suy ra Chú ý rằng Chọn x = 2 thì
Tuy nhiên, dù sao
Trang 33HRS LORE HN v3 Ki AO VA HUYEN THOAI MA PHUONG VÕ THỦ PHƯƠNG
Sinh thời, Benjamin Franklin (1706 - 1790), một trong các nhân vật hàng đầu xây dựng nên Hợp chúng quốc Hoa Kỳ, người được mệnh danh là thầy phù thủy của các ma phương, đã nói: “Tôi không ép bạn gì cả, nhưng bạn sẽ sẵn sàng cho hình vuông 16 6
là điều thần kì nhất trong số bất cứ ma phương nào đã từng được tạo ra bởỏi bất cứ nhà
ảo thuật nào” Vậy ma phương là gì? 1) Ma phương
Theo từ Hán - Việt, ma có nghĩa là ma trận, phương có nghĩa là hình vuông (khái niệm bình phương, số chính phương cũng từ đây mà ra) Như thế ma phương là một ma trận vuông, nó có
thể được tạo ra bằng việc điền các số nguyên liên
tiếp từ 1 đến n2 vào các ô của ma trận vuông sao
cho tổng các phần tử thuộc cùng một hàng, một cột hoặc một đường chéo chính luôn bằng nhau
Số này được gọi là hằng số ma phương Nếu số
hàng (hoặc cột) của ma phương bằng n, thì n
được gọi là cấp của ma phương Khi đó, với giả
thiết rằng dãy số nguyên liên tiếp bắt dầu từ số 1,
thì hằng số ma phương được tính bởi công thức n(n? + 1)
Tổng quát hơn, nếu day số tạo nên các
phần tử của ma phương bắt đầu từ số k > 1 thì hằng
n(n? +1)
số của ma phương là +n(k—') Do tính
chất kì thú này của ma phương mà người ta gọi ma phương là hình vuông ma thuật (Magic square)
Ma phương là đề tài thú vị, đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong đó có
Leonhard Euler Ông đã thành lập một ma
phương cấp tám bao gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 64 Điều đặc biệt là Euler đã dùng
cách đi của quân mã để di chuyển trên ma
phương, từ số 1 đến số 2, qua số 3 và cứ thế lần
lượt đến số 64
Để lập ma phương, người ta phân ma phương
thành hai loại: ma phương lẻ (cấp của ma phương là số lẻ) và ma phương chẵn Trong ma phương chẵn lại chia ra: ma phương cấp 4n và ma
phương cấp 4n + 2
2) Tiểu thuyết gia Kim Dung với ma phương
Tại Trung Quốc, huyền thoại về ma phương đã có từ rất xa xưa Tương truyền rằng: Vào khoảng
2.000 năm trước Công nguyên, khi vua Đại Vũ trị
thủy, ở sông Lạc Thủy xuất hiện một con rùa rất lớn (thần quy), trên lưng rùa có hình hoa văn cấu
thành một bức đồ hình mà người Trung Quốc sau này gọi là Lạc thư (Lo-shu) Lạc thư trên lưng rùa là ma phương cấp ba (hình vẽ) Đồ hình lạc thư O-0-0-0-—-0-0—-0-0-0 Hằng số ma phương bằng 3.(32 + 1) = 15 Là người 2
am hiểu sâu sắc về Kinh dịch và văn hóa cổ
Trung Hoa, Kim Dung đã đem ma phương của
Lạc thư phổ vào tiểu thuyết của mình Ơng mơ tả
Trang 34
trong bộ tiểu thuyết Anh hùng xạ điêu cảnh Hoàng Dung và Quách Tĩnh (hai nhân vật chính) đào tẩu
khỏi sự truy đuổi của kẻ thù, lạc vào đầm tối và gặp Thần toán tử Anh Cơ Hồng Dung bị Thần
tốn tử ra câu đố như sau: “Ngươi đem chín số từ 1 đến 9 xếp thành ba hàng, ba cột, bất kể ngang
dọc hay chéo cứ ba số đều cộng thành 15 thì giải thế nào?” Hoàng Dung nghĩ thầm “Cha ta xây
dựng đảo Đào Hoa, về sự biến hóa của ngũ hành
thì tinh diệu đến mức nào! Phép Cửu cung này là
nền tảng của trận đồ trên đảo Đào Hoa, lẽ nào ta
không biết” Nàng bèn hạ giọng ngâm nga “Nghĩa lý Cửu cung, theo phép mai rùa, hai bốn làm vai (người Trung Quốc tính từ phải sang trái), sáu tám
làm chân, trái ba phải bảy, đội chín đạp một, số
năm ở giữa” Vừa nói vừa vạch ra trên mặt cát đồ
hình Cửu cung Thần toán tử Anh Cô biến sắc mat, thở dài nói: “Cứ tưởng rằng một mình ta sáng chế ra được bí pháp ấy, té ra đã có khẩu quyết lưu truyền trên đời” Kim Dung đã để cho Hoàng Dung
giảng giải lí thuyết về ma phương cho Thần toán
tử, dù cách giải thích rất đơn sơ, song vị Thần toán
tử này tỏ ra khá mù mờ về ma phương Thật ra ma
phương Cửu cung mà vị Thần tốn tử Anh Cơ tìm
ra rất đơn giản, và các phép biến của nó Anh Cô
cũng chưa hề nghĩ tới, tuy nhiên một người sống
trong đầm tối, ít tiếp xúc học hỏi kiến thức ngoài đời, thì sáng tạo ra như vậy cũng không đến nỗi tệ!
3) Cách tạo một ma phương
Để tạo ra một ma phương mới từ ma phương có sẵn, ta dùng tính chất sau của ma phương: Cộng
hoặc nhân mọi phần tử của Ma phương với cùng 1
số, ta sẽ thu được một ma phương mới Chẳng hạn
ma phương “Cửu cung”: hàng thứ nhất gồm 4, 9,
2, hàng thứ hai 3, 5, 7, hàng thứ ba 8, 1, 6 Nếu ta
nhân mỗi phần tử của ma phương này với 5 ta thu
được Ma phương mới: với hàng một gồm các số 20, 45, 10; hàng hai gồm 15, 25, 35 và hàng ba là
40, 5, 30 Một tính chất khác của ma phương: Nếu đổi chỗ hai hàng hay hai cột cách đều tâm của ma
phương ta thu được ma phương mới Ví dụ từ ma phương trên, ta đổi chỗ hàng một cho hàng ba, sẽ
có ma phương mới
Ma phương là một hình thức giải trí toán học hấp
dẫn và đầy thách thức, xin mời bạn đùa vui với ma phương! “ wt \ THE CO (Ki 52) Den đi trước và thắng a b c d e f g h Z 2 7 8 8 7 eer ự WY | ƒ 6 SH Vw, 4, ‘2 6 2= 3 li, eV, NY 2 2 = & 77s | 22 V7, Fo Fee y ⁄ ca “eh” WY] Ves | a b g fh c def LE THANH TÚ (Đại kiện tướng Quốc tế) ) Ké qua THE CO (Ki 50) (TTT2 số 121) 1.Wg1 &d6 [1 2f4 2.ad3#; 1 f4 2.Wc5#] 2.Wd4# Danh sách các bạn giải dúng kì 50: Trương Nhật Đức, 7A, THCS Hòa Hiếu Il, TX Thái Hòa, Nghệ An; Dương Văn Đô, 9A2, THCS Từ Sơn, TX Từ Sơn, Bắc Ninh; Nguyễn Thanh Bình, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
LÊ THANH TÚ
Trang 35
VNI DÑ ly,
NGUYỄN BÁ ĐANG
(Tư vấn chương trình phát triển giáo dục Trung học của Bộ Giáo dục và Đào tạo) Việt Nam là thành viên chính thức của PISA OECD năm 2009 Ngày 12 tháng 4 năm 2012, 162 trường
thuộc 59 tỉnh, thành phố của Việt Nam tham dự kì khảo sát PISA năm 2012 (PISA là chữ viết tắt của Programme for International Student Assesment, dudc dich Chuong trinh đánh giá học sinh
quốc tế do Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế khởi xướng và chỉ dao - Organization for
Economic Cooperation and Development viét tat OECD) ì vọng khảo sát PISA là giúp cho các nhà
KK: lí giáo dục của các quốc gia có một
ách nhìn thấu đáo về thực trạng chất
lượng giáo dục của nước mình, từ đó có những
giải pháp mang tầm chiến lược, điều chỉnh các
chính sách hiện hành cho phù hợp để xây dựng
và phát triển nền giáo dục tiên tiến vững chắc
Học sinh được kiểm tra PISA ở độ tuổi 15 (chính xác là từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng) và
đang theo học ở chương trình phổ thông và giáo dục thường xuyên được chọn ngẫu nhiên trong các trường được chọn (theo mẫu của OEDC) Chương trình kiểm tra thực hiện chu kì 3 năm một
lần Đến nay đã có 70 quốc gia tham dự khảo sát
Nội dung đề thi PISA tập trung vào ba lĩnh vực:
Toán, Khoa học, Đọc hiểu Mỗi chu kì đánh giá đi
sâu vào một linh vực chính, được OECD thông báo trước Thời gian đánh giá dành cho lĩnh vực
chính khoảng 2/3 thời gian làm bai thi (nam dau
tiên 2000 tập trung lĩnh vực Đọc hiểu, năm 2003 tập trung linh vực Toán học, năm 2006 tập trung lĩnh vực Khoa học, năm 2009 tập trung linh vực Đọc hiểu, năm 2012 tập trung vào lĩnh vực Làm foán, năm 2015 tập trung lĩnh vực Khoa học)
Bộ đề thi PISA bao gồm nhiều bài tập (Unit), mỗi
bài tập gồm một hoặc một số câu hỏi (items)
Trung bình mỗi bộ đề thi có khoảng 60 bài Tổng
số bài tập trong bộ đề thi sẽ được chia ra thành
nhiều đề thi khác nhau, để hai học sinh ngồi gần không thể trao đổi hoặc chép bài của nhau Học
sinh làm bài trực tiếp vào quyển “Dé thi’
(Booklet) Két quả của học sinh được đánh giá
qua bai tap (Unit)
Các kiểu câu hỏi được được sử dụng trong bộ đề: - Câu hỏi mở đòi hỏi trả lời ngắn (Short response
question)
- Câu hỏi mở đòi hỏi trả lời dài (Open - constructed
response question)
- Câu hỏi đóng đòi hỏi trả lời dự theo trả lời có sẵn
(Close - constructed response question)
- Câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn
(Multiple choice)
- Câu hỏi Có - Không, Đúng - Sai (Yes - No, True - False)
PISA sử dụng thuật ngữ coding (mã hóa), không
sử dụng khái niệm chấm bài vì mỗi một mã của câu trả lời được quy ra điểm số tùy ý theo câu hỏi
Việc cho điểm của các câu trong một bài tập là
độc lâp
- Các câu trả lời đối với câu hỏi nhiều lựa chọn hoặc câu trả lời của một số câu hỏi trả lời ngắn được xây dựng trước sẽ được nhập trực tiếp vào
phần mềm nhập dữ liệu
- Các câu trả lời còn lại sẽ được mã hóa bởi
chuyên gia
- Sau khi mã hóa xong sẽ được đưa vào phần
mềm, OEDC nhận dữ liệu và chuyển đổi thành điểm cho mỗi học sinh
- Một số quốc gia sử dụng hệ thống mã hóa trực tuyến của PISA
- Mỗi câu trả lời của học sinh được quay vòng qua
5 người chấm
- Sau khi chấm bài, nhập dữ liệu và chuyển dữ
liệu khảo sát cho OEDC
- OEDC sẽ phân tích kết quả và niêm yết trên PISA OEDC
Trang 36Sau đây xin giới thiệu hai bài tập trên hai lĩnh vực
KHOA HỌC Bài 7 (Unit 7) Hút thuốc lá
Người ta hút thuốc lá dạng điếu, xì gà và tẩu Các nghiên cứu cho thấy mỗi ngày trên thế giới có
gần 13500 người bị chết do các căn bệnh liên
quan đến thuốc lá Người ta cũng dự đoán rằng
vào năm 2020, 12% các ca tử vong toàn cầu là
do căn bệnh liên quan đến thuốc lá gây ra Khói thuốc lá chứa nhiều chất có hại Các chất nguy hại nhất là nhựa thuốc lá, nicôtin và cacbon
Oxit
Cau hoi 1 Khói thuốc lá được hít vào trong phổi
Nhựa thuốc lá trong khói đọng lại trong phổi làm
cho phổi không hoạt động tốt nữa
Chức năng nào dưới đây là một chức năng của phổi? A Bơm máu chứa ôxi đến tất cả các bộ phận trong cơ thể B Chuyển ôxi từ không khí mà chúng ta thở vào máu C Làm sạch máu bằng việc giảm lượng cacbon đioxit về không D Chuyển các phân tử cacbon đioxit thành các phân tử ôxi
Câu hỏi 2 Hút thuốc lá làm tăng nguy cơ bị bị ung thư phổi và các căn bệnh khác Hãy xem hút thốc lá có làm tăng nguy cơ mắc những bệnh
dưới đây hay không? Khoanh tròn “Có” hoặc
“Không” trong mỗi trường hợp:
Nguy cơ mắc căn bệnh này có ,
tăng lên do hút thuốc hay không? | Có | Không
Viêm phế quản Có | Không
HIV/AIDS Có | Không
Bệnh thủy đậu Có | Không
Câu hỏi 3 Một số người sử dụng các miếng cao
dán chứa nicôtin để giúp họ cai thuốc lá Những
miếng cao này được dán trên da và giải phóng
nicôtin vào máu Điều này giúp làm mất đi những
cơn thèm thuốc và những dấu hiệu của việc cai nghiện khi mọi người đã cai thuốc
Để nghiên cứu về tính hiệu quả của những miếng
dán nicôtin này, một nhóm 100 người hút thuốc
muốn cai thuốc được chọn ngẫu nhiên Nhóm
này được nghiên cứu trong vòng sáu tháng Hiệu
quả của những miếng cao dán được xác định
bằng việc tìm ra bao nhiêu người trong nhóm
không còn tái hút thuốc sau khi kết thúc đợt
nghiên cứu này
Trong số các thí nghiệm sau, thí nghiệm nào là tốt nhất?
A Tất cả những người trong nhóm đều dán cao
B Tất cả mọi người đều dán cao ngoại trừ một số
người cố gắng bỏ thuốc mà không cần dán cao
C Mọi người lựa chọn hoặc sử dụng hoặc không
sử dụng các miếng cao dán giúp bỏ thuốc D Một nửa được lựa chọn ngẫu nhiên để sử dụng các miếng cao dán, nửa còn lại không sử dụng
chúng
Câu hỏi 4 Có nhiều phương pháp sử dụng để khiến mọi người bỏ thuốc lá
Những cách giải quyết việc giảm hút thuốc dưới đây có dựa trên công nghệ hay không? Khoanh
tròn “Có” hoặc “Không” ứng với mỗi trường hợp
sau
Phương pháp giảm hút thuốc này
có dựa trên công nghệ hay không?
Tăng giá bán thuốc lá Có | Không
Có | Không
Sản xuất ra các miếng cao dán
nicôtin để giúp người nghiện thuốc | Có | Không cai thuốc lá Cấm hút thuốc ở những nơi công cộng | Có | Không TOÁN HỌC
Bài 40 (Unit 40): Bộ hoa văn hình nhiều cấp Robert làm một bộ hoa văn hình một cấp và
nhiều cấp Đây là các bước anh ấy thực hiện:
Bước 1 Bước 2 Bước 3
Như bạn thấy, trong bước 1 anh ấy dùng một hình vuông, bước 2 sử dụng ba hình vuông, bước 3 sử
dụng sáu hình vuông
Câu hỏi 1 Anh ta sẽ sử dụng bao nhiêu hình vuông trong bước 4?
Đáp số: hình vuông
Câu hỏi 2 Anh ta sẽ sử dụng bao nhiêu hình vuông trong nước thứ n2
Với khuôn khổ của bài viết không cho phép giới
thiệu hết các bài tập trong đề kiểm tra PISA, chúng tôi chỉ giới thiệu hai bài tập lĩnh vực Khoa học và Toán học để chúng ta có dịp hòa nhập với
giáo dục quốc tế Cách thức ra đề của PISA giúp
các thầy cô, các em học sinh làm tài liệu tham
khảo góp phần đổi mới việc kiểm tra đánh giá
trong dạy và học
Trang 37
> cA \/ {⁄& 7) 5 PDE SG + —-
1 Vài nét về đất nước Hoa Kỳ
Rộng 9 629 000 km2 với hơn 309 600 000 người,
Hoa Kỳ nằm ở Bắc Mỹ với diện tích chủ yếu ở
nam của Canada, một bang Alasca ở bắc của Canada và một số đảo, quần đảo Hoa Kỳ là
quốc gia có tuổi đời hơn 200 năm, nhiều chủng tộc, là nước phát triển Hệ thống trường đại học ở
Hoa Kỳ đa dạng, có chương trình đào tạo tiên tiến với hơn 3 000 trường
2 Các cơ hội giáo dục
Bằng cấp của Hoa Kỳ được công nhận trên toàn
thế giới vì chất lượng đào tạo cao Hệ thống giáo
dục phù hợp với mọi người Có trường chú trọng giáo dục bao quát, có trường chú ý kỹ năng thực hành, có trường chuyên về các lĩnh vực khoa học, nghệ thuật, xã hội và nhân văn Công nghệ đào
tạo hiện đại Sinh viên được sử dụng các thiết bị và thư viện tốt nhất Cơ hội nghiên cứu, kinh
fl Tt ffffne>
BAN MUON DU HOC HOA KY?
VU THANH THANH
nghiệm giảng dạy của các giáo sư đạt trình độ Quốc tế Nhiều sinh viên Quốc tế mang đến các
cách nhìn và ý tưởng mới Tuy vậy chương trình bố trí khá linh hoạt và có nhiều lựa chọn Môi
trường văn hóa có sự giao thoa và mang tính toàn
cầu
Sau bậc đại học, bạn có thể học thạc sĩ (MA), thạc sĩ khoa học (MS), thạc sĩ quản trị kinh doanh (MBA), thạc sĩ nghệ thuật (MFA), thạc sĩ luật học
(d.D.), thạc sĩ khoa học xã hội (MSW), tiến sĩ
(PhD) Ngoài ra là các loại hình đào tạo ngắn hạn, cấp chứng chỉ và các chương trình dạy
nghề
3 Cần chuẩn bị những gì?
Bạn nên mang đủ các giấy tờ liên quan đến bản thân Nếu đã có bằng đại học sẽ giúp bạn không
phải lặp lại chương trình cử nhân (Để tiếp tục học lên các chương trình cao hơn cần phải học thêm
một số lớp phụ trợ) Tất cả các văn bằng đó đều dịch sang tiếng Anh Nếu bạn đã được cấp học
bổng từ một trường thì việc thẩm định, đánh giá
sẽ đơn giản hơn Còn không, nếu muốn học cao
hơn như MBA, MS bạn sẽ được các cơ quan chuyên môn thẩm định các văn bằng
Nếu bạn đã có các bằng TOEFL (Test of English
as a Foreign Language), GMAT (Granduate Management Admission Test) hoac GRE (Granduate Record Examination) sé rất thuận lợi
cho việc được nhận vào trường
Du học ở Hoa Kỳ khá tốn kém nên bạn cần chuẩn bị tài chính cho khỏi ảnh hưởng đến khóa học và
không tạo gánh nặng quá lớn cho gia đình và bản
thân Sau một thời gian bạn có thể đi làm để có
Trang 38việc thường chỉ giới hạn trong khuôn viên nhà
trường và hạn chế không quá một số giờ nhất
định Bạn cũng cần chuẩn bị tư tưởng cho mình để vượt qua cú sốc văn hóa Đi học, làm thêm, về
tự nấu ăn, học bài, có rất ít thời gian nghỉ ngơi và rất ít tiếp xúc gặp gỡ bạn bè Việc gặp bạn bè chủ
yếu diễn ra trong trường Bạn cũng không thể hỏi về điểm số, mượn sách hay cho bạn mượn sách Cái ghế ngồi trong sân trường cũng thể hiện sự
riêng tư Họ rất ít khi ngồi xuống cạnh chỗ bạn đã ngồi
4 Cách học
Lớp học ở Hoa Kỳ thường nhỏ Nhiều trường một
thày chỉ giảng cho 20, 25 sinh viên Bạn cũng đừng ngạc nhiên khi thấy thầy giáo toán giảng lại
cả cho sinh viên cách cộng, trừ phân số Nhiều
sinh viên ở Hoa Kỳ lúc vào trường đại học có trình
độ khá thấp do ở trường phổ thông họ chưa chú
ý học Nhưng họ sẽ tiến bộ nhanh chóng ở bậc đại học Các giáo sư thường dạy theo kiểu dùng
phần mềm power point biểu diễn ngôn từ và hình
ảnh qua máy tính Sinh viên sẽ mất rất nhiều thời
gian làm bài tập (homework, project) Ra khỏi lớp học, học sinh nói với nhau bằng đủ các thứ tiếng Bạn cần chủ động tự giới thiệu, làm quen và hòa nhập Ở Hoa Kỳ quan hệ thầy trò khác với Á Đông Bạn đừng ngạc nhiên khi thấy sinh viên
phê bình cách giảng bài của thầy cô Bạn nên sử
dụng triệt để website của trường để hiểu các tiện
ích phục vụ mà mình được quyền sử dụng miễn
phí Khi học kì bắt đầu, bạn cần lấy đủ số tín chỉ (credit) theo yêu cầu và đóng đủ tiền Nếu thiếu
các tín chỉ bạn sẽ gặp khó khăn khi xin gia hạn thời gian học Đôi khi bạn còn không được theo
học tiếp nữa
5 Cuộc sống
Ở Hoa Kỳ có đủ các loại thực phẩm bạn cần Chỉ
khó tìm quả sấu chua thôi Các hàng ăn nhanh có nhiều và nó làm bạn dễ tăng cân Tự nấu ăn bạn
sẽ có bữa ăn ngon miệng và tiết kiệm được tiền
cho bố mẹ Mỗi tuần các chợ có kì bán giá rẻ cho
một vài món hàng nào đó Bạn có thể đến chợ
người Việt, người Mexico để mua với giá rẻ hơn
Nếu muốn ở gần trường bạn cần 1000 USD cho
một phòng ở một tháng, có phòng tắm và phòng khách Ra xa trường thì cần 600, 700 USD/tháng
Sinh viên thường để quảng cáo tìm người ở chung
(room-mate)
Bạn có thể hỏi han mọi người để tìm việc làm
thêm Khi ra trường, các hồ sơ về đi làm trước đó
của bạn rất có ích cho xin việc Ở Hoa Kỳ sinh
viên đi làm thêm là điều tự nhiên Tuy nhiên việc
học mới là nhiệm vụ chính của bạn
Để chuẩn bị cho các thủ tục nhập học bạn có thể
thuê các tổ chức tư vấn Nhưng nếu bạn có ít tiền thì lại có đủ thời gian và có vốn tiếng Anh thì nên
tự làm mọi việc Bạn cần chọn một ngân hàng để lo chuyện tài chính Họ sẽ giúp bạn chứng minh khả năng tài chính và tài trợ thực sự cho việc du học
6 Xin visa du học Hoa Kỳ
Bạn cần đặt quyết tâm cao khi làm thủ tục xin đi học Quyết tâm ấy sẽ tự bộc lộ trong quá trình
phỏng vấn Bạn nên thường xuyên liên lạc email
với trường sẽ đến học Các email này đôi khi có tác dụng tốt cho phỏng vấn Không thể có chuyện lo lót nào giúp được bạn cả Trong bản kê
khai không nhấn mạnh về nhân thân, không cần
khoe khoang Bạn sẽ có lợi thế tương đối nếu có
thân nhân gắn với các doanh nhân, giáo sư, luật
sư, bác sĩ, kĩ sư, kiến trúc sư
Bộ hồ sơ đi phỏng vấn phải không thiếu, không
thừa, chính xác, rõ ràng, ngăn nắp, không cần
chứng minh tài chính quá nhiều với số tiền quá
lớn
(Xem tiếp trang 58)
Trang 39
MOT BAI TOAN
ON TAP HINH HOC 9 THAI NHAT PHUONG
(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa) Để ôn tập môn hình học một cách thú vị và hiệu quả đó là khai thác hết nội dung của bài toán Tự đặt ra các câu hỏi và tìm cách trả lời
Sau đây là một bài tốn ơn tập như vậy thuộc chương trình hình học 9
Bài toán: Cho AABC đều nội tiếp đường tròn (O;R)
1) Tinh chu vi AABC theo R
2) Tinh dién tich phan hinh tron 6 ngoai AABC
3) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm di động M Chứng minh rằng đường phân giác của góc kề bù với BMC đi qua một điểm cố định (với M khác B va C)
4) Trên dây MAlấy MD = MB Ching minh AMBD đều 5) Chứng minh AABD = ACBM 6) Chứng minh MA = MB + MC 7) Xác định vị trí của M để: a Sapnuc lớn nhất b MA + MB + MC lớn nhất và nhỏ nhất c MA - MB : MC lớn nhất d 1, Jt MA MB
8) Chứng minh A, O, D, B cùng thuộc một đường tròn
9) Điểm D di động trên đường nào?
10) Tìm tập hợp các điểm N thỏa mãn NA= NB +NC
11) Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị
không đổi:
a MA? + MB^ + MC2 b MA“ + MB + MCZ
c MA? - MB? + MB2 - MC? + MC? MA2
12) Goi E là giao điểm của MA và BC Chứng
minh AB2 = AE - AM
13) Chứng minh AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ACEM 14) Tìm giá trị lớn nhất của: a ME b EA - EM wt nhỏ nhất MC 15) Chứng minh La}, ME MB MC 16) Chứng minh EA - EM = R2 - OEˆ
17) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn ngoại tiếp AABE và ACME
18) Goi R, va R, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABIM và ACIM Chứng minh R = R, +R,
19) Kẻ MH L AB tại H, MK L AC tại K Tìm giá trị
lớn nhất của MH + MK
20) Chứng minh BH < CK MB < MC
21) So sánh HK và BC, suy ra giá trị lớn nhất của HK
22) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AHMK đi qua một điểm cố định 23) Chứng minh MA - HK = AH - MK + AK - MH 24) Kẻ MI L BC tại I Chứng minh H, I, K thẳng hàng 25) Chứng minh -L=——+—_ MI MH MK ¬ we od 1 1 26) Tìm giá trị lớn nhat cua —— +— + MI MK’
27) Chứng minh MH + MK - MI không đổi 28) Goi M, va M, lần lượt là các điểm đối xứng
của M qua AB và AC Chứng minh M,M, qua O
29) Chứng minh HK đi qua trung điểm của OM
30) Có vị trí nào của M để BK //¡ CH không?
31) Trên cạnh AB lấy điểm P Trên tia đối của tia
CA lấy điểm Q sao cho CQ = BP Kẻ đường kính
AA' của (O) Chứng minh APA'Q cân 32) Chứng minh tứ giác A'PAQ nội tiếp
33) PQ cắt BC tại J Chứng minh các tứ giác A 'BPJ và A'JCQ nội tiếp
Trang 4035) Gọi R và S là trung điểm cla AB va IK
Chứng minh MSR= 909
36) Tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại T
Tứ giác ABCT là hình gì?
37) Tính chu vi và diện tích của hình giới han bởi
TA, TC và cung nhỏ AC Hướng dẫn (bạn đọc tự vẽ hình) 1) 3V3R 2) "SP 3) AMA'=90°, A' là điểm đối xứng của A qua O 4) MD = MB va BMD = 60° 5) cgc hoac gcg 6) MB = MD va MC = DA 7) a Đường cao MI lớn nhất M là điểm chính giữa BC b.MA+ MB+ MC=2MA<4R và 2MA>2AB = 2R-/3 3 c MA - MB - MC < là (SE 9Ï - =—— <2R3, 1 ~t,1, 1, 4 5 ¬ “MA” MB MC MA “MB+MC "MA“2R 8) AOB = ADB = 1209 9) ADB = 1209, AB cố định 10) Tập hợp các điểm N là cung nhỏ BC 11) a Kẻ CF L BM Chứng minh BC? = MB - MC + MC2 => MA? + MB2 + MC2 = 2BC2 = 12) AABE «> AAMB 13) ACE = CME MB2 + 6R2 14) a ME = MA- EM <2R-= =< 3R? a 15) MB - MC = ME - MA= ME(MB + MC) 16) Gọi W là trung điểm của AM; EA - EM = WAZ —~ WE? = R2 - OE2
17) Goi O, và O, là hai tâm của hai đường tròn
AEO¿ = CEO› = 300, AEC z 120° = O;EO› + 180°
= (O¿) và (O.) cắt nhau 18) BI = R,V3, Cl = R23, BC = R43 19) MH + MK < MB + MC = MAS 2R 20) AMHB œ AMKC => BOMB CK MC HK _ HM _ “BMˆ 2 b EA- EM = E8 -Ec < | SẺ "| = 21) AHMK œ ABMC > 22) Tứ giác HMKA nội tiếp
23) Vận dụng định lí Ptôlêmê với tứ giác HMKA nội tiếp 24) BIH = BMH = CMK = CIK MI BE và Mi CE 25) —— MK “AC ` MH AB’ o t.1,1.2, 2,4 MH MI MK MI ME R
27) Sau + Saco = Sasc + Seem:
28) Xet MB < MC Goi M, đối xứng của M qua BC
CM.AO nội tiếp => AOM, = CAM, = CAM
COM.B néi tiép > BOM; =BCM3 = BCM = BAM
= COM, +BOM, +BOC = 180° = M,, O, M, thang hang 30) Xét MB < MC > BH<CK> 31) AA'BP = AACQ 32) BPA' = CQA' 33) A'BU=A'PJ=30°; A'CJ=A'QU = 30° 34) APA’Q can va A'JP = 90°